Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 8 là bộ đề gồm nhiều đề đạt chuẩn cấp tỉnh do mình biên soạn và sưu tầm. Tài liệu rất bổ ích và hữu dụng cho học sinh khá,giỏi làm... Nếu giải hết bộ đề này các bạn chắc chắn sẽ giải tốt các bài toán nâng cao ở trường, lớp... Goodluck!!!!!!
Trang 1Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Trang 2Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
A x
Trang 3Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a Phõn tớch cỏc đa thức sau ra thừa số:
Trang 4Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 4
Cõu2 Cho biểu thức:
2 2
d Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để A cú giỏ trị nguyờn
Cõu 3 Cho hỡnh vuụng ABCD, M là một điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD Kẻ ME⊥AB, MF⊥AD
a Chứng minh: DE = CF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xỏc định vị trớ của điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn nhất
= (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
Trang 5Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
M F
E
B A
x 2
2
x 2
−
4 A 3
A 5
c Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi
(1 điểm)
Trang 6Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 6
Đề thi SỐ 3
Câu 1 : (2 điểm) Cho P=
8147
44
2 3
2 3
−+
a a a
130
11
120
9
1
2 2
++
+++
++
+
−+
+
−
c b
c a
b a
c b a
b) DM,EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED
c) Chu vi tam giác ADE không đổi
Trang 7Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
b) (0,5đ) P=
2
312
32
−+
a)(1đ) Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a+b chia hết cho 3 0,25
Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a2 +2ab+b2)−3ab]=
Vì a+b chia hết cho 3 nên (a+b)2-3ab chia hết cho 3 ;
Do vậy (a+b)[(a+b)2 −3ab] chia hết cho 9 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5
1)7)(
6(
1)
6)(
5(
1)
5)(
4(
++
+++
++
16
16
15
15
14
1
=+
−+
++
−+
++
14
;2
y x c z x b z
=
++
++
+
)()()(2
122
z z
y x
z z
x y
x x
y z
y x y
z x x
z y
0,25
Trang 8Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Từ đó suy ra D =ˆ1 Dˆ2 , do đó DM là tia phân giác của góc BDE
Chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K là hình chiếu của M trên AB, DE, AC
xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25
3 2 1
2 1
Trang 9Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8
Từ đĩ ta tìm được các giá trị của x , y , z là :
phãn tớch thaứnh tớch cuỷa moọt ủa thửực baọc nhaỏt coự caực heọ soỏ nguyẽn
Cãu 3( 1 ủ): tỡm caực soỏ nguyẽn a vaứ b ủeồ ủa thửực A(x) = x4−3x3+ax b+ chia heỏt cho ủa thửực B x( )=x2−3x+ 4
Cãu 4( 3 ủ): Cho tam giaực ABC, ủửụứng cao AH,veừ phãn giaực Hx cuỷa goực AHB vaứ phãn giaực
Hy cuỷa goực AHC Keỷ AD vuõng goực vụựi Hx, AE vuõng goực Hy
Chửựng minh raốngtửự giaực ADHE laứ hỡnh vuõng
Cãu 5( 2 ủ): Chửựng minh raống
ẹaựp aựn vaứ bieồu ủieồm
0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ
Trang 10Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8
4
3 ủ
Tửự giaực ADHE laứ hỡnh vuõng
Hx laứ phãn giaực cuỷa goực AHB ; Hy phãn giaực cuỷa goực AHC
maứ AHB vaứ AHC laứ hai goực kề buứ nẽn Hx vaứ Hy vuõng
goực
Hay DHE = 90 0 maởt khaực ADH =AEH = 900
Nẽn tửự giaực ADHE laứ hỡnh chửừ nhaọt ( 1)
0 0
9045
9045
AHB AHD
AHC AHE
Hay HA laứ phãn giaực DHE(2)
Tửứ (1) vaứ (2) ta coự tửự giaực ADHE laứ hỡnh vuõng
0,25 ủ
0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,5 ủ 0,5 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ 0,25 ủ
Trang 11Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giỏc AEDF là hỡnh vuụng
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất
Trang 12Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Để tứ giác AEDF là hỡnh vuụng thỡ AD là tia phõn
giỏc của BAC
Trang 13Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Qua D, E, F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF
OFD OED ODF 90 + + = (1)
Ta cú OFD + ω + OED + β + ODF + α = 270o(2)
180
α + β + ω = (**) (*) & (**) ⇒ BAC = α = BDF
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
21 x 1990
1 x
1
= +
Tớnh giỏ trị của biểu thức:
xy 2 z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
+
+ +
+ +
=
Bài 3 (1,5 điểm): Tỡm tất cả cỏc số chớnh phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số
hàng nghỡn , thờm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm
a) Tớnh tổng
' CC
' HC ' BB
' HB ' AA
' HA
+ +
b) Gọi AI là phõn giỏc của tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự là phõn giỏc của gúc AIC và gúc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giác ABC như thế nào thỡ biểu thức 2 2 2
2
' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
+ +
α
Trang 14Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔⇔ (2x
– 8)(2x – 4) = 0 ( 0,25điểm ) ⇔(2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0 ( 0,25điểm )
⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2 ( 0,25điểm )
• Bài 2(1,5 điểm):
0 z
xyz
xz yz xy
= + +
⇒
= + +
x z (
xy )
z y )(
x y (
xz )
z x )(
y x (
yz A
' HA BC
'.
AA 2 1
BC '.
HA 2 1 S
' HC S
S
ABC
HAB = ;
' BB
' HB S
SABC HAC =
(0,25điểm)
với k, m∈N, 31 < k < m < 100 (0,25điểm)
B
A
C I
B’
H N
A
C I
B’
H N
Trang 15Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
S
S S
S S
S ' CC
' HC ' BB
' HB
HAB ABC
= +
CM
; BI
AI NB
IC AC
AB AI
IC BI
AI AC
AB MA
c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
AA
) CA BC AB
(
2 2
2
2
≥ +
+
+
+
(0,25điểm) Đẳng thức xảy ra ⇔ BC = AC, AC = AB, AB = BC
1
1 : 1
1
x x x
x x
Giải bài toán bằng cách lập phương trỡnh
Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11 Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thỡ sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đó cho Tỡm phõn số đó
⇔
Trang 16Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 16
a, Tứ giỏc AMNI là hỡnh gỡ? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tớnh cỏc cạnh của tứ giỏc AMNI
21
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích) Tính SABCD
Đáp án Bài 1( 4 điểm )
a, ( 2 điểm )
Với x khỏc -1 và 1 thỡ :
A=
)1()1
)(
1(
)1)(
1(:
1
1
2
2 3
x x x x x
x x x
x x
x
+
−+
−+
1(
)1)(
1(:1
)1
)(
1
(
2 2
x x x
x x x
x x x x
+
−+
+
−
−
−++
=
)1(
1:
5(1)3
5(
Với x khỏc -1 và 1 thỡ A<0 khi và chỉ khi (1+x2)(1−x)<0 (1) 0,25đ
Vỡ 1+ x2 >0 với mọi x nờn (1) xảy ra khi và chỉ khi 1− x<0⇔ x>1
KL
0,5đ 0,25đ
Bài 2 (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để được
bc ac ab c
b a ac a
c bc c b ab
b
a2 + 2 −2 + 2+ 2 −2 + 2+ 2 +2 =4 2+4 2+4 2−4 −4 −4
0,5đ Biến đổi để có (a2+b2 −2ac)+(b2+c2 −2bc)+(a2+c2 −2ac)=0 0,5đ
Vỡ (a − b)2 ≥0;(b − c)2 ≥0;(a − c)2 ≥0; với mọi a, b, c
nờn (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b)2 =0;(b − c)2 =0 và (a − c)2 =0;
0,5đ 0,5đ
Trang 17Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số
15
7+
−
x
x
(x khỏc -15)
0,5đ
Theo bài ra ta cú phương trỡnh
11+
x
x
=7
b,(2điểm)
Tính được AD = cm
3
34
; BD = 2AD = cm
3
38
Bài 6 (5 điểm)
N
I M
A B
O
N M
B A
Trang 18Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
OM = ,
AC
OC AB
Lập luận để có
AC
OC DB
OM = (1), xột ADC∆ để có
AD
AM DC
Từ (1) và (2) ⇒ OM.(
CD AB
1
AD
AD AD
DM AM
21
⇒ S AOB.S DOC =S BOC.S AOD 0,5đ
⇒ S AOB.S DOC =(S AOD)2
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
0,5đ
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT) 0,5đ
ĐỀ SỐ 8 Bài 1:
Cho x =
2
b c a bc
Cho ∆ ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Trang 19Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
b/ Tỡm cỏc giỏ trị của x để A<1
c/ Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x để Acó giá trị nguyên
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, trong đó b và c là các số nguyên Biết rằng đa thức
x4 + 6x2+25 và 3x4+4x2+28x+5 đều chia hết cho P(x) Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hỡnh chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I lần lượt là trung điểm của AB và CD Nối D với E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối của tia CB tại M.Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho DM = EK Gọi G là giao điểm của DK và EM
c) Với giỏ trị nào của x thỡ A nhận giỏ trị nguyờn
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trỡnh:
a)
y y
y y
219
63103
Trang 20Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
a) Cho x2 − 2xy 2y + 2 − 2x 6y 13 + + = 0.Tớnh
2
3x y 1 N
Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vuông góc vơi AE cắt đường thẳng
CD tại F Gọi I là trung điểm của EF AI cắt CD tại M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI tại N
a) Chứng minh tứ giỏc MENF là hỡnh thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC
Bài 5: (1 điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh: x6 + 3x2 + = 1 y4
ĐỀ SỐ 12 Bài 1:
b, Cho a, b, c ≠ 0 Tớnh giỏ trị của D = x2011 + y2011 + z2011
Biết x,y,z thoả món:
x
a +
2 2
y
b +
2 2
z c
Bài 4:
Trang 21Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Cho ABC△ M là một điểm ∈ miền trong của ABC△ D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’
là điểm đối xứng của M qua F, E, D
a, CMR: AB’A’B là hỡnh bỡnh hành
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
ĐỀ SỐ 13 Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
b a b a c a c a c b c b c b
b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc 0 và 1 +1+1=0
c b a
Rỳt gọn biểu thức:
ab c
ca b bc a
N
2
12
12
1
2 2
Một người đi xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau khi đi được 15 phút, người đó gặp một ô
tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở lại B và gặp người đi xe máy tại một một địa điểm cách B 20 km
Tớnh quóng đường AB
Bài 4: (3điểm)
Cho hỡnh vuụng ABCD M là một điểm trên đường chéo BD Kẻ ME và MF vuông góc với AB và
AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE và CF bằng nhau và vuông góc với nhau
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng quy
c) Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất
Bài 5: (1điểm)
Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh:3 x2 + y 5 2 = 345
ĐỀ SỐ 14 Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x5 + x +1 b) x4 + 4
c) x x - 3x + 4 x -2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rỳt gọn biểu thức:
Trang 22Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 22
22
21
++
=
c ac
c b
bc
b a
ab
a A
a) Tớnh chu vi tứ giỏc AEMF Biết : AB =7cm
b) Chứng minh : AFEN là hỡnh thang cõn
c) Tớnh : ANB + ACB = ?
d) M ở vị trí nào để tứ giác AEMF là hỡnh thoi và cần thờm điều kiện của ∆ ABC
để cho AEMF là hỡnh vuụng
451272
2 3
2 3
−+
x x x
Tớnh xem trong bao lõu thỡ giếng sẽ hết nước
b) Giải phương trỡnh: 2x+a − x−2a =3a (a là hằng số)
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng tại C (CA > CB), một điểm I trên cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng vuông góc với IC kẻ qua C cắt Ax,
By lần lượt tại các điểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN
b) So sỏnh hai tam giỏc ABC và INC
09
001
99224
9 sè 2 - n
Trang 23Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Cõu 3 : ( 4 ủieồm ) Cho biểu thức :
136
64
2 3
2
x
x x
x x x
c) Với giỏ trị nào của x thỡ p = 7
d) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để p có giá trị nguyên
Cõu 4 : ( 3 ủieồm ) Cho a , b , c thỏa món điều kiện a2 + b2 + c2 = 1
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Cõu 5 : ( 3ủieồm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)
Cõu 6 : ( 4 ủieồm ) Cho tam giác đều ABC M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và
AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất
3 Tìm số d trong phép chia của biểu thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8)+2008 cho đa thức
x + x+
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H∈BC) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
1 Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m= AB
2 Gọi M là trung điểm của đoạn BE Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng Tính số
đo của góc AHM
3 Tia AM cắt BC tại G Chứng minh: GB HD
BC = AH HC
Trang 24Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 24
1.1 (0,75 điểm)
Trang 25Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
⇔ =x 1; x= (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 3
Vậy: Phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất là x =1
0,5
0,5 2.2
c c
b a
b c
a b
a c
b a c b a
c
b b
c a
c c
a a
b b
Trang 26Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC= ADC=1350(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết)
Nên AEB =450 do đó tam giác ABE vuông cân tại A Suy ra:
BE= AB =m
1,0
0,5 4.2
BC = ⋅BC = ⋅AC (do ∆BEC∼∆ADC)
mà AD=AH 2 (tam giác AHD vuông vân tại H)
BC = ⋅AC = ⋅ AC = AB = BE (do ∆ABH ∼∆CBA)
Do đó ∆BHM ∼∆BEC (c.g.c), suy ra: BHM =BEC=1350⇒AHM =450
0,5
0,5
0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC
Trang 27Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Một ngời đi xe gắn máy từ A đến B dự định mất 3 giờ 20 phút Nếu ngời ấy tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của ngời đó
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010
b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:
Trang 28Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
x − > 0 ⇒ x – 5 > 0 ⇔ x > 5 0,5đ Với x > 5 thì P > 0 0,25
Trang 29Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
+) x - 2 = -2 => x = 0
S = {0;4} 1đ
Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách giữa A và B là x (km) (x > 0) 0,25đ
Vận tốc dự định của ngời đ xe gắn máy là:
a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD
PO là đường trung bình của tsm giác CAM
AM//PO
⇒ tứ giác AMDB là hình thang 1đ
b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam giác AOB cân ở O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên góc IAE = góc
IEA
Từ chứng minh trên : có góc FEA = góc OAB, do đó EF//AC (1) 1đ
Mặt khác IP là đường trung bình của tam giác MAC nên IP // AC (2)
Trang 30Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhõn tử
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A ⋮ B biết
Trang 31Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
b)
2003
62004
52005
42006
32007
22008
++++
=++++
Bài 3: (2đ) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE = CF
a) Chứng minh∆EDF vuụng cõn
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD Gọi I là trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho
BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất
Hướng dẫn chấm và biểu điểm Bài 1: (3 điểm)
+ (0,25đ) =
Trang 32Tuyển tập đề thi HSG Toán 8
Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 32
⇔ 2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 2009 2008 2009+ + + + = + + + + + + x x x x x x ⇔ x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 + + + + + − + − + − + = (0,25đ) ⇔ ) 0 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 )( 2009 (x+ + + − − − = (0,5đ) Vỡ 1 1 2008 < 2005; 1 1 2007<2004; 1 1 2006<2003
Do đú : 0 2003 1 2004 1 2005 1 2006 1 2007 1 2008 1 + + − − − < (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -2009 Bài 3: (2 điểm) a) (1đ)
Chứng minh ∆EDF vuụng cõn Ta cú ∆ADE =∆CDF (c.g.c)⇒ ∆EDF cõn tại D
Mặt khỏc: ∆ADE =∆CDF (c.g.c) ⇒Eˆ1=Fˆ2
Mà Eˆ1+Eˆ2+Fˆ1 = 900 ⇒ Fˆ2+Eˆ2+Fˆ1= 900
⇒ EDF= 900 Vậy∆EDF vuụng cõn
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hỡnh vuụng ⇒ CO là trung trực BD
Mà∆EDF vuụng cõn ⇒ DI =1 2EF Tương tự BI =1 2EF ⇒ DI = BI ⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 điểm) a) (1đ)
DE có độ dài nhỏ nhất Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ∆ADE vuụng tại A cú: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) = 2(x – 2 a 4 )2 + 2 a 2 ≥ 2 a 2 (0,25đ) Ta cú DE nhỏ nhất ⇔ DE2 nhỏ nhất ⇔ x =a 2 (0,25đ) ⇔ BD = AE =a 2 ⇔ D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ)
Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ nhất
Ta cú: SADE =1
2AD.AE =1
2AD.BD =1
2AD(AB – AD)=1
2(AD2 – AB.AD) (0,25đ)
= –1
2(AD2 – 2AB
2 AD +
2
AB
4 ) +
2
AB
8 = –1
2(AD – AB
4 )2 +
2 AB
2 ≤
2
AB
8 (0,25đ) Vậy SBDEC = SABC – SADE≥
2
AB
2 –
2
AB
8 = 3
8AB2 không đổi (0,25đ)
A
B
D
C
O
F
2
1
1
2
A
D
B
C
E