Bài toán đặc biệt về Giao điểm của đồ thị hàm số phân thức với đờng thẳng a.Chú ý: Xột hm s ( ) 0 0 ax ( ) , b y C ac ad bc cx d + = + th hm s cú tim cn ng l c x d = . Khi ú th hm s gm cú hai nhỏnh: mt nhỏnh nm bờn trỏi ng thng c x d = v mt nhỏnh nm bờn phi ng thng c x d = . Gi d l ng thng cú phng trỡnh: y kx p= + Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v (d): ax b kx m cx d + = + + (1) Bin i thu gn phng trỡnh (1) v dng 2 0( )x px qx r = + + = (2) Khi ú, ta cú mt s trng hp c bit sau cn lu ý: d ct ( )C ti hai im phõn bit pt(2) cú hai nghim phõn bit khỏc c d 0 0 c d > ữ d ct ( )C ti hai im phõn bit nm v hai nhỏnh ca ( )C pt(2) cú hai nghim phõn bit 1 2 ,x x 1 2 ( )x x< tha món: 1 2 c x x d < < . d ct ( )C ti hai im phõn bit nm v nhỏnh trỏi ca ( )C pt(2) cú hai nghim phõn bit 1 2 ,x x 1 2 ( )x x< tha món: 1 2 c x x d < < . d ct ( )C ti hai im phõn bit nm v nhỏnh phi ca ( )C pt(2) cú hai nghim phõn bit 1 2 ,x x 1 2 ( )x x< tha món: 1 2 c x x d < < . d ct ( )C ti hai im phõn bit nm v 1 nhỏnh ca ( )C pt(2) cú hai nghim phõn bit 1 2 ,x x 1 2 ( )x x< tha món: 1 2 c x x d < < hoc 1 2 c x x d < < B.Bài tập Bi 1. Cho hm s mx y x + = 1 2 3 m (C ) . Tỡm m m (C ) ct ng thng : y x = 2 : a. 1 nhỏnh ca m (C ) b. 2 nhỏnh ca m (C ) c. nhỏnh phi ca m (C ) d. nhỏnh trỏi ca m (C ) . GII Xột hm s ( ) 3 3 2 3 1 1 1 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 m m x m mx m y x x x + + + + = = = + th m (C ) cú tim cn ng 3 2 1 0 2 3 m m+ . Khi ú th hm s cú tim cõn ng l 3 2 x = . Xột phng trỡnh honh giao im ca v m (C ) : 2 1 2 2 7 5 0 1 2 3 ( ) ( ) mx x x m x x + = + + = Giỏo viờn: Nguyn Th T Nga a) Để m (C ) cắt đường thẳng : y x∆ = − 2 ở 1 nhánh của m (C ) thì pt (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x 1 2 ( )x x≤ thỏa mãn: 1 2 3 2 x x≤ < hoặc 1 2 3 2 x x≤ < ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 7 40 7 40 7 40 7 40 3 3 0 3 3 2 2 3 9 0 0 3 3 2 2 2 4 0 2 2 , , m m m m x x x x x x x x x x ∆ ≥ ≤ − − ≥ − + ≤ − − ≥ − + − ≤ − < ⇔ ⇔ ⇔ − − > − + + > ÷ ÷ < − ≤ − Theo định lý Viet ta có: 1 2 1 2 7 2 5 2 m x x x x + + = = , thay vào ta có 7 40 7 40 2 3 ,m m m ≤ − − ≥ − + − < 2 7 40 3 m⇔ − + ≤ < − hoặc 7 40m ≤ − − . c) Để m (C ) cắt : y x∆ = −2 ở 2 nhánh của m (C ) thì pt (1) có hai no phân biệ 1 2 ,x x 1 2 x x<( ) thỏa mãn: 1 2 3 2 x x< < ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 7 40 7 40 0 7 40 7 40 7 40 7 40 2 3 3 3 3 2 3 9 3 0 0 0 2 2 2 2 32 4 , , , m m m m m m m x x x x m x x x x < − − ≥ − + ∆ > < − − > − + < − − ≥ − + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > − − − < < − − − < > − + + < ÷ ÷ c) Để m (C ) cắt : y x∆ = −2 ở nhánh phải của m (C ) thì pt (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x 1 2 ( )x x≤ thỏa mãn: 1 2 3 2 x x< ≤ ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 14 9 0 7 40 7 40 0 3 3 3 9 0 0 3 3 2 2 2 4 0 2 2 3 0 3 3 0 2 2 , m m m m x x x x x x x x x x x x + + ≥ ≤ − − ≥ − + ∆ ≥ ⇔ ⇔ − − > ⇔ − + + > ÷ ÷ < − ≤ − + − > − + − > 7 40 7 40 7 40 7 40 5 3 7 9 2 2 0 7 40 2 2 2 4 3 3 7 1 3 0 2 , , . m m m m m m m m m ≤ − − ≥ − + ≤ − − ≥ − + + − ⇔ − + > ⇔ < ⇔ − + ≤ < − + > − − > d) Để m (C ) cắt : y x∆ = − 2 ở nhánh trái của m (C ) thì pt (1) có hai nghiệm 1 2 ,x x thỏa mãn: 1 2 3 2 x x≤ < ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 14 9 0 7 40 7 40 7 40 7 40 0 3 3 3 9 2 0 0 3 3 2 2 2 4 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 2 2 m m m m m m x x x x x x m x x x x m x x + + ≥ ≤ − − ≥ − + ≤ − − ≥ − + ∆ ≥ − ⇔ ⇔ − − > ⇔ − + + > ⇔ < ÷ ÷ − ≤ − < + − < < − − + − < , , 7 40m⇔ ≤ − − C.NhËn xÐt: Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga 1. Trong lời giải trên học sinh thường quên mất điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đó là 2 3 m ≠ − . Thật vậy nếu 2 3 m = − ta có hàm số 1 3 y = − là hàm hằng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. • Tổng quát hơn, ta có lưu ý sau khi làm bài: Nếu hàm số có dạng ax ( , ) ( ) b y f x m C cx d + = = + có chứa tham số m thì đồ thị hàm số chưa chắc đã có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang. Thật vây: Xét 0c ≠ :t a phân tích ( ) ax ( , ) ( ) a ad cx d b b a bc ad c c y f x m cx d cx d c c cx d + + − + − = = = = + + + + + Nếu 0bc ad− = ta có hàm số a y c = là hàm hằng nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang + Nếu 0bc ad − ≠ thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng c x d = − . Xét c = 0, ta có hàm số ax b y d + = là hàm đa thức nên đồ thị hàm số không có TCĐ, TCN. Tóm lại: điều kiện để đồ thị hàm số ax ( , ) ( ) b y f x m C cx d + = = + có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là 0bc ad − ≠ . Khi đó tiệm cận đứng là đường thẳng c x d = − , tiệm cận ngang: a y c = . 2. Ta có thể giải bài trên theo cách khác: Tìm điều kiện để pt (1) có hai nghiệm khác c d − ⇒ Tính rõ hai nghiệm 1 2 1 2 x x x x≤, ( ) 1 2 3 2 x x≤ < hoặc 1 2 3 2 x x< ≤ ⇔ 2 3 2 x < hoặc 1 3 2 x > ⇒ Chuyển về giải các bpt vô tỉ ẩn m. ⇒ Đối chiếu với đk 1 2 3 2 x x≤ < khi và chỉ chi 2 3 2 x < ⇒ Chuyển về giải bpt vô tỉ ẩn m ⇒ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận. 1 2 3 2 x x< ≤ khi và chỉ chi 1 3 2 x > ⇒ Chuyển về giải bpt vô tỉ ẩn m. ⇒ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận. 1 2 3 2 x x< < khi và chỉ chi 1 3 2 x < và 2 3 2 x > ⇒ Chuyển về giải hệ bpt vô tỉ ẩn m. ⇒ Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận. Giáo viên: Nguyễn Thị Tố Nga . Bài toán đặc biệt về Giao điểm của đồ thị hàm số phân thức với đờng thẳng a.Chú ý: Xột hm s ( ) 0 0 ax ( ) , b y C. nhỏnh nm bờn phi ng thng c x d = . Gi d l ng thng cú phng trỡnh: y kx p= + Xột phng trỡnh honh giao im ca (C) v (d): ax b kx m cx d + = + + (1) Bin i thu gn phng trỡnh (1) v dng 2 0( )x px. tim cn ng 3 2 1 0 2 3 m m+ . Khi ú th hm s cú tim cõn ng l 3 2 x = . Xột phng trỡnh honh giao im ca v m (C ) : 2 1 2 2 7 5 0 1 2 3 ( ) ( ) mx x x m x x + = + + = Giỏo viờn: Nguyn