giải tích

PHẠM GIA HƯNG GIẢI TÍCH Bộ Môn Toán 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG 2 3 Mục lục Chương 1. Giới hạn 5 1. Các khái niệm cơ bản 5 1.1. Tập hợp – Mệnh đề 5 1.2. Hàm số 8 2. Giới hạn của dãy số 12 2.1. Các khái niệm 12 2.2. Các tính chất về dãy hội tụ và các phép toán về dãy hội tụ 14 2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ 16 3. Giới hạn của hàm số thực 18 3.1. Các khái niệm 18 3.2. Các phép toán về giới hạn hàm số 20 3.3. Các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn hàm số 21 3.4. Vô cùng bé - Vô cùng lớn 22 4. Hàm số liên tục 23 4.1. Các khái niệm 23 4.2. Các phép toán về hàm liên tục 24 4.3. Các định lý cơ bản 25 Bài tập 26 Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến 29 1. Đạo hàm và vi phân 29 1.1. Đạo hàm và vi phân cấp 1 29 1.2. Các định lý cơ bản 33 1.3. Đao hàm và vi phân cấp cao 34 2. Ứng dụng của phép tính vi phân 35 2.1. Công thức Taylor 35 2.2. Quy tắc L'Hospital 38 2.3. Khảo sát hàm số 41 Bài tập 46 Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến 49 1. Nguyên hàm và tích phân bất định 49 1.1 Các khái niệm 49 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 49 1.3 Tích phân các hàm hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác 51 2. Tích phân xác định 56 2.1. Định nghĩa tích phân xác định 56 2.2. Liên giữa nguyên hàm và tích phân xác định 59 2.3. Các phương pháp tính tích phân xác định 60 2.4. Ứng dụng của tích phân xác định 61 3. Tích phân suy rộng 63 4 3.1 Tích phân suy rộng loại 1 63 3.2 Tích phân suy rộng loại 2 65 Bài tập 67 Chương 4. Hàm nhiều biến 70 1. Giới hạn và tính liên tục 70 1.1. Không gian n \ 70 1.2. Khái niệm hàm nhiều biến 71 1.3. Giới hạn và tính liên tục 72 2. Đạo hàm riêng và vi phân 74 2.1. Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 74 2.2. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao 77 3. Cực trị 79 3.1. Cực trị tự do 79 3.2. Hàm ẩn - Cực trị có điều kiện 83 3.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 87 Bài tập 88 Chương 5. Phương trình vi phân 91 1. Các khái niệm chung 91 2. Phương trình vi phân cấp một 91 2.1. Các khái niệm 91 2.2. Phương trình tách biến 92 2.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 93 3. Phương trình vi phân cấp hai 95 3.1. Các khái niệm 95 3.2. Một số dạng phương trình vi phân cấp hai giảm cấp được 96 3.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 97 3.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng số 101 Bài tập 109 Tài liệu tham khảo 110 Phụ lục 111 5 Chương 1. Giới hạn 1. Các khái niệm cơ bản 1.1. Tập hợp - Mệnh đề 1.1.1. Tập hợp 1) Khái niệm. Tập hợp (gọi tắt là tập) và các phần tử của nó là những khái niệm cơ bản của toán học không được định nghĩa, chúng được làm cơ sở để định nghĩa các khái niệm khác. • Nếu x là phần tử thuộc (/ không thuộc) tập A thì ta viết ( ) /xAxA∈∉ . Ta nói A là tập con của B , ký hiệu AB⊂ , nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B . Nếu AB⊂ và BA⊂ thì ta nói A và B bằng nhau, ký hiệu AB= . Một tập không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp. 2) Các cách diễn tả tập hợp. a) Liệt kê các phần tử của tập hợp trong hai dấu ngoặc nhọn, mỗi phần tử chỉ viết một lần. b) Chỉ ra tính chất chung của các phần tử trong tập hợp. c) Dùng hình phẳng giới hạn bởi một đường cong kín để minh họa tập hợp; mỗi điểm trong hình phẳng chỉ một phần tử của tập đó. 3) Các phép toán. a) Giao của hai tập A và B là tập được cho bởi {} ::AB xx Ax B∩= ∈∧∈ . b) Hợp của hai tập A và B là tập được cho bởi {} ::AB xx Ax B∪= ∈∨∈ . c) Hiệu của hai tập A và B là tập được cho bởi {} \: :AB xx A x B=∈∧∉. d) Tích Descartes của n tập không rỗng 12 , , , n AA A là tập được cho bởi () {} 12 12 : , , , : , 1, nnii AA A aa a a Ai n××× = ∈ = . Nếu 12 n AA AA==== thì ta viết 12 : n n AAA A=×××. 1.1.2. Mệnh đề 1) Khái niệm. Mệnh đề (toán học) là một khẳng định hoặc đúng hoặc sai. Sai hay đúng được gọi là chân trị của mệnh đề. 2) Các ký hiệu logic. Để diễn đạt thuận lợi các lập luận toán học người ta thường dùng các ký hiệu sau đây • :p = biểu thức: Định nghĩa p là biểu thức vế phải. 6 • p : Phủ định của mệnh đề p , là mệnh đề đúng khi p sai và ngược lại. • pq∧ (đọc là p vàq ): Hội của hai mệnh đề p và q , là mệnh đề đúng khi p và q đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại. • pq∨ (đọc là p hoặc q): Tuyển của hai mệnh đề p và q , là mệnh đề sai khi p và q đều sai và đúng trong các trường hợp còn lại. • pq⇒ (đọc là p suy ra q ): Mệnh đề p kéo theo mệnh đề q , là mệnh đề đúng khi p đúng q đúng. Khi đó ta cũng nói p là điều kiện đủ của q và q là điều kiện cần của p . • pq⇔ : Mệnh đề p tương đương với mệnh đề q , là mệnh đề được xác định bởi ()() pq qp⇒∧⇒. Khi đó ta cũng nói p là điều kiện cần và đủ của q . • Mệnh đề “Với mọi 1 , , n xx thuộcX , ta có () 1 , , n Px x ” được ký hiệu ( ) 11 , , : , , nn xxXPxx∀∈ . • Mệnh đề “Tồn tại 1 , , n xx thuộc X , sao cho ( ) 1 , , n Px x " được ký hiệu () 11 , , : , , nn xxXPxx∃∈ . 3) Một số tính chất. """ "pq pq∧⇔ ∨, """ "pq pq∨⇔ ∧, """ "pq pq⇔⇔ ⇔, """ "pq q p⇒⇔⇒, """"pq pq⇒⇔∧, () () 1111 , , : , , , , : , , nnnn xxXPxx xxXPxx∀∈ ⇔∃∈ , () () 1111 , , : , , , , : , , nnnn xxXPxx xxXPxx∃∈ ⇔∀∈ . 1.1.3. Số thực - Số phức 1) Số thực. Tập số tự nhiên, tập các số nguyên và tập các số hữu tỷ lần lượt được ký hiệu {} :1,2,3 = , {} : 0, 1, 2, =±± , {} :/: ,pqp q=∈∈ . Số hữu tỷ bao gồm các số nguyên, số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. Số thập phân vô hạn không tuần hoàn được gọi là số vô tỷ. Tập gồm các số hữu tỷ và vô tỷ được gọi là tập các số thực, ký hiệu  . Ví dụ. Các số 51 1 5; 0,25; 0,333 14 3 == = là các số hữu tỷ; còn các số 3,1415926 ,π = 2 1, 4421356 = là các số vô tỷ. 7 • Để tiện trong nhiều vấn đề, người ta thường đưa vào hai phần tử mới +∞ và −∞, gọi là các số vô cực và quy ước các phép tính đại số giữa các số vô cực và các số thực như sau: với mọi x ∈  , ta có x−∞ < < +∞ , ±∞ = +∞ , ()() ()() xx±∞+±∞= +±∞=±∞+ =±∞, ()() khi 0 khi 0 x xx x ⎧ ⎪ ±∞ > ⎪ ±∞ = ±∞ = ⎨ ⎪ ∞< ⎪ ⎩ ∓ , ()() .±∞ ±∞ = +∞ , ( ) ( ) .±∞ ∞ = −∞∓ , 0 x = ±∞ . • Các dạng vô định 00 0 ,,0., ,1,0, 0 ∞ ∞ ∞∞−∞ ∞ ∞ . • Các khoảng trong tập số thực {} ,: :ab x a x b ⎡⎤ =∈ ≤≤ ⎢⎥ ⎣⎦  , (){ } ,: :ab x a x b=∈ << , {} [,): :ab x a x b=∈ ≤< , {} (, ]: :ab x a x b=∈ <≤ , {} (0, ) : : 0xx+∞ = ∈ > , {} (,0): : 0xx−∞ = ∈ < . {} :[0, ): : 0xx + =+∞= ∈ ≥ , {} :( ,0]: : 0xx − =−∞ = ∈ ≤ . () :,=−∞+∞ , {} , ⎡ ⎤ =∪±∞=−∞+∞ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦  . Tập  được gọi là tập số thực mở rộng. 2) Số phức. • Đơn vị ảo, ký hiệu i , là một số có tính chất 2 1i =− . Số phức là số có dạng zabiaib=+ =+ với ,ab∈  . Ta gọi ,ab tương ứng là phần thực và phần ảo của z . Ký hiệu tập tất cả các số phức là  . Nhận xét. Ta có ⊂. Thật vậy, do 0aaai∀∈ ⇒ = + ∈. • Số phức liên hợp của số phức zabi=+ là số phức :zabi=−. • Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau, nghĩa là 11 22 1 21 2 abiabiaabb+=+⇔=∧= . • Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các số phức được thực hiện giống như việc thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các nhị thức trong số thực với lưu ý 2345 1, , 1, , . iiiiii=− =− = = Ví dụ. Với 1 23zi=+ và 2 45zi=− , ta có 8 ()( ) 12 24 35 62zz i i+=++− =−; ()() 12 24 35 28zz i i−=−++ =−+; ()() () () 2 12 2 34 5 24 35 3425 23 2zz i i i i i= + − = ×−× + ×−× = + ; () 3 3322233 1 23 2 32 3 323 3 469zi iiii=+ =+××+×× + =−−; ()() ()() 112 222 2345 722 41 4545 ii zzz i zzz ii ++ −+ == = −+ . • Phương trình bậc hai 2 0ax bx c++= với ,, , 0abc a∈≠ có hai nghiệm thực phân biệt hay trùng nhau 2 b x a −± Δ = khi 2 40bacΔ= − ≥ và có hai nghiệm phức liên hợp nhau 2 bi x a −± −Δ = khi 0Δ< . Ví dụ. (v1) Phương trình 2 320xx−+= có 2 23 23iΔ=− = nên có hai nghiệm là 123 6 i x ± = . (v2) Phương trình 2 250xx++= có 2 44i ′ Δ=− = nên có hai nghiệm là 12xi=− ± . 1.2. Hàm số 1.2.1. Ánh xạ 1) Khái niệm. Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y là một quy tắc sao cho mỗi phần tử xX∈ () xX∀∈ tương ứng với duy nhất một phần tử yY∈ () !yY∃∈ , ký hiệu : fX Y xy →  hay :,fX Yx y→  . Ta nói y là ảnh của x qua f và viết () yfx= . Ảnh của tập DX⊂ qua ánh xạ f là tập () () {} :/fD fx Y x D=∈∈. 2) Các loại ánh xạ. Cho ánh xạ :fX Y→ . Ta nói 9 (i) f là đơn ánh nếu () () 12 1 2 1 2 ,:xx X x x fx fx∀∈ ≠⇒ ≠ hay () () 12 1 2 1 2 ,:xx X fx fx x x∀∈ = ⇒=. (ii) f là toàn ánh nếu () ,:yYx Xy fx∀∈ ∃∈ = hay () fX Y= . (iii) f là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh hay () ,! :yY x Xy fx∀∈ ∃ ∈ = . Ví dụ. (v1) Ánh xạ {} () 2 :\1 , 1 x fxyfx x →== −  là đơn ánh vì {} () () 12 12 1 2 12 22 ,\1: 11 xx xx fx fx xx ∀∈ = = = −−  () () 12 12 1 2 2121xx xx x x⇒−=−⇒=. (v2) Ánh xạ () 2 :,|fxyxfx + →→== là toàn ánh vì () 2 ,:yxyxyyxfx + ∀∈ ∃= ∨ =− ∈ = =. (v3) Ánh xạ () :, 35fxyxfx→=+= là song ánh vì () 5 ,! : 3 5 3 y yx yxfx − ∀∈ ∃ = ∈ = + =  . 1.2.2. Hàm số 1) Khái niệm. Một hàm số thực một biến (gọi tắt là hàm) xác định trên D ⊂  là ánh xạ () :,fD x y fx→= . Ta gọi D là tập xác định, ( ) fD là tập giá trị của hàm số f ; x là biến độc lập (hay đối số), y là biến phụ thuộc (hay hàm số). Đồ thị của hàm f là tập () () () {} 2 Graph : , :fxfx xD=∈∈ . • Thông thường người ta cho hàm số bởi một biểu thức dạng () yfx= . Nếu không chỉ rõ thì ta hiểu tập xác định của hàm số là tập tất cả các giá trị của x làm cho biểu thức đó có nghĩa. Ví dụ. Hàm (v1) Hàm số trị tuyệt đối , 0 , 0 xx yx xx ⎧ ⎪ ≥ ⎪ == ⎨ ⎪ −< ⎪ ⎩ có tập xác định là D =  và tập giá trị là () fD + =  . 10 (v2) Hàm số 2 1yx=− có tập xác định là 1, 1D ⎡⎤ =− ⎢⎥ ⎣⎦ và có tập giá trị là () 0, 1fD ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 2) Hàm ngược. Nếu hàm :fD→  là đơn ánh thì nó có hàm ngược () 1 :ffDD − → trong đó () () 1 .xfy yfx − =⇔= Ví dụ. Tìm hàm ngược của các hàm số (v1) () 35yx fx=+= (v2) () 2 1 x ygx x == − ♣ (v1) Ta có :fD=→ là đơn ánh nên có hàm ngược () () 1 5 :, 3 y xfy y fD − − == ∈=  . (v2) Ta có {} :\1gD=→ là đơn ánh nên có hàm ngược () {} ( ) 1 :,\2 2 y xgy y fD y − == ∈ = −  . ♣ 3) Các phép toán về hàm số. Cho các hàm f và g có tập xác định tương ứng là f D và g D . Ta nói tổng, hiệu, tích, thương và hợp của f và g là các hàm lần lượt được xác định bởi • ( )() () () :, f g fgx fx gxxD D±=± ∈∩ . • ( )() ()() :, f g fg x f x g x x D D=∈∩. • () () () () :, , 0 fg fx f xxDDgx g gx ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ =∈∩ ≠ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ . • ( )() () () () {} :, : f g gfx gfx x x D fx D=∈∈∈ . Ví dụ. Cho hai hàm số ( ) 21fx x=+ và () 2 1gx x=− . Ta có ,1,1 fg DD ⎡⎤ ==− ⎢⎥ ⎣⎦  và ( )() () () () () () 2 21 121 41 , 1,0gfx gfx gx x x xx ⎡⎤ ==+=−+=−+∈− ⎢⎥ ⎣⎦  . ()() () () () 22 1211,1,1fgx fgx f x x x ⎡ ⎤ ==−=−+∈− ⎢ ⎥ ⎣ ⎦  . 4) Hàm sơ cấp. Đó là các hàm được thành lập từ các hàm sơ cấp cơ bản (xem phụ lục 1) bởi một số hữu hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và hàm hợp. Ví dụ. (v1) Các hàm sau đây là hàm sơ cấp () 2 22 35 4 5, sin 4 lg 5 , , 2 xx yxxy x x y x −+ =−+= + + = − [...]... và ∃U (α ), ∀x ∈ U (α ) \ {α} : f (x ) ≥ g (x ) x →α x →α Khi đó A ≥ B 3.1.5 Một số giới hạn đặc biệt của hàm sơ cấp (Xem phụ lục 2) 3.2 Các phép toán về giới hạn hàm số Định lý 1.11 (Giới hạn tổng, tích, thương) Giả sử các giới hạn lim f (x ), lim g (x ) tồn tại x →α hữu hạn Khi đó (m1) lim ⎡⎢ f (x ) ± g (x )⎤⎥ = lim f (x ) ± lim g (x ) ⎦ x →α x →α ⎣ x →α (m2) lim ⎡⎢Cf (x )⎤⎥ = C lim f (x ) ,C là... liên tục tại x = 0 4.2 Các phép toán về hàm liên tục Dựa vào các định lý các phép toán về giới hạn và định nghĩa tính liên tục của hàm số ta có các kết quả sau đây Định lý 1.16 (Tính liên tục của tổng, tích, thương) Nếu các hàm số f (x ) và g (x ) liên tục tại a thì f (x ) ± g (x ), f (x ).g (x ), f (x ) / g (x ) với g (a ) ≠ 0 cũng liên tục tại a Định lý 1.17 (Tính liên tục của hàm hợp) Nếu hàm số... 03 ⇒ f (a ) = 1, f ′ (a ) = Áp dụng công thức ta được 1 B = 3 1, 03 = f (a + Δx ) ≈ f (a ) + f ′ (a ) Δx = 1 + 0, 03 = 1, 01 3 30 1 3 1.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm Định lý 2.1 (Quy tắc đạo hàm tổng, tích, thương) Giả sử các hàm số f (x ), g (x ) có đạo hàm hữu hạn tại x Khi đó tại x ta có ′ (m1) ( f ± g ) = f ′ ± g ′ ′ (m2) ( f g ) = f ′g + fg ′ ′ ⎛f ⎞ ⎟ = f ′g − fg ′ , g = g x ≠ 0 (m4) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ () . 2. Tích phân xác định 56 2.1. Định nghĩa tích phân xác định 56 2.2. Liên giữa nguyên hàm và tích phân xác định 59 2.3. Các phương pháp tính tích phân xác định 60 2.4. Ứng dụng của tích. 46 Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến 49 1. Nguyên hàm và tích phân bất định 49 1.1 Các khái niệm 49 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 49 1.3 Tích phân các hàm hữu tỷ,. phân xác định 60 2.4. Ứng dụng của tích phân xác định 61 3. Tích phân suy rộng 63 4 3.1 Tích phân suy rộng loại 1 63 3.2 Tích phân suy rộng loại 2 65 Bài tập 67 Chương 4. Hàm nhiều