2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong tam giác
2.2.5Một số bài toán trong các kỳ thi Olympiad
Áp dụng phương pháp vector và bất đẳng thức tam giác chúng ta có thể chứng minh được một số bài toán sau
Bài toán 2.47 (IMOSL 2002 Kor). Cho tam giácABC có điểm F nằm trong sao cho
∠BF C =∠CF A=∠AF B, gọi D, E lần lượt là giao của BF, CF với AC, AB chứng
minh rằng AB+AC >4DE.
Bài toán 2.48 (IMOSL 2001 Gbr). Cho tam giác ABC trọng tâm G và điểm P bất
kỳ tìm min P A·GA+P B·GB+P C·GC.
Bài toán 2.49 (IMO1 2001 Kor). Trong tam giác nhọn ABC tâm ngoại tiếp O và đường cao AP, ∠C > ∠B+ 30◦. Chứng minh rằng ∠A+∠COP < 90◦.
Bài toán 2.50 (IMO1 2006 Kor). Cho tam giác ABC tâm nội tiếp I và điểm P bất
kỳ trong tam giác thỏa mãn ∠P BA+∠P CA = ∠P BC +∠P CB. Chứng minh rằng
AP >AI
Bài toán 2.51 (IMOSL 2006 Pol). Cho tứ giác lồi ABCD các đường tròn qua A và D, qua B và C tiếp xúc ngoài tại P nằm trong tứ giác, giả sử rằng∠P AB+∠P BC 6
90◦,∠P AB+∠P CD 690◦. Chứng minh rằng AB+CD>BC =AD.
Bài toán 2.52 (VMO 1990). Cho hai tam giác ABC và A1B1C1 có độ dài các cạnh là a, b, c và a1, b1, c1 gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC. Chứng minh rằng
a2 a1 + b2 b1 + c2 c1 6 R2(a+b+c)2 a1b1c1 .
Bài toán 2.53 (VMO 1998). Cho bốn tia Ox, Oy, Oz, Ot trong không gian hợp với nhau những góc bằng nhau
a) Tính góc tại bởi hai tia trong số chúng.
b) Cho Or là tia bất kỳ và α, β, γ, δ là các góc hợp bởi Or và Ox, Oy, Oz, Ot. Chứng
minh rằng ∑
cosα và ∑