2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tam giác
2.3.1Bổ đề của Jack Garfunkel
Bổ đề 1 (Jack Garfunkel). Cho tam giác nhọnABC. Chứng minh rằng
2R2 + 8Rr+ 3r2 6p2.
Bổ đề 2(Jack Garfunkel). Cho ABC là tam giác nhọn thỏa mãn π
4 6min{A, B, C}6
max{A, B, C}6 π
2. Chứng minh rằng
p2 63R2+ 7Rr+r2
Chứng minh. Sử dụng các đẳng thức củaR, r, p
cosA+ cosB+ cosC = R+r
R
cosAcosBcosC= p
2−4R2−4Rr−r2
4R2
Bất đẳng thức tương đương với
3(cosA+ cosB+ cosC)>4 + 4 cosAcosBcosC
Vì π 4 6min{A, B, C}6 max{A, B, C}6 π 2 ta có thể giả sử π 4 6A6 π 3 ⇒2 sinA 2 > 2 sinπ 8 >cos π 4 >cosA⇒ 2 sin2 A 2 + 2 sin A 2 −1>0 vì thế (2 sin2 A 2 + 2 sin A 2 −1)(2 sinA 2 −1)2 >0 ⇔3 cosA+ 6 sinA 2 −4 cosAsin2 A 2 >4 (1) Ta có |B−C|6 π 4 nên
4 cosA(1 + cosB−C
2 )>2(1 + 1
√
2)>3>6 sinA 2
Do đó
4 cosA(1 + cosB−C
2 )(1−cosB−C
2 )>6 sinA
2(1−cosB −C
2 )
⇔4 cosA(sin2 A
2 −cosBcosC)>6 sin A
2 −3(cosB+ cosC) ⇔3(cosA+ cosC)−6 sinA
2 + 4 cosAsin
2 A
2 >4 cosAcosBcosC (2)
Từ (1),(2) ta có
3(cosA+ cosB+ cosC)>4 + 4 cosAcosBcosC
Đó là điều phải chứng minh.
Nhận xét. Bất đẳng thức Garfunkel là một bổ đề mạnh. Sử dụng bất đẳng thức Garfunkel làm bổ đề ta có thể chứng minh được nhiều bất đẳng thức hình học mạnh khác cho tam giác nhọn.