Một số dạng bất đẳng thức hình học

11 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 14 2.1 Phương pháp sử dụng đại số.. Thế nhưng vẻ đẹp trong Toán học lại thật kì lạ và thú vị, nó đòi hỏi một tâm hồn phong

Trần Quang Hùng

TÓM TẮT LUẬN VĂN CAO HỌC MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

Hà Nội - 2011

1 Các kiến thức cơ bản trong đại số và hình học 5

1.1 Nguyên lý cực trị trong hình học 5

1.2 Nguyên lý Dirchlet trong hình học 5

1.3 Nguyên lý khởi đầu cực trị 6

1.4 Phép chứng minh phản chứng 6

1.5 Các bất đẳng thức đại số 6

1.5.1 Bất đẳng thức AM-GM 6

1.5.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 7

1.5.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức 7

1.5.4 Bất đẳng thức Holder 7

1.5.5 Bất đẳng thức trung bình lũy thừa 8

1.5.6 Bất đẳng thức Jensen 9

1.5.7 Bất đẳng thức Schur 9

1.5.8 Bất đẳng thức Nesbitt 9

1.6 Một số bất đẳng thức hình học cơ bản 9

1.6.1 Các hệ thức trong tam giác 9

1.6.2 Các hệ thức liên quan đến vector 10

1.6.3 Một số kết quả quan trọng trong hình học 11

2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tam giác 14 2.1 Phương pháp sử dụng đại số 14

2.2 Phương pháp vector 27

2.2.1 Ứng dụng và làm mạnh bất đẳng thức tam giác 27

2.2.2 Kết hợp bất đẳng thức Ptolemy và bất đẳng thức tam giác 29

2.2.3 Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy-Swartz dạng vector 30

2.2.4 Phương pháp bình phương vô hướng 32

2.2.5 Một số bài toán trong các kỳ thi Olympiad 32

2.3 Phương pháp R, r, p 33

2.3.1 Bổ đề của Jack Garfunkel 33

2.3.2 Một vài bài toán ứng dụng 34

2.3.3 Sử dụng tham số xây dựng bất đẳng thức mới từ các bất đẳng thức cơ bản 43

1

2.4 Một số bài toán chọn lọc 45

Lịch sử bất đẳng thức bắt nguồn từ rất lâu và vẫn xuyên suốt, thăng hoa qua thời

gian cho tới tận ngày nay Như Richard Bellman đã từng nói: “ Có ít nhất ba lý do

giải thích tại sao chúng ta luôn quan tâm tới bất đẳng thức Đó chính là thực hành, lý thuyết, và quan trọng nhất là thẩm mỹ – vẻ đẹp tồn tại trong con mắt của những người quan tâm tới bất đẳng thức; Mọi người thường dễ dàng cảm nhận được vẻ đẹp trong những bản nhạc, hay những lời thơ Thế nhưng vẻ đẹp trong Toán học lại thật kì lạ và thú vị, nó đòi hỏi một tâm hồn phong phú, tri thức nhưng lãng mạn.”

Trong cái vẻ đẹp xuyên qua lịch sử của bất đẳng thức thì không thể không nhắc tới

từ việc so sánh các độ dài đến so sánh diện tích, thể tích đều thấy sự có mặt của bấtđẳng thức hình học Việc chứng minh các bất đẳng thức hình học là công việc khôngphải một sớm một chiều, nó cần sự tổng hợp, phân tích, đánh giá, kết hợp cả các kiếnthức đại số và hình học cùng khả năng liên tưởng nhạy bén, sáng tạo để sáng tạo ranhững bài toán hay và cách giải một bài toán bất đẳng thức có yếu tố hình học.Ngày nay, trong các kỳ thi Olympic các nước trên thế giới, bất đẳng thức hình họccũng đã và đang chiếm một vị trí quan trọng Bằng cái nhìn tổng quan, luận văn nàycũng đã nêu ra một số ví dụ điển hình trong các kỳ thì Olympic các nước thời gianqua

Luận văn được chia thành các chương:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản trong hình học Chương này nêu lên các kiến thức

cơ bản trong hình học phẳng, chủ yếu là các vấn đề về cực trị, các kết quả quantrọng trong tam giác, tứ giác, hình tròn Các nguyên lý như nguyên lý cùngcác bất đẳng thức đại số thường được sử dụng

Chương 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tam giác Chương

thứ hai tập hợp một số phương pháp giải quyết các bài toán về bất đẳng thứctrong tam giác cùng các kĩ thuật xây dựng các bất đẳng thức trong hình họcđược trình bày dưới dạng phương pháp giải và xây dựng

3

Để hoàn thành được luận văn này, trước nhất tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới

người thầy đáng kính của mình là PGS.TS Nguyễn Vũ Lương người thầy đã dìu

dắt tôi từ những ngày khởi nghiệp đi dạy cho tới khi tôi hoàn thành bản luận văn này.Thầy đã chỉ bảo tận tình và giúp đỡ tôi thật nhiều trong mọi việc, không chỉ trongkhóa luận này mà còn trong cả quá trình làm việc của tôi Qua đây tôi cũng xin đượcgửi lời cảm ơn chân thành các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiếnquý báu để luận văn được đầy đủ hơn, phong phú hơn Cũng xin được gửi lời cảm ơntới tất cả các thầy cô giáo trong trường THPT chuyên KHTN và đặc biệt là các cácthầy cô giáo trong bộ môn toán của trường, những người thầy, những người bạn đãgiúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình làm luận văn Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơntới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoahọc Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trongkhóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sóttrong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 10 tháng 11 năm 2011

Học viên

Trần Quang Hùng

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC

1.1 Nguyên lý cực trị trong hình học

(1) Trong tất cả các cách nối hai điểm A và B thì đoạn thẳng có độ dài ngắn nhất.

(2) Trong tất cả các đoạn thẳng nối từ một điểm cho trước tới một điểm trên mộtđường thẳng (hoặc mặt phẳng) cho trước thì đoạn vuông góc có độ dài ngắnnhất

(3) Trong tất cả các đường xiên kẻ từ một điểm cho trước tới cùng một đường thẳng(hoặc mặt phẳng) cho trước, đường xiên nào có hình chiếu ngắn hơn thì ngắnhơn

(4) Trong các tam giác có cùng chu vi, tam giác đều có diện tích lớn nhất Trong cáctam giác có cùng diện tích, tam giác đều có chu vi nhỏ nhất

(5) Độ dài của một đoạn thẳng nằm trong một đa giác lồi không lớn hơn khoảngcách lớn nhất nối hai đỉnh của nó

(6) Nếu một đa giác lồi chứa một đa giác lồi khác, thì chu vi của đa giác ngoài sẽlớn hơn chu vi của đa giác trong

(7) Nếu M là một điểm nằm trong đường tròn tâm O thì trong các dây cung đi qua

M, dây cung vuông góc với OM có độ dài ngắn nhất.

1.2 Nguyên lý Dirchlet trong hình học

Một trong những công cụ hữu ích dùng giải quyết nhiều vấn đề của Toán học, trong

đó có cả hình học, là nguyên lý Dirichlet

Định lý 1.1 (Nguyên lý Dirichlet) Nếu nhốt n + 1 chú thỏ vào n cái chuồng thì bao

giờ cũng có ít nhất 2 thỏ bị nhốt vào cùng một chuồng.

Ngoài dạng phát biểu như trên, nguyên lý Dirichlet còn có thể được phát biểu dướidạng hình học như sau:

Định lý 1.2 (Nguyên lý Dirichlet với độ dài) Trên đường thẳng cho đoạn AB có độ

dài a và một số đoạn con A i B i (i = 1, n) có tổng độ dài b Khi đó,

5

• Nếu b < ka (k ∈ N ∗ ) thì bên trong đoạn AB tồn tại điểm M thuộc không quá

k − 1 đoạn con A i B i

• Nếu b > ka (k ∈ N ∗ ) và đoạn AB chứa tất cả các đoạn con A

i B i thì có ít nhất

k + 1 đoạn con A i B i có điểm chung.

Định lý 1.3 (Nguyên lý Dirichlet đối với diện tích) Trong một mặt phẳng cho hình

(H) có diện tích S và các hình (H i ) (i = 1, n) có tổng diện tích là T Khi đó,

• Nếu T < kS (k ∈ N ∗ ) thì tồn tại điểm M nằm trong hình (H) sao cho M là

điểm trong chung của không quá k − 1 hình trong các hình (H i ) (i = 1, n).

• Nếu T > kS (k ∈ N ∗ ) và hình (H) chứa tất cả các hình (H

i ) (i = 1, n) thì tồn

tại một điểm M trong (H) sao cho M là điểm trong chung của ít nhất (k + 1) hình trong số các hình H i

1.3 Nguyên lý khởi đầu cực trị

Nguyên lý khởi đầu cực trị được phát triển mạnh mẽ trong Graph hữu hạn Nó đượcphát biểu dưới dạng tập hợp như sau:

Định lý 1.4 (Nguyên lý khởi đầu cực trị) Trong một tập hợp hữu hạn (khác rỗng)

các số thực luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất.

Phép chứng minh phản chứng có cơ sở dựa vào định lý sau:

Định lý 1.5 Mệnh đề A → B tương đương với mệnh đề B → A.

ta có thể giả sử rằng không có B Sau đó với các phép lập luận biện chứng, ta sẽ tìm cách đưa đến kết quả A hoặc một kết quả nào đó không phù hợp với các tiên đề, định

lý, các giá trị hằng đúng đã có Một phép lập luận như vậy ta gọi là phép phản chứng

1.5 Các bất đẳng thức đại số

Nhiều bất đẳng thức đại số có ứng dụng sâu rộng, trong đó phải kể đến bất đẳng thứcAM-GM (Arithmetic Mean – Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, bấtđẳng thức Schwarz, bất đẳng thức Jensen

Chú ý Ngoài ra, bất đẳng thức AM-GM còn có thể được viết dưới dạng sau

1.5.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức

Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức) Xét hai bộ số thực tùy

ý a1, a2, , a n và b1, b2, , b n trong đó b i > 0, ∀i = 1, 2, , n Khi đó, ta có

a2 1

b1 +

a2 2

Kết quả này thu được bằng cho b1 = b1 =· · · = b n = 1.

• Với n số thực dương tùy ý x1, x2, , x n , ta có

Chú ý Khi ứng dụng vào giải toán, ta thường sử dụng bất đẳng thức Holder ở hai

1.5.5 Bất đẳng thức trung bình lũy thừa

Định lý 1.10 (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa) Cho a1, a2, , a n là các số thực không âm và r > s > 0 Khi đó, ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 cùng các hoán vị.

Trường hợp hay được sử dụng nhất của bất đẳng thức Schur là khi k = 1, lúc này ta

có thể viết lại bất đẳng thức dưới dạng

a3+ b3+ c3+ 3abc − ab(a + b) − bc(b + c) − ca(c + a) > 0.

1.6.1 Các hệ thức trong tam giác

Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng một số kí hiệu thống nhất trong tam giác như sau:

Xét một tam giác ABC cho trước Khi đó, ta kí hiệu:

• BC = a, CA = b, AB = c;

• m a , m b , m c , l a , l b , l c , h a , h b , h c lần lượt là độ dài các trung tuyến, các phân giác

và các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c;

• p là nửa chu vi tam giác;

là S;

• r, R lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r a , r b , r c là bán kính các đường tròn bàng tiếp các góc A, B, C.

Kí hiệu x, y, z là hoán vị cho a, b, c và X, Y, Z hoán vị cho A, B, C Lúc này, ta thiết

lập được các hệ thức sau đây:

1 Các công thức diện tích tam giác:

1.6.2 Các hệ thức liên quan đến vector

Tâm tỉ cự của hệ điểm

Định nghĩa 1.1 Cho một hệ n điểm {A1, A2, , A n } và một bộ hệ số {α1, α2, , α n } thỏa mãn α1+ α2 +· · · + α n ̸= 0 Khi đó, nếu điểm I thỏa mãn

thì I được gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1, A2, , A n } ứng với bộ hệ số {α1, α2, , α n }.

Tính chất Giả sử I là tâm tỉ cự của hệ n điểm {A1, A2, , A n } ứng với bộ hệ số {α1, α2, , α n } (α1+ α2+· · · + α n ̸= 0) Khi đó ta có các tính chất sau: Với điểm O

Bất đẳng thức cơ bản trong vector

Với hai vector tùy ý − → a và − → b , ta có các đánh giá cơ bản sau:

1.6.3 Một số kết quả quan trọng trong hình học

Ngoài các nội dung đã đề cập ở trên, khi xem xét các bất đẳng thức hình học, chúng

ta cũng sẽ cần đến các kết quả quan trọng sau đây

Định lý 1.14 (Tâm tỷ cự cho hệ hai điểm) Cho đoạn AB và các số thực α, β, α +

β ̸= 0 thì tồn tại duy nhất điểm I sao cho α −→ IA + β −→

Định lý 1.15 (Tâm tỷ cự cho hệ ba điểm) Cho tam giác ABC và các số thực α, β, γ α+

β + γ ̸= 0 thì tồn tại duy nhất điểm I sao cho α −→ IA + β −→

I Chứng minh Do α + β + γ ̸= 0 từ giả thiết đẳng thức vector ta có

Đó là điều phải chứng minh

Chú ý Các định lý 1 và định lý 2 nói về sự tồn tại duy nhất của tâm tỷ cự ứng với

tọa độ tỷ cự sai khác nhau một tỷ lệ thức Tâm tỷ cự hệ n điểm cũng được định nghĩa bằng hệ thức vector tương tự, tức với A1, , A n phân biệt và các số thực α1, , α n có

i=1

−−→

IA1 = − →

0 Tuy nhiên điểm

khác biệt cơ bản là với n > 3 với mỗi điểm điểm I trong mặt phẳng không xác định duy nhất bộ (α1, , α n ) sai khác nhau một tỷ lệ thức, tức là với I xác định ta có thể

trên, chính điều này cho chúng ta thấy ta chỉ có thể dùng bộ ba tọa độ tỷ cự chỉ vớitam giác hoặc trong không gian là với tứ diện, đó thực chất cũng chính là hệ quả củacác định lý phân tích vector trong mặt phẳng hoặc không gian

Phương tích

Phương tích trong chương trình hình học 10 thường được gắn liền với việc khai triển

nó theo cát tuyến, tuy nhiên ta sẽ định nghĩa phương tích một cách độc lập và nhìn lạiviệc khai triển nó theo cát tuyến cũng như một hệ quả của hệ thức Leibnitz cho haiđiểm

Định nghĩa 1.2 Cho đường tròn (O, R) và điểm P bất kỳ ta gọi số thực OP2− R2 là phương tích của điểm P đối với đường tròn (O), phương tích được ký hiệu là PP/(O)

Như vậy từ định nghĩa ta dễ thấy dấu của phương tích xác định tùy theo vị trí củađiểm đối với đường tròn

R O

B

A

P

Định lý 1.16 (Khai triển phương tích theo tiếp tuyến) Cho đường tròn (O) và P bất

kỳ ở ngoài (O) P T là tiếp tuyến của (O), T thuộc (O) Khi đó PP /(O) = P T2.

O P

T

T'

Chứng minh Định lý là hệ quả trực tiếp từ định nghĩa phương tích thông qua định lý

Pythagoras

Định lý 1.17 (Khai triển phương tích theo cát tuyến) Cho đường tròn (O) và điểm

P bất kỳ, một cát tuyến qua P cắt đường tròn tại hai điểm A, B thì tích P A · P B luôn không đổi với mọi cát tuyến qua P và chính bằng phương tích điểm P đối với (O) tức

PP/(O) = P A · P B

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC

Khi xem xét các bất đẳng thức trong tam giác, ta không thể nào không nhớ đến định

lý quen thuộc sau đây:

Định lý 2.1 Điều kiện cần và đủ để a, b, c là ba cạnh của tam giác là tồn tại các số

thực dương x, y, z sao cho a = y + x, b = z + x và c = x + y.

Dựa vào định lý này, ta có thể chuyển một bất đẳng thức trong tam giác về dạng bấtđẳng thức của các số dương Từ đó, bằng cách sử dụng các phương pháp xử lý bấtđẳng thức đại số đã biết, ta sẽ có thể chứng minh được bất đẳng thức đã cho Một

phép thế đổi biến như vậy được gọi là phép thế Ravi.

Sau đây là các ví dụ minh họa:

Bài toán 2.1 (APMO, 1996) Chứng minh bất đẳng thức

√

a + b − c + √ b + c − a + √ c + a − b 6 √ a + √

b + √ c, trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh Sử dụng phép thế Ravi, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Cộng cả ba đánh giá trên lại theo vế, ta thu được ngay bất đẳng thức (1) Đẳng thức

xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, tức là, khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đã cho

là tam giác đều

14

Bài toán 2.2 (Ấn Độ, 2003) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC Gọi

A ′ B ′ C ′ là tam giác với độ dài các cạnh lần lượt là a +2b , b +2c , c + a2 Chứng minh rằng

S ∆A ′ B ′ C ′ > 9

4S ∆ABC .

Chứng minh Đặt a = y + z, b = z + x và c = x + y với x, y, z > 0 Khi đó, độ dài

các cạnh của tam giác A ′ B ′ C ′ là

Bài toán 2.3 (IMO, 1964) Cho các số dương a, b, c là độ dài các cạnh của một tam

Khai triển một chút, ta thấy

x(y + z)2+ y(z + x)2+ z(x + y)2 = x(y2+ z2) + y(z2 + x2) + z(x2 + y2) + 6xyz

và

(x + y)(y + z)(z + x) = x(y2 + z2) + y(z2+ x2) + z(x2+ y2) + 2xyz.

Do đó, bất đẳng thức ở trên tương đương với

x(y2 + z2) + y(z2+ x2) + z(x2+ y2)> 6xyz.

Vì y2+ z2 > 2yz, z2+ x2 > 2zx, x2+ y2 > 2xy và x, y, z > 0 nên bất đẳng thức cuối

hiển nhiên đúng Phép chứng minh được hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

x = y = z, tức là khi tam giác ABC đều.

Bài toán 2.4 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp của tam giác đó Chứng minh rằng

yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) − 2xyz].

2(x + y + z)[

yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) −2xyz] > (x+y +z)(y +z)(z +x)(x+y),

hay

2[

yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) − 2xyz]> (y + z)(z + x)(x + y).

Tới đây, với để ý ở đồng nhất thức

(y + z)(z + x)(x + y) = xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x) + 2xyz,

ta viết được bất đẳng thức cuối dưới dạng

yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) > 6xyz.

Và ta thấy ngay bất đẳng thức này đúng theo AM-GM

Bài toán được chứng minh xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

f (x, y, z) ở đây được kí hiệu cho tổng hoán vị, cụ thể ta có

∑

f (x, y, z) = f (x, y, z) + f (y, z, x) + f (z, x, y).

Bài toán 2.5 (IMO, 1991) Cho tam giác ABC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và

L, M, N tương ứng là các giao điểm của các phân giác trong của các góc A, B, C với các cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng

Vậy ta chỉ cần xét vế trái nữa là xong Sử dụng phép thế Ravi, ta có ngay

2 Bài toán được chứng minh xong.

Bài toán 2.6 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

Đặt A = x2y + y2z + z2x, B = xy2+ yz2+ zx2 và C = xyz, ta dễ dàng kiểm tra được

các khai triển sau

Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM, ta lại có

Bài toán được chứng minh xong Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z,

tức tam giác đã cho là tam giác đều

Bài toán 2.8 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

)

b

(1

c + a − b −

1

√ bc

)

c

(1

a + b − c −

1

√ ab

(1

b + c − a −

1

√ bc

)

√ bc

b + c − a − a,

ta được bất đẳng thức tương đương là

a √ bc

b + c − a +

b √ ca

c + a − b +

c √ ab

)+

(

zx

y +

xy z

)+

(xy

z +

yz x

= 2z + 2x + 2y = 2(x + y + z).

Phép chứng minh được hoàn tất Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Bài toán 2.9 Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi 2 Chứng minh rằng

là một đa thức một biến theo a thì dễ thấy P (b) = P (c) = 0 Từ đó, áp dụng thuật

toán chia đa thức Horner, ta dễ dàng viết được

P (a) = (a − b)(a − c)[(c − b)a2+ (c2− b2)a + (c3− b3)]

= (a − b)(a − c)(c − b)[a2+ (c + b)a + (c2 + bc + b2)]

= (a − b)(b − c)(c − a)(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca).

Vậy đồng nhất thức (1) được chứng minh, và sử dụng nó, ta viết được bất đẳng thứccần chứng minh dưới dạng

(a − b)(b − c)(c − a)(a2+ b2+ c2+ ab + bc + ca) < 3abc.

Bây giờ, đặt a = y + z, b = x + z, c = x + y với x, y, z > 0 thì

Bài toán 2.10 (IMO, 1983) Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, tức a = b = c.

Bài toán 2.11 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

hay

(1

xyz = 9.

Bây giờ, ta đi chứng minh vế phải Từ hằng đẳng thức quen thuộc

= xyz(x + y + z)

(1

Đây chính là vế trái vừa được chứng minh ở trên Vậy (a) được chứng minh xong Dễ

thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, tức a = b = c.

hay tương đương

cũng chính là bất đẳng thức vế trái vừa được chứng minh Vậy (b) được chứng minh

xong Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, tức a = b = c.

Bài toán 2.12 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Chứng minh Đặt a = y + z, b = z + x và c = x + y với x, y, z > 0 Sử dụng công

thức cung nhân đôi và định lý cosin, ta có

Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành

]2

,

hay

(x + y)(y + z)(z + x) < (x + y + z)(xy + yz + zx).

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng do

Bài toán được chứng minh xong

Bài toán 2.13 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Chứng minh Sử dụng phép thế Ravi x = p − a, y = p − b, z = p − c ta đưa về chứng

minh bất đẳng thức đại số sau

Bài toán 2.15 Cho ba vector − → a , − → b , − → c chứng minh rằng

Chúng ta có bài toán tổng quát sau

Bài toán 2.17 (Tổng quát) Cho n vector − → x

i=1∑n − → x i

)

j + − → x

k |2)

...

Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức Finsler - Hadwiger liên hệ cạnh vàdiện tích tiếng

Đó bất đẳng thức mạnh, nhiên bất đẳng thức mạnh

bất đẳng thức Finsler - Hadwiger Ta viết dạng. ..

Nhận xét Bất đẳng thức Garfunkel bổ đề mạnh Sử dụng bất đẳng thức< /b>

Garfunkel làm bổ đề ta chứng minh nhiều bất đẳng thức hình học mạnhkhác cho tam giác nhọn

2.3.2 Một vài... chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn

Chú ý Bất đẳng thức dạng làm mạnh bất đẳng thức đề