tài liệu phương pháp phần tử hữu hạn

1: Tổng quan về PPPTHH Chương 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 MỞ ĐẦU Hiện tượng vật lý → phương trình đạo hàm riêng → lời giải • Đơn giản phương trình, miền tính toán

Trang 1

Môn học PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

TS Lê Đình Hồng

(Tel 0903 994436)

BM Kỹ thuật Tài nguyên nước Khoa Kỹ thuật Xây dựng Đại học Bách khoa Tp HCM

Nội dung môn học

1 Tổng quan về phương pháp phần tử hữu hạn

2 Phương pháp số dư gia trọng

3 Lý thuyết ñàn hồi ( tự ôn tập )

4 Phần tử thanh ( tự ôn tập )

5 Hàm nội suy

6 Bài toán phẳng và khối

7 Bài toán bản, vỏ

8 Bài toán thấm (phương pháp số dư gia trọng)

9 Kỹ thuật mô hình hóa trong phần tử hữu hạn

10 Sơ lược về bài toán ñộng lực học và phương pháp phần tử hữu hạn

Trang 2

Tài liệu tham khảo

• Fundamentals of Finite Element Analysis , David V Hutton, McGraw Hill, 2004

• The Finite Element Method in Engineering , Singiresu S Rao, Elsevier Science & Technology Books, 2004

• Một số sách khác sẵn có trong Thư viện ĐH Bách khoa Tp

Khuyến khích Học viên ñặt vấn ñề (lý thuyết, thực tế,

…) ñể tất cả cùng tham gia giải quyết

Trang 3

TS Leâ Ñình Hoàng 1/17 Ch 1: Tổng quan về PPPTHH

Chương 1 TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN

1.1 MỞ ĐẦU

Hiện tượng vật lý → phương trình đạo hàm riêng → lời giải

• Đơn giản (phương trình, miền tính toán và điều kiện biên) → lời giải chính xác (lời giải giải tích)

• Phức tạp → lời giải xấp xỉ (hay lời giải số):

9 Phương pháp sai phân hữu hạn: đạo hàm riêng trong phương trình vi phân chủ đạo được thay thế

bằng biểu thức sai phân → hệ phương trình đại số tuyến tính → lời giải tại một số điểm rời rạc

9 Phương pháp biến phân (Rayleigh-Ritz, Galerkin, bình phương tối thiểu): phương trình vi phân chủ đạo → dạng biến phân → giả thiết lời giải dạng

( ∑c jφj) trên toàn miền tính toán với φj là hàm số chọn sẵn, c j là hệ số chưa xác định → xác định c j để phương trình nguyên thủy và phương trình dạng biến phân tương đương nhau Lưu ý: không phải

mọi bài toán đều có thể được viết dưới dạng biến phân

9 Phương pháp phần tử hữu hạn: có thể áp dụng cho mọi loại bài toán khoa học và kỹ thuật

Trang 4

 Miền tính toán được chia thành các miền con gọi

là phần tử hữu hạn

 Chọn hàm xấp xỉ cho ẩn số dạng đa thức trong từng phần tử

 Bằng cách thỏa mãn phương trình vi phân chủ

đạo theo ý nghĩa tích phân – gia trọng → hệ phương trình để xác định giá trị ẩn số tại các nút của các phần tử hữu hạn

1.2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN

TỬ HỮU HẠN

Bài toán thấm ngang qua đập đất:

Trang 5

Bài toán tỏa nhiệt theo thời gian trong đập bê tông

Trang 6

Bài toán ứng suất – biến dạng

Mô phỏng một máy bay chiến đấu

Trang 7

Bài toán dao động do động đất, tải thay đổi theo thời gian,

Phần tử thanh Phần tử phẳng tam giác, tứ giác

Trang 8

Phần tử vỏ mỏng Phần tử khối

Bước 2: Chọn hàm chuyển vị (thường là đa thức bậc 1, 2, 3) được xác định bên trong từng phần tử để nội suy chuyển vị tại vị trí bất kỳ (bên trong phần tử) theo chuyển vị nút của các phần tử (ẩn số)

{ } ( ( ) )

( , ,, , ) [ ] { }( ), ,

Bước 3: Xác định quan hệ biến dạng - ứng suất và biến dạng – chuyển vị theo lý thuyết đàn hồi (tùy thuộc loại bài toán đang giải) Ví dụ đối với bài toán một chiều

du

E dx

Trang 9

Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử và phương trình cân bằng phần tử theo một trong các phương pháp: cân bằng trực tiếp, năng lượng / công hay số dư gia trọng

vec tơ chuyển vị nút của phần tử (e) bất kỳ

Bước 5: Hệ phương trình cân bằng của từng phần tử được cộng với nhau theo nguyên lý xếp chồng → hệ phương trình cân bằng tổng thể có dạng

{ }F =[ ]K U{ } (1.4)

{ }F = vec tơ lực tác dụng tại các nút; [ ]K = ma trận độ cứng (đối xứng đối với bài toán kết cấu); và { }U = vec tơ chuyển vị nút của toàn hệ kết cấu

[ ]K là ma trận kỳ dị (định thức bằng không) → bổ sung điều kiện biên (kết cấu không chuyển động như vật thể tuyệt đối cứng) (1.4) trở thành

Trang 10

Bước 7: Tính chuyển vị tại vị trí bất kỳ theo (1.1) và biến dạng, ứng suất trong phần tử bất kỳ theo các biểu thức tương tự (1.2)

Bước 8: Phân tích, giải thích kết quả để dùng trong quá trình thiết kế Các sai lầm thường gặp:

• Nhập sai dữ liệu đầu vào (tính chất vật lý, kích thước,

…)

• Chọn loại phần tử không thích hợp → cần nắm vũng phạm vi áp dụng và ưu nhược điểm của từng loại phần

• Gán tải và điều kiện biên không đúng

Trang 11

• Xử lý được tất cả các loại tải trọng và điều kiện biên;

• Có thể thay đổi kích thước phần tử → nơi tập trung ứng suất dùng phần tử có kích thước nhỏ, các nơi khác dùng phần tử kích thước lớn hơn;

• Dễ dàng mô phỏng bài toán động và phi tuyến hình học lẫn phi tuyến vật liệu

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP SỐ DƯ GIA TRỌNG

2.1 CÁC LOẠI BÀI TOÁN

• Bài toán cân bằng (giá trị biên): → lời giải trong một miền kín thoả điều kiện biên cho sẵn → bài toán tĩnh học công trình Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo có dạng:

[ ]A XG =bG (2.1) với điều kiện biên là

[ ]B XG = gG (2.2)

Trang 12

TS Leâ Ñình Hoàng 2/29 Ch 2: Phương pháp Số dư gia trọng

• Bài toán giá trị riêng (eigenvalue): → tần số tự nhiên

và hình dạng mode, chẳng hạn đối với bài toán động trong kết cấu Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo

có dạng:

[ ]A XG = λ[ ]B XG (2.3) với điều kiện biên là

[ ]C XG = gG (2.4)

• Bài toán lan truyền (propagation - giá trị ban đầu và giá trị biên): → lời giải trong một miền hở thỏa mãn các điều kiện ban đầu và điều kiện biên cho sẵn, chẳng hạn đối với bài toán động trong kết cấu, bài toán tỏa nhiệt Lời giải phải được tính toán xuất phát từ giá trị

ban đầu cho sẵn trong khi phải thỏa các điều kiện biên Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo có dạng:

trong đó [A], [B], [C] và [D] là các ma trận vuông mà hệ số

của chúng đã biết; XG là vectơ ẩn số chưa biết; b g X YG, ,G G0, G0

là

Trang 13

các vectơ hằng số đã biết, λ là giá trị riêng, t là biến thời

gian và FG là vectơ hàm số của XG và t

2.2 PHƯƠNG PHÁP SỐ DƯ GIA TRỌNG

Kỹ thuật xấp xỉ để giải bài toán giá trị biên bằng cách

• sử dụng hàm thử thỏa điều kiện biên và

• thiết lập bài toán dạng tích phân để cực tiểu sai số, theo ý nghĩa trung bình trên toàn miền tính toán

=

N i (x) = hàm thử được chọn sẵn, phải liên tục trên toàn miền

và thỏa tất cả các điều kiện biên

Thay (2.10) vào (2.8) → số dư

( ) *( ), 0

R x = D y⎡⎣ x x⎤⎦ ≠ (2.11) Phương pháp số dư gia trọng yêu cầu c i được tính từ hệ n phương trình n ẩn số sau

Trang 14

Lời giải là chính xác tại biên (từ yêu cầu đối với hàm thử) nhưng có sai số tại các vị trí bên trong miền tính toán

Phương trình mô tả thanh có bề dày t và bề rộng w thay đổi chịu kéo dọc trục và điều kiện biên là

Lời giải giả thiết thỏa điều kiện biên

u y = c y +c y +c y (2.14) Thay (2.14) vào (2.13) → hàm sai số

Trang 15

Hàm sai số bị cưỡng bức bằng zero tại n (= 3) điểm, chẳng hạn tại y = L/3; = 2L/3 và L Thay vào (2.16) → hệ 3 phương trình 3 ẩn số

Phương pháp miền con (subdomain)

Tích phân của hàm sai số bị cưỡng bức bằng zero tại n (= 3) miền con, chẳng hạn: miền 1 từ y = 0 đến y = L/3; miền 2 từ

y = L/3 đến y = 2L/3 và miền 3 từ y = 2L/3 đến y = L Từ (2.16) → hệ 3 phương trình 3 ẩn số

Trang 16

Trang 17

So sánh kết quả tính toán chuyển vị (10 -2 )

y Chính

xác

Chọn điểm

Miền con Galerkin Bình

phương cực tiểu

2,5 0,1027 0,1076 0,1029 0,1041 0,1027

5 0,2213 0,2259 0,2209 0,2220 0,2208 7,5 0,3615 0,3660 0,3618 0,3624 0,3618

10 0,5333 0,5384 0,5330 0,5342 0,5331

Các phương pháp số dư gia trọng yêu cầu hàm thử

• được xác định trên toàn miền tính toán và

• phải thỏa tất cả các điều kiện biên

→ không áp dụng được khi miền tính toán có dạng phức tạp và điều kiện biên phức tạp

→ Phương pháp phần tử hữu hạn chỉ yêu cầu

• hàm thử xác định trong từng phần tử;

• không yêu cầu hàm thử thỏa điều kiện biên

2.3 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN GALERKIN

Bài toán cần giải

Trang 18

• Các hằng số c i của phương pháp số dư gia trọng trở thành u i trong phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin;

• Hàm thử φ i được xác định cho từng nút như hình → hàm thử chỉ khác không trong một phần nhỏ của miền tính toán

Trang 19

Trang 20

Trang 21

2 3

2

*1,1667

Trang 22

Trang 23

1 12

Vế phải → các số hạng gradient tự triệt tiêu trong ma trận

hệ thống ngoại trừ tại biên của hệ thống, số hạng tích phân được cộng dồn →

2 3

*1,1667

2,5 2,5

1,3333 1,5

*1,6667 1,53,5 3,5

dx du dx u

Trang 24

Lưu ý: Bậc đạo hàm cao nhất trong phương trình chủ đạo giảm một bậc → yêu cầu về bậc liên tục đối với hàm nội suy giảm một bậc

2.4 ĐỊNH LÝ GREEN – GAUSS (TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN HAI, BA CHIỀU)

Thiết lập các phương trình phần tử hữu hạn → cần tính tích phân dạng

A = diện tích miền tích phân;

C = đường biên bao của miền tích phân

Thực hiện tích phân từng phần cho (2.51) đối với x bằng cách sử dụng quan hệ cơ bản

Trang 25

l x = cosine của góc hợp bởi pháp tuyến n và phương x, và dấu cộng và trừ được áp dụng cho đường cong biên phía phải và phía trái

Trang 26

TS Leâ Ñình Hoàng 1/46 Ch 3: Lý thuyết đàn hồi & PTHH

điều kiện biên → giải →

Số phương trình Loại phương trình

3D 2D 1D

Quan hệ ứng suất – biến dạng 6 3 1

Trang 27

Lời giải phải thoả một số phương trình bổ sung:

9 phương trình tương thích (liên quan đến sự liên tục của biến dạng và chuyển vị) và

chuyển vị và / hoặc lực tác dụng tại biên của vật thể)

3.2 Phương trình cân bằng bên ngoài

Vật thể cân bằng → tổng lực tác dụng ( ngoại lực + phản lực gối tựa ) → cân bằng

3.3 Phương trình cân bằng bên trong

Ngoại lực → ứng suất trong vật thể → phân tố bên trong vật thể phải cân bằng dưới tác dụng của ứng suất ( chín thành phần ) → phương trình cân bằng bên trong Quy ước

về ký hiệu ứng suất

9 chỉ số đầu → phương ứng suất,

9 chỉ số sau → phương pháp tuyến của mặt phẳng mà

ứng suất tác dụng, thứ tự không quan trọng)

Cân bằng moment quanh các trục x, y và z (ứng suất tiếp

có thể ký hiệu là σ hay τ cùng chỉ số tương ứng) →

σ =σ σ =σ σ =σ (3.2)

Trang 28

Cân bằng lực theo các phương x, y và z →

000

Trang 29

Với bài toán hai chiều trong mặt phẳng xy ta có

00

xy xx

3.4 Quan hệ ứng suất – biến dạng (constitutive)

3.4.1 Trường hợp 3D: trường hợp vật thể đàn hồi tuyến tính

và đẳng hướng , theo định luật Hooke →

Trang 30

Trang 31

Trang 32

Quan hệ ứng suất – biến dạng:

Trang 33

ννν

Trang 34

Biến dạng phẳng trong mặt phẳng xy , giả thiết

tại mọi mặt cắt Biến phụ thuộc được giả thiết là hàm số của chỉ toạ độ x và y Từ (3.7) & (3.17) →

σ =ν σ +σ σ =σ = (3.18) Thay (3.18) vào (3.7) → quan hệ ứng suất – biến dạng

Trang 35

[ ]D

σG = εG (3.21) với

Trang 36

3.4.5 Trường hợp bài toán đối xứng trục: trường hợp vật thể tròn xoay (đối xứng trục), lực tác dụng và điều kiện biên phải đối xứng đối với trục z → trường chuyển vị độc lập với

θ → bài toán 2D Lưu ý: chuyển vị của phần tử theo

phương r cũng gây ra biến dạng theo phương θ

Theo (3.6) quan hệ ứng suất biến dạng (thay x bởi r, y bởi θ)

Trang 37

và

[ ]D

σG = εG (3.26) với

3.5 Quan hệ biến dạng – chuyển vị

Biến dạng trong vật thể được biểu diễn theo các thành phần chuyển vị u, v và w Giả thiết biến dạng nhỏ → quan

hệ biến dạng – chuyển vị là tuyến tính

Xét một khối lăng trụ, do tác dụng của tải trọng, phân tố di chuyển đến vị trí mới và biến dạng Hai loại biến dạng cơ bản: thay đổi về chiều dài và thay đổi về gó c

Trang 38

Biến dạng thẳng (normal strain) = sự thay đổi chiều dài / chiều dài ban đầu dọc theo phương quan tâm →

Biến dạng góc = độ giảm góc vuông giữa AD và AB →

Trang 39

Biến dạng xuyên tâm, tiếp tuyến & dọc trục (mặt phẳng rz thực chất giống như trong hệ tọa độ vuông góc)

11

Trang 40

00

rz

r z

θ θ

εεε

3.6 Điều kiện biên

Điều kiện biên: một số chuyển vị (có thể là bằng không) được gán tại một số điểm nào đó của vật thể → bảo đảm bài toán tĩnh học

3.7 Phương trình tương thích

Vật thể liên tục trước khi biến dạng → phải liên tục sau khi biến dạng →

9 không có khe nứt hay khe rỗng xuất hiện trong vật thể

và

9 không phần nào của vật thể xếp chồng lên phần khác của cùng vật thể

→ trường chuyển vị phải liên tục và chỉ có giá trị đơn →

điều kiện tương thích

Quan điểm khác: ε×x , εyy , và ε×y được thiết lập chỉ từ u và v

→ phải có một quan hệ xác định giữa các thành phần ε×x ,

εyy , và ε×y nếu các biến dạng này tương ứng với một biến hình tương thích của vật thể → phương trình tương thích Với bài toán 3D → 6 phương trình tương thích

Định dạng
Số trang	289
Dung lượng	6,29 MB