HỆ THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác: Nhận xét: ( ( tana xác định khi ( cota xác định khi 2. Dấu của các giá trị lượng giác: Cung phần tư Giá trị lượng giác I II II IV Sina + + – – Cosa + – – + Tana + – + – Cota + – + – 3. Hệ thức cơ bản: sin2a + cos2a = 1; tana.cota = 1 4. Cung liên kết: Cung đối nhau Cung bù nhau Cung phụ nhau 5. Bảng giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt II. CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: III. CÔNG THỨC NHÂN 1. Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa 2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba: 4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan Đặt: thì: IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI 1. Công thức biến đổi tổng thành tích: 2. Công thức biến đổi tích thành tổng: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ Tập xác định D = R; tập giá trị hàm lẻ, chu kỳ y = sin(ax + b) có chu kỳ y = sin(f(x)) xác định xác định. Tập xác định D = R; Tập giá trị hàm chẵn, chu kỳ y = cos(ax + b) có chu kỳ y = cos(f(x)) xác định xác định. Tập xác địnhtập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ y = tan(ax + b) có chu kỳ y = tan(f(x)) xác định Tập xác địnhtập giá trị T = R, hàm lẻ, chu kỳ y = cot(ax + b) có chu kỳ y = cot(f(x)) xác định y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2. Tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm số sau: a b c d e f g h i y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: a y = b c d e f g y = sinx + cosx h y i y = Xét tính chẵn – lẻ của hàm số: a y = sin2x b y = 2sinx + 3 c y = sinx + cosx d y = tanx + cotx e y = sin4x f y = sinx.cosx g y = h y = i y = Tìm chu kỳ của hàm số: a b c d e f g h i y = tan((3x + 1) ĐS: a b 6c d 4e f 70 g h i
Phương pháp giải tốn Đại số 11 CHƯƠNG 11 CHƯƠNG CÔN NG G THỨ THỨC C LƯ LƯN NG G GIÁ GIÁC C CÔ I HỆ THỨC CƠ BẢN sin Đònh nghóa giá trò lượng giác: tang OP = cos a OQ = sin a AT = tan a BT ' = cot a Q Nhận xét: • ∀a, − ≤ cos a ≤ 1; − ≤ sin α ≤ • tana xác đònh a ≠ O B T T' cotang M α p A cosin π + kπ , k ∈ Z , • cota xác đònh a ≠ kπ , k ∈ Z Dấu giá trò lượng giác: Cung phần tư Giá trò lượng giác Sina Cosa Tana Cota I II II IV + + + + + – – – – – + + – + – – Hệ thức bản: sin2a + cos2a = 1; + tan a = cos a tana.cota = ; + cot a = sin a Cung liên kết: Cung đối Cung bù cos(− a) = cos a sin(π − a) = sin a sin(−a) = − sin a cos(π − a) = − cos a GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Cung phụ π sin − a ÷ = cos a 2 π cos − a ÷ = sin a 2 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 tan(− a) = − tan a tan(π − a) = − tan a cot(− a) = − cot a cot(π − a) = − cot a π tan − a ÷ = cot a 2 π cot − a ÷ = tan a 2 π Cung π Cung sin(π + a) = − sin a π sin + a ÷ = cos a 2 cos(π + a) = − cos a π cos + a ÷ = − sin a 2 tan(π + a) = tan a π tan + a ÷ = − cot a 2 cot(π + a) = cot a π cot + a ÷ = − tan a 2 Bảng giá trò lượng giác góc (cung) đặc biệt π π π π 2π 3π π 3π 2π 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 sin 2 3 2 –1 cos 2 2 –1 tan 3 3 3 cotg − − 2 − –1 3 –1 − 0 II CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng: GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b tan a + tan b − tan a.tan b tan a − tan b tan(a − b) = + tan a.tan b tan(a + b) = cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b Hệ quả: π + tan x π − tan x tan + x ÷ = , tan − x ÷ = 4 − tan x 4 + tan x III CÔNG THỨC NHÂN Công thức nhân đôi: sin2a = 2sina.cosa cos 2a = cos2 a − sin2 a = cos2 a − = − 2sin a tan 2a = tan a − tan a Công thức hạ bậc: ; cot 2a = cot a − cot a Công thức nhân ba: sin 3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cos a tan a − tan3 a tan 3a = − 3tan a − cos 2a sin a = + cos 2a cos2 a = − cos 2a tan a = + cos 2a a Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan : 2t a Đặt: t = tan (a ≠ π + 2kπ ) thì: sin a = ; + t2 cos a = − t2 + t2 ; tan a = 2t − t2 IV CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Công thức biến đổi tổng thành tích: sin a + sin b = 2sin a+b a−b cos 2 GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học tan a + tan b = sin(a + b) cos a.cos b Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 sin a − sin b = cos a+b a−b sin 2 cos a + cos b = cos a+b a−b cos 2 tan a − tan b = sin(a − b) cos a.cos b cot a + cot b = sin(a + b) sin a.sin b sin(b − a) sin a.sinb π π sin a + cos a = 2.sin a + ÷ = 2.cos a − ÷ 4 4 cos a − cos b = − 2sin a+b a−b sin 2 cot a − cot b = π π sin a − cos a = sin a − ÷ = − cos a + ÷ 4 4 Công thức biến đổi tích thành tổng: cos(a − b) + cos(a + b) 2 sin a.sin b = cos(a − b) − cos(a + b) sin a.cos b = sin(a − b) + sin(a + b) cos a.cos b = HÀM M SỐ SỐ LƯ LƯN NG G GIÁ GIÁC C I.I HÀ TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ y = sin x : Tập xác đònh D = R; tập giá trò T = −1, 1 ; hàm lẻ, chu kỳ T0 = 2π 2π * y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 = a * y = sin(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) xác đònh y = cos x : Tập xác đònh D = R; Tập giá trò T = −1, 1 ; hàm chẵn, chu kỳ T0 = 2π GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 2π * y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 = a * y = cos(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) xác đònh π y = tan x : Tập xác đònh D = R \ + kπ , k ∈ Z ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ 2 T0 = π π * y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 = a π * y = tan(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) ≠ + kπ (k ∈ Z ) y = cot x : Tập xác đònh D = R \ { kπ , k ∈ Z } ; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ T0 = π π * y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 = a * y = cot(f(x)) xác đònh ⇔ f ( x ) ≠ kπ (k ∈ Z ) * y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số y = f1 ( x ) ± f2 ( x ) có chu kỳ T0 bội chung nhỏ T1 T2 Bài Tìm tập xác đònh tập giá trò hàm số sau: 2x ÷ x −1 a/ y = sin b/ y = sin x d/ y = − cos2 x e/ y = g/ y = cot x + π ÷ 3 h/ y = c/ y = − sin x π f/ y = tan x − ÷ sin x + sin x cos( x − π ) i/ y = tan x − Bài Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ hàm số: π a/ y = 2sin x + ÷+ b/ y = cos x + − c/ y = sin x d/ y = sin x − 4sin x + e/ y = cos2 x + 2sin x + f/ y = sin x − cos2 x + 4 GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 g/ y = sinx + cosx h/ y = sin x − cos x i/ y = sin x + cos x + Bài Xét tính chẵn – lẻ hàm số: a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + c/ y = sinx + cosx d/ y = tanx + cotx e/ y = sin4x f/ y = sinx.cosx g/ y = sin x − tan x sin x + cot x h/ y = cos3 x + sin3 x i/ y = tan x Bài Tìm chu kỳ hàm số: a/ y = sin x d/ y = sin x + cos b/ y = cos x g/ y = 2sin x cos3 x ĐS: a/ π c/ π b/ 6π x c/ y = sin2 x 3x 2x − sin e/ y = tan x + cot 3x f/ y = cos h/ y = cos2 x i/ y = tan(−3x + 1) d/ 4π e/ π f/ 70π g/ π h/ π i/ π ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯNG GIÁC 1/ Vẽ đồ thò hàm số lượng giác: – Tìm tập xác đònh D – Tìm chu kỳ T0 hàm số – Xác đònh tính chẵn – lẻ (nếu cần) – Lập bảng biến thiên đoạn có độ dài chu kỳ T0 chọn: x ∈ 0, T0 T T x ∈ − , 2 – Vẽ đồ thò đoạn có độ dài chu kỳ – r r v = k T Rồi suy phần đồ thò lại phép tònh tiến theo véc tơ i bên r trái phải song song với trục hoành Ox (với i véc tơ đơn vò trục Ox) 2/ Một số phép biến đổi đồ thò: a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy đồ thò hàm số y = f(x) + a cách tònh tiến đồ thò y = f(x) lên trục hoành a đơn vò a > tònh tiến xuống phía trục hoành a đơn vò a < GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 b/ Từ đồ thò y = f(x), suy đồ thò y = –f(x) cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua trục hoành f ( x ), f(x) ≥ c/ Đồ thò y = f ( x ) = -f(x), f(x) < suy từ đồ thò y = f(x) cách giữ nguyên phần đồ thò y = f(x) phía trục hoành lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x) nằm phía trục hoành qua trục hoành y Ví dụ 1: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = sinx – Tập xác đònh: D = R – Tập giá trò: −1, 1 − −π 3π y = sinx − π π – Chu kỳ: T = 2π π 2π 3π x 5π –1 – Bảng biến thiên đoạn 0, 2π x0y 0 –1 r r – Tònh tiến theo véctơ v = 2kπ i ta đồ thò y = sinx Nhận xét: – Đồ thò hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng π – Hàm số đồng biến khoảng 0, ÷ nghòch biến 2 y Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx π , π ÷ 2 y = cosx – Tập xác đònh: D = R – Tập giá trò: −1, 1 − 3π −π − π π π 3π 2π 5π x –1 – Chu kỳ: T = 2π – Bảng biến thiên đoạn 0, 2π : x0y 1 GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 –1 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 – r r v = k π i ta đồ thò y = cosx Tònh tiến theo véctơ Nhận xét: – Đồ thò hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng – Hàm số nghòch biến khoảng 0, π ÷ nghòch biến khoảng 2 3π π , ÷ Ví dụ 3: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = tanx π – Tập xác đònh: D = R \ + kπ , k ∈ Z 2 y – Tập giá trò: R – Giới hạn: y = tanx lim y = ∞ x →± π π ⇒ x = ± : tiệm cận đứng − π 3π − π π O π 2π 3π 5π x – Chu kỳ: T = π π π – Bảng biến thiên − , ÷ : 2 x0y +∞ –∞ – r r Tònh tiến theo véctơ v = kπ i ta đồ thò y = tanx Nhận xét: – Đồ thò hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Hàm số đồng biến tập xác đònh D Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx – Tập xác đònh: D = R \ { kπ , k ∈ Z } y – Tập giá trò: R y = cotx – Giới hạn: lim y = + ∞, lim y = − ∞ x→ x→ x −2 π − 3π −π − π O π π 3π 2π x tiệm cận đứng: x = 0, x = π GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 – Chu kỳ: T = π – Bảng biến thiên đoạn 0, π : x0y +∞ –∞ r r – Tònh tiến theo véctơ v = kπ i ta đồ thò y = cotx Nhận xét: – Đồ thò hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng – Hàm số giảm tập xác đònh D Ví dụ 5: Vẽ đồ thò y = – sinx – Vẽ đồ thò y = sinx – Từ đồ thò y = sinx, ta suy đồ thò y = –sinx cách lấy đối xứng qua Ox y –2π − 3π −π − O π y = –sinx π π 3π 2π x –1 Ví dụ 6: Vẽ đồ thò y = sinx sin x , sin x ≥ y = sin x = -sin x, sin x < y y = /sinx/ π − π O π π 3π 2π x Ví dụ 7: Vẽ đồ thò hàm số y = + cosx – Vẽ đồ thò y = cosx GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 – Từ đồ thò y = cosx, ta suy đồ thò y = + cos x cách tònh tiến đồ thò y = cos x lên trục hoành đơn vò – Bảng biến thiên đoạn 0, 2π : x0πy = cosx1 –1 01y = + cosx2 12 y y = + cosx y = cosx − π π − O 3π π π x –1 Ví dụ 8: Vẽ đồ thò y = sin2x – y = sin2x có chu kỳ T = π – Bảng biến thiên đoạn 0, 2π : x02x0y = sin2x –1 01 y GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho họcπ sinh Odu học π π − − 4 –1 y = sin2x Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 π 3π π 5π x Phương pháp giải tốn Đại số 11 a) lim+ x →2 x − 15 x −2 b) lim− x →2 x − 15 x −2 c) + 3x − x lim x −3 x →3+ d) lim x − + x →2 Bài 37: e) lim+ x−2 x →2 2− x x − 5x + f) lim− x →2 2− x x − 5x + Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: 1+ x −1 x > + x − x = a) f ( x ) = 3 x ≤ − x2 f ( x ) = x − x < 1 − x x ≥ x2 − 2x − x3 f ( x ) = c) x − 16 x − b) x = x > x = d) x < x − 3x + x > f (x) = x − x = − x x ≤ Bài 38: Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:: x3 − a) f ( x ) = x − x < mx + x ≥ x = b) − x > f (x) = x − x − x = m2 x − 3mx + x ≤ GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 x + m x < x = d) c) f ( x ) = x + 100 x + x ≥ x +3 x + 3m x < − f ( x) = x = − x + x + m + x ≥ − III Hàm số liên tục f ( x ) = f ( x0 ) Hàm số liên tục điểm: y = f(x) liên tục x0 ⇔ xlim → x0 • Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim + f ( x ) , lim − f ( x ) ) B2: Tính xlim →x x→ x x→ x 0 f ( x ) với f(x ) rút kết luận B3: So sánh xlim →x Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x ) = f (a), lim− f ( x ) = f (b) x →a + x →b • Hàm số đa thức liên tục R • Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x • Hàm số y = f (x) liên tục x0 g(x0) ≠ g( x ) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c ∈ (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c∈ (a; b) f ( x ) , M = max f ( x ) Khi Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = [ a;b] [ a;b] với T ∈ (m; M) ln tồn số c ∈ (a; b): f(c) = T Bài 33: Xét tính liên tục hàm số điểm ra: GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 x +3 f ( x ) = a) x −1 −1 x ≠ x = −1 x = b) x+3−2 x ≠ f (x) = x − x = 1 x = − x + 5x − x3 x ≠ x = c) f ( x ) = x − x + 1 x = d) x−5 x > f (x) = x − − x = ( x − 5)2 + x ≤ 1 − cos x x ≤ x > x +1 e) f ( x ) = x −1 f (x) = − x − −2 x Bài 34: x < f) x = x ≥ Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: x a) f ( x ) = 2mx − x3 − x2 + x − b) f ( x ) = x −1 x + m m x − x − c) f ( x ) = x ( x − 3) n x2 − x − d) f ( x ) = x − m Bài 35: x = x < x ≥ x = x ≠ x = x = x = x ≠ 0, x ≠ x = x = x = x ≠ x = x = Xét tính liên tục hàm số sau tập xác định chúng: GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 x3 + x + a) f ( x ) = x + 4 x2 − c) f ( x ) = x + −4 Bài 36: x ≠ −1 x = −1 x ≠ −2 x = −2 x − 3x + b) f ( x ) = 5 2 x + x2 − d) f ( x ) = x − 2 x < x = x > x ≠ x = Tìm giá trị m để hàm số sau liên tục tập xác định chúng: x2 − x − a) f ( x ) = x − m x ≠ x = x3 − x + x − c) f ( x ) = x −1 3 x + m Bài 37: x = d) f ( x ) = x 2mx − x < x = x > x < x ≥ Chứng minh phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x − x + = Bài 38: x ≠ x2 + x b) f ( x ) = 2 mx + b) x + x + x + = c) x + − x = Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) x − x + = b) x + x − = c) x + x − 3x + x + = Bài 39: Chứng minh phương trình: x − x + x − = có nghiệm (– 2; 2) Bài 40: Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số: a) m( x − 1)3 ( x − 2) + x − = b) x + mx − 2mx − = c) a( x − b)( x − c) + b( x − c)( x − a) + c( x − a)( x − b) = d) (1 − m2 )( x + 1)3 + x − x − = e) cos x + m cos x = Bài 41: f) m(2 cos x − 2) = sin x + Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm: a) ax + bx + c = với 2a + 3b + 6c = b) ax + bx + c = với a + 2b + 5c = c) x + ax + bx + c = 1 Bài 42: Chứng minh phương trình: ax + bx + c = ln có nghiệm x ∈ 0; với 3 a ≠ 2a + 6b + 19c = GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Tìm giới hạn sau: Bài n + 2n ( n2 − 3n − n2 + ) cos n2 i) lim g) lim n − − n3 + n c) lim 25n+1 + f) lim 35n+2 + ( n3 + 3n2 − n ) n + 2n 3n + n + (−1)n + 4.3n (−1)n+1 − 2.3n ( h) lim 1+ n2 − n4 + n n k) lim n2 + ( 3n2 + − n2 − ) l) ) Tìm giới hạn sau: Bài a) lim x →3 d) lim x − 5x + x − x + 15 x − 5x3 + 3x + x →1 x g) lim − 8x + x − x3 − x − x →1 x − 2x −1 b) lim1 x→ e) lim 8x − x − 5x + x − 3x + x →1 x − 4x + x+2 h) lim x →−2 x + 5x + c) lim x3 − 4x2 + x − x − 3x x →3 f) lim x3 − 2x2 − x + x − x + 16 x →2 i) lim ( x + 2)2 − x2 − x →−1 Tìm giới hạn sau: Bài x −2 a) lim x →2 − x −2 x →4 g) lim x →1 k) lim x →0 lim x →2 x+7 + 2x − d) lim Bài e) lim 2n2 + 3n − g) lim sin n + b) lim ÷ n + 2n 3n3 d) lim lim n+2 + + + + n a) lim x + − − x2 x −1 x −1 x −1 b) lim + x − x x →0 2x + − e) lim x +3 −2 x →1 h) lim x →0 1+ x − 1− x x l) lim + x − x →0 x x +8 −3 c) lim x →1 x f) lim x →0 i) lim + 2x − x2 + − − x + 16 x →2 4x − x −2 m) x +2 + x +7 −5 x −2 Tìm giới hạn sau: x −1 x − 3x + b) lim− x →1 x + x − x+2 x →−2 GV: TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học a) lim + 3x3 − x + x +1 x →−1 Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 c) lim + Phương pháp giải tốn Đại số 11 d) lim− x − 5x + e) lim+ ( x − 2) x →2 x →3 + 2x − g) lim + f) lim+ x →0 x + 5x − h) lim − x+2 x →−2 3x + 3− x i) lim+ ( x − ) ( x − 3) x →−3 x →2 x+ x x− x x x −4 Tìm giới hạn sau: Bài a) lim x →−∞ x3 − 3x + x − x − 5x3 + x − x + x →+∞ (3 x 3x + x − x →+∞ g) lim x→ − ∞ k) lim x →−∞ Bài c) + x +1 ( + 1)(10 x + 9) x − x3 + x d) lim x →−∞ x →+∞ x (2 x − 3)2 (4 x + 7)3 lim lim x2 + x − b) lim e) lim ( x2 + + x h) lim ( x2 − x + + x x →−∞ x2 + − x + 2x x →−∞ x + x + 3x l) lim x →−∞ 4x + − x + x2 + 2x + x ( ) f) lim ( x + x − x + 1) x →−∞ ) 5x + − x x →−∞ 1− x i) lim ) x + x − x − m) ) Xét tính liên tục hàm số: 1 − x a) f ( x ) = x − x − x − R 1 − cos x x ≠ sin x f ( x ) = b) 1 x = R x x < f ( x ) = d) 1 − x x ≥ x ≤ x > x =0 12 − x c) f ( x ) = x − x + 10 2 Bài x ≠ x = Tìm a để hàm số liên tục R: ìï 2a +1 ïï f ( x ) = í x3 - x + x - a) ïï ïïỵ x- x2 + x − c) f ( x ) = x + a Bài x = x £ x >1 x ≠ −2 x = −2 x2 − b) f ( x ) = x − x + a x2 − 4x + d) f ( x ) = x − ax + x ≠ x = x < x ≥ Chứng minh phương trình: GV:TRẦN NGỌC HIẾU 01659033374 Dạy trước chương trình cho học sinh du học Nhận dạy kèm học sinh L6-L12 Phương pháp giải tốn Đại số 11 a) x + x + x + = có nghiệm phân biệt b) m( x − 1)3 ( x − 4) + x − = ln có nghiệm với giá trị m c) (m2 + 1) x – x –1 = ln có nghiệm nằm khoảng ( −1; ) với m d) x + mx − = ln có nghiệm dương e) x − 3x + x – = có nghiệm khoảng (1; 2) Bài Cho m > a, b, c số thực thoả mãn: a b c + + = Chứng minh m + m +1 m phương trình: f ( x ) = ax + bx + c = có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) m +1 c2