Phép Nghịch đảo trong hình học phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN ₪₪ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI : PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC PHẲNG GV.PHẠM ĐỨC MINH TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN Năm học : 2013- 2014 LỜI MỞ ĐẦU 1) Mục đích : Cung cấp thêm một công cụ khá mạnh để giải bài toán hình học phẳng 2) Các ví dụ minh họa. 3) Phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện. Hy vọng với một số ví dụ và một lượng bài tập vừa đủ sẽ có tác dụng tốt cho các em học sinh. Việc tìm tòi các dạng toán có thể dùng phép nghịch đảo là một công việc đòi hỏi sự say mê chịu khó và một tinh thần ham học. Trong khi trình bày đề tài, chắc chắn không thể không thiếu xót,rất mong sự đóng góp của các Thầy Cô để bài viết được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn GV. PHẠM ĐỨC MINH PHÉP NGHỊCH ĐẢO 1) Các định nghĩa : a) Góc giữa đường thẳng và đường tròn : góc giữa đường thẳng d và đường tròn (O) là góc giữa d và tiếp tuyến ∆ của (O) tại giao điểm M của (O) và d. Khi d và (O) không có điểm chung hoặc d là tiếp tuyến của (O) thì góc giữa d và (O) bằng 0 b) Góc giữa hai đường tròn : Cho hai đường tròn (O) và (O’).Góc giữa hai đường tròn (O) và (O’) là góc giữa hai tiếp tuyến tại giao điểm của (O) và (O’). Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì góc giữa chúng bằng 0. c) Hai đường tròn (O) và (O’) gọi là trực giao nếu hai tiếp tuyến tại điểm chung vuông góc nhau * OO’ 2 = R 2 + R’ 2 * P O /(O’) = R 2 ; P O’ /(O ) = R ’2 * (ABCD) = – 1 GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 1 O O’ M A B C D d d ∆ α d d’ α PHÉP NGHỊCH ĐẢO II ) PHÉP NGHỊCH ĐẢO : 1) Định nghĩa :Cho điểm O cố định và số thực k 0≠ . Phép nghịch đảo cực O, phương tích k, ký hiệu : f = k O N k O N : M M' OM.OM' k ⇔ = a 2) Tính chất : * k k o o N (M) M' N (M') M = ⇔ = . Ta ghi : k o N : M M' ↔ * k k o o N (N (M)) M = nên k k o o N No là phép đồng nhất. * Đường tròn nghịch đảo :Xét k o N : M M'a Nếu k > 0 thì M và M’ nằm cùng phía với O. Khi đó ( ) ( ) k o N : O; k O; ka Đường tròn (O; k ) gọi là đường tròn nghịch đảo qua k o N : nó là tập hợp những điểm bất động của phép nghịch đảo. Chứng minh : Lấy điểm M trên (O; k ) ( ) k o N : M M' OM.OM' k OM' k M' O; k ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈ a * Phép nghịch đảo k o N biến đường tròn trực giao với đường tròn nghịch đảo thành chính nó. Chứng minh : Xét đường tròn nghịch đảo (O; k ) và đường tròn (O’) trực giao với (O). M là điểm tùy ý trên (O’) và k o N :M M' OM.OM' k ⇔ = a Giả sử OM cắt (O’) tại M’’. Ta có:P O/ (O’) = ( ) 2 OM.OM'' k k OM.OM' = = = M' M''⇒ ≡ (đpcm) * k o N : A A' B B' a a thì k A'B' AB OA.OB = GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 2 O O’ M M’ k MM’ O PHÉP NGHỊCH ĐẢO Chứng minh: * Nếu O,A,B không thẳng hàng : do OA.OA' OB.OB' k = = nên A,A’,B,B’ đồng viên k A'B' OA' OA' OA.OA' OAB OB'A' A'B' AB AB AB AB OB OB OA.OB OA.OB ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = = = : * Nếu O, A, B thằng hàng : do OA.OA' OB.OB' (OB BA)(OB' B'A') OB.OB' = ⇔ + + = ( ) OB.B'A' OB'.BA BA.B'A' 0 B'A'. OB BA OB'.AB ⇔ + + = ⇔ + = OB'.AB OB.OB' k A'B' AB .AB OA OA.OB OA.OB ⇔ = − = − = − k A'B' AB OA.OB ⇒ = Chú ý :Khẳng định k O N : AB A'B'a là sai. 3)Ảnh của một đường thẳng qua phép nghịch đảo : a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng đi qua cực nghịch đảo là chính nó. (d) qua O k o N :d d ⇒ a Chứng minh :Lấy điểm M tùy ý trên (d) và k O M' N (M) OM.OM' k O,M,M' = ⇒ = ⇒ thẳng hàng M' (d) ⇒ ∈ b)Qua phép nghịch đảo, ảnh của một đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo là đường tròn qua cực nghịch đảo (d) không qua O k o N :d (C) ⇒ a qua O. Chứng minh :Gọi A là hình chiếu vuông góc của O lên (d) và k O A' N (A) = Lấy điểm M tùy ý trên (d) và k O M' N (M) OM.OM' k OA.OA' = ⇒ = = ⇒ bốn điểm M, M’, A, A’ đồng viên · · 0 MAA' MM'A' 90 M' ⇒ = = ⇒ thuộc đường tròn đường kính OA’. ( k > 0) (k < 0) Cách xác định tâm của đường tròn (C) : GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 3 O A A’ B B’ O O M M’ d A BA’ B’ O A A’ M M’ O’ O 1 O A’ A M M’ O 1 O’ PHÉP NGHỊCH ĐẢO Gọi O’ là tâm của (C), suy ra O’ là trung điểm của OA’. O 1 là điểm đối xứng của O qua (d). Ta có : k 1 O 1 1 OO .OO' 2OA. OA' OA.OA' k O' N (O ) 2 = = = ⇒ = 4) Ảnh của một đường tròn qua phép nghịch đảo : a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn đi qua cực nghịch đảo là đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo và tâm của đường tròn đã cho. (C) qua O k o N : (C) d ⇒ a không qua O và d 1 OO ⊥ Chứng minh : Gọi A là điểm đối xứng với O qua tâm O 1 và B là ảnh của A qua k O N M là điểm tùy ý trên (C) và N = k O N (M).Ta có : OM.ON k OA.OB = = ⇒ bốn điểm A,B,M,Nđồng viên · · 0 AMN ABN 90 ⇒ = = ⇒ N thuộcđường thẳng d qua B và vuông góc với OA. b) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn không đi qua cực nghịch đảo là đường tròn không đi qua cực nghịch đảo. (C)(I;R) không qua O k o N : (C) (C')(I';R ') ⇒ a không qua O Chứng minh : Lấy điểm M tùy ý trên (C), OM cắt (C) tại N. Ta có : O/(C) OM.ON p ℘ = = Suy ra ảnh của (C) qua p O N là chính (C). Gọi M’ là ảnh của M qua k O N suy ra M’ là ảnh của N qua phép vị tự k p O V . Đảo lại nếu M’ là ảnh của N qua k p O V thì k k OM' ON OM.OM' OM. ON k p p = ⇒ = = suy ra M’ là ảnh của M qua k O N . Vậy ảnh (C’) của (C) qua k O N là ảnh của (C) qua k p O V với p = /( )O C ℘ là đường tròn 5)Phép nghịch đảo bảo toàn góc giữa đường thẳng và đường tròn; góc giữa hai đường tròn. GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 4 OM' k OM.OM' k p ON ⇒ = ⇒ = O A O 1 M N B d O N’ I I’ M’ N (C) (C’) M PHÉP NGHỊCH ĐẢO III.Các ví dụ : 1) Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A nằm ngoài (O), AB cắt (O) tại C’ AC cắt (O) tại B’, BB’ cắt CC’ tại H. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến (O) ( M, N là tiếp điểm ). Chứng minh : M, N, H thẳng hàng. Giải:Hiển nhiên H là trực tâm tam giác ABC Ta có : AM 2 = AN 2 = AB.AC' AB'.AC AH.AK k = = = k A N :K H;M ;N N ⇒ ↔ ↔ ↔ mà K, M,N thuộc đường tròn đường kính OA ⇒ (KMN) qua cực A k A N :(KMN) ⇒ ↔ đường thẳng HMN Vậy : H,M,N thẳng hàng. 2)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).Gọi B’,C’lần lượt là hình chiếu của B và C lên AC, AB. Chứng minh rằng tiếp tuyến của (O) tại A song song với B’C’ và AO vuông góc với B’C’. Giải : Hiển nhiên bốn điểm B,C, B’,C’ đồng viên nên AB.AC' AB'.AC k = = k A N :B' C;C' B ⇒ ↔ ↔ k A N ⇒ biến đường tròn (ABC) ≡ (O) thành đường thẳng B’C’.Theo tính chất B’C’ vuông góc với OA Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A suy ra d cũng vuông góc với OA nên d // B’C’. GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 5 A B C K H H C’ O B’ N M B C’ d A C B’ O PHÉP NGHỊCH ĐẢO 3) Cho đường tròn (O) đường kính AB có I là điểm cố định thuộc đoạn AB ( I ≠ A,B) Một đường thẳng d thay đổi qua I cắt (O) tại P, Q ( d ≠ AB). AP, AQ cắt tiếp tuyến của (O) tại B lần lượt tại M, N. Chứng minh đường tròn (AMN) đi qua điểm cố định và tâm của (AMN) nằm trên một đường thẳng cố định. Giải : Tam giác vuông ABM, ABN có BP, BQlà đường cao : AB 2 = AP.AM AQ.AN k = = k A N : P M;Q N⇒ ↔ ↔ , suy ra đường thẳng PQ không qua cực A biến thành đường tròn (AMN) mà PQ qua I cố định nên (AMN) qua I’ = k A N (I) cố định. * Do (AMN) qua A và I’ cố định nên tâm của (AMN) nằm trên đường trung trực của AI’ cố định. 4) Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường cao BD, CE.P là giao điểm của DE và AM.Biết 3 2 = BC AM . Chứng minh P là trung điểm AM. Giải :Gọi N là giao điểm của AM và đường tròn (ABC). * B,E,D,C đồng viên nên k A AE.AB AD.AC k N : B E;C D = = ⇒ ↔ ↔ ⇒ (ABC) biến thành đường thẳng DE ⇒ k A N : N P AN.AP k ↔ ⇒ = * /( )M ABC ℘ = 2 BC BC 3 BC MB.MC MA.MN .MN MN 4 2 2 3 = ⇒ = ⇒ = *B,E,D,C nội tiếp đường tròn tâm M A/(M) ⇒℘ = 2 2 BC AM AE.AB k AN.AP 4 − = = = 2 2 2 BC BC AP(AM MN) AM 4 2 ⇒ + = − = BC 3 1 AP AM 4 2 ⇒ = = ⇒ P là trung điểm của AM. GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 6 A B N Q P M I A B C E M D N P PHÉP NGHỊCH ĐẢO 5) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O 1 ).Đường tròn (O) qua A, C cắt AB, AC lần lượt tại K, N. Giả sử (ABC) và (KBN) cắt nhau tại B, M. Chứng minh : · 0 90 = OMB Giải: Gọi (O 2 ) là đường tròn (KBN) Ta có : P B /(O) = BK.BA BN.BC k = = k B 1 1 A K N : C N BO BO ↔   ↔   ↔  ⇒ (ABC) biến thành NK mà BO 1 ⊥ (O 1 ) nên BO 1 ⊥ NK có OO 2 ⊥ KN nên BO 1 //OO 2 (1) k B 2 2 (BNK) AC N : BO BO ↔   ↔  mà BO 2 ⊥ (O 2 ) nên BO 2 ⊥ AC, có OO 1 ⊥ AC nên BO 2 // OO 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra BO 1 OO 2 là hình bình hành.Gọi I là tâm BO 1 OO 2 suy ra I là trung điểm O 1 O 2 mà O 1 O 2 ⊥ BM nênOM ⊥ BM hay · 0 OMB 90 = 6)Cho bốn điểm A,B,C,D thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn (AC) và (BD) cắt nhau tại X,Y.Đường thẳng XY cắt BC tại Z.P là điểm trên đường thẳng XY khác với Z. CP cắt (AC) tại C và M. BP cắt (BD) tại B và N.Chứng minh : AM, DN, XY đồng qui. Giải : Gọi O 1 và O 2 lần lượt là tâm của (AC) và (BD). Ta có XY là trục đẳng phương của (O 1 ) và (O 2 ) ⇒ 2 1 /( ) /( )P o P O ℘ =℘ PX.PY PM.PC PN.PB k ⇒ = = = k P X Y N : C M B N ↔   ⇒ ↔   ↔  AM (PA'C) ND (PD'B) XY XY ↔   ⇒ ↔   ↔  với k P A' N (A) = và k P D' N (D)= . Để chứng minh AM,ND, XY đồng qui ta chứng minh XY là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD’B). * Ta có : A,A’,C,M đồng viên nên · · 0 PA'C 90 PZC Z (PA'C) = = ⇒ ∈ GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 7 A M K N B C O O 2 O 1 PHÉP NGHỊCH ĐẢO D,D’,B,N đồng viên nên · · 0 PD'B 90 PZB Z (PD'B) = = ⇒ ∈ ⇒ PZ là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD”B) hay XY là trục đẳng phương của (PA’C) và (PD”B) hay AM,DN,XY đồng qui. Các bài tập luyện tập : 7) Cho đường tròn (O) và hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau tại điểm P cố định ở trong đường tròn (O). H là chân đường vuông góc kẻ từ P đến AB. a.Chứng minh : PH đi qua trung điểm của A’B’ và PH.PI không đổi. b. Đường tròn (C) qua A,P và tiếp xúc với (O) tại A; Đường tròn (C’) qua A’,P và tiếp xúc với (O) tại A’.(C) cắt (C’) tại M.Tìm tập hợp điểm M. 8) Cho ba đường tròn (C),(C 1 ),(C 2 ) trong đó (C 1 ),(C 2 ) tiếp xúc trong với (C) tại B và (C 1 ),(C 2 ) tiếp xúc ngoài tại D.Tiếp tuyến chung trong của (C 1 ),(C 2 )cắt (C) tại A và E. Đường thẳng AB cắt (C 1 ) tại điểm thứ hai là M, đường thẳng AC cắt (C 2 ) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh : 1 1 2 + = DA DE MN 9) Cho bốn đường tròn phân biệt (C i ) i=1,2,3,4. Hai đường tròn (C 1 ),(C 3 ) tiếp xúc ngoài nhau tại P và hai đường tròn (C 2 ),(C 4 ) tiếp xúc ngoài nhau cũng tại P. Gọi A,B,C,D là giao điểm thứ hai của (C 1 ),(C 2 ); (C 2 ),(C 3 ); (C 3 ),(C 4 );(C 4 ),(C 1 ). Chứng minh : 2 2 AB.BC PB AD.DC PD = 10) Cho đườngtròn (O;R)tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm H cố định. M,N là hai điểm di động trên d sao cho . = − HM HN k ( k > 0 không đổi ). Từ M, N vẽ hai tiếp tuyến MA,NB với (O) (A, B là tiếp điểm khác H) a) Chứng minh (OMN) qua hai điểm cố định. b) Chứng minh AB qua điểm cố định. GV. PHẠM ĐỨC MINH Trang 8 A B C D X Y P M N A’ Z O 2 O 1 . đường tròn qua phép nghịch đảo : a) Qua phép nghịch đảo, ảnh của đường tròn đi qua cực nghịch đảo là đường thẳng không đi qua cực nghịch đảo và vuông góc với đường thẳng nối cực nghịch đảo và tâm. MINH Trang 1 O O’ M A B C D d d ∆ α d d’ α PHÉP NGHỊCH ĐẢO II ) PHÉP NGHỊCH ĐẢO : 1) Định nghĩa :Cho điểm O cố định và số thực k 0≠ . Phép nghịch đảo cực O, phương tích k, ký hiệu : f = k O N k O N. : PHÉP NGHỊCH ĐẢO TRONG HÌNH HỌC PHẲNG GV.PHẠM ĐỨC MINH TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỮU HUÂN Năm học : 2013- 2014 LỜI MỞ ĐẦU 1) Mục đích : Cung cấp thêm một công cụ khá mạnh để giải bài toán hình học