Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 8.

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 8 là bộ đề gồm nhiều đề đạt chuẩn cấp tỉnh do mình biên soạn và sưu tầm. Tài liệu rất bổ ích và hữu dụng cho học sinh khá,giỏi làm... Nếu giải hết bộ đề này các bạn chắc chắn sẽ giải tốt các bài toán nâng cao ở trường, lớp... Goodluck!!!!!!

Tuyển tập đề thi HSG Toán ĐỀ THI SỐ Cõu 1: (4,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) Cõu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : A = ( 2+ x 4x2 2− x x2 − 3x − − ):( ) 2− x x − 2+ x x2 − x3 a) Tỡm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tỡm giỏ trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| = Cõu 3: (5,0 điểm) a) Tỡm x,y,z thỏa phương trỡnh sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho x y z a b c x2 y z + + = + + = Chứng minh : + + = a b c x y z a b c Cõu 4: (6,0 điểm) Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hỡnh chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hỡnh chiếu C xuống đường thẳng AB AD a) Tứ giỏc BEDF hỡnh gỡ ? Hóy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Bài a b 2,0 1,0 0,5 0,5 2,0 1,0 0,5 0,5 5,0 3,0 1,0 3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = = 3x(x -2) – (x - 2) = (x - 2)(3x - 1) a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = = ax(x - a) – (x - a) = = (x - a)(ax - 1) Bài 2: a ĐKXĐ : Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 Điểm Tuyển tập đề thi HSG Toán 2 − x ≠  x ≠ x − ≠   ⇔  x ≠ ±2 2 + x ≠  x − 3x ≠ x ≠   2 x − x ≠  2 + x 4x 2− x x − 3x (2 + x) + x − (2 − x) x (2 − x) A=( − − ):( )= = − x x − + x x − x3 (2 − x)(2 + x ) x( x − 3) 1,0 x2 + 8x x(2 − x) = (2 − x)(2 + x) x − = 0,5 x( x + 2) x(2 − x) x2 = (2 − x)(2 + x)( x − 3) x − 0,25 4x Vậy với x ≠ 0, x ≠ ±2, x ≠ thỡ A = x−3 0,25 b 1,0 Với x ≠ 0, x ≠ 3, x ≠ ±2 : A > ⇔ 4x >0 x−3 ⇔ x−3> ⇔ x > 3(TMDKXD ) Vậy với x > thỡ A > c x − = x−7 = ⇔   x − = −4  x = 11(TMDKXD) ⇔  x = 3( KTMDKXD ) Với x = 11 thỡ A = 121 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = ⇔ (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = ⇔ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) Do : ( x − 1) ≥ 0;( y − 3) ≥ 0;( z + 1) ≥ Nờn : (*) ⇔ x = 1; y = 3; z = -1 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1) b a b c ayz+bxz+cxy + + =0⇔ =0 x y z xyz ⇔ ayz + bxz + cxy = x y z x y z + + = ⇔ ( + + )2 = a b c a b c 2 x y z2 xy xz yz ⇔ + + + 2( + + ) = a b c ab ac bc x2 y z cxy + bxz + ayz ⇔ + + +2 =1 a b c abc Từ : Nguồn: Sưu tầm 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,25 0,25 Bài a Ta cú : 0,25 Đt 01234646464 5,0 2,5 1,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,5 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán ⇔ x2 y2 z + + = 1(dfcm) a2 b2 c2 0,25 Bài 6,0 H C B 0,25 F O E A D K a Ta cú : BE ⊥ AC (gt); DF ⊥ AC (gt) => BE // DF Chứng minh : ∆BEO = ∆DFO ( g − c − g ) => BE = DF Suy : Tứ giỏc : BEDF hỡnh bỡnh hành b Ta cú: ABC = ADC ⇒ HBC = KDC Chứng minh : ∆CBH ∼ ∆CDK ( g − g ) CH CK ⇒ = ⇒ CH CD = CK CB CB CD b, Chứng minh : ∆AFD ∼ ∆AKC ( g − g ) AF AK ⇒ = ⇒ AD AK = AF AC AD AC Chứng minh : ∆CFD ∼ ∆AHC ( g − g ) CF AH ⇒ = CD AC CF AH Mà : CD = AB ⇒ = ⇒ AB AH = CF AC AB AC Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 (đfcm) ĐỀ SỐ Cõu1 a Phõn tớch cỏc đa thức sau thừa số: x4 + ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) − 24 b Giải phương trỡnh: x − 30x + 31x − 30 = a b c a2 b2 c2 c Cho + + = Chứng minh rằng: + + =0 b + c c+ a a+ b b + c c+ a a+ b Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 2,0 0,5 0,5 0,25 0,25 2,0 0,5 1,0 0,5 1,75 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Toán   10 − x   x Cõu2 Cho biểu thức: A = + +  :x −2+ x+2   x − 2− x x + 2  a Rỳt gọn biểu thức A b Tớnh giỏ trị A , Biết |x| = c Tỡm giỏ trị x để A < d Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn x để A cú giỏ trị nguyờn Cõu Cho hỡnh vuụng ABCD, M điểm tuỳ ý trờn đường chộo BD Kẻ ME ⊥ AB, MF ⊥ AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xỏc định vị trớ điểm M để diện tớch tứ giỏc AEMF lớn Cõu a Cho số dương a, b, c cú tổng Chứng minh rằng: 1 + + ≥9 a b c b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 Cõu HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Đỏp ỏn a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) b x − 30x ( (2 điểm) + 31x − 30 = x − x + ( x − 5)( x + 6) = (*) Cõu (6 điểm) Điểm 2 ) Vỡ x2 - x + = (x - ) + >0 ∀x (*) (x - 5)(x + 6) = Cõu (6 điểm) x − = x = x + = ⇔ x = −   a b c c Nhõn vế của: + + =1 b + c c+ a a+ b với a + b + c; rỳt gọn ⇒ đpcm   10 − x   x Biểu thức: A =  + + :x −2+   x+2   x − 2− x x + 2  −1 a Rỳt gọn kq: A = x−2 Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 (2 điểm) (2 điểm) (1.5 điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán 1 −1 b x = ⇒ x = x = 2 4 A = c A < ⇔ x > −1 d A ∈ Z ⇔ ∈ Z ⇒ x ∈ {1;3} x−2 ⇒A = HV + GT + KL (1.5 điểm) (1.5 điểm) (1.5 điểm) E A B (1 điểm) F M D C AE = FM = DF ⇒ ∆AED = ∆DFC ⇒ đpcm b DE, BF, CM ba đường cao ∆EFC ⇒ đpcm (2 điểm) (2 điểm) c Cú Chu vi hỡnh chữ nhật AEMF = 2a khụng đổi ⇒ ME + MF = a khụng đổi ⇒ SAEMF = ME.MF lớn ⇔ ME = MF (AEMF hỡnh vuụng) ⇒ M trung điểm BD Cõu (6 điểm) (1 điểm) a Chứng minh: b c 1 = 1+ + a a a  a c 1 a Từ: a + b + c = ⇒  = 1+ + b b b a b 1  c = 1+ c + c  (1 điểm) Cõu 4: (2 điểm) 1  a b  a c  b c + + = + +  +  +  +  +  a b c  b a  c a  c b  ≥ 3+ 2+ 2+ 2= Dấu xảy ⇔ a = b = c = ⇒ b (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab = (a – 1).(b – 1) = a = b = Với a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = a = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 (1 điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán Đề thi SỐ Câu : (2 điểm) Cho P= a − 4a − a + a − 7a + 14a − a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu : (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho b) Tìm giá trị x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu : (2 điểm) a) Giải phương trình : 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13 x + 42 18 b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A= a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Câu : (3 điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : a) BD.CE= BC b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi Câu : (1 điểm) Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi đáp án đề thi học sinh giỏi Câu : (2 đ) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4) =(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) Nêu ĐKXĐ : a ≠ 1; a ≠ 2; a ≠ Rút gọn P= 0,25 a +1 a−2 Nguồn: Sưu tầm 0,5 0,25 Đt 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Toán b) (0,5đ) P= a−2+3 = 1+ ; ta thấy P nguyên a-2 ước 3, a−2 a−2 mà Ư(3)= {− 1;1;−3;3} 0,25 Từ tìm a ∈ {− 1;3;5} 0,25 Câu : (2đ) a)(1đ) Gọi số phải tìm a b , ta có a+b chia hết cho [ 0,25 ] Ta có a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) ( a + 2ab + b ) − 3ab = [ =(a+b) ( a + b) − 3ab ] 0,5 Vì a+b chia hết (a+b)2-3ab chia hết cho ; [ ] Do (a+b) ( a + b) − 3ab chia hết cho 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 2 2 Ta thấy (x +5x) ≥ nên P=(x +5x) -36 ≥ -36 0,5 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0 Từ ta tìm x=0 x=-5 Min P=-36 0,25 Câu : (2đ) a) (1đ) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ; 0,25 ĐKXĐ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 0,25 Phương trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 0,25 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ tìm x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 y+z x+z x+ y ;b = ;c = ; 0,5 2 y+z x+z x+ y 1 y x x z y z  Thay vào ta A= + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y  Từ suy a= Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Từ suy A ≥ (2 + + 2) hay A ≥ 0,25 Câu : (3 đ) a) (1đ) ˆ ˆ Trong tam giác BDM ta có : D1 = 120 − M ˆ Vì M =600 nên ta có ˆ ˆ : M = 120 − M ˆ ˆ Suy D1 = M x E Chứng minh ∆BMD ∾ ∆CEM (1) Suy D BD CM = , từ BD.CE=BM.CM BM CE Vì BM=CM= BC , nên ta có b) (1đ) Từ (1) suy y A BD.CE= BC 0,5 B C M 0,5 BD MD = mà BM=CM nên ta có CM EM BD MD = BM EM Chứng minh ∆BMD ∾ ∆MED 0,5 ˆ ˆ Từ suy D1 = D2 , DM tia phân giác góc BDE Chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác góc CED 0,5 c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC Chứng minh DH = DI, EI = EK 0,5 Tính chu vi tam giác 2AH; Kết luận 0,5 Câu : (1đ) Gọi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương ) Ta có xy = 2(x+y+z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Từ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 0,25 0,25 Tuyển tập đề thi HSG Tốn Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ẹỀ THI SỐ Cãu1( ủ): Phãn tớch thửực sau thaứnh nhaõn tửỷ A = ( a + 1)( a + 3)( a + )( a + ) + 15 Caõu 2( ủ): Vụựi giaự trũ naứo cuỷa a vaứ b thỡ thửực: ( x − a )( x − 10 ) + phaõn tớch thaứnh tớch cuỷa moọt thửực baọc nhaỏt coự caực heọ soỏ nguyẽn Cãu 3( ủ): tỡm caực soỏ nguyeõn a vaứ b ủeồ thửực A(x) = x − x3 + ax + b chia heỏt cho thửực B ( x) = x − x + Caõu 4( ủ): Cho tam giaực ABC, ủửụứng cao AH,veừ phaõn giaực Hx cuỷa goực AHB vaứ phaõn giaực Hy cuỷa goực AHC Keỷ AD vuoõng goực vụựi Hx, AE vuoõng goực Hy Chửựng minh raốngtửự giaực ADHE laứ hỡnh vuõng Cãu 5( ủ): Chửựng minh raống P= Caõu 2ủ 1 1 + + + + Để P > x−5 >0 ⇒ x–5>0 ⇔ x>5 0,5đ Với x > P > Bài 2: a) 0,25 15 x   − = 12  +  x2 + 3x −  x + 3x −  ⇔ ⇔  15 x  − = 12  +  x + ( x − 1)   ( x + )( x − 1)   ĐK: x ≠ −4; x ≠ 3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4) … ⇔ ⇔ 3x.(x + 4) = 3x = x + = +) 3x = => x = (TMĐK) +) x + = => x = -4 (KTMĐK) S = { 0} b) 1đ 148 − x 169 − x 186 − x 199 − x + + + = 10 25 23 21 19  148 − x   169 − x   186 − x   199 − x  − 1 +  − 2 +  − 3 +  − 4 =   25   23   21   19  ⇔ 1   + + + =  25 23 21 19  1   + + + > Do   25 23 21 19  ⇔ (123 – x)  Nên 123 – x = => x = 123 S = {123} c) x−2 +3 =5 Ta có: nên 1đ x − ≥ 0∀x => x−2 +3 >0 x−2 +3 = x−2 +3 PT viết dạng: x−2 +3=5 ⇔ x−2 ⇔ x−2 =5–3 =2 +) x - = => x = Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 28 Tuyển tập đề thi HSG Toán +) x - = -2 => x = S = {0;4} Bài 3(2 đ) Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là: x 3x = ( km / h) 10 3 (3h20’ = 1đ 0,25đ (h) ) 0,25đ Vận tốc ngời xe gắn máy tăng lên km/h là: 3x + ( km / h ) 10 0,25đ Theo đề ta có phơng trình:  3x  +  = x   10  0,5đ ⇔ x =150 Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,5đ 0,25đ 3.150 = 45 ( km / h ) 10 Vận tốc dự định là: Bài 4(7đ) Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ D C P M F I E O A B a) Gọi O giao điểm đường chéo hình chữ nhật ABCD PO đường trung bình tsm giác CAM AM//PO 1đ ⇒ tứ giác AMDB hình thang b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị) Tam giác AOB cân O nên góc OBA = góc OAB Gọi I giao điểm đường chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nên góc IAE = góc IEA Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ MF AD c) ∆MAF ∼ ∆DBA ( g − g ) nên không đổi (1đ) = FA AB d) Nếu PD PB PD = = k ⇒ PD = 9k , PB = 16k = 16 PB 16 Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 29 Tuyển tập đề thi HSG Toán Nếu CP ⊥ BD ∆ CBD ∼ ∆ DCP ( g − g ) ⇒ CP2 = PB.PD hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm) PB = 16k = 3,2 (cm) BD = (cm) C/m BC2= BP.BD = 16 BC = (cm) CD = (cm) CP PB = PD CP 0,5d 0,5đ 0,5đ Bài 5: a) Ta có: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1) Vì 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …) = 2010.(…) chia hết cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …) = 2010.( …) chia hết cho 2010 (2) Từ (1) (2) ta có đpcm b) 1đ 1 + ≥ 1+ x2 1+ y2 + x y (1)  1   1  ⇔ − − + ≥0 2 + x + xy   + y + xy   ⇔ x ( y − x) (1 + x ) (1 + xy ) + y ( x − y) (1 + y ) (1 + xy ) ≥0 ( y − x ) ( xy − 1) ≥ ⇔ ( ) (1 + x )(1 + y ) (1 + xy ) Vì x ≥ 1; y ≥ => xy ≥ => xy − ≥ => BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) ĐỀ SỐ 19 Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhõn tử b) Tỡm giỏ trị nguyờn x để A ⋮ B biết A = 10x2 – 7x – B = 2x – c) Cho x + y = x y ≠ Chứng minh 2(x − y) x y − + 2 =0 y −1 x −1 x y + Bài 2: (3đ) Giải phương trỡnh sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 Nguồn: Sưu tầm 1đ Đt 01234646464 30 1đ Tuyển tập đề thi HSG Toán x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 b) Bài 3: (2đ) Cho hỡnh vuụng ABCD; Trờn tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF a) Chứng minh ∆ EDF vuụng cõn b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ b/ Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ Hướng dẫn chấm biểu điểm Bài 1: (3 điểm) a) ( 0,75đ) b) (0,75đ) Xột x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) =(x–1)(x–2)2 A 10x − 7x − = = 5x + + B 2x − 2x − Với x ∈ Z thỡ A ⋮ B (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) ∈ Z ⇒ ⋮ ( 2x – 3) 2x − Mà Ư(7) = {−1;1; −7;7} ⇒ x = 5; - 2; ; thỡ A ⋮ B (0,25đ) (0,25đ) x y = x − x − y4 + y − y − x − (y3 − 1)(x − 1) ( x − y4 ) − (x − y) ( x + y = ⇒ y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ) = xy(y + y + 1)(x + x + 1) ( x − y )( x + y ) ( x + y2 ) − (x − y) = (0,25đ) xy(x y + y x + y + yx + xy + y + x + x + 1) c) (1,5đ) Biến đổi = ( x − y ) (x + y − 1) xy  x y + xy(x + y) + x + y + xy +    = ( x − y ) (x (0,25đ) − x + y − y) = ( x − y ) [ x(x − 1) + y(y − 1) ] xy(x y + 3) xy  x y + (x + y) +    = ( x − y ) [ x(− y) + y(− x)] = ( x − y ) ( −2xy) xy(x y + 3) xy(x y + 3) = −2(x2 − y) Suy điều cần chứng minh x2y + (0,25đ) (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = ⇔ y2 + 6y - 2y -12 = ⇔ (y + 6)(y - 2) = ⇔ y = - 6; y = * x2 + x = - vụ nghiệm vỡ x2 + x + > với x * x2 + x = ⇔ x2 + x - = ⇔ x2 + 2x - x - = ⇔ x(x + 2) – (x + 2) = ⇔ (x + 2)(x - 1) = ⇔ x = - 2; x = Vậy nghiệm phương trỡnh x = - ; x =1 b) (1,75đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) (0,25đ) x +1 x + x + x + x + x + x +1 x+2 x +3 x+4 x +5 x +6 ⇔( + + = + + +1) + ( +1) + ( +1) = ( +1) + ( +1) + ( +1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 31 Tuyển tập đề thi HSG Toán ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + = + + 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ⇔ x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 x + 2009 + + − − − =0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 (0,25đ) ⇔ ( x + 2009)( 1 1 1 + + − − − ) = (0,5đ) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Vỡ Do đú : + + − − − < 2008 2007 2006 2005 2004 1 ; < ; < 2008 2005 2007 2004 (0,25đ) Vậy x + 2009 = ⇔ x = -2009 2003 E Bài 3: (2 điểm) a) (1đ) Chứng minh ∆ EDF vuụng cõn Ta cú ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ ∆ EDF cõn D ˆ ˆ Mặt khỏc: ∆ ADE = ∆ CDF (c.g.c) ⇒ E1 = F2 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Mà E1 + E + F1 = 90 ⇒ F2 + E + F1 = 90 I 1 B C F O A EDF = 90 Vậy ∆ EDF vuụng cõn b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng Theo tính chất đường chéo hỡnh vuụng ⇒ CO trung trực BD Mà ∆ EDF vuụng cõn ⇒ DI = EF Tương tự BI = EF ⇒ DI = BI ⇒ I thuộc dường trung trực DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO Hay O, C, I thẳng hàng ⇒ 1 < 2006 2003 D B D Bài 4: (2 điểm) a) (1đ) A E DE có độ dài nhỏ Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ∆ ADE vuụng A cú: DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) 2 a a a = 2(x – )2 + ≥ (0,25đ) 2 a Ta cú DE nhỏ ⇔ DE2 nhỏ ⇔ x = (0,25đ) a (0,25đ) ⇔ BD = AE = ⇔ D, E trung điểm AB, AC b) (1đ) Tứ giỏc BDEC cú diện tớch nhỏ 1 1 Ta cú: SADE = AD.AE = AD.BD = AD(AB – AD)= (AD2 – AB.AD) (0,25đ) 2 2 2 AB AB AB AB AB AB2 = – (AD2 – AD + )+ = – (AD – ) + ≤ (0,25đ) 2 8 AB2 AB2 Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥ – = AB2 không đổi (0,25đ) 8 Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 32 C Tuyển tập đề thi HSG Tốn Do SBDEC = AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) ĐỀ SỐ 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y b) 2x2 – 5x – Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x − 16 A = x x2 + 5x + 2x + 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 3: Cho phân thức: x+2 − = x − x x ( x − 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 4: a) Giải phơng trình : Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ∆ ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích ∆ AHM ? Biểu điểm - Đáp án Đáp án Biểu điểm Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y) = (x - y) (x + y – 5) (1 điểm) b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1) = (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x (4 x − 16 x[(2 x) − x( x − 4)(2 x + 4) x.2( x − 2).2( x + 2) = = = = 4( x − 2) = x − x ( x + 2) x ( x + 2) x + 2x x + 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) ≠ ⇔ 2x ≠ x + ≠ Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 33 Tuyển tập đề thi HSG Toán (1 điểm) ⇔ x ≠ x ≠ -1 b) Rút gọn: 5x + 5( x + 1) (0,5 điểm) = = 2 x + x x( x + 1) x 5 (0,25 điểm) = ⇔ = 2x ⇔ x = 2x 5 Vì thoả mãn điều kiện hai tam giác nên x = (0,25 điểm) 2 Bài 4: a) Điều kiện xác định: x ≠ 0; x ≠ x(x + 2) - (x - 2) - Giải: = ⇔ x2 + 2x – x +2 = 2; x ( x − 2) x ( x − 2) 1đ ⇔ x= (loại) x = - Vậy S = {− 1} b) ⇔ x2 – < x2 + 4x + ⇔ x2 – x2 – 4x < + ⇔ - 4x < 16 ⇔ x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - 1đ Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 ⇔ 57x – 57 – 50x = 13 ⇔ 7x = 70 ⇔ x = 10 (thoả mãn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ∆ ABC ∆ HBA, có: Góc A = góc H = 900; có góc B chung ⇒ ∆ ABC ~ ∆ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago ∆ vuông ABC AB + AC = 15 + 20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 ∆ ABC ~ ∆ HBA nên = = hay = = HB HA BA HB HA 15 20.05 ⇒ AH = = 12 (cm) 25 15.15 BH = = (cm) 25 HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm) BC 25 c) HM = BM – BH = − BH = − = 3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 - Vẽ hình: A Đt 01234646464 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ ta có : BC = Nguồn: Sưu tầm 0,5 đ 34 1đ 1đ 1đ 1đ Tuyển tập đề thi HSG Toán 1đ B H M C ĐỀ SỐ 21 Bài 1(3 điểm): Tỡm x biết: a) x2 – 4x + = 25 b) x − 17 x − 21 x + + + =4 1990 1986 1004 c) 4x – 12.2x + 32 = 1 + + = x y z yz xz xy + + Tớnh giỏ trị biểu thức: A = x + yz y + 2xz z + 2xy Bài (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác Bài (1,5 điểm): Tỡm tất cỏc số chớnh phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghỡn , thờm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng HA' HB' HC' + + AA' BB' CC' b) Gọi AI phõn giỏc tam giỏc ABC; IM, IN thứ tự phõn giỏc gúc AIC gúc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB + BC + CA ) ≥ c) Chứng minh rằng: AA'2 + BB'2 + CC'2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = ⇔ (2x – 23)(2x –22) = ⇔ 2x –23 = 2x –22 = ⇔ 2x = 23 2x = 22 ⇔ x = 3; x = • ( điểm ) ( điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) ( 0,25điểm ) Bài 2(1,5 điểm): xy + yz + xz 1 = ⇒ xy + yz + xz = ⇒ yz = –xy–xz + + =0⇒ xyz x y z ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm ) Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z) ( y − x )( y − z ) (z − x )(z − y) Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 35 ( 0,25điểm ) Tuyển tập đề thi HSG Toán Tính A = • ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm): Gọi abcd số phải tỡm a, b, c, d ∈ N, ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ Ta cú: ⇔ abcd = k (a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m (0,25điểm) với k, m ∈ N, 31 < k < m < 100 (0,25điểm) abcd = k abcd + 1353 = m (0,25điểm) ⇔ Do đó: m2–k2 = 1353 ⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) m+k = 123 m+k = 41 ⇒ m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37 hoặck = ⇔ k = 56 Kết luận • (0,25điểm) (0,25điểm) abcd = 3136 (0,25điểm) Bài (4 điểm): Vẽ hỡnh (0,25điểm) HA'.BC S HBC HA' = = a) ; S ABC AA' AA'.BC SHAB HC' SHAC HB' = = Tương tự: ; SABC CC' SABC BB' A (0,25điểm) C’ H N x B’ M I A’ C B HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC + + = + + =1 AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25điểm) D (0,25điểm) b) Áp dụng tớnh chất phõn giỏc vào cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC = ; = ; = IC AC NB BI MA AI BI AN CM AB AI IC AB IC = = =1 IC NB MA AC BI AI AC BI ⇒ BI AN.CM = BN.IC.AM (0,5điểm ) (0,5điểm ) (0,5điểm ) c)Vẽ Cx ⊥ CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx -Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ - Xét điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD - ∆ BAD vuụng A nờn: AB2+AD2 = BD2 ⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2 AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2 Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 36 (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) (0,25điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán (AB + BC + CA ) ≥4 ⇔ AA' + BB' + CC'2 (Đẳng thức xảy ⇔ ⇔ (0,25điểm) BC = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ ∆ ABC đều) AB = AC =BC Đề SỐ 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố n + 3n + 2n + 6n − b, B = Có giá trị số nguyên n2 + c, D= n5-n+2 số phương (n ≥ 2) Câu 2: (5điểm) Chứng minh : a b c a, + + = biết abc=1 ab + a + bc + b + ac + c + Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a c, + + ≥ + + b2 c2 a2 b a c Câu 3: (5điểm) Giải phương trình sau: x − 214 x − 132 x − 54 a, + + =6 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 c, x -y +2x-4y-10=0 với x,ynguyên dương Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đường chéo.Qua kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC 1 + = b Chứng minh: AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đường thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF b, Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số ngun tố n-1=1 ⇔ n=2 A=5 b, (2điểm) Câu (5điểm) B=n2+3n- n +2 Đt 01234646464 0,5 0,5 0,5 B có giá trị nguyên ⇔ ⋮ n2+2 n2+2 ước tự nhiên n2+2=1 khơng có giá trị thoả mãn Hoặc n +2=2 ⇔ n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên Nguồn: Sưu tầm Điểm 37 0,5 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n − + +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 ⋮ Vậy D chia dư Do số D có tận 7nên D khơng phải số phương Vậy khơng có giá trị n để D số phương a, (1điểm) a b c ac abc c + + = + + ab + a + bc + b + ac + c + abc + ac + c abc + abc + ac ac + c + ac abc c abc + ac + = + + = =1 + ac + c c + + ac ac + c + abc + ac + 0,5 0,5 b, (2điểm) a+b+c=0 ⇒ a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2= -2(ab+ac+bc) ⇒ a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 ⇒ a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Vì a+b+c=0 Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) ⇒ Từ (1)và(2) ⇒ a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 0.5 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 ≥ 2xy Dấu x=y a2 b2 a b a a2 c2 a c c + ≥ = ; + ≥ = ; 2 b c c b a b b c b a 2 c b c b b + ≥ = 2 a c a a c Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: 0,5 0,5 0,5 [( Câu (5điểm) 2( ) ] 0,5 0,5 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0,5 a b2 c2 a c b a b2 c2 a c b + + ) ≥ 2( + + ) ⇒ + + ≥ + + b2 c a c b a b c a c b a x − 214 x − 132 x − 54 + + =6 86 84 82 x − 214 x − 132 x − 54 ⇔ ( − 1) + ( − 2) + ( − 3) = 86 84 82 x − 300 x − 300 x − 300 + + =0 ⇔ 86 84 82 1   ⇔ (x-300)  + +  = ⇔ x-300=0 ⇔ x=300 Vậy S = {300}  86 84 82  a, (2điểm) Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 38 1,0 0,5 0,5 Tuyển tập đề thi HSG Toán 0,5 0,5 c, (1điểm) x2-y2+2x-4y-10 = ⇔ (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 ⇔ (x+1)2-(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên dương Nên x+y+3>x-y-1>0 ⇒ x+y+3=7 x-y-1=1 ⇒ x=3 ; y=1 Phương trình có nghiệm dương (x,y)=(3;1) Câu (5điểm) b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 ⇔ (64x -16x+1)(8x -2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 ⇔ k2=72,25 ⇔ k=± 8,5 Với k=8,5 tacó phương trình: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒ −1 x= ; x = Với k=- 8,5 Ta có phương trình: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 vơ nghiệm  − 1 Vậy S =  ,  2  0,5 a,(1điểm) Vì AB//CD ⇒ S DAB=S CBA (cùng đáy đường cao) ⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB E Hay SAOD = SBOC A N O 0,5 0,5 F M D Câu (5điểm) EO AO Mặt khác AB//DC = DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ DC OC AB + BC AO + OC AB + BC AC DC AB + DC EF AB AB + DC 1 ⇒ = ⇒ = ⇒ + = DC AB + DC AB.DC EF DC AB EF c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N∈DF) +Kẻ đường thẳng KN đường thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) ⇒ SDEKN=SKFN b, (2điểm) Vì EO//DC ⇒ Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 39 0,5 0,5 B K I 0,5 C 0,5 1,0 0,5 1,0 1,0 ... + HC Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 23 Tuyển tập đề thi HSG Toán Bài 1 Câu 1.1 Nội dung (0,75 điểm) Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 24 Điểm 2,0 Tuyển tập đề thi HSG Toán x + x + = x + x + x + = x... = (loại) Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = Nguồn: Sưu tầm Đt 01234646464 (1 điểm) Tuyển tập đề thi HSG Toán Đề thi SỐ Câu : (2 điểm) Cho P= a − 4a − a + a − 7a + 14a − a) Rút gọn P b) Tìm giá... minh rằng: AA''2 + BB''2 + CC''2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI • Bài 1(3 điểm): a) Tính x = 7; x = -3 b) Tính x = 2007 c) 4x – 12.2x +32 = ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2 x + 4.8 = ⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4)