tài liệu phương pháp phần tử hữu hạn

Môn học PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TS. Lê Đình Hồng (Tel. 0903 994436) BM. Kỹ thuật Tài nguyên nước Khoa Kỹ thuật Xây dựng Đại học Bách khoa Tp. HCM Nội dung môn học 1. Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn 2. Phương pháp số dư gia trọng 3. Lý thuyết ñàn hồi (tự ôn tập) 4. Phần tử thanh (tự ôn tập) 5. Hàm nội suy 6. Bài toán phẳng và khối 7. Bài toán bản, vỏ 8. Bài toán thấm (phương pháp số dư gia trọng) 9. Kỹ thuật mô hình hóa trong phần tử hữu hạn 10. Sơ lược về bài toán ñộng lực học và phương pháp phần tử hữu hạn Tài liệu tham khảo • Fundamentals of Finite Element Analysis, David V. Hutton, McGraw Hill, 2004. • The Finite Element Method in Engineering, Singiresu S. Rao, Elsevier Science & Technology Books, 2004. • Một số sách khác sẵn có trong Thư viện ĐH Bách khoa Tp. Hồ Chí Minh, chẳng hạn:  A First Course in the Finite Element Method, Dary L. Logan, Brooks/Cole, 2002.  Finite Element Analysis – Theory and Application with Ansys, Saeed Moaveni, Pearson Education, 2003.  … Trong quá trình học:  Thực hiện một số tính toán minh họa sử dụng phần mềm Sap2000, Geoslope Studio, …  Khuyến khích Học viên ñặt vấn ñề (lý thuyết, thực tế, …) ñể tất cả cùng tham gia giải quyết. Đánh giá môn học: Tiểu luận trong quá trình học: tỷ lệ 40 % Thi cuối học kỳ: tỷ lệ 60 % Cộng: 100 % TS. Leâ Ñình Hoàng 1/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Chương 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 MỞ ĐẦU Hiện tượng vật lý → phương trình đạo hàm riêng → lời giải • Đơn giản (phương trình, miền tính toán và điều kiện biên) → lời giải chính xác (lời giải giải tích) • Phức tạp → lời giải xấp xỉ (hay lời giải số): 9 Phương pháp sai phân hữu hạn: đạo hàm riêng trong phương trình vi phân chủ đạo được thay thế TS. Leâ Ñình Hoàng 2/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH bằng biểu thức sai phân → hệ phương trình đại số tuyến tính → lời giải tại một số điểm rời rạc. 9 Phương pháp biến phân (Rayleigh-Ritz, Galerkin, bình phương tối thiểu): phương trình vi phân chủ đạo → dạng biến phân → giả thiết lời giải dạng ( ) j j c φ ∑ trên toàn miền tính toán với j φ là hàm số chọn sẵn, c j là hệ số chưa xác định → xác định c j để phương trình nguyên thủy và phương trình dạng biến phân tương đương nhau. Lưu ý: không phải mọi bài toán đều có thể được viết dưới dạng biến phân. 9 Phương pháp phần tử hữu hạn: có thể áp dụng cho mọi loại bài toán khoa học và kỹ thuật TS. Leâ Ñình Hoàng 3/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH  Miền tính toán được chia thành các miền con gọi là phần tử hữu hạn.  Chọn hàm xấp xỉ cho ẩn số dạng đa thức trong từng phần tử.  Bằng cách thỏa mãn phương trình vi phân chủ đạo theo ý nghĩa tích phân – gia trọng → hệ phương trình để xác định giá trị ẩn số tại các nút của các phần tử hữu hạn. 1.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Bài toán thấm ngang qua đập đất: TS. Leâ Ñình Hoàng 4/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH TS. Leâ Ñình Hoàng 5/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Bài toán tỏa nhiệt theo thời gian trong đập bê tông TS. Leâ Ñình Hoàng 6/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH TS. Leâ Ñình Hoàng 7/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Bài toán ứng suất – biến dạng TS. Leâ Ñình Hoàng 8/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Mô phỏng một máy bay chiến đấu TS. Leâ Ñình Hoàng 9/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Bài toán dao động do động đất, tải thay đổi theo thời gian, TS. Leâ Ñình Hoàng 10/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH 1.3 CÁC BƯỚC CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Bước 1 : Rời rạc hóa miền tính toán thành các phần tử hữu hạn với hình dạng được chọn trước và các phần tử liên kết với nhau tại các nút. Phần tử thanh Phần tử phẳng tam giác, tứ giác TS. Leâ Ñình Hoàng 11/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Phần tử vỏ mỏng Phần tử khối Bước 2 : Chọn hàm chuyển vị (thường là đa thức bậc 1, 2, 3) được xác định bên trong từng phần tử để nội suy chuyển vị tại vị trí bất kỳ (bên trong phần tử) theo chuyển vị nút của các phần tử (ẩn số). TS. Leâ Ñình Hoàng 12/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH { } () () () [] () {} ,, ,, ,, e uxyz uvxyz Nu wxyz ⎧⎫ ⎪⎪ == ⎨⎬ ⎪⎪ ⎩⎭ (1.1) [N] = ma trận hàm hình dạng / nội suy; và ( ) { } e u = vectơ chuyển vị nút của phần tử (e). Bước 3 : Xác định quan hệ biến dạng - ứng suất và biến dạng – chuyển vị theo lý thuyết đàn hồi (tùy thuộc loại bài toán đang giải). Ví dụ đối với bài toán một chiều xxx du E dx ε σε == (1.2) TS. Leâ Ñình Hoàng 13/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử và phương trình cân bằng phần tử theo một trong các phương pháp: cân bằng trực tiếp, năng lượng / công hay số dư gia trọng và được hệ phương trình có dạng () { } ( ) ( ) { } eee f ku ⎡⎤ = ⎣ ⎦ (1.3) () { } e f = vec tơ lực nút; ( ) e k ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ma trận độ cứng; và ( ) { } e u = vec tơ chuyển vị nút của phần tử (e) bất kỳ. Bước 5 : Hệ phương trình cân bằng của từng phần tử được cộng với nhau theo nguyên lý xếp chồng → hệ phương trình cân bằng tổng thể có dạng { } [ ] { } F KU = (1.4) TS. Leâ Ñình Hoàng 14/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH { } F = vec tơ lực tác dụng tại các nút; [ ] K = ma trận độ cứng (đối xứng đối với bài toán kết cấu); và { } U = vec tơ chuyển vị nút của toàn hệ kết cấu. [] K là ma trận kỳ dị (định thức bằng không) → bổ sung điều kiện biên (kết cấu không chuyển động như vật thể tuyệt đối cứng) (1.4) trở thành { } [ ] { } F KU =   (1.5) Ma trận [] K  mất tính chất kỳ dị. Bước 6 : Giải phương trình (1.5) → chuyển vị tại tất cả các nút trong miền tính toán. TS. Leâ Ñình Hoàng 15/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH Bước 7: Tính chuyển vị tại vị trí bất kỳ theo (1.1) và biến dạng, ứng suất trong phần tử bất kỳ theo các biểu thức tương tự (1.2). Bước 8 : Phân tích, giải thích kết quả để dùng trong quá trình thiết kế. Các sai lầm thường gặp: • Nhập sai dữ liệu đầu vào (tính chất vật lý, kích thước, …). • Chọn loại phần tử không thích hợp → cần nắm vũng phạm vi áp dụng và ưu nhược điểm của từng loại phần tử. • Chọn loại bài toán không phù hợp → cần phân biệt các loại bài toán (lý thuy ết đàn hồi). TS. Leâ Ñình Hoàng 16/17 Ch. 1: Tổng quan về PPPTHH • Hình dạng phần tử và lưới phần tử không hợp lý → có ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính toán. • Gán tải và điều kiện biên không đúng. Các phương pháp để thiết lập ma trận phần tử: • Trực tiếp • Cực tiểu thế năng • Số dư gia trọng 1.4 ƯU ĐIỂM CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦ N TỬ HỮU HẠN • Dễ dàng mô phỏng kết cấu có hình dạng bất kỳ hoặc cấu tạo gồm nhiều loại vật liệu khác nhau; [...]... phức tạp → Phương pháp phần tử hữu hạn chỉ yêu cầu • hàm thử xác định trong từng phần tử; • không yêu cầu hàm thử thỏa điều kiện biên 2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN Bài toán cần giải TS Leâ Ñình Hoàng 13/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng d ⎛ du ⎞ ⎜ x ⎟ − 4x = 0 1 ≤ x ≤ 2 dx ⎝ dx ⎠ u (1) = u ( 2 ) = 0 (2.30) Lời giải chính xác ln x −1 (2.31) ln 2 Miền tính toán chia thành 2 phần tử (kích... tại các nút TS Leâ Ñình Hoàng 14/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng • Các hằng số ci của phương pháp số dư gia trọng trở thành ui trong phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin; • Hàm thử φi được xác định cho từng nút như hình → hàm thử chỉ khác không trong một phần nhỏ của miền tính toán TS Leâ Ñình Hoàng 15/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng φ2(x) → trong phần tử 1 x2 − x x − x1 + u2 x2 − x1 x2 − x1... kiện biên cho sẵn → bài toán tĩnh học công trình Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo có dạng: (2.1) [ A] X = b với điều kiện biên là [ B] X = g TS Leâ Ñình Hoàng 1/29 (2.2) Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng • Bài toán giá trị riêng (eigenvalue): → tần số tự nhiên và hình dạng mode, chẳng hạn đối với bài toán động trong kết cấu Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo có dạng: (2.3) [ A] X = λ [ B ] X với... −0,5049; du / dx x =1 = −2,3281; du / dx x =2 = 1,8360 Phần tử hữu hạn cho phần tử TS Leâ Ñình Hoàng 21/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng Xét miền tính toán chỉ là một phần tử e (nút j và j+1) → d ⎛ du ⎞ a ≤ x j ≤ x ≤ x j +1 ≤ b (2.44) ⎜ x ⎟ − 4x = 0 dx ⎝ dx ⎠ Điều kiện biên là u( xj ) = uj u ( x j +1 ) = u j +1 (2.45) Lời giải xấp xỉ trong phần tử j e) u * ( x ) = u jφ (j e ) ( x ) + u j +1φ (j +1... bởi pháp tuyến n và phương y TS Leâ Ñình Hoàng 29/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng Chương 3 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TÓM TẮT & PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN A LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TÓM TẮT 3.1 Mở đầu Mục đích: bài toán cơ học → phân bố chuyển vị và ứng suất bên trong vật thể dưới tác dụng của lực tác dụng và điều kiện biên → giải → TS Leâ Ñình Hoàng 1/46 Ch 3: Lý thuyết đàn hồi & PTHH Loại phương trình Phương. .. (2.33) u * ( x ) = u1φ1(1) ( x ) + u2φ2(1) ( x ) = u1 trong phần tử 2 u * ( x ) = u2φ2( TS Leâ Ñình Hoàng 2) ( x ) + u3φ3( 2) ( x ) = u2 16/29 x3 − x x − x2 + u3 (2.34) x3 − x2 x3 − x2 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng Chỉ số trên ( ) để chỉ phần tử Thay (2.32) vào (2.30) → số dư R d ⎛ du * ⎞ (2.35) R= ⎜x ⎟ − 4x dx ⎝ dx ⎠ Hệ phương trình phần tử hữu hạn x3 x3 ⎡ d ⎛ du * ⎞ ⎤ φi Rdx = ∫ φi ⎢ ⎜ x (2.36) − 4... 10−6 (2.16) Phương pháp chọn điểm (collocation) TS Leâ Ñình Hoàng 7/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng Hàm sai số bị cưỡng bức bằng zero tại n (= 3) điểm, chẳng hạn tại y = L/3; = 2L/3 và L Thay vào (2.16) → hệ 3 phương trình 3 ẩn số R ( L / 3) = 0 R ( 2 L / 3) = 0 R ( L) = 0 (2.17) → giải hệ phương trình → u = 423,0776 × 10 −6 y + 21,65 × 10−15 y 2 + 1,153848 × 10 −6 y 3 (2.18) Phương pháp miền con... ⎪ dx x3 ⎭ ⎩ Tổng hợp hệ (2.50) → hệ (2.43) TS Leâ Ñình Hoàng 25/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng Lưu ý: Bậc đạo hàm cao nhất trong phương trình chủ đạo giảm một bậc → yêu cầu về bậc liên tục đối với hàm nội suy giảm một bậc 2.4 ĐỊNH LÝ GREEN – GAUSS (TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN HAI, BA CHIỀU) Thiết lập các phương trình phần tử hữu hạn → cần tính tích phân dạng ∂φ ψ (2.51) ∫∫A ∂x dx dy A = diện tích miền... tất cả các loại tải trọng và điều kiện biên; • Có thể thay đổi kích thước phần tử → nơi tập trung ứng suất dùng phần tử có kích thước nhỏ, các nơi khác dùng phần tử kích thước lớn hơn; • Dễ dàng mô phỏng bài toán động và phi tuyến hình học lẫn phi tuyến vật liệu TS Leâ Ñình Hoàng 17/17 Ch 1: Tổng quan về PPPTHH Chương 2 PHƯƠNG PHÁP SỐ DƯ GIA TRỌNG 2.1 CÁC LOẠI BÀI TOÁN • Bài toán cân bằng (giá trị biên):... trong một miền hở thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho sẵn, chẳng hạn đối với bài toán động trong kết cấu, bài toán tỏa nhiệt Lời giải phải được tính toán xuất phát từ giá trị TS Leâ Ñình Hoàng 2/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng ban đầu cho sẵn trong khi phải thỏa các điều kiện biên Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo có dạng: d2X dX [ A] 2 + [ B ] + [C ] X = F X , t , t > 0 (2.5) dt . PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Bước 1 : Rời rạc hóa miền tính toán thành các phần tử hữu hạn với hình dạng được chọn trước và các phần tử liên kết với nhau tại các nút. Phần tử thanh Phần. vỏ 8. Bài toán thấm (phương pháp số dư gia trọng) 9. Kỹ thuật mô hình hóa trong phần tử hữu hạn 10. Sơ lược về bài toán ñộng lực học và phương pháp phần tử hữu hạn Tài liệu tham khảo •. biên phức tạp. → Phương pháp phần tử hữu hạn chỉ yêu cầu • hàm thử xác định trong từng phần tử; • không yêu cầu hàm thử thỏa điều kiện biên. 2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN Bài