Giải tích 2

Đề thi và đáp án toán giải tích

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010.

Môn học: Giải tích 1

Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm 7 câu

HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN

CA 2

Câu 1 : Tính giới hạn (trình bày lời giải cụ thể) I = lim

x→0

s in x − ln ( s in x + √ 1 + x2)

t a n x − x c o s 2x

Câu 2 : Khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong y = ( 1 + x) 1

1+x

Câu 3 : Tìm và phân loại tất cả các điểm gián đoạn của đồ thị hàm số y = lg ( x2+ 3 x)

Câu 4 : Giải phương trình vi phân y ′

− y x = − ln x x với điều kiện y( 1 ) = 1 Câu 5 : Giải phương trình vi phân y ′′

− 2 y ′ + y = s in h ( 2 x)

Câu 6 : Tính tích phân suy rộng
+∞

1

dx

x 13/3 · √31 + x2

Câu 7 : Giải hệ phương trình vi phân bằng phương pháp khử hoặc trị riêng, véctơ riêng











dx

dy

dt = 2 x + 6 y + 2 z dz

Đáp án

→ I = lim

x→0

s in x + ln ( s in x +( 1 + x2)

t a n x − x c o s 2x = lim

x→0

x3

6 + o( x3)

4x3

3 + o( x3) =

8

= ( 1 + x) 1/(x+1)

· (1+x)1 2( 1 − ln ( x + 1 ) )

→ y ′ ≥ 0 ⇔ 0 < x ≤ e − 1 Hàm tăng trên ( 0 , e − 1 ) , giảm trên ( e − 1 , +∞) , cực đại tại

x = e − 1 , f cd = e 1/e

lim

x→−1+( x + 1 ) 1/(x+1) = 0 , không có tiệm cận đứng, lim

x→+∞ ( x + 1 ) 1/(x+1) = 1 , tiệm cận ngang y = 1

Lập bảng biến thiên, tìm vài điểm đặc biệt, vẽ

q( x) · ep(x)dx dx + C ;y = e

1/xdx − ln x

x · e



−1/xdx dx + C

y = x − ln x

x2 dx + C = xln x+1

x + C ; y( 1 ) = 1 ⇔ C = 0 → y = ln x + 1

− 2 k + 1 = 0 ⇔ k = 1 → y0 = C1e x + C2· x · e x Tìm nghiệm riêng:

y r = y r1 + y r2, với y r1 = e

2x

2 là nghiệm riêng của y ′′

− 2 y ′ + y = e

2x

y r2 = −e −2x

1 8 là nghiệm riêng của y ′′

− 2 y ′ + y = −e −2x

2 Kết luận: y tq = y0+ y r1 + y r2

1 -CA 2

Câu 6 (1.5đ)
+∞

1

dx

3

√

x13+ x15 ⇔

1

dx

x5  3

1 + 1

x2

Đặt t =  3

1 + x12 ⇔ t3 = 1 + x12

I =

1

3

√

2

−3

2 t( t

3

− 1 ) dt = −3

2 0 · √3 4 + 9

2 0





3 1 1

2 4 2

1 1 3



 Chéo hóa A = P DP −1,

với P =







1 −1 −1





,D =







8 0 0

0 4 0

0 0 4





,

Hệ phương trình X ′

= A · X ⇔ X ′

= P DP −1 X ⇔ P −1 X ′

= DP −1 X,đặt X = P −1 Y, có hệ

Y ′

= DY ⇔ y ′

1 = 8 y1; y ′

2 = 4 y2; y ′

3 = 4 y3 → y1( t) = C1e 8t ; y2( t) = C2e 4t ; y3( t) = C3e 4t

Kluận: X = P Y ⇔ x1( t) = C1e 8t

− C2e 4t

− C3e 4t ; x2( t) = 2 C1e 8t + C2e 4t ; x3( t) = C1e 8t + C3e 4t

2 -CA 2