Phép nghịch đảo trong hình học phẳng_SKKN toán THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN ---₪₪---SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC PHẲNG GV.PHẠM ĐỨC MINH TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN

-₪₪ -SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI :

PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

GV.PHẠM ĐỨC MINH

TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN

LỜI MỞ ĐẦU

1) Mục đích : Cung cấp thêm một công cụ khá mạnh để giải bài toán hình học phẳng

2) Các ví dụ minh họa

3) Phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện

Hy vọng với một số ví dụ và một lượng bài tập vừa đủ sẽ có tác dụng tốt cho các em học sinh Việc tìm tòi các dạng toán có thể dùng phép nghịch đảo là một công việc đòi hỏi sự say mê chịu khó và một tinh thần ham học

Trong khi trình bày đề tài, chắc chắn không thể không thiếu xót,rất mong

sự đóng góp của các Thầy Cô để bài viết được hoàn chỉnh hơn

Xin chân thành cảm ơn

GV PHẠM ĐỨC MINH

PHÉP NGH CH Đ O ỊCH ĐẢO ẢO

1) Các định nghĩa :

a) Góc giữa đường thẳng và đường tròn : góc giữa đường thẳng d và đường tròn (O) là góc giữa d và tiếp tuyến của (O) tại giao điểm M của (O) và d

Khi d và (O) không có điểm chung hoặc d là tiếp tuyến của (O) thì góc giữa d và (O) bằng 0

b) Góc giữa hai đường tròn :

Cho hai đường tròn (O) và (O’).Góc giữa hai đường tròn (O) và (O’) là góc giữa hai tiếp tuyến tại giao điểm của (O) và (O’)

Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì góc giữa chúng bằng 0

c) Hai đường tròn (O) và (O’) gọi là trực giao nếu hai tiếp tuyến tại điểm chung vuông góc nhau

* OO’ 2 = R 2 + R’ 2

* P O /(O’) = R 2 ; P O’ /(O ) = R ’2

* (ABCD) = – 1

O

O’

M

A

B C

D

d

d





d d’



II ) PHÉP NGHỊCH ĐẢO :

Phép nghịch đảo cực O, phương tích k, ký hiệu : f = NkO

k

O

N : M M ' OM.OM ' k

2) Tính chất :

* N (M) M 'ko   N (M ') Mko  Ta ghi : N : Mko  M '

* N (N (M)) Mko ko  nên Nko Nko là phép đồng nhất

* Đường tròn nghịch đảo :Xét N : Mko  M'

Nếu k > 0 thì M và M’ nằm cùng phía với O Khi đó k    

o

N : O; k  O; k

Đường tròn (O; k ) gọi là đường tròn nghịch đảo qua N : nó là tập hợp những ko điểm bất động của phép nghịch đảo

Chứng minh : Lấy điểm M trên (O; k)

k

o

N : M M' OM.OM' k  OM' k  M ' O; k

* Phép nghịch đảo N biến đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo ko thành chính nó

Chứng minh : Xét đường tròn nghịch đảo (O; k ) và đường tròn (O’) trực giao với (O) M là điểm tùy ý trên (O’) và k

o

N : M  M ' OM.OM ' k

Giả sử OM cắt (O’) tại M’’ Ta có:PO/ (O’) =OM.OM '' k 2  k OM.OM'

M ' M ''

*

k

o

N : A A '

B B'



OA.OB



M

M’

k

MM’

O

PHÉP NGH CH Đ O ỊCH ĐẢO ẢO

Chứng minh:

* Nếu O,A,B không thẳng hàng : do OA.OA' OB.OB' k  nên A,A’,B,B’ đồng viên

k

* Nếu O, A, B thằng hàng : do

OA.OA' OB.OB'  (OB BA)(OB' B'A') OB.OB'  

OB.B'A ' OB'.BA BA.B'A ' 0 B'A ' OB BA OB'.AB

OA.OB

Chú ý :Khẳng định N : ABkO  A'B' là sai

3)Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo :

a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo là

chính nó

(d) qua O  N : dko  d

Chứng minh :Lấy điểm M tùy ý trên (d) và

k

O

M ' N (M)  OM.OM ' k  O,M,M 'thẳng hàng  M ' (d)

b)Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo

là đường tròn qua cực nghịch đảo

(d) không qua O  N : dko  (C)qua O

Chứng minh :Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên (d) và k

O

A' N (A) Lấy điểm M tùy ý trên (d) và k

O

M ' N (M)  OM.OM' k OA.OA'  

bốn điểm M, M’, A, A’ đồng viên  MAA ' MM'A ' 90   0  M 'thuộc đường tròn đường kính OA’

Cách xác định tâm của đường tròn (C) :

O

A

A’

B

B’

O

O

M

M’

O’

O 1

A M

M’

Gọi O’ là tâm của (C), suy ra O’ là trung điểm của OA’ O1 là điểm đối xứng của O qua (d) Ta có : OO OO' 2OA OA' OA.OA ' k1 1 O' N (O )kO 1

2

4) Ảnh của một đường tròn qua phép nghịch đảo :

a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn đi qua cực nghịch đảo là đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo và tâm của đường tròn đã cho

(C) qua O  N : (C)ko  không qua O và dd OO1

Chứng minh : Gọi A là điểm đối xứng với O qua tâm O1 và B là ảnh của A qua NkO

M là điểm tùy ý trên (C) và N = N (M).Ta có :kO OM.ON k OA.OB   bốn điểm A,B,M,Nđồng viên  AMN ABN 90   0 N thuộcđường thẳng d qua B

và vuông góc với OA

b) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn không đi qua cực nghịch đảo là đường tròn không đi qua cực nghịch đảo

(C)(I;R) không qua O k

o

N : (C) (C')(I';R ')

Chứng minh : Lấy điểm M tùy ý trên (C), OM cắt (C) tại N

Ta có :O/(C) OM.ON p

Suy ra ảnh của (C) qua N là chính (C).pO

Gọi M’ là ảnh của M qua NkO

suy ra M’ là ảnh của N qua phép vị tự kp

O

V Đảo lại nếu M’ là ảnh của N qua kp

O

V thì

    suy ra M’ là ảnh của M qua N kO Vậy ảnh (C’) của (C) qua N là ảnh của (C) qua kO kp

O

V với p = O C/( ) là đường tròn

5)Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa đường thẳng và đường tròn; góc giữa hai đường tròn.

OM ' k OM.OM ' k

p ON

O 1

M N

B d

O

N’

M’

N

(C)

(C’)

M

PHÉP NGH CH Đ O ỊCH ĐẢO ẢO

III.Các ví dụ :

1) Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A nằm ngoài (O), AB cắt (O) tại C’

AC cắt (O) tại B’, BB’ cắt CC’ tại H Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (O) ( M, N

là tiếp điểm ) Chứng minh : M, N, H thẳng hàng

Giải:Hiển nhiên H là trực tâm tam giác ABC

Ta có : AM2 = AN2 = AB.AC' AB'.AC AH.AK k  

k

A

N : K H;M ; N N

mà K, M,N thuộc đường tròn đường kính OA

 (KMN) qua cực A k

A

N : (KMN)

Vậy : H,M,N thẳng hàng

2)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Gọi B’,C’lần lượt là hình chiếu của B và C lên AC, AB Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại A song song với B’C’ và AO vuông góc với B’C’.

Giải :

Hiển nhiên bốn điểm B,C, B’,C’ đồng viên nên AB.AC' AB'.AC k 

k

A

N : B' C;C' B

    NkAbiến đường tròn (ABC)  (O) thành đường thẳng B’C’.Theo tính chất B’C’ vuông góc với OA

Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A suy ra d cũng vuông góc với OA nên d // B’C’

A

H H C’

O

B’

N M

B C’

d

A

C B’

O

3) Cho đường tròn (O) đường kính AB có I là điểm cố định thuộc đoạn AB ( IA,B) Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt (O) tại P, Q ( dAB) AP, AQ cắt tiếp tuyến của (O) tại B lần lượt tại M, N Chứng minh đường tròn (AMN) đi qua điểm cố định và tâm của (AMN) nằm trên một đường thẳng cố định.

Giải :

Tam giác vuông ABM, ABN có BP, BQlà đường cao : AB2 = AP.AM AQ.AN k 

k

A

   , suy ra đường thẳng PQ không qua cực A biến thành đường tròn (AMN) mà PQ qua I cố định nên (AMN) qua I’ = N (I) cố định.kA

* Do (AMN) qua A và I’ cố định nên tâm của (AMN) nằm trên đường trung trực của AI’ cố định

4) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường cao BD, CE.P là giao điểm của DE và AM.Biết 3

2

BC

AM Chứng minh P là trung điểm AM.

Giải :Gọi N là giao điểm của AM và đường tròn (ABC)

A

AE.AB AD.AC k    N : B  E;C  D

 (ABC) biến thành đường thẳng DE  k

A

N : N  P  AN.AP k 

*M ABC/( ) =

2

*B,E,D,C nội tiếp đường tròn tâm M

A/(M)

2

4

AP(AM MN) AM

BC 3 1

    P là trung điểm của AM

N Q

I

A

E

M D P

PHÉP NGH CH Đ O ỊCH ĐẢO ẢO

5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O 1 ).Đường tròn (O) qua A, C cắt AB,

AC lần lượt tại K, N Giả sử (ABC) và (KBN) cắt nhau tại B, M.

Chứng minh : OMB 900

Giải:

Gọi (O2) là đường tròn (KBN)

Ta có : PB /(O) = BK.BA BN.BC k 

k

B













 (ABC) biến thành NK mà BO1(O1) nên BO1NK

có OO2KN nên BO1//OO2(1)

k

B

(BNK) AC

N :









 mà BO2(O2) nên BO2AC,

có OO1AC nên BO2 // OO1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra BO1OO2 là hình bình hành.Gọi I là tâm BO1OO2 suy ra I là trung điểm O1O2 mà O1O2BM nênOMBM hay OMB 90  0

6)Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó Đường tròn (AC) và (BD) cắt nhau tại X,Y.Đường thẳng XY cắt BC tại Z.P là điểm trên đường thẳng XY khác với Z CP cắt (AC) tại C và M BP cắt (BD) tại B và N.Chứng minh : AM,

DN, XY đồng qui.

Giải : Gọi O1 và O2 lần lượt là tâm của (AC) và (BD)

Ta có XY là trục đẳng phương của (O1) và (O2)  P o/( )1 P O/( 2)

PX.PY PM.PC PN.PB k







 



AM (PA'C)

ND (PD'B)







 với A ' N (A) kP và D' N (D) kP Để chứng minh AM,ND, XY đồng qui ta chứng minh XY là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD’B)

* Ta có : A,A’,C,M đồng viên nên PA'C 90 0 PZC  Z (PA'C)

A

M K

N

O

O2

O1

D,D’,B,N đồng viên nên PD'B 90 0 PZB  Z (PD'B)

 PZ là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD”B)

hay XY là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD”B) hay AM,DN,XY đồng qui

Các bài tập luyện tập :

7) Cho đường tròn (O) và hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại điểm P

cố định ở trong đường tròn (O) H là chân đường vuông góc kẻ từ P đến AB a.Chứng minh : PH đi qua trung điểm của A’B’ và PH.PI không đổi.

b Đường tròn (C) qua A,P và tiếp xúc với (O) tại A;

Đường tròn (C’) qua A’,P và tiếp xúc với (O) tại A’.(C) cắt (C’) tại M.Tìm tập hợp điểm M.

8) Cho ba đường tròn (C),(C 1 ),(C 2 ) trong đó (C 1 ),(C 2 ) tiếp xúc trong với (C) tại

B và (C 1 ),(C 2 ) tiếp xúc ngoài tại D.Tiếp tuyến chung trong của (C 1 ),(C 2 )cắt (C) tại A và E Đường thẳng AB cắt (C 1 ) tại điểm thứ hai là M, đường thẳng AC cắt (C 2 ) tại điểm thứ hai là N Chứng minh : 1  1  2

9) Cho bốn đường tròn phân biệt (C i ) i=1,2,3,4 Hai đường tròn (C 1 ),(C 3 ) tiếp xúc ngoài nhau tại P và hai đường tròn (C 2 ),(C 4 ) tiếp xúc ngoài nhau cũng tại P Gọi A,B,C,D là giao điểm thứ hai của (C 1 ),(C 2 ); (C 2 ),(C 3 ); (C 3 ),(C 4 );(C 4 ),(C 1 ) Chứng minh :

2 2

AB.BC PB AD.DC PD

10) Cho đườngtròn (O;R)tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm H cố định M,N là

hai điểm di động trên d sao cho HM HN. k ( k > 0 không đổi ) Từ M, N vẽ hai tiếp tuyến MA,NB với (O) (A, B là tiếp điểm khác H)

a) Chứng minh (OMN) qua hai điểm cố định.

b) Chứng minh AB qua điểm cố định.

X

Y

P M

N

A’

O1