toán đại số 11

Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 1 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP NHỊ THỨC NIU-TƠN Nội dung Đ1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng .  Lý thuyết: * Qui tắc cộng, qui tắc nhân. * Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. Các dạng toán ứng dụng. 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. Đ2: Nhị thức Newtơn và ứng dụng.  Lý thuyết: Nhị thức Newtơn.  Các dạng toán ứng dụng. 2.1. Dạng 1: Tính tổng tổ hợp. 2.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 2.3. Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn. Đ1: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng.  Lý thuyết: I. Qui tắc cộng, qui tắc nhân. 1. Quy tắc cộng: Nếu có m 1 cách chọn đối tượng x 1 , có m 2 cách chọn đối tượng x 2 , m n cách chọn đối tượng x n và nếu cách chọn đối tượng x i không trùng với đối tượng x j nào( i khác j; i, j = 1,2, ,n) thì có m 1 + m 2 + + m n cách chọn một trong các đối tượng đã cho. 2. Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m 1 cách, bước 2 có m 2 cách, bước n có m n cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m 1 .m 2 m n cách khác nhau. II. Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. 1. Hoán vị: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n  1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. * Số hoán vị của n phần tử : P n = n! = 1.2.3.4.5….n ( ; n 1)    n N ; Qui ước 0! 1  . 2. Chỉnh hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1  k  n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. * Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : ( 1) ( 1)     k n n n n k A (1  k  n) Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 2 ! ( )!   n k A n n k (1  k  n) 3. Tổ hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0  k  n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. * Số tổ hợp chập k của n phần tử : ! !( )!   k n n k n k C (0  k  n)  Các dạng toán thường gặp: 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1. Phương pháp: Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức đại số tổ hợp: * !  n P n ( *  n N ) * ! ( )!   n k A n n k (1  k  n) * ! !( )!   n k C n k n k (0  k  n) 2. Một số ví dụ: Rút gọn biểu thức: 1 ! 2     n k A n k k Bài giải Ta có nhận xét:   1 1 1 ! 1 ! !     k k k k Suy ra   1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 1! 2! 2! 3! 1 ! ! ! 2               n k A n k n n n k Rút gọn biểu thức: 6 5 4   A A n n A A n Bài giải Ta có 2 ( 1) ( 5) ( 1) ( 4) 4 ( 4)( 5) ( 4) ( 1) ( 3)                n n n n n n A n n n n n n n Rút gọn biểu thức: 2 1 2 1 1      n C C n n A C n n n C C n n Bài giải: Ví dụ 1 Ví dụ 2 Ví dụ 3 Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 3 Ta lần lượt có: 1  n C n 1 ! 2 2!.( 2)! 2 2. 1 ! 1!.( 1)!      n n C n n n C n n 1 1 1 ! 1!.( 1)!     n C n n n n C n n ( 1) suy ra : 1 2 1 . 2         n n A n n 3. Bài tập tự luyện: <1> Rút gọn biểu thức: 1 1 ( 1)     n n k C k k <2>Rút gọn biểu thức: . 5! ( 1)! ( 1) 3!( 1)!     m A m m m <3> Rút gọn biểu thức: 12 11 10 9 49 49 17 17 10 8 49 17 -    A A A A B A A 2-Dạng 2: chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1. Phương pháp: Thực hiện các bước sau:  Sử dụng các công thức: * !  n P n ( *  n N ) * ! ( )!   n k A n n k (1  k  n) * ! !( )!   k n n C k n k (0  k  n) * -1 (0 ) -1 -1     k k k C C C k n n n n đưa đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường.  Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra đpcm. 2. Một số ví dụ: CMR với k, n  N, 3 k  n ta có: 2 1 2        n n n A A k A n k n k n k Ví dụ 1 Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 4 Bài giải ( )! ( )! ( )! 1 2 1 1 ( 2)! ( 1)! ( 2)! 1 2 2 ( )! ( )! ( )! 2 ( 1)( 2)! ( 1).( 2)! !                                      VP n k n k n k n n VT A A n k n k k k k k k n k k n k k n k n k A n k k k k k k k Chứng minh rằng: 1 2 2 ( !) ( ) ( , 2) 2      n n n n n n Z n (1) Bài giải Biến đổi BĐT (1) về dạng: 1 2 2 (1.2.3 ) ( ) 2    n n n n n 2 1 2 [(1. )2.( 1)].3.( 2) ( 1)] ( ) 2         n n n n n n n k n k (2) a.Ta có đánh giá: ( 1) (*) ( , 1)       k n k n k n k do (*) ( 1) ( 1) 0 ( )( 1) 0          n k k k n k k đúng , 1    k n k áp dụng BĐT (*) với k = 2,…, n -1 ta được 1. 2.( 1) ( 1) .1                   n n n n k n k n n n n bất đẳng thức. Suy ra 2 a) [(1. )2.( 1)].3.( 2) ( 1) ( 1).2( .1)]      n n n n n k n k n n b. Sử dụng BĐT Côsi tacó : 1 1 2 2 ( 1) ( ) ( ) 2 2         k n k n k n k (**) 0,    k n k áp dụng BĐT (**) với k =1,2,…, n ta được Ví d 2 Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 5 2 2 2( 1) 1 BDT 2 1 2 2 1 1. 2 2 1 2 ( 1) ( 1)2 2 1 1. 2                                                                    n n n n n n n k n k n n n Suy ra 2 1 (1. )[2.( 1)].3.( 2) ( 1) ( 1)2( .1) 2              n n n n n k n k n n b) Từ a) và b) suy ra (2) được chứng minh , suy ra (1) được chứng minh CMR a. 1 2 3 3 3 3         k k k k k C C C C C n n n n n b. -1 -2 2 (2 ) 2       k k k k C C C C k n n n n n c. 1 2 3 3 2 2 5 4 3 2             k k k k k k C C C C C C n n n n n n Bài giải a. Ta có : ) ) 1 1 2 2 3 ( 2( ) ( 1 2 1 1 2 2 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3                                       k k k k k k VT C C C C C C n n n n n n k k k k k k k C C C C C C C n n n n n n n k k k C C C VP n n n b. Ta có: -1 -2 2 (2 ) 2       k k k k C C C C k n n n n n Nên: -1 -1 -2 -1 1 1 2                                    k k k k k k k VP C C C C C C C VT n n n n n n n c. 1 1 2 3 ) ) 1 2 3( (                  k k k k n n n n C C C C k k VT C C n n 1 2 3 2 3 1 1 1                             k k k C C C n n n Ví d 3 Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 6 1 2 2 3 2 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2                                                                             k k k k C C C C n n n n k k C C n n k k k k k C C C C C VP n n n n n CMR: 2 . ( ) (0 ) (1) 2 2 2 -     n n n C C C k n n n k n k Bài giải Ta có:           2 . ( ) (0 ) (1) 2 2 2 - 2 2 ! 2 ! 2 ! . ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) ( ) !. ! !. ! !. ! ( 1)( 2) ( ) ( 1)( 2) ( )                                                                n n n C C C k n n n k n k n k n k n n k n k n n k n k n n n n n k n n k n n n n k n k n k n n k n k n k n 2 ( 1) ( ) 2 ( 1)( 1) ( )( ) ( 1) ( ) (*)                                n n n n k n k n k n n k n n n n Theo BĐT Cauchy ta có   0 k n; 2 ( )( )        n k i n k i n i i = 1 n Cho 1,  i n ta được BĐT (*) Vậy BĐT (*) đúng  (1) được chứng minh. 3. Bài tập tương tự Bài 1: 1 . ( 1) ( , )        n m nC m C m n Z m n m n Bài 2: 2 2 ( 2, ) 1       C C n n n Z n n Bài 3: - . . ( , , , , ) -     r k k r k C C C C r k n N r n k r n r n n r Bài 4: 1 2 -1 1 ( ) 2 2 2 2 2       n n C C C n Z n n n Bài 5: -1 -1  n r r C C n n r Bài 6 * :   2 3 1 1 2. 3 1 2 -1 -1 2         p n C C C C n n n n n n C p n n p n C C C C n n n n Ví d 4 Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 7 Bài 7: , 2    n N n ta có   1 1 1 1 2 2 2 2 3      n n A A A n Bài 8: CMR: -2 ( -1) ( 1) -2   k k k k C n n C n n Bài 9: CMR: -1 (0 ) -1 -1     k k k C C C k n n n n Bài 10: CMR: 2 . ( ) 0 )(1) 2 2 2 -     n n n C C C k n n n k n k Bài 11: CMR: 1 1 1      k k k A A kA n n n Bài 12: CMR: 1 2 3 1 2 3 1        n n P P P nP P Bài 13: CMR: 1 2 3 2 3 2 5 4 2 3             k k k k k k C C C C C C n n n n m m Bài 14: CMR: 1 2 2 (2 ,) 2         k k k k C C C C k n n n n n Bài 15: CMR: . . . ( , ; , , )       r k k n k a C C C C r n k r n r k Z n r n r k + + + 1 . ( ) 1 1 2 1 . ( ) 1 2 1             n r r r b C C r n n r r r r r c C C C C r n n n n r Bài 16: CMR: 0 1 1 2 2 5 5 1) . . . . 5 5 5 5 5 1 2 1 2) 1 2 1 1 2 3 4 3) 4. 6. 4. 4 3 1 2 4) 3. 3 3                                      k k k k k C C C C C C C C C n n n n n r r r r C C C C n n n r k k k k k k C C C C C C n n n n n n k k k k k C C C C C n n n n n 1 1 2 1 5) 2        m m m n n n m C C C C n 3 1 2 6) 3 3 3 1 2 3 2 3 7)2 5. 4. 2 3                     k k k k k C C C C C n n n n n k k k k k k C C C C C C n n n n n n Bài 17: CMR: 1000 (0 k 2000) 2001 2001 2001 2001 1 1001       k k C C C C ( ĐHQGHN – A –99- 00 ) Bài 18: CMR: 100 100 2 2 50 10 2 10 2 100  C 3- Dạng 3: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp. * Định nghĩa: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: ! n , n P , k n A , k n C . * Cách giải: Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 8  Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng: - ! n có nghĩa   n N - n P có nghĩa   n N * - k n A có nghĩa  ,  k n N; 1   k n - k n C có nghĩa  ,  k n N; 0   k n  Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp sang phương trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp: - ! 1.2.3 n  n với mọi , 1   n N n (nhớ: 0! = 1) - !  n P n với mọi  n N * - ! ( 1)( 2) ( 1) ( )!        k n n A n n n n k n k với mọi , 0       k n N k n - ! !( - )!  k n n C k n k với mọi ,  k n N; 0   k n - 1 1 1      k k k n n n c c c ( ,  k n N; 0   k n ) -   k n k n n c c ( ,  k n N; 0   k n )  Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường để tìm ẩn.  Bước 4: Đối chiếu với tập xác định, kết luận. * Một số ví dụ Giải phương trình sau: 1 1 1 . 72      y x y x x A P P Lời giải + Điều kiện của x; y: , ; x 2; y x-1    x y N (*) + Biến đổi phương trình về dạng: 2 ( 1)! ( )! ( )! 72 ( 1) 72 ( 1)! 8 72 0 9                     x x y x y x x x x x x x Đối chiếu với điều kiện ( * ) suy ra nghiệm của phương trình là 8  x . 1 7   y . ( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phương trình sau: 2 2 3 2 1 6 10 2    x x x A A C x Lời giải + Điều kiện của x: 3   x N + Biến đổi bất phương trình về dạng: 1 (2 )! ! 6 ! 10 2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)! 1 6 ( 2)( 1) (2 1)2 ( 1) 10 2 3! (2 1) ( 1) ( 2)( 1) 10 3 12 0 4                                x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Ví d ụ 1 Ví d ụ 2 Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 9 + Kết hợp với Điều kiện (*) 3; 4    x x + Vậy nghiệm của bất phương trình là 3; 4   x x ( HVBCVT- 98- + TNTHPT 02- 03): Giải hệ: 1 1 1 : : 6:5:2     y y y x x x C C C + Điều kiện của x, y ; ; 0 1 1 0 1 1 0 1                            x y N x y N y x y y x x y y x + Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 6 5 : : 6:5:2 6 5 2 5 2                         y y x x y y y y y y x x x x x x y y x x C C C C C C C C C C 1 ( 1)! 1 ( )! 6 !( 1 )! 5 ( 1)!( 1)! 1 ( )! 1 ( )! 5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)!                           x x y x y y x y x x y x y y x y 5( 1)( 1) 6( )( 1) 2( )( 1) 5 ( 1)                x y x y x y x y x y y y 5( 1)( 1) 3.5 ( 1) 2( )( 1) 5 ( 1)              x y y y x y x y y y 1 3 2( )( 1) 5 ( 1)            x y x y x y y y 3 1 2(3 1 )(3 1 1) 5 ( 1)              x y y y y y y y 2 3 1 3 9          x y y y 3 1 8 3 3              x y x y y Vậy nghiệm của hệ là x = 8; y = 3 * Bài tập tương tự: <1> Giải các phương trình, bất phương trình sau: 1. 1 2 79      o x x x x x C C C 6. 3 2 14    x x x A C x (TNTHPT - 98 - 99) 2. 3 3 8 6 5     x x x C A 7. 1 2 3 2 6 6 9 14     x x x C C C x x (ĐHNN - 99- 00) 3. 1 2 3 7 2    x x x x C C C 8. 3 2 5 21   x x A A x (ĐHQGHN - 98- 99) 4. 2 2 3 2 1 6 10 2    x x x A A C x 9. 3 1 4 3 1 1 14     n n n C P A ( ĐHHH – 1999 ) 5. 1 2 1 1 4 1 1 7 6     x x x C C C 10. 4 1 3 1 14     n n n n A P C 15. 2 5 3 60 ( )!      k n n P A n k (TNTHPT – 03 – 04 ) 16. 1 2 2 2 5 2      n n n n n C C A (TNTHPT – 04 – 05 ) <2> Tìm các số âm trong dãy số 1 2 3 ; ; , , n x x x x với 4 4 2 143 4     n n n n A x P P , n = 1,2,3,…,n. Ví dụ3 Giáo viên biên soạn: Trương Ngọc Hạnh Hậu lộc 2 10 <3 > Giải các hệ phương trình sau: a. 2 1 1 5 3           y y x x y y x x C C C C b. 2 5 90 5 2 80          y y x x y y x x A C A C c. 1 1 1 1 1 ( ): : 10:2:1        y y y y x x x x A yA A C < 4 > Cho khai triển nhị thức: 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 3 3 3 2 2 2 2 (2 2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 )(2 ) (2 )                  x x x x x x x x n n n n n n n n n n n C C C C ( n là số nguyên dương ). Biết trong khai triển đó 3 1 5  n n C C và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. ( ĐHCĐ -A- 2002 ) < 5 > Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2 2 3 3 4 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2.2 3.2 4.2 (2 1)2 2005              n n n n n n n C C C C n C ( ĐHCĐ -A- 2005 ) < 5 > Tính giá trị của biểu thức: 4 3 1 3 ( 1)!     n n A A M n biết rằng 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149         n n n n C C C C ( ĐHCĐ -D- 2005 ) 4- Dạng 4: Bài toán đếm số phương án 1. Ghi nhớ : 1. Đối với loại toán đếm số phương án, ta cần chú ý - Đọc kỹ đầu bài, phân tích câu văn cặn kẽ, nắm chắc bản chất của hành động, đối tượng để thấy được các khả năng có thể. - Sử dụng phép mô hình hoá cùng các quy tắc đếm cơ bản. - Trong một số bài toán, có thể ta phải sử dụng đến phần bù. Nguyên lý bù trừ: Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. Đó là nguyên lý bù trừ. 2. Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án: Thực hiện các bước:  Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp: 1 2 , , , k H H H  Bước 2: Nếu ta có: - 1 n cách khác nhau để thực hiện 1 H . - ứng với mỗi cách thực hiện xong 1 H ,ta có 2 n cách thực hiện 2 H … - ứng với mỗi cách thực hiện xong 1 2 1 , , ,  k H H H , ta có k n cách thực hiện k H  Bước 3: Khi đó ta có tât cả 1 2 . k n n n cách để thực hiện hành động H 3. Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán đếm số phương án: Ta thực hiện theo các bước:  Bước 1: Phân tách các phương án thành k nhóm độc lập với nhau: 1 2 , , , k H H H [...]... các chữ số đã cho lập đợc: 1 Bao nhiêu chữ số chẵn có 4 chữ số và 4 chữ số đó khác nhau đôi một? 2 Bao nhiêu chữ số chia hết cho 5, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một 3 Bao nhiêu chữ số chia hết cho 9, có 3 chữ số và 3 chữ số đó khác nhau đôi một Ngời ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 nh sau: Trong mỗi số đợc viết có một chữ số xuất hiện 2 lần còn các chữ số còn... thể lập được bao nhiêu số: a Có 3 chữ số mà trong mỗi số các chữ số khác nhau b Có 4 chữ số khác nhau và có chữ số 5 < 24 > Với 5 chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và thoả mãn: a Mỗi số nhỏ hơn 40000 b Mỗi số nhỏ hơn 45000 < 25 > Cho các số 0,1,2, ,9 có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 60000 xây dựng từ 10 chữ số đó Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể... nhiêu số gồm 5 chữ số đôi 1 khác nhau lấy từ E trong mỗi trường hợp sau: a Là số chẵn b Một trong 3 số đầu tiên bằng 1 < 21 > Từ các số 0,1,2, ,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao Cho trong các số đó có mặt chữ số 0 và 1 < 22 > Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau sao cho trong các số đó phải có mặt chữ số 5 < 23 > Cho các chữ số 0,2,4,5,6,8,9... nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ( ĐHSPHN2 - Đ8): Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ ctrong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần các chữ số khác có mặt một lần Với các số 0, 1, 2, 3, 4, ,5 ta có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó số 1 có mặt 3 lần mỗi số khác có mặt 1 lần ( ĐHHuế – 00 – 01 - Đ26) Cho các chữ số 0,... được : a Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau b Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau < 27 > Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau có thể lập được từ các chữ số 0,2,4,6,8 < 28 > Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được : a Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số 6,7 b.Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ 7 số trên sao cho: 1 Chữ số đầu tiên là 3 2 Các chữ số đều khác nhau 3... e Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi 1 khác nhau sao cho chữ số đứng cuối chia hết cho 4 < 31 > Với 4 chữ số 1,2,3,4 có thể lập được bao nhiêu số có các chữ số phân biệt < 32 > Với 5 chữ số 1,2,3,4 ,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt và là a Số lẻ b Số chẵn < 33 > Từ 7 chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau (ĐHAN - 97 ) Ví... 6 chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5 < 35 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,7,8 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5 < 36 > Từ 8 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và số đó không chia hết cho 10 Lời giải B/ Bài toán đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên... bằng chữ số 4 < 29 > Với các chữ số 0,1,2,3,4,5 ta có thể thành lập được bao nhiêu số chẵn mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau < 30 > Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8} Từ tập A: a Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 3 chữ số b Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số lẻ c Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau d Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi 1... 1 số hạng  0 2 3 n Các hệ số của số hạng lần lượt là: Cn ; C1 ; Cn ; Cn ; ' ; Cn n  0 n Khai triển bắt đầu bằng Cn a n kết thúc bằng Cn bn , sau đó không kể đến hệ số, số    mũ của a ở các số hạng liền sau giảm đi 1 đơn vị và số mũ của b ở các số hạng liền sau tăng lên 1 đơn vị Tổng các số mũ của a và b bằng n Các hệ số của các số hạng cách đều hai số hạng đầu cuối bằng nhau Công thức của số. .. 1 lần Hỏi có bao nhiêu số nh vậy Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đợc viết bởi duy nhất 3 chữ số 1, 2, 3, trong đó chữ số 2 xuất hiện 2 lần Tự luyện: < 15 > Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số ? < 16 > Cho A = {1,3,5,6,8} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số lấy từ các chữ số trong tập A ? < 17 > Cho A = {0,1,2,3,5,7,9} Từ tập A có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi 1 khác nhau < 18 . biểu thức đại số tổ hợp. 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương. bất đẳng thức đại số tổ hợp. 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 1 bài toán chọn cơ bản) A/ Bài toán đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế B/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học. C/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến số