Thực tế việc dạy và học ở trường phổ thông hiện nay có những khó khăn và thuận lợi cơ bản sau : Về thuận lợi : Trình độ của giáo viên đã đạt chuẩn và trên chuẩn , được đào tạo chính qui
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
I, CƠ SỞ LÍ LUẬN :
Mục đích của việc dạy và học là trang bị cho người học những kĩ năng cần thiết ,
về tư duy , nhân cách , phẩm chất và đạo đức Đào tạo thế hệ trẻ có đủ phẩm chất đạo đức , năng lực công tác thích ứng với cuộc sống , giáo dục phát triển toàn diện trí -thể - mĩ Đào tạo nguồn nhân lực có đủ chuyên môn nghiệp vụ phục vụ đắc lực cho sự nghiệp công nghiệp hoá - Hiện đại hoá đất nước , phù hợp với sự phát triển kinh tế toàn cầu , thời đại phát triển công nghệ thông tin
Quan điểm của Đảng ta là xác định : Giáo dục là quốc sách hàng đầu Đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho sự phát triển
Thực tế việc dạy và học ở trường phổ thông hiện nay có những khó khăn và thuận lợi cơ bản sau :
Về thuận lợi : Trình độ của giáo viên đã đạt chuẩn và trên chuẩn , được đào tạo chính qui , phong trào học tập được nâng lên rõ rệt , thiết bị dạy học được tăng cường cả về số lượng và chất lượng , đã áp dụng côg nghệ thông tin vào dạy học có hiệu quả
Về khó khăn : Cơ sở vật chất chưa đáp ứng được nhu cầu ngày càng cao của giáo dục phổ thông ,trình độ dân trí chưa đồng đều ở ở một số vùng dân cư
Toán học là môn học rất lâu đời Nó có nhiều ứng dụng trong đời sống và trong các nghành khoa học khác Nhiệm vụ của môn toán trong nhà trường là giáo dục học sinh phát triển tư duy sáng tạo , tư duy lôgic , tư duy trực quan sinh động Rèn luyện người học tính cẩn thận , chính xác cao , giúp người học thấy được cái hay , cái đẹp trong toán học
Trong trường phổ thông , môn toán chiếm một vị trí rất quan trọng , học sinh muốn học tốt các môn tự nhiên khác thì phải học tốt môn toán Là một môn học với khối lượng kiến thức rất nhiều , lại yêu cầu học sinh phải có tư duy logic , sáng tạo Môn toán có nhiều phân môn như Đại số , Giải tích , Hình học Ở trường THPT học sinh được học đầy đủ các phân môn này Mỗi phân môn lại có nhiều chủ đề
Vì vậy để học sinh khắc sâu được kiến thức của từng chủ đề là điều rất quan trọng trong việc dạy và học toán
Theo G Polya, việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu
rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm được Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán là qua đó học sinh nảy sinh lòng say mê, khát vọng giải toán, thu nhận và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận, phát hiện và sáng tạo
Có nhiều cách để tạo hứng thú cho học sinh học toán, cũng có nhiều cách để giúp học sinh khắc sâu kiến thức Sau những bài tập từ cơ bản đến phức tạp để củng cố kiến thức, củng cố các qui trình giải toán ,tôi đưa ra các bài toán có “ bẫy” Học sinh cần phải nắm vững kiến thức mới vượt qua được cái “ bẫy” này
Trong quá trình dạy học , tôi phân lóp thành nhóm và cho các nhóm giải để
Trang 2“ thi” với nhau Tính hiếu kì của độ tuổi sẽ tạo cho các em hăng hái hơn trong giờ học Sau mỗi lần mắc “ bẫy” các em sẽ nhớ về kiến thức đó,dạng toán đó lâu hơn
II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:
Môn toán trong trường phổ thông có vai trò hết sức quan trọng trong việc hình thành tư duy sáng tạo tích cực , tư duy lôgic, tư duy trực quan sinh động Nếu học sinh học tốt môn toán thì cũng sẽ học tốt các môn khác Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giờ học có hiệu quả , hấp dẫn và thuyết phục người học ?
Học sinh trong trường đa phần học theo ban KHTN , yêu cầu về kiến thức của các em phải cao hơn ban Cơ bản và ban KHXH Trong khi kiến thức của các em hổng rất nhiều nên việc tiếp thu kiến thức gặp nhiều khó khăn ;khả năng tư duy phân tích ,phát hiện , sáng tạo để giải một bài toán còn nhiều hạn chế dẫn đến mắc rất nhiều sai xót
Với mục đích rèn luyện cho học sinh thói quen thực hiện thành thạo qui trình giải một bài toán là : hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm được; rèn cho các em thói quen phân tích kĩ lưỡng khi đứng trước một vấn đề , tránh được những thiếu xót , sai lầm Hơn nữa tạo cho học sinh hứng thú , lòng đam mê với toán học Thiết nghĩ cần phải cho các
em giải những bài toán chứa những cái “bẫy” từ rất đơn giản đến phức tạp Thường những cái gì để lại ấn tượng sẽ khó quên hơn
Ở chuyên đề nào , tiết dạy nào cũng có thể đưa ra những bài toán như vậy Ở đề tài này tôi trình bày một số ví dụ ở chuyên đề PT, BPT, HPT, HBPT ở lớp 10
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Trong quá trình giảng dạy ở lớp 10 giảng dạy chính khoá cũng như dạy bồi dưỡng, tôi thường trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông và phương pháp giải toán đại số cho học sinh.Như vậy khi giải bài toán về phương trình hay bất phương trình học sinh có thể tự tin lựa chọn một phương pháp để giải phù hợp
Cùng với những bài toán từ đơn giản đến phức tạp để học sinh củng cố phương pháp giải phương trình và bất phương trình Tôi đưa ra một số bài toán chứa “bẫy”
để học sinh xử lí Sau đây là một số ví dụ
PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 1: Tìm m để PT sau có nghiệm:
(m - 3) x2 – 2(3m - 4)x + 7m – 6 = 0 (1)
Lời bàn: Cái “bẫy” ở đây là (1) chưa phải là một PT bậc hai.Đây là một bài toán dễ
nhưng nếu học sinh không nắm vững kiến thức vẫn bị mắc “ bẫy”và giải như sau :
Lời giải sai :
PT có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ = 2m2 + 3m – 2 ≥ 0 ⇔m≤ − 2 hoặc m
2
1
≥ .
Vậy khi m≤ − 2 hoặc m
2 1
≥ thì PT (1) có nghiệm
Trang 3Lời giải đúng:
Nếu m = 3 thì (1) có dạng - 10x + 15 = 0 ⇔x =
2 3
Nếu m ≠ 3 thì (1) là PT bậc hai có ∆’ = 2m2 + 3m – 2 PT có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ = 2m2 + 3m – 2 ≥ 0 ⇔m≤ − 2 hoặc m
2
1
≥ .
Vậy với m≤ − 2 hoặc m
2
1
≥ hoặc m = 3 thì PT (1) đã cho có nghiệm
trường hợp a = 0.
Ví dụ 2: Giải PT sau : 3 x− 2 + 3 2x− 3 = 1 (2)
Lời bàn : Đây là một bài toán dường như rất quen thuộc đối với học sinh nhưng
trong quá trình biến đổi nó lại chứa cái “bẫy” mà nếu không tỉnh táo học sinh sẽ mắc
Lời giải sai : Lập phương hai vế của PT (2) ta có :
x- 2 + 2x – 3 + 33 (x− 2 )( 2x− 3 )(3 x− 2 + 3 2x− 3) = 1
⇔ 3x – 5 + 33 (x− 2 )( 2x− 3 ) = 1
⇔ 3 (x− 2 )( 2x− 3 ) = 2- x
⇔ (x-2)(2x - 3) = (2- x)3
⇔
=
=
1
2
x x
Vậy PT (2) có hai nghiệm x = 1 và x = 2
Nhận xét : x= 1 không phải là nghiệm của PT (2)
Lời giải đúng: Lập phương hai vế của PT ta có:
x - 2 + 2x – 3 + 33 (x− 2 )( 2x− 3 )(3 x− 2 + 3 2x− 3) = 1
⇒ 3x – 5 + 33 (x− 2 )( 2x− 3 ) = 1
⇔ 3 (x− 2 )( 2x− 3 ) = 2- x
⇔ (x - 2)(2x - 3) = ( 2 - x)3
⇔
=
=
1
2
x x
Thay x = 1 v à x = 2 vào PT (4) được x = 2 thoả mãn
Vậy PT có một nghiệm x = 2
Ví dụ 3: Giải PT sau : x2 − 3x+ 4 + x2 +x+ 1 = 3 − 4x (3)
Lời bàn : Học sinh có thể nhận dạng bài toán này giải bằng phương pháp nhân với
một lượng liên hợp Cái “bẫy”ở đây là biểu thức nhân vào 2 vế là
1 4
2 − x+ − x +x+
x có thể bằng 0 Học sinh nếu không chú ý đến điều này mà nhân 2 vế của PT với x2 − 3x+ 4 − x2 +x+ 1dẫn đến nghiệm ngoại lai
Trang 4Lời giải sai : (3) ⇔(x2 – 3x + 4) - (x2 + x + 1) = ( 3 − 4x)( x2 − 3x+ 4 − x2 +x+ 1) ⇔
= + +
− +
−
=
−
1 1 4
3
0 4 3
2
x x
⇔
+ + +
= +
−
=
1 1 4
3 4 3
2
x x
⇔
+ + + +
+ +
= +
−
=
1 1 2
1 4
3 4 3
2 2
x x
⇔
−
= + +
=
x x
x
x
2 1 1 4 3
2
⇔
=
−
≥
−
=
0 5 3
0 2 1 4 3
2 x x x x
⇔
=
=
≤
=
3
5 0
2 1 4 3
x hoăo x
x x
⇔
=
=
0 4 3
x x
Vậy PT có hai nghiệm x = 0 và x=
4
3
Nhận xét : x =
4
3
không phải là nghiệm của PT (3)
1 4
3
4 3
2
+ + + +
−
−
x x x
x
x
⇔ 1
1 4
3
) 1 (
) 4 3 (
2 2
2 2
= + + + +
−
+ +
− +
−
x x x
x
x x x
x
⇔ x2 − 3x+ 4 − x2 +x+ 1=1
⇔ x2 − 3x+ 4 = x2 +x+ 1 + 1
⇔ x2 − 3x+ 4 =x2 +x+ 1 + 2 x2 +x+ 1 + 1
Trang 5⇔ x2 +x+1=1−2x
⇔
=
−
≥
−
0 5 3
0 2 1
2 x x x
⇔
=
=
≤
3
5 0
2 1
x hoăo x
x
⇔ x = 0
Vậy PT có một nghiệm x = 0
Chú ý : f(x) = g(x)
≠
=
⇔
0 ) (
) ( ).
( ) ( ).
(
x h
x h x g x h x f
Ví dụ 4: Giải PT 2 2 3
9 ( 5)
3
x
x
+
− = +
− (4)
Lời bàn : Ở hai vế của PT đều có nhân tử x+ 3 trong căn và học sinh sẽ định hướng
nhóm nhân tử x+ 3 bằng cách tách A.B = A. Bvà
B
A B
A = .Cái “bẫy” là ở chỗ
này A.B = A. B khi A≥ 0 , B≥ 0và A.B = −A −B khi A< 0 ,B< 0
0 ,
0 >
≥
B
A
B
A
−
−
B
A B
A
.Học sinh nếu không vững kiến thức sẽ giải sai như sau :
Lời giải sai : Điều kiện x≤ -3 hoặc x > 3
pt (4) 2 ( 3)( 3) ( 5) 3
3
x
x
+
−
2 3 3 ( 5) 3
3
x
x x x
x
+
−
3(2 3 5 ) 0
3
x
x x
x
+
−
3 (2( 3) ( 5) 0 3
3 ( 11) 0 3
11
x
x x
x x
x
+
− +
−
Nhận xét : x= - 3 là nghiệm của pt(6) cách giải trên đã làm mất nghiệm x= -3.
Lời giải đúng :
Cách 1: Điều kiện x ≤ -3 hoặc x > 3
Trang 6* Với x > 3, PT (6) 2 ( 3)( 3) ( 5) 3
3
x
x
+
−
2 3 3 ( 5) 3
3
x
x x x
x
+
−
3(2 3 5 ) 0
3
x
x x
x
+
−
3 (2( 3) ( 5) 0 3
3 ( 11) 0 3
11
x
x x
x x
x
+
− +
−
* Với x≤ -3 , PT (6) 2 ( 3)( 3) ( 5) 3
3
x
x
+
−
x
x x
x x
−
−
− +
=
−
−
−
⇔
3
3 )
5 ( 3
3
5 3
3 − =
+
−
−
−
−
⇔
x
x x
(3 ( 5 )) 0
3
3 − − + =
−
−
−
x
x
( 2 2 ) 0
3
3 − − =
−
−
−
x
x
=
−
−
=
−
−
>
−
⇔
0 2 2
0 3
0 3
x x
x
−
=
−
=
<
⇔
1 3 3
x x
x
−
=
−
=
⇔
1
3
x
x
So với x≤ -3 được nghiệm x = - 3
Vậy PT(4) có hai nghiệm x = - 3 và x = 11
Trang 7Chú ý :
ê 0, 0 ê , 0
ê , 0
ê 0, 0
A
n uA B
A Bn uA B A B
A B
B
A Bn uA B A
n uA B B
≥ >
−
Cách 2: PT (4) ⇔
−
+ +
=
−
>
∨
−
≤
≤
−
3
3 ) 5 ( ) 9 ( 4
3 3
5
2 2
x
x x
x
x x
⇔
+ +
= +
−
>
∨
−
≤
≤
−
) 3 ( ) 5 ( ) 3 ( ) 3 ( 4
3 3
5
2
x
x x
⇔
+
−
=
−
+
=
−
= +
>
∨
−
≤
≤
−
) 5 ( ) 3 ( 2
5 )
3 ( 2
0 3
3 3
5
x x
x x
x
x x
⇔
=
=
−
=
>
∨
−
≤
≤
−
3 1 11 3
3 3
5
x x x
x x
⇔
=
−
=
11
3
x x
Vậy PT(4) có hai nghiệm x = - 3 và x = 11
PHẦN 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ví dụ 5 :Tìm m để BPT sau nghiệm đúng với mọi x:
(m + 1) x2 - 2(m - 1) x + 3m – 3 ≥ 0 (5)
Lời bàn: Cái “bẫy” ở đây là (1) chưa phải là một BPT bậc hai.Giống như ví dụ 1
nếu học sinh không nắm vững kiến thức vẫn bị mắc “ bẫy”và giải như sau :
Lời giải sai : BPT nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
≤
− +
−
=
∆
>
+
0 ) 2 (
2 '
0 1
2 m m m
⇔
≥
− +
−
>
0 2
1
2 m m m
⇔
≥
− +
−
>
0 2
1
2 m m m
Trang 8⇔
≥ ∨ − ≤ − > 1 2 1 m m m ⇔ m ≥ 1 Vậy với m ≥ 1 thì BPT nghiệm đúng với mọi x Lời giải đúng: - Nếu m = -1 thì (1) có dạng 4x - 6 ≥ 0 ⇔x ≥ 2 3 Nếu m ≠ -1 thì (1) là BPT bậc hai có ∆’ = - 2(m2 + m – 2) BPT nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi ≤ − + − = ∆ > + 0 ) 2 ( 2 ' 0 1 2 m m m ⇔
≥ − + − > 0 2 1 2 m m m ⇔
≥ − + − > 0 2 1 2 m m m ⇔
≥ ∨ − ≤ − > 1 2 1 m m m ⇔ m ≥ 1 Vậy với m ≥ 1 thì BPT nghiệm đúng với mọi x Chú ý: Khi xét BPT ax 2 + bx + c > 0 hoặc ax 2 + bx + c ≥ 0 hoặc ax 2 + bx + c < 0 hoặc ax 2 + bx + c ≤ 0 mà hệ số a chứa tham số cần phải lưu ý đến trường hợp
a = 0. Ví dụ 6: Giải BPT : (x - 3)(x - 2)2 ≥ 0 (6)
Lời bàn : Cái “ bẫy” ở đây là khi x = 2 thì với mọi giá trị của ( x – 3) BPT (2) vẫn đúng Một số học sinh sẽ “nhanh nhảu” giải bài toán như sau : Lời giải sai : Do (x - 2)2 ≥ 0 nên BPT (6) ⇔x - 3 ≥ 0⇔x ≥ 3 Lời giải đúng : Cách 1: BPT (6) ≥ − = − ⇔ 0 3 0 2 x x ≥ = ⇔ 3 2 x x Vậy tập nghiệm của BPT là T = { }2 ∪ [ 3 ; +∞ ). Cách 2: Học sinh có thể lập bảng xét dấu x -∞ 2 3 +∞
x-3 - - 0 +
(x-2)2 + 0 + +
(x-3)(x-2)2 - 0 - 0 +
Vậy tập nghiệm của BPT là T = { }2 ∪ [ 3 ; +∞ ).
Chú ý : A B2n ≥ 0
≥
=
⇔
0
0
A B
Trang 9Ví dụ 7: Giải BPT (x - 1)2.(x +2) > 0 (7)
Lời bàn : Cái “bẫy” của bài toán này là khi x = 1 thì x + 2 > 0 nhưng BPT không
thoả mãn Học sinh không phân tích kĩ sẽ giải sai như sau :
Lời giải sai : (x - 1)2.(x +2) > 0
⇔ (x + 2) > 0
⇔ x > - 2
Vậy tập nghiệm của BPT là T = (− 2 ; +∞)
Lời giải đúng : (x-1)2.(x+2) > 0
>
+
≠
−
⇔
0 2
0 1
x x
−
>
≠
⇔
2
1
x x
Vậy tập nghiệm của BPT là T = (− 2 ; 1)∪ ( 1 ; +∞ )
Chú ý : A B2n > 0
>
≠
⇔
0
0
A B
Ví dụ 8: Giải BPT (x2 − 3x) 2x2 − 3x− 2 ≥ 0 (8)
Lời bàn : Cái “ bẫy” ở đây là khi 2x2 – 3x -2 = 0 thì với mọi giá trị của ( x2 – 3x) BPT (8) vẫn đúng.Do đó học sinh sẽ giải bài toán sai như sau:
Lời giải sai : BPT (8)
≥
−
−
≥
−
⇔
0 2 3 2
0 3
2
2
x x
x x
≥
∨
−
≤
≥
∨
≤
⇔
2 2
1
3 0
x x
x x
≥
−
≤
⇔
3 2 1
x x
Lời giải đúng :
Cách 1: (8)
≥
−
≤
=
⇔
≥
∨
≤
>
∨
−
<
=
∨
−
=
⇔
≥
−
>
−
−
=
−
−
⇔
3 2 1 2
3 0
2 2
1
2 2
1
0 3
0 2 3 2
0 2 3 2
2 2 2
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
Vậy tập nghiệm của BPT là T = ∪{ }∪[ +∞)
−∞− 2 3;
2
1
Cách 2: BPT xác định với mọi x ∪[ +∞)
−∞−
2
1
;
Có thể xét dấu :
x
-2
1
0 2 3
2
3
2x2 − x− + 0 0 + +
x2 – 3x + 0 - 0 +
Vế Trái (3) + 0 0 0 - 0 +
Trang 10Vậy tập nghiệm của BPT là T = ∪{ }∪[ +∞)
−∞− 2 3;
2
1
;
Chú ý: A 2n B ≥ 0
≥
>
=
⇔
0 0 0
A B B
Ví dụ 9: Giải các BPT sau :
1) 1 1
x ≥ x
+ − (9)
2)
1 1 3 2 1 − ≤ − x x (10)
Lời bàn: Do thói quen so sánh hai số tự nhiên và nghịch đảo của chúng nên học sinh thường biến đổi A B B A > 1 ⇔ < 1 Bài toán này “bẫy” học sinh ở điểm đó Lời giải sai : 1) Bpt(9) 3 3 ( 3)(4 6) 0 3; 3; 3 2 2 3 4 6 3 9 3 x x x x x x x x x x x + − ≠ ≠ − ≠ ≠ − ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ + ≤ − ≥ ≥
Vậy tập nghiệm của BPT là T = [3 ; +∞) 2) BPT (10) − ≥ − > − > − ⇔ − ≥ − > − ≠ − ⇔ 1 ) 3 2 ( 0 3 2 0 1 1 3 2 0 1 0 3 2 2 x x x x x x x x ≥ + − > ⇔ 0 10 13 4 2 3 2 x x x
≥ ∨ ≤ > ⇔ 2 4 5 2 3 x x x ⇔ x≥ 2 Vây tập nghiệm của BPT (10) là T = [2 ; +∞) Lời giải đúng: 1)Điều kiện ≠ − ≠ 2 3 3 x x
Bpt(9) 1 1 0 4 6 ( 3) 0 3( 3) 0 3 4 6 ( 3)(4 6) ( 3)(4 6) x x x x x x x x x − − + − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ + − + − + − Lập bảng xét dấu: x -∞ -3 3/2 3 +∞
x-3 - - - 0 +
x+3 - 0 + + +
4x-6 - - 0 + +
VT - + - 0 +
Trang 11Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là:
T =(-3;3/2)∪[3;+∞)
2) Điều kiện :
>
−
≠
−
0 1
0 3 2
x
x
2
3
1 < ≠
*Trường hợp 1: 1 < x
2
3
< BPT (10) luôn đúng
* Trường hợp 2:
2
3
>
x Khi đó cả 2x-3 và x− 1 đều dương nên ta có : BPT (10) ⇔ 2x− 3 ≥ x− 1
⇔ ( 2x− 3 ) 2 ≥x− 1
⇔4x2 – 13x + 10 ≥ 0
2
4
5 ∨ ≥
≤
Kết hợp với
2
3
>
x được nghiệm x≥ 2 Vậy BPT có tập nghiệm T = ∪[ +∞)
2
3
; 1
) (
1 ) (
1 > ⇔ f x g x g x − f x >
x g x f
Ví dụ 10: Giải BPT : x2 +x− 2 + x2 + 2x− 3 ≤ x2 + 4x− 5 (11)
Lời bàn: Giống như ví dụ 4 , ở hai vế của BPT(11) đều có nhân tử x- 1 trong căn
và học sinh sẽ định hướng nhóm nhân tử x− 1 bằng cách tách A.B = A. B.Cái
“bẫy” là ở chỗ này A.B = A. B khi A≥ 0 , B≥ 0và A.B = −A −B khi A< 0 , B< 0
.Học sinh nếu không vững kiến thức sẽ giải sai như sau :
Lời giải sai : Điều kiện :
≥
− +
≥
− +
≥
− +
0 5 4
0 3 2
0 2
2 2 2
x x
x x
x x
⇔
≥
∨
−
≤
≥
∨
−
≤
≥
∨
−
≤
1 5
1 3
1 2
x x
x x
x x
−
≤
≥
⇔
5
1
x x
BPT (11)⇔ (x− 1 )(x+ 2 ) + (x− 1 )(x+ 3 ) ≤ (x− 1 )(x+ 5 )
⇔ x− 1 x+ 2 + x− 1 x+ 3 ≤ x− 1 x+ 5
⇔ x+ 2 + x+ 3 ≤ x+ 5
⇔ 2x+ 5 + 2 x+ 2 x+ 3 ≤x+ 5
⇔ 2 x+ 2 x+ 3 ≤ −x
≤ + +
≤
) 3 )(
2 ( 4
0
x x
x x
≤ + +
≤
⇔
0 24 20 3
0
2 x x
x