Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.. Gọi H là trung điểm của AC.. Chứng minh SH vuông góc mpABC.. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC..
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I NĂM HỌC 2008-2009
Môn:TOÁN 12 Nâng cao.
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
-ĐỀ BÀI.
Câu 1 (3,5 đ):
Cho hàm số: y x 3 2m 1x 2m 1 (m là tham số)
a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1
b Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
x x x a
Câu 2 (2,0 đ):
a Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1
y x
b Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số y x 2 4 x trên [2;4]
Câu 3 (3,5 đ):
Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, ASB BSC 60 ; 0 ASC 90 0
a Chứng minh rằng tam giác ABC vuông
b Gọi H là trung điểm của AC Chứng minh SH vuông góc mp(ABC)
c Tính thể tích của khối chóp S.ABC
d Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Câu 4 (1,0 đ): Chứng minh rằng: Nếu x 0,y 0 và x2 4y2 12xy thì
2
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
m
1 a Với m 1 ta có hàm số: 3
3 1
y x x
TXĐ : D
Sự biến thiên.
1 Giới hạn: 3 3
3 3
2 Bảng biến thiên:
Ta có y 3(x2 1);y 0 x 1
Hàm số đồng biến trên các khoảng: ; 1 1;
Nghịch biến trên khoảng: 1;1
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
Trang 2Hàm số đạt cực đại tại x 1; y CD 3.
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1; y CT 1
Bảng biến thiên:
-1 3
1 -1
y
y'
x
Đồ thị:
Điểm uốn của đồ thị là: I0;1
Đồ thị hàm số đi qua (-2;-1); (2;3)
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm I0;1làm tâm đối xứng
b Ta có: x3 2x 3 x a x3 3x 1 a 2
Nên số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với
đường thẳng có PT y a 2
Vậy: 1 a 5 thì PT có 3 nghiệm phân biệt
a 5hoặc a 1 thì PT có 2 nghiệm
a 5 hoặc a 1 thì PT có 2 nghiệm
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25 0.25
0.25
2 a Ta có
0.25
Trang 32
1 lim lim
1 1 lim lim
1
y
x
y
x
Nên tiệm cận đứng của đồ thị là đường thẳng có phương trình: x 1
1
1 1
1
y x
x
y x
x
Nên tiệm cận xiên của đồ thị là đường thẳng có phương trình: yx
0.25
0.25 0.25
b Xét hàm số: yf x( ) x 2 4 xtrên [2;4]
Ta có:
' '( )
y f x
Và f(2) f(4) 2; (3) 2f
Vậy x Max f x2;4 ( )f(3) 2; x min f x2;4 ( )f(2)f(4) 2
0.25 0.25
0.25 0.25
3 Câu 3: (3,5 điểm)
Hình vẽ:
H
A
C
B
S
a Theo giả thiết ta có: SAB SBC, là các tam giác đều nên:
AB BC a
SAC vuông cân tại S nên AC a 2
Ta có: 2 2 2
AB BC AC nên tam giác ABC là tam giác vuông tại B
b Do các tam giác SAC BAC, là các tam giác vuông cân tại S và B
nên:SH AC(1)
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
Trang 4Và: 2 2 2
HB HS SB nên SHB vuông tại H vì vậy: SH HB (2)
Từ (1) và (2) ta có: SH (ABC)
c Ta có:
2
2
ABC
a
S và SH a 2
nên
3
.
a
2
HA HB HC HS a nên khối cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABC có tâm là H và bán kính 2
2
R a nên
3
C
V R a a
0.25 0.25 0.5 0.5
0.25 0.25
0.25
4 Từ giả thiết ta có: 2 2 2
x y xy x y xy Nên:
4
ln 2 ln 16 2ln 2 ln 2 ln ln
2ln 2 ln 2 ln ln
1
2
0.25
0.25 0.25 0.25
Chú ý:
Học sinh giải theo cách khác vẫn cho kết quả đúng thì cho điểm tương ứng.
