Giải tích 4

Giải tích có thể đề cập đến:Giải tích toán học, còn gọi đơn giản là giải tích; Giải tích hàm; Giải tích phức; Giải tích số;Giải tích thực; Hình học giải tích

Chương 4

TÍCH PHÂN

1 NGUYÊN HÀM

Tất cả các hàm số khảo sát trong phần này đều được giả định là xác định

và liên tục trên một khoảng

Khi f là một hàm số sơ cấp, nó có đạo hàm và ta có thể tính đạo hàm f ′

của f bằng các công thức tường minh (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hay

hợp của hai hàm có đạo hàm) Thao tác này được gọi là “phép tính vi phân” và

nếu đão hàm của một hàm số tồn tại, nó duy nhất Bây giờ, ta xét thao tác

ngược lại : từ một hàm số f cho trước, tìm tất cả các hàm F sao cho F′ = f

Thao tác này được gọi là “phép tính tích phân” hay cụ thể hơn, “phép tính

nguyên hàm”

1.1 Định nghĩa. Cho I là một khoảng mở của , f và F là hai hàm số xác

định trên I Ta nói F là một nguyên hàm của f trên I nếu x I∀ ∈ ,

( ) ( )

F x′ = f x , nghĩa là F có đạo hàm là f trên I

1.2 Mệnh đề. Nếu F là một nguyên hàm của f trên I thì tập hợp P các

nguyên hàm của f trên I là

( ) ( )

{ G : I x I,G x F x C,C hằng số }

Chứng minh ∀ ∈G P , G′ =F′ = f cho thấy G là một nguyên hàm của f

Ngược lại, cho G là một nguyên hàm của f Do G′= =f F′ nên G′ −F′= 0 và

Ký hiệu : Ký hiệu f (x)dx∫ được dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f

(gọi là tích phân bất định của f), nghĩa là một phần tử bất kỳ P Vì vậy, nếu

F là một nguyên hàm của f, ta viết

( )

f (x)dx F x= +C

Ví dụ 1 i) Cho F x( ) =ln x⎛⎜ + x2 +1⎞⎟

x 1

1

1

F x

+

′

Do đó,

2 2

+

ii) Từ đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, ta có

a)

1

x

x dx

α+

= ⎨

⎩

b) ∫e dx ex = x +C

c) sin xdx∫ = −cos x C+

d) cos xdx sin x C∫ = +

2

f)

2

g) dx2 arctan x C

Do định nghĩa, nếu

f x dx F x= +C

∫ và ∫g x dx G x( ) = ( )+C, thì ⎡⎣aF x( )+bG x( )⎤⎦ =aF x′( )+bG x′( )= af x( )+bg x( ) và do đó

1.3 Mệnh đề

( ) ( )

(af x +bg x dx a f x dx b g x dx) = ( ) + ( )

với mọi a, b ∈

Ví dụ 2

2

3

x

4

3

−

Cho u là một hàm có đạo hàm trên một khoảng I và f là một hàm xác định trên một khoảng J ⊃ u I( ) Nếu

f x dx F x= +C

nghĩa là F x′( ) ( )=f x , thì

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Vì vậy, ta được

1.4 Định lý (công thức đổi biến).

( )

f u x u x dx F u x′ = +C

Bằng cách viết u u x≡ ( ), du u x dx≡ ′( ) , đẳng thức (1) trở thành

( )

f u x u x dx′ = f u du F u= + ≡C F u x +C

Ví dụ 3 Với u x( )=cos x, du u x dx= ′( ) = −sin xdx,

Đặc biệt, với u x( ) =ax b+ ; du adx= , ta được

1.5 Hệ quả

a

Ví dụ 4 i) Với u x( )= 3x 2+ ; du 3dx= ,

ii) Với u x( )= x ln a; du =( )ln a dx,

x ln a

x x ln a 1 u 1 u e

iii) Bằng cách viết

3

và với ( ) 2x 1

3

u x = + ; 2

3

du = dx, ta có

( )

3

4x +4x 10+ = 1+ + = 1 u+ = +

( )2x 1 3

Cho u, v là hai hàm có đạo hàm tr ên một khoảng I Do

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x ′ u x v x u x v x

ta suy ra

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

và ta được

1.6 Định lý (công thức tích phân từng phần)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

u x v x dx u x v x′ = − v x u x dx′

Với các ký hiệu du u x dx= ′( ) ; dv v x dx= ′( ) , công thức (2) được viết lại thành

udv uv= − vdu

Ví dụ 5 Với u arctan x= ; dv dx= , ta có dx2

1 x

du

+

= và v x= Do đó,

2

xdx

x arctan x

1 x

+

∫

Với t 1 x= + 2; dt 2xdx= , ta có

( )2 2

Vì vậy,

( )2

1 arctan xdx x arctan x ln 1 x C

2

2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Trong phần này, mọi hàm số khảo sát đều được giả định là liên tục và nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó cũng là hàm liên tục Ta sẽ tìm cách tính

“diện tích” phần mặt phẳng nằm dưới đồ thị C một hàm số f ≥0, ký hiệu

b

a f (x)dx

∫ và đọc là “tích phân từ a đến b của f (x)dx ”

Cho f là một hàm số xác định trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ và d =(x , x , , x0 1 n),

a x= < x < x< = b, là một phân hoạch bất kỳ của a, b⎡⎣ ⎤⎦ và ( 0 1 n 1)

T = t , t , , t − là một họ gồm n điểm của a, b⎡⎣ ⎤⎦ sao cho ti ∈ ⎣⎡x , xi i 1+ ⎤⎦ , với

i 0,1, ,n 1= −

Tổng, ký hiệu S T , xác định bởi d( )

n 1 n n 1

S T f t x x f t x x f t x x

f t x x

+

nghĩa là

i 0

S T − f t x + x

=

được gọi là một tổng Riemann của hàm f tương ứng với d và T Tổng S T d( ) này chính là tổng diện tích các hình chữ nhật gạch chéo trong hình sau

Ta định nghĩa bước của phân hoạch d, ký hiệu d , bởi biểu thức

i 1 i

i 0, ,n 1

Gọi S là giới hạn của các tổng Riemann S T khi bước d tiến về 0, d( ) nghĩa là ứng với mỗi ε > 0, ta tìm được δ >0, sao cho với mọi phân hoạch ( 0 1 n)

d = x , x , , x của a, b⎡⎣ ⎤⎦ và với mọi T = (t , t , , t0 1 n 1− ) sao cho

i i i 1

t ∈ ⎣⎡x , x + ⎤⎦ , nếu d < δ , thì S Td( )−S < ε Khi S tồn tại, ta viết

( )

d

d 0

S lim S T

→

2.1 Định nghĩa. Khi giới hạn S tồn tại (nghĩa là S ∈ ), ta nói f là hàm

Riemann-khả tích trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ Khi đó, ta viết S = ∫abf x dx( ) và giá trị này

được gọi là tích phân xác định của f trên a, b⎡⎣ ⎤⎦

Ta gọi a và b là các cận tích phân và x là biến giả

Đặt

( )

a

a f x dx 0=

∫ và ∫baf x dx( ) = −∫abf x dx( )

2.2 Mệnh đề. Các hàm số sau thì Riemann-khả tích trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ :

- các hàm liên tục trên ⎡⎣a, b⎤⎦ ;

- các hàm liên tục từng khúc trên ⎡⎣a, b⎤⎦ , nghĩa là các hàm bị chận và liên

tục trên ⎡⎣a, b⎤⎦ ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất liên tục loại một

(các điểm bất liên tục với bước nhảy hữu hạn)

Ta chấp nhận kết quả này

2.3 Mệnh đề Cho f và g là hai hàm Riemann-khả tích trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ Ta có

i) Tính tuyến tính : Với hai số thực a và b bất kỳ, nếu α và β là hai hằng số (độc lập với biến giả x ) thì

a ⎡⎣αf x + βg x dx⎤⎦ = α a f x dx+ β a g x dx

ii) Hệ thức Chasles : Với ba số thực bất kỳ a, b, c, ta có

a f x dx = af x dx+ c f x dx

iii) a) Nếu a b< và ∀ ∈ ⎣x ⎡a, b⎤⎦ , f x( )≥ thì 0 ∫abf x dx 0( ) ≥

b) Nếu a b< và ∀ ∈ ⎣x ⎡a, b⎤⎦ , f x( ) ( )≤ g x thì

a f x dx ≤ a g x dx

iv) Công thức trung bình : Nếu ∀ ∈ ⎣x ⎡a, b⎤⎦ , g x( )≥ thì tồn tại Γ sao cho 0

a f x g x dx = Γ ⋅ a g x dx

với m ≤ Γ ≤ M, trong đó m x a,bmin f x( )

⎡ ⎤

∈⎣ ⎦

= và M x a,bmax f x( )

⎡ ⎤

∈⎣ ⎦

= Đặc biệt, với

( )

g x = , x1 ∀ ∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ , ta có

b

a f x dx = Γ ⋅ b a−

Cuối cùng, nếu f liên tục trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ thì tồn tại x0∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ sao cho

( )0

f x = Γ và ta được

b

0

a f x dx f x= ⋅ b a−

Chứng minh. Ta chấp nhận i) và ii)

iii) a) Với mọi phân hoạch d =(x , x , , x0 1 n) của a, b⎡⎣ ⎤⎦ và ( 0 1 n 1)

T = t , t , , t − là họ gồm n điểm của a, b⎡⎣ ⎤⎦ sao cho ti∈ ⎣⎡x , xi i 1+ ⎤⎦ , với

i 0,1, ,n 1= − , ta có f t( )i ≥ và 0 xi 1+ −xi ≥0 nên f t( )(i xi 1+ −xi)≥ , với 0 mọi i 0,1, ,n 1= − Vì vậy

i 0

S T − f t x + x 0

=

và

( ) ( )

b

d

a f x dx d 0lim S T 0

→

b) Suy ra từ 1 và 3.a do g x( ) ( )−f x ≥ , x0 ∀ ∈ ⎣⎡a, b⎤⎦

iv) Vì x∀ ∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ , m f x≤ ( )≤ M nên

( ) ( ) ( ) ( )

mg x ≤ f x g x ≤ Mg x Từ iii) b) và i), ta có

m⋅∫ g x dx≤ ∫ f x g x dx M≤ ⋅∫ g x dx Nếu ∫abg x dx 0( ) > thì ( ) ( )

( )

b a b a

f x g x dx

g x dx

( )

b a b a

f x g x dx

g x dx

∫ chính là giá trị cần tìm

Nếu ∫abg x dx 0( ) = thì ∫abf x g x dx 0( ) ( ) = , và khi đó công thức trung bình vẫn thỏa

Khi g x( )= , x1 ∀ ∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ , ta có ý nghĩa hình học của công thức trung bình là : tồn tại Γ sao cho

b

Diện tích hình chữ nhật đáy b a , chiều cao (hình chữ nhật ABCD trong hình)

= Γ ⋅ −

Γ

∫

Nếu f liên tục trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ , thì f a, b(⎡⎣ ⎤⎦) = ⎡⎣m, M⎤⎦ và do đó ∀Γ ∈ ⎣⎡m, M⎤⎦ ,

0

x ⎡a, b⎤

∃ ∈ ⎣ ⎦ sao cho f x = Γ ( )0

2.4 Hệ quả : Nếu a b≤ thì

a f x dx ≤ a f x dx

Chứng minh. Áp dụng iii), b), mệnh đề 2.3 vào bất đẳng thức

x ⎡a, b⎤

∀ ∈ ⎣ ⎦ , −f x( ) ( ) ( )≤ f x ≤ f x Cho f là hàm liên tục trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ Ứng với mỗi x∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ , f là hàm liên tục nên khả tích trên a, x⎡⎣ ⎤⎦ , nên ta xác định được hàm số F như sau

( )

x a

F : a, b

∫

a

trong đó cận x của tích phân chính là biến số của hàm F và t là biến giả trong tích phân xác định

2.5 Định lý. Cho f là hàm liên tục trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ Ta có hàm số

( ) ax ( )

xa F x = ∫ f t dt có đạo hàm liên tục trên ⎡⎣a, b⎤⎦ và F ′ = , nghĩa là F f

chính là một nguyên hàm của f trên a, b⎡⎣ ⎤⎦

Chứng minh Do f là hàm liên tục trên khoảng đóng và bị chận a, b⎡⎣ ⎤⎦ nên nó bị chận trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ , nghĩa là M∃ ∈ sao cho x∀ ∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ , f x( ) ≤ M

Với x và h sao cho x∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ và x h+ ∈ ⎣⎡a, b⎤⎦ , ta có

( ) ( ) xx h ( ) xx h ( )

0≤ F x h+ −F x = ∫ + f t dt ≤ ∫ + f t dt và

( ) ( ) xx h ( )

0≤ F x h+ −F x ≤ ∫ + f t dt ≤M h⋅

0≤ F x h+ −F x ≤ M h⋅ →0, khi h →0, và do đó h 0lim F x h( ) ( )F x

→ + = , nghĩa là F liên tục tại điểm x Ta sẽ chứng minh F x′( ) ( )= f x Thật vậy, do f liên tục tại x, nghĩa là

0

∀ε > , 0∃η > , sao cho t x− < η ⇒ f t( ) ( )−f x < ε Với ε >0 và h sao cho h < η, ta có

( ) ( )

x h x

x h x

h

+ +

∫

∫

( ) ( ) ( ) xx h ( ) ( )

+

+ −

Do t∈⎡⎣x, x h+ ⎤⎦ , nên h < η ⇒ − < η ⇒t x f t( ) ( )−f x < ε , và do đó

( ) ( )

x+ f t −f x dt ≤ x+ εdt = h ⋅ ε

Suy ra

F x h F x

f x h

+ −

− ≤ ε nếu h < η nghĩa là

( ) 0F x h( ) ( ) ( )F x

h

ε→

2.6 Định lý. Nếu F là một nguyên hàm của f trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ thì

b

a f x dx F b= −F a

Chứng minh. Do f liên tục trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ , mệnh đề 2.5 cho thấy hàm số

( ) ax ( )

F : a, b

= ∫

a là một nguyên hàm của f trên a, b⎡⎣ ⎤⎦ Hơn nữa

( ) ab ( )

F b = ∫ f t dt và F a( ) = ∫aaf t dt( ) Mặt khác, do mệnh đề 1.2, với G là một nguyên hàm khác của f trên

a, b

⎣ ⎦ , ta có G x( ) ( )= F x +hằng sốvà do đó

b

a f t dt F b= −F a = G b −G a

Ký hiệu :

a

a f t dt= ⎡⎣F t ⎤⎦ =F b −F a

Cho I và J là hai khoảng của , F, f, u là ba hàm số với

J⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯I → sao cho F là một nguyên hàm của f, f liên tục trên I, u có đạo hàm liên tục trên J Ta có

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

t J, F u t′ F u t u t′ ′ f u t u t′

Điều này cho thấy F uo là một nguyên hàm của ( )f u u′o ⋅ trên J khi F là một nguyên hàm của f trên I Do mệnh đề 2.6, ta suy ra

( ) ( ) ( )

b a

f u t u t dt F u F u

F b F a

f x dx

β

=

∫

∫

trong đó ,α β ∈ , J u( )β = et b u( )α = Ta được a

2.7 Mệnh đề (công thức đổi biến)

( )( ) ( )f u t u t dt uu( ) ( )f x dx( )

Với công thức này, ta nói rằng đã thực hiện việc đổi biến x u t= ( ) trong tích phân

( )

b

a f x dx

Từ công thức lấy đạo hàm hàm tích f g⋅ các hàm có đạo hàm trên

khoảng I,

x I

∀ ∈ , (f x g x( ) ( ) )′ =f x g x′( ) ( ) ( ) ( )+f x g x′ Với a I∈ , b I∈ , mệnh đề 2.6 cho ta :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a a

f x g x dx f x g x

f x g x dx f x g x dx

′

∫

và ta được

2.8 Định lý (công thức tích phần từng phần)

a

f x g x dx′ = ⎡⎣f x g x ⎤⎦ − f x g x dx′

Công thức trên cho phép ta tính tích phân (1) khi ta biết tích phân (2) và khi biết một nguyên hàm của hàm ký hiệu g x′( )

3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Trong trường hợp hàm dưới dấu tích phân tăng ra vô cực trên miền lấy tích phân (chẳng hạn như 1 dt

t 0

∫ , với 1

t → +∞, khi t →0+), hoặc trong trường

hợp miền lấy tích phân là không bị chận (chẳng hạn như t2

0 +∞ −e dt

tích phân khảo sát thuộc loại tích phân suy rộng

A Trường hợp cận tích phân là vô cực

Cho f là hàm số liên tục trên ⎡ +∞⎣a, ) và xét hàm số I xf ( ) = ∫axf t dt( ) , ta định nghĩa

a+∞f t dt lim I x lim a f t dt

→+∞ →+∞

Khi giới hạn tồn tại, ta nói rằng tích phân suy rộng của f tồn tại ở +∞ (hay hội tụ ở +∞) Ngược lại, ta nói tích phân không tồn tại (hay phân kỳ) ở

+∞

Tương tự cho trường hợp hàm số f liên tục trên (−∞ ⎦ , ta định nghĩa , b⎤

x x

f t dt lim f t dt

→−∞

−∞ =

Cuối cùng khi f liên tục trên và với a ∈ , ta đặt

trong đó hai tích phân suy rộng của f ở +∞ và −∞ tồn tại độc lập với nhau

Xét tích phân suy rộng ∫a+∞f t dt( ) Khi một nguyên hàm của f tồn tại, ta có thể tích tích phân suy rộng này bằng định nghĩa, nghĩa là tính tích phân xác định rồi tìm giới hạn của tích phân xác định này Trường hợp ta không tìm được một nguyên hàm của hàm f, ta cần tìm các điều kiện đủ cho sự tồn tại của tích phân suy rộng này Ta có

3.1 Mệnh đề. Cho f là hàm liên tục trên ⎡ +∞⎣a, ) Với bất kỳ a1 ∈⎡⎣a,+∞), các tích phân suy rộng ∫a+∞f t dt( ) và ( )

1

a+∞f t dt

∫ có cùng bản chất, nghĩa là hoặc cùng hội tụ, hoặc cùng phân kỳ, và khi chúng cùng hội tụ, ta có

1

a

a+∞f t dt= a f t dt+ a+∞f t dt

Chứng minh. Do, x∀ ∈⎡⎣a,+∞⎡⎣ ,

1

a f t dt = a f t dt+ a f t dt

nên bằng cách lấy giới hạn hai vế khi x → +∞ , ta chứng minh được mệnh đề.

ª

3.2 Mệnh đề. a) Khi 0 f ≤ ≤ , sự hội tụ của g ∫a+∞g x dx( ) kéo theo sự hội tụ

của ∫a+∞f x dx( ) ; sự phân kỳ của ∫a+∞f x dx( ) kéo theo sự phân kỳ của

( )

a+∞g x dx

b) Khi f và g là hai hàm số tương đương khi x → +∞ (ta còn nói là chúng

tương đương ở lân cận của +∞), nghĩa là ( )

( )

f x

g x

xlim 1

→+∞ = , ta có các tích phân suy rộng ∫a+∞f x dx( ) và ∫a+∞g x dx( ) có cùng bản chất

Chứng minh. a) Xét a x≤ ; I xf ( )= ∫axf t dt( ) và I xg( )= ∫axg t dt( ) Dễ thấy

rằng 0 I x≤ f ( )≤ I xg( ); hàm số xa I xf ( ) là hàm tăng theo x Do đó, nếu

( )

a

B = ∫+∞g t dt tồn tại, ta có I xf ( )≤ , B ∀ ∈x ⎡⎣a,+∞) Bấy giờ, do hàm số

x

f a

xa ∫ f t dt I x= là hàm tăng trên ⎡ +∞⎣a, ), bị chận trên bởi B nên nó có

giới hạn, xlim I xf ( ) a+∞f t dt( )

→+∞ = ∫

Kết luận :

( )

a

B= ∫+∞g t dt tồn tại kéo theo A = ∫a+∞f t dt( ) tồn tại Bằng suy luận đảo đề, ta được

Sự không tồn tại của A kéo theo sự không tồn tại của B

( )

f t

g t

xlim 1

→+∞ = , tồn tại b sao cho b a> và ∀ ≥t b,

( )

f t 1 1

2 2

g t ∈ 1− ,1+ Rõ ràng là f t và ( ) g t có cùng dấu và ta có thể giả sử ( )

chúng cùng dấu dương Khi đó

t b

∀ ≥ , 1 ( ) ( ) 3 ( )

2g t ≤f t ≤ 2g t

Do tính chất (a) nêu trên

nếu ∫a+∞f t dt( ) tồn tại thì 1 a g t dt( )

2

+∞

nếu ∫a+∞g t dt( ) tồn tại thì 3 a f t dt( )

2

+∞

3.3 Mệnh đề.

1

dt t

+∞

α

∫ tồn tại nếu và chỉ nếu α >1

Chứng minh. Một nguyên hàm của 1

tα là

1

1 tα−

⎪

⎪ − α

⎩

Vì vậy, nếu α =1, thì

x 1

dt ln x

tα = → +∞

∫ khi x → +∞ Trường hợp α ≠1, ta có

x

1 1

1

∫

nếu α <1 và

x

1

+∞

α −

Áp dụng : Sự tồn tại của I +∞ −e t2dt

−∞

Do ∫e−t2dt không xác định được bằng cách hàm số sơ cấp, ta không thể

tính trực tiếp I bằng định nghĩa Vì vậy, ta dùng các tiêu chuẩn nêu trên để

khảo sát sự tồn tại của I mà không cần phải tính giá trị của nó Trước hết, ta

khảo sát sự tồn tại t2

0 +∞ −e dt

∫ Do t e2 t− 2 → khi t → +∞ , tồn tại 0 a 0> sao cho ∀ >t a, 0 t e< 2 t− 2 ≤ Từ đó suy ra 1

t a

∀ > , 0 e t2 12

t

−

Do mệnh đề 3.3, dt2

t a

+∞

∫ tồn tại và do mệnh đề 3.2, t2

a +∞ −e dt

Cuối cùng, do mệnh đề 3.1, t2

0 +∞ −e dt

0 e− dt xe− dt

−

=

ra

2 2 2 2

Kết luận : +∞ −e t2dt

−∞

∫ tồn tại và ta có đẳng thức

0

I +∞e− dt 2 +∞e− dt

−∞

Thật ra, người ta còn chứng minh được rằng I = π và kết quả này được dùng trong xác suất thống kê

B Trường hợp hàm dưới dấu tích phân không bị chận

Cho f là hàm liên tục trên ⎡⎣a, b) với x blim f x( )

−

→ = +∞ (hay −∞ ) Đặt ( ) x ( )

I x = ∫ f t dt Ta định nghĩa

f

a f t dt x blim I x x blim a f t dt

Khi giới hạn trên tồn tại, ta nói f khả tích tại b Tương tự cho trường hợp hàm f liên tục trên (a, b⎤⎦ với x alim f x( )

+

→ = +∞ (hay −∞ ), ta định nghĩa

a f t dt x alim x f t dt

+

→

=

và nói rằng f khả tích ở a khi giới hạn trên tồn tại Cuối cùng khi f liên tục trên ( )a, b nhưng không liên tục tại cả a lẫn b, ta khảo sát tính khả tích của f tại a và tại b độc lập với nhau

Tương tự như trong trường hợp miền lấy tích phân không bị chận, khi hàm f liên tục trên ⎡⎣a, b), không bị chận tại b, ta khảo sát tính khả tích của f tại b bằng cách khảo sát sự tồn tại của x blim axf t dt( )

−

→ ∫ Giống trường hợp tích phân suy rộng với miền lấy tích phân không bị chận, khi ta có một nguyên hàm tường minh F cho hàm số f, bài toán trở thành việc khảo sát giới hạn

( )

x blim F x

−

→

do ∫axf t dt F x( ) = ( ) ( )−F a , trường hợp ta không có một nguyên hàm tường minh cho f, ta cũng nhận được các điều kiện đủ cho tính khả tích của f tại b như sau

3.4 Mệnh đề. Cho f là hàm liên tục trên ⎡⎣a, b) và x blim f x( )

−

→ = +∞ (hay −∞ )

Ta có, với mọi điểm a1∈ ⎣⎡a, b), các tích phân ∫abf t dt( ) và ( )

1

b

a f t dt

∫ có cùng bản chất và khi chúng cùng tồn tại thì