giải tích

Tập hợp gọi tắt là tập và các phần tử của nó là những khái niệm cơ bản của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác.. c Dùng hình phẳng giới

PHẠM GIA HƯNG

GIẢI TÍCH

Bộ Môn Toán 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

Mục lục Chương 1 Giới hạn 5

1 Các khái niệm cơ bản 5

2 Giới hạn của dãy số 12 2.1 Các khái niệm 12 2.2 Các tính chất về dãy hội tụ và các phép toán về dãy hội tụ 14

2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ 16

3 Giới hạn của hàm số thực 18

3.1 Các khái niệm 18 3.2 Các phép toán về giới hạn hàm số 20

3.3 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn hàm số 21

3.4 Vô cùng bé - Vô cùng lớn 22

4 Hàm số liên tục 23 4.1 Các khái niệm 23 4.2 Các phép toán về hàm liên tục 24

3.1 Tích phân suy rộng loại 1 63

2.1 Các khái niệm 91

3 Phương trình vi phân cấp hai 95

3.1 Các khái niệm 95

3.2 Một số dạng phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 96

3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 101

Tài liệu tham khảo 110

Chương 1 Giới hạn

1 Các khái niệm cơ bản

1.1 Tập hợp - Mệnh đề

1.1.1 Tập hợp

1) Khái niệm Tập hợp (gọi tắt là tập) và các phần tử của nó là những khái niệm cơ bản

của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác

• Nếu x là phần tử thuộc (/ không thuộc) tập A thì ta viết x ∈A x(/ ∉A) Ta nói A là tập con của B , ký hiệu A⊂B , nếu mọi phần tử của A đều là phần tử củaB Nếu A⊂B và

B⊂A thì ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu A=B Một tập không chứa phần tử nào gọi

là tập rỗng, ký hiệu ∅ Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp

2) Các cách diễn tả tập hợp

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp trong hai dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết một

lần

b) Chỉ ra tính chất chung của các phần tử trong tập hợp

c) Dùng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa tập hợp; mỗi điểm trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập đó

A B∪ = x x ∈ ∨ ∈A x B c) Hiệu của hai tập A và B là tập được cho bởi

n

A =A ×A × ×A

1.1.2 Mệnh đề

1) Khái niệm Mệnh đề (toán học) là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai Sai hay đúng

được gọi là chân trị của mệnh đề

2) Các ký hiệu logic Để diễn đạt thuận lợi các lập luận toán học người ta thường dùng các

ký hiệu sau đây

• :p = biểu thức: Định nghĩa p là biểu thức vế phải

• p : Phủ định của mệnh đề p , là mệnh đề đúng khi p sai và ngược lại

• p q ∧ (đọc là p vàq ): Hội của hai mệnh đề p và q , là mệnh đề đúng khi p và q đều

đúng và sai trong các trường hợp còn lại

• p q ∨ (đọc là p hoặc q): Tuyển của hai mệnh đề p và q , là mệnh đề sai khi p và q

đều sai và đúng trong các trường hợp còn lại

•p ⇒q (đọc là p suy ra q ): Mệnh đề p kéo theo mệnh đề q , là mệnh đề đúng khi p đúng q đúng Khi đó ta cũng nói p là điều kiện đủ của q và q là điều kiện cần của p

•p ⇔q : Mệnh đề p tương đương với mệnh đề q , là mệnh đề được xác định bởi

(p ⇒q) (∧ q ⇒p) Khi đó ta cũng nói p là điều kiện cần và đủ của q

• Mệnh đề “Với mọi x1, ,x n thuộc X , ta có P x( 1, ,x ” được ký hiệu n)

Số hữu tỷ bao gồm các số nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn Số thập phân

vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập

• Để tiện trong nhiều vấn đề, người ta thường đưa vào hai phần tử mới +∞ và −∞ , gọi là các số vô cực và quy ước các phép tính đại số giữa các số vô cực và các số thực như sau: với mọi x ∈ , ta có

• Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số phức được thực hiện giống như việc thực

hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các nhị thức trong số thực với lưu ý

2 1, 3 , 4 1, 5 ,

i = − i = −i i = i =i

Ví dụ Với z1 = +2 3i và z2 = −4 5i, ta có

1) Khái niệm Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc sao cho mỗi phần tử

x ∈X (∀ ∈x X) tương ứng với duy nhất một phần tử y Y∈ (∃!y Y∈ ), ký hiệu

:

f X Y

x y

→ hay :f X →Y x, y

Ta nói y là ảnh của x qua f và viết y = f x( ) Ảnh của tập D ⊂X qua ánh xạ f là tập

( ): { ( ) / }

f D = f x ∈Y x ∈D

2) Các loại ánh xạ Cho ánh xạ :f X →Y Ta nói

(i) f là đơn ánh nếu

Ta gọi D là tập xác định, f D là tập giá trị của hàm số f ; x là biến độc lập (hay đối số), ( )

y là biến phụ thuộc (hay hàm số) Đồ thị của hàm f là tập

( ) { ( ( ) ) 2 }

Graph f := x f x, ∈ :x ∈D

• Thông thường người ta cho hàm số bởi một biểu thức dạng y = f x( ) Nếu không chỉ

rõ thì ta hiểu tập xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa

Ví dụ Hàm

(v1) Hàm số trị tuyệt đối

, 0, 0

4) Hàm sơ cấp Đó là các hàm được thành lập từ các hàm sơ cấp cơ bản (xem phụ lục 1)

bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hàm hợp

(v2) Các hàm sau đây không phải là hàm sơ cấp

(/ inf A∈A) thì maxA: sup= A(/ minA: inf= A) và được gọi là giá trị lớn nhất (/ nhỏ

nhất) của A Tập A được gọi là bị chặn hay giới nội nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn

6) Các đặc tính của hàm số Cho hàm số f xác định trênD

a) Hàm bị chặn Ta nói f bị chặn trên, (/ dưới) trên D , nếu tập f D bị chặn hay ( )

và nói f giảm (/ không tăng) trênD , nếu

y = f x = x = − ⎢ ⎥x ⎡ ⎤⎣ ⎦ (y x = ⎢ ⎥⎡ ⎤⎣ ⎦ được gọi là hàm phần nguyên của x ) x

là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = (Hình 1.1) 1

• Một dãy số được gọi là hội tụ nếu nó có giới hạn hữu hạn và được gọi là phân kỳ trong

trường hợp ngược lại (có giới hạn vô cực hoặc không có giới hạn)

Nhận xét Ta có

lim n 0 lim n 0

→∞ = ⇔ →∞ = Thật vậy, do

q

n n

=

2.2 Các tính chất và các phép toán về dãy hội tụ

Định lý 1.1 Nếu dãy x n hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

♦ Giả sử ngược lại có đồng thời lim n

→∞ = và lim n

→∞ = với a <b Theo tính trù mật của

số thực, lấy r ∈( )a b, Với lim n ,

Nhận xét Từ định lý 1.2 ta thấy rằng, để chứng minh một dãy số không có giới hạn ta chỉ ra

hai dãy con của nó có giới hạn khác nhau

Ví dụ Dãy số x n = −( )1n không có giới hạn vì nó có hai dãy con ( )2

2k 1 k 1

( )2 1

2k 1 1 k 1

x − = − − = − lần lượt có giới hạn là 1 và 1− khi k → ∞

Định lý 1.3 Nếu dãy x n hội tụ thì nó bị chặn

Định lý 1.5 (Các phép toán về dãy hội tụ) Giả sử các dãy số x y n, n hội tụ Khi đó

(m1) lim( n n) lim n lim n

Nhận xét Đối với các dãy có giới hạn vô cực, ta cũng có thể áp dụng định lý 1.5 để tính giới

hạn, với lưu ý sử dụng các phép tính đã quy ước trên tập số thực mở rộng

2.3 Các tiêu chuẩn hội tụ

Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn kẹp) Giả sử lim n lim n

♦ Dãy a n không giảm và bị chặn trên và dãy b n không tăng và bị chặn dưới nên

Vậy a = là điểm chung duy nhất của các đoạn đã cho.♦ c

Định lý 1.9 (Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy vô hạn bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội

tụ

♦ Giả sử x n là dãy bị chặn Khi đó tồn tại a b1, 1 sao chox n ∈ ⎢⎡⎣a b1, 1⎤⎥⎦ Chia ⎡⎢a b1, 1⎤⎥

⎣ ⎦ ra thành hai đoạn có độ dài bằng nhau thì ít nhất một trong hai đoạn đó chứa vô số phần tử của x nký hiệu đoạn đó là ⎡⎢a b2, 2⎤⎥

⎣ ⎦ Lại chia đôi đoạn này ta được đoạn con ⎡⎢a b3, 3⎤⎥

⎣ ⎦ chứa vô số phần tử của dãy Tiếp tục quá trình đó ta được dãy đoạn lồng nhau và thắt lại với 1 1 0

khi n → ∞ Theo nguyên lý Cantor dãy đoạn đó có điểm chung duy nhất a Bây giờ ta lập

dãy con như sau: lấy

1

n

x là phần tử của x n, thuộc ⎡⎢a b1, 1⎤⎥

⎣ ⎦ ; lấy x n2 ≠x n1là phần tử của x n, thuộc ⎡⎢a b2, 2⎤⎥,

⎣ ⎦ Quá trình đó cho ta dãy con x n k ∈ ⎢⎡⎣a b k, k⎤⎥⎦. Do x n k − ≤a b k −a k →0 hay

k

n

x → khi k → ∞ ♦ a

3 Giới hạn của hàm số thực 3.1 Các khái niệm

Định nghĩa (Heine) Cho hàm số f xác định trong lân cận U α của α ∈( ) (có thể không

xác định tại α ) Ta nói f có giới hạn là β ∈ khi x dần đến α , nếu

(n3) Từ định nghĩa ta thấy rằng, để chứng minh một hàm số không có giới hạn khi x → , α

ta chỉ cần chỉ ra hai dãy đối số dần đến α nhưng các dãy giá trị tương ứng của hàm số có giới

Định lý 1.10 (Cauchy) Cho hàm số f xác định trong lân cận nào đó của α ∈ (có thể

không xác định tại α ) Khi đó

Nhận xét Cho hàm số f xác định trong lân cận của a ∈ Từ định nghĩa ta có

x→ +x = +∞ và

0

1lim

x→ −x = −∞ Vậy có thể viết

0

1lim

x→ x = ∞ (v2) Ta có

(t1) Giới hạn hữu hạn của hàm số nếu có thì là duy nhất

(t2) Giả sử f x có giới hạn hữu hạn khi ( ) x →α Khi đó

limlim

lim

x x

( ) ( )

0 0

α

→ ∈ = ∈ → = ∈ và ∃U( )α ,∀ ∈x U( ) { } ( )α \ α :f x ≠y0 Khi đó

→ , nếu f x là hàm sơ cấp xác định trong lân cận của a ( )

thì sử dụng định lý 1.13 ta có ngay kết quả; còn nếu f x không xác định tại a thì giới hạn ( )

sẽ là một trong các dạng vô định 0 0 0

, , 0 , ,1 , 0 ,0

∞

∞ Khi đó ta dùng các giới hạn đặc biệt, các phép toán về giới hạn để tính

3.4 Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn hàm số

Dựa vào định nghĩa giới hạn của hàm số và các tiêu chuẩn hội tụ của dãy số, ta có các kết quả sau

Định lý 1.14 (Tiêu chuẩn kẹp) Giả sử lim ( ) lim ( )

Khi đó lim ( )

α

→ =

Định lý 1.15 (Giới hạn của hàm đơn điệu)

(m1) Cho hàm f x xác định, không giảm trong lân cận trái củaa Khi đó, nếu ( ) f x bị ( )

• Cho f và g là VCB khi x →α. Ta nói f là VCB cấp cao hơn g (hay g là VCB cấp

thấp hơn f ), ký hiệu f =0( )g , nếu limg x f x( )( ) 0

Nhận xét Giả sử f x và ( ) g x là VCB khi ( ) x →α; f x và ( ) g x đều là tổng của nhiều ( )

VCB Khi đó giới hạn của tỷ số g x f x( )( ) bằng giới hạn của tỷ số hai VCB cấp thấp nhất ở tử số và

( )

4x 1 4 , ln 1 2 2

e − ∼ x + x ∼ x (v2)

2 4

nói f và g là hai VCL tương đương nhau, ký hiệu f ∼ g

Nhận xét Giả sử f x và ( ) g x là VCL khi ( ) x →α; f x và ( ) g x đều là tổng của nhiều ( )

VCL Khi đó giới hạn của tỷ số f x g x( )( ) bằng giới hạn của tỷ số hai VCL cấp cao nhất ở tử số và

• Cho hàm số f xác định trong lân cận của a ∈ Ta nói f liên tục tại a , nếu

( ) ( )

lim

→ =

Hàm f được gọi là gián đoạn tại a nếu nó không liên tục tại a

• Cho hàm số f xác định trong lân cận bên phải (/ trái) của a ∈ , kể cả a Ta nói f

liên tục phải (/ trái) tại a , nếu

• Ta nói f liên tục trong ( )a b , nếu f liên tục tại mọi , x ∈( )a b, và nói f liên tục trên

(n1) Hàm f liên tục tại a khi và chỉ khi f liên tục phải và liên tục trái tại a

(n2) Nếu f liên tục trên ,⎡⎢a b⎤⎥

⎣ ⎦ thì đồ thị của f trên đoạn ,⎡⎢⎣a b⎤⎥⎦ là một đường liền nét

Dựa vào các định lý các phép toán về giới hạn và định nghĩa tính liên tục của hàm số ta

có các kết quả sau đây

Định lý 1.16 (Tính liên tục của tổng, tích, thương) Nếu các hàm số f x và ( ) g x liên tục ( )

tại a thì f x( )±g x f x g x f x( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , /g x với g a ≠ cũng liên tục tại a ( ) 0

Định lý 1.17 (Tính liên tục của hàm hợp) Nếu hàm số y = f x( ) liên tục tại x = và a

( )

z =g y liên tục tại y = f a( ) thì z =g f x( ( ) ) cũng liên tục tại a

Định lý 1.18 (Tính liên tục của hàm sơ cấp) Hàm sơ cấp liên tục trên các khoảng mở thuộc

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ra thành hai đoạn dài bằng nhau bởi điểm chia x và giả sử f x ≠ ( ) 0

(nếu không c chính là điểm chia đó); gọi một trong hai đoạn đó là ⎡⎢a b2, 2⎤⎥

⎣ ⎦ với f a < và ( )2 0

( )2 0

f b > Lại chia đôi đoạn này ta được đoạn con ⎡⎢a b3, 3⎤⎥

⎣ ⎦ với f a < và ( )3 0 f b > Tiếp ( )3 0tục quá trình đó ta được dãy đoạn lồng nhau và thắt lại với

♦ Giả sử f a( )<f b( ) (ngược lại được chứng minh tương tự) Với mọi L ∈(f a f b( ) ( ), )

hàm số g x( )= f x( )− thoả các điều kiện của định lý Bolzano - Cauchy 1 nên L

Dãy x n bị chặn nên theo định lý Bolzano - Weierstrass sẽ có một dãy con hội tụ là

x π

7 Chứng minh các hàm số sau là tuần hoàn và tìm chu kỳ của chúng

a) ( ) sin 1sin 2 1sin 3

c) f x( )=Acosλ x +Bsinλ λ x, ≠ d) 0 f x( )=sin2x

8 Chứng minh rằng các dãy số sau không có giới hạn

2

n n

=+

1lim

1

n

n n

n n

n n n

tg 0

limtg

0

2 arcsinlim

5

x

x x

2

x

x

x x

1 tg

lim

1 sin

x x

x x

1

x→ −x − và

( )

1/ 1 1

1lim2

−

3

3lim

3

x

x x

+

→−

++ và 3

1lim

3

x→− −x +

14 Chứng minh các VCB f và g sau đây là tương đương nhau khi x → 0

a) f x( )=xsin , sin2x g x( )=x2 x b) ( ) 1 cos , ( ) 2

2

x

f x = − x g x = c) f x( )=a x −1,g x( )=xlna d) f x( )=e2x −e g x x, ( )= sin 2x −sinx

15 Tìm các giới hạn sau bằng cách thay thế các VCB tương đương

2 3

2 3 0

ln 1 3 sinlim

tg

x

x x x

sinlim

1, 0

x x x

⎪⎪⎪

=⎨⎪⎪⎪⎪⎩ − + + > −

Chương 2 Phép tính vi phân hàm một biến

1 Đạo hàm và vi phân 1.1 Đạo hàm và vi phân cấp 1

1.1.1 Đạo hàm Cho hàm số xác định trong một lân cận nào đó của a Ta nói hàm

có đạo hàm tại a nếu tồn tại giới hạn

• Cho hàm số xác định trong một lân cận phải (/ trái) của a Ta nói có đạo hàm

phải (/ trái) tại a nếu tồn tại giới hạn

Ta thấy tiếp tuyến với đồ thị hàm số 3

y = x tại điểm vuông góc với trục vì (xem hình 2.2)

0

tg α = ∞

β α

Ví dụ Tính đạo hàm của hàm số f x( )=sinx Ta có

(sin ) lim0sin( ) sin

x

Δ Δ

1.1.4 Đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (Xem phụ lục 3)

Nhận xét Để tính đạo hàm các hàm số sơ cấp ta sử dụng các công thức đạo hàm các hàm sơ

cấp cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm Nếu hàm số không phải là hàm sơ cấp thì ta phân tập xác định của nó thành những khoảng mở sao cho trên mỗi khoảng này hàm số là sơ cấp và tính đạo hàm của hàm số theo quy tắc Còn tại các đầu mút của các khoảng, ta dùng định nghĩa đạo hàm để tính

Ví dụ Tính đạo hàm của hàm số ( ) ( ) ( )( )

2 2

( ) ( ).

c ∈ a b sao cho h c′( )=0 Do h liên tục trên ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦a b, nên

Do h a( )=h b( ) nên chỉ có thể xảy ra một trong các trường hợp:

* Nếu c1 ∈{a b, và c2 ∈{ }a b, thì h x( ) là hằng số trên ⎡⎢⎣a b, ⎤⎥⎦ nên h x′( )=0 trên ⎡⎢⎣a b, ⎤⎥⎦

* Nếu c1 ∉{ }a b, hoặc c2 ∉{ }a b, chẳng hạn c1 ∉{ }a b, (nếuc2 ∉{ }a b, lập luận tương tự) thì h x( ) đạt cực tiểu tại nên c1 h c′( )1 =0.♦

Định lý 2.5 (Lagrange - Định lý số gia hữu hạn) Giả sử hàm liên tục trên , khả vi trong ( Khi đó tồn tại

♦ Là trường hợp riêng của định lý Cauchy với g x( )=x.♦

Nhận xét Công thức (2.1) được gọi là công thức số gia hữu hạn Nếu đặt

a =x b = +x h c = +x θ h , với 0< <θ 1thì công thức còn được viết dưới dạng

c ∈ a b sao cho f c′( )= 0

♦ Là trường hợp riêng của định lý Lagrange khi thêm giả thiết f a( )= f b( ).♦

1.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao

1.3.1 Đạo hàm cấp cao Nếu có đạo hàm trong một khoảng nào đó thì là một hàm mới theo x Nếu có đạo hàm thì ta nói có đạo hàm cấp 2, ký hiệu

Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp gọi là đạo hàm cấp , ký hiệu

♦ Xét trường hợp x >a (x <a: chứng minh tương tự; x =a: là hiển nhiên) Đặt

!

n k

n n k

Rõ ràng ϕ( )t liên tục trên ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦a x, (do khả vi đến cấp f n +1); ϕ( )a =ϕ( )x = f ( )x và

có đạo hàm hữu hạn trên

( )t ϕ

n

n n

k n k

6 5

0, 00001 0, 0072 0, 0072

x c

Nhận xét Công thức Taylor là một công cụ toán học quan trọng Ngoài việc sử dụng trong

phép tính xấp xỉ nó còn được sử dụng trong nhiều tình huống khác, chẳng hạn

Nếu (trường hợp được chứng minh tương tự) thì các hàm

liên tục trên và khả vi trong

( ) ( )

Suy ra

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 1 2

(n2) Các định lý L’Hospital chỉ là điều kiện đủ, không phải là điều kiện cần để có limg x f x( )( )

Vì vậy nếu không tồn tại limf x g x′′( )( ) thì chưa có kết luận gì về limf x g x( )( )