CÁCCÔNGTHỨCSỬDỤNGTRONG PHƯƠNG PHÁPPHẦNTỬHỮUHẠN - MÔHÌNHCHUYỂNVỊ-BÀITOÁNHỆTHANH 1. Thiết lập ma trận độ cứng phầntử 1.1 Ma trận độ cứng phầntửtronghệ toạ độ địa phương 1.1.1 Phầntửthanh hai đầu nút cứng (NN) − −−− − − − − = l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF K e 46 0 26 0 612 0 612 0 0000 26 0 46 0 612 0 612 0 0000 ][ 22 2323 22 2323 (1) 1.1.2 Phầntửthanh đầu i nút cứng, đầu j khớp (NK) −− − − − − = 000000 0 3 0 33 0 0000 0 3 0 33 0 0 3 0 33 0 0000 ][ 323 22 323 l EJ l EJ l EJ l EF l EF l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF K e (2) 1.1.3 Phầntửthanh đầu i khớp, đầu j nút cứng (KN) − −− − − − = l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EJ l EF l EF l EJ l EJ l EJ l EF l EF K e 33 00 3 0 33 00 3 0 0000 000000 33 00 3 0 0000 ][ 22 233 233 (3) 1.2 Ma trận độ cứng phầntửtronghệ toạ độ tổng thể 1.2.1 Ma trận chuyểnphương − − = 100000 0cossin000 0sincos000 000100 0000cossin 0000sincos ][ αα αα αα αα T (4) 1.2.2 Ma trận độ cứng phầntửtronghệ toạ độ tổng thể ]].[.[][]'[ TKTK e T e = (5) 2. Quy đổi tảitrọngphầntửthành lực nút tương đương 2.1 Quy đổi tảitrọng tác dụng trên phầntử (theo phươnghệ toạ độ địa phương) về thành lực nút tương đương theo phươnghệ toạ độ địa phương 2.1.1 Phầntửthanh hai đầu nút cứng (NN) * Do lực phân bố đều p x : { } ( ) 1 1 . 0 0 . 0 0 2 2 x T e x x p R p l p l = (6) * Do lực phân bố đều p y : { } 2 2 ( ) 1 1 1 1 0 . . 0 . . 2 12 2 12 y T e y y y y p R p l p l p l p l = − (7) * Do tảitrọng tập trung T: { } ( ) . . 0 0 0 0 T e T T b T a R l l = (8) * Do tảitrọng tập trung P: { } 2 2 2 2 3 2 3 2 ( ) 0 ( 2 ) 0 (3 2 ) T e P Pb Pab Pa Pa b R l a l a l l l l = + − − (9) * Do moment tập trung M: { } 3 2 3 2 ( ) 6 6 0 (2 ) 0 (2 ) T e M Mab Mb Mab Ma R a b b a l l l l = − − − − − (10) 2.1.2 Phầntửthanh đầu i nút cứng, đầu j khớp (NK) * Do lực phân bố đều p x : { } ( ) 1 1 . 0 0 . 0 0 2 2 x T e x x p R p l p l = (11) * Do lực phân bố đều p y : { } 2 ( ) 5 1 3 0 . . 0 . 0 8 8 8 y T e y y y p R p l p l p l = (12) * Do tảitrọng tập trung T: { } ( ) . . 0 0 0 0 T e T T b T a R l l = (13) * Do tảitrọng tập trung P: { } 2 2 2 2 2 ( ) 0 (3 ) (2 ) 0 (3 ) 0 2 2 2 T e P Pb b Pab Pa a R l a l l l l l = − − − (14) * Do moment tập trung M: { } 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 3 0 (1 ) (1 3 ) 0 (1 ) 0 2 2 2 T e M M b M b M b R l l l l l = − − − − − (15) 2.1.3 Phầntửthanh đầu i khớp, đầu j nút cứng (KN) * Do lực phân bố đều p x : { } ( ) 1 1 . 0 0 . 0 0 2 2 x T e x x p R p l p l = (16) * Do lực phân bố đều p y : { } 2 ( ) 3 5 1 0 . 0 0 . . 8 8 8 y T e y y y p R p l p l p l = − (17) * Do tảitrọng tập trung T: { } ( ) . . 0 0 0 0 T e T T b T a R l l = (18) * Do tảitrọng tập trung P: { } 2 2 2 2 2 ( ) 0 (3 ) 0 0 (3 ) (2 ) 2 2 2 T e P Pb b Pa a Pab R l b l l l l l = − − − − (19) * Do moment tập trung M: { } 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 3 0 (1 ) 0 0 (1 ) (1 3 ) 2 2 2 T e M M a M a M a R l l l l l = − − − − − (20) Vectơ tảitrọng nút tương đương do tảitrọng tác dụng trên phầntử quy đổi thành lực nút tương đương theo phươnghệ toạ độ địa phương: { } { } { } { } { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y e e e e e e p p T P M R R R R R R= + + + + (21) 2.2 Quy đổi tảitrọng tác dụng trên phầntử (theo phươnghệ toạ độ địa phương) về thành lực nút tương đương theo phươnghệ toạ độ tổng thể: { } { } e T e RTR .][' = (22) 3. Lập ma trận độ cứng tổng thể, xác định chuyểnvị nút, xác định nội lực: 3.1 Lắp ghép: Ma trận ]'[ e K của từng phầntử ⇒ ma trận ][ S K . Vectơ }'{ e R của từng phầntử ⇒ vectơ }'{ S R Cộng vectơ }'{ S R với vectơ tảitrọng tác dụng trực tiếp tại nút }{ P R ⇒ vectơ lực tổng cộngtại nút }{ S R }{}'{}{ PSS RRR += (23) 3.2 Xét điều kiện biên, khử trùng lặp: Ma trận ][ S K ⇒ ma trận ]*[ s K Vectơ }{ S R ⇒ vectơ }*{ S R 3.3 Giải hệphương trình: [ ] { } { } SSS RuK **.* = [ ] }*{*}*{ 1 SSS RKu − = (24) 3.4 Vectơ chuyểnvị nút của phần tử: Lắp ghép cácchuyểnvị nút (gồm những chuyểnvịtạicác liên kết và những chuyểnvị xác định từ kết quả giải hệphương trình) ⇒ vectơ chuyểnvị nút của phầntửtronghệ toạ độ tổng thể { } e u' . Vectơ chuyểnvị nút của phầntửtronghệ toạ độ địa phương { } e u . [ ] }'{}{ ee uTu = (25) 3.5 Vectơ nội lực của phần tử: [ ] { } eeee RuKF −= }{}{ (26) Nội lực tại 2 đầu thanh: { } )1( ei FN −= ; { } )2( ei FQ = ; { } )3( ei FM −= (27) { } )4( ej FN = ; { } )5( ej FQ −= ; { } )6( ej FM = 1. Rời rạc hóa kết cấu và lập bảng số liệu: + Tiến hành rời rạc kết cấu thành 2 phầntử và 3 nút. + Bảng số liệuphần tử: Phầntử Nút i Nút j E.J E.F l Cos( α ) Sin( α ) Loại PT 1 1 2 2'560 192'000 4 1 0 NN 2 2 3 1'080 144'000 5 0.8 -0.6 NK + Bảng số liệutảitrọng trên phần tử: Phầntử p x p y T a b P a b M a b 1 -1.8 2 2.4 2.5 2.5 -3.2 2.5 2.5 + Bảng số liệutảitrọng tác dụngtại nút: Nút P X P Y M Z 2 -5 + Bảng số liệu điều kiện biên: Nút u X u Y r Z 1 0 0 0 2 ≠ 0 ≠ 0 ≠ 0 3 0 0 không xđ 2. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử: 2.1. Phầntử 1: (Áp dụngcôngthức 1, 4, 5) Ma trận [K e ] 48'000 0 0 -48'000 0 0 0 480 960 0 -480 960 0 960 2'560 0 -960 1'280 -48'000 0 0 48'000 0 0 0 -480 -960 0 480 -960 0 960 1'280 0 -960 2'560 Ma trận [T] 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Ma trận [T] T 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 K' e (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) 48'000.0 0.0 0.0 -48'000.0 0.0 0.0 (2) 0.0 480.0 960.0 0.0 -480.0 960.0 (3) 0.0 960.0 2'560.0 0.0 -960.0 1'280.0 (4) -48'000.0 0.0 0.0 48'000.0 0.0 0.0 (5) 0.0 -480.0 -960.0 0.0 480.0 -960.0 (6) 0.0 960.0 1'280.0 0.0 -960.0 2'560.0 2.2. Phầntử 2: (Áp dụngcôngthức 2, 4, 5) Ma trận [K e ] 28'800.0 0.0 0.0 -28'800.0 0.0 0.0 0.0 25.9 129.6 0.0 -25.9 0.0 0.0 129.6 648.0 0.0 -129.6 0.0 -28'800.0 0.0 0.0 28'800.0 0.0 0.0 0.0 -25.9 -129.6 0.0 25.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 Ma trận [T] 0.8 -0.6 0 0 0 0 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.8 -0.6 0 0 0 0 0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 1 Ma trận [T] T 0.8 0.6 0 0 0 0 -0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0.8 0.6 0 0 0 0 -0.6 0.8 0 0 0 0 0 0 1 K' e (4) (5) (6) (7) (8) (9) (4) 18'441.3 -13'811.6 77.8 -18'441.3 13'811.6 0.0 (5) -13'811.6 10'384.6 103.7 13'811.6 -10'384.6 0.0 (6) 77.8 103.7 648.0 -77.8 -103.7 0.0 (7) -18'441.3 13'811.6 -77.8 18'441.3 -13'811.6 0.0 (8) 13'811.6 -10'384.6 -103.7 -13'811.6 10'384.6 0.0 (9) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3. Quy đổi tảitrọngphầntửthành lực nút tương đương: 3.1. Phầntử 1: (Áp dụngcôngthức 7, 21, 22) { } { } ( ) 0 3.6 2.4 0 3.6 2.4 y T e p R = − − − { } { } 0 3.6 2.4 0 3.6 2.4 T e R = − − − { } T { 0 3.6 2.4 0 3.6 2.4 ' } (1) (2) (3) (4) (5) (6) e R − − − = 3.1. Phầntử 2: (Áp dụngcôngthức 13, 14, 21, 22) { } { } ( ) 1.2 0 0 1.2 0 0 T e T R = { } { } ( ) 0 2.2 3.0 0 1.0 0 T e P R = − − − { } { } 1.2 2.2 3.0 1.2 1.0 0 T e R = − − − { } T { 0.36 2.48 3.0 0.36 1.52 0 ' } (4) (5) (6) (7) (8) (9) e R − − − − = 4. Lập ma trận độ cứng tổng thể, xác định chuyểnvị nút, xác định nội lực: 4.1 Lắp ghép: + Ma trận độ cứng toànhệ [ ] S K : (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (1) 48000.0 0.0 0.0 -48000.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 (2) 0.0 480.0 960.0 0.0 -480.0 960.0 0.0 0.0 0.0 (3) 0.0 960.0 2560.0 0.0 -960.0 1280.0 0.0 0.0 0.0 (4) -48000.0 0.0 0.0 66441.3 -13811.6 77.8 -18441.3 13811.6 0.0 (5) 0.0 -480.0 -960.0 -13811.6 10864.6 -856.3 13811.6 -10384.6 0.0 (6) 0.0 960.0 1280.0 77.8 -856.3 3208.0 -77.8 -103.7 0.0 (7) 0.0 0.0 0.0 -18441.3 13811.6 -77.8 18441.3 -13811.6 0.0 (8) 0.0 0.0 0.0 13811.6 -10384.6 -103.7 -13811.6 10384.6 0.0 (9) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 + Vectơ lực nút toànhệ { } S R : - Lắp ghép các vectơ lực nút do tảitrọng tác dụng trên phầntử quy đổi về nút: { } T { 0 3.6 2.4 0.36 6.08 0.6 0.36 1.52 0 ' } (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) S R − − − − − − = -Cộng với lực tác dụng trực tiếp tại nút: { } T { 0 3.6 2.4 0.36 11.08 0.6 0.36 1.52 0 } (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) S R − − − − − − = 4.2 Xét điều kiện biên, khử trùng lặp: - Bỏ các hàng và cột trong ma trận [ ] S K có số thứ tự tương ứng với bậc tự do của nút có liên kết, hoặc không xác định (1, 2, 3, 7, 8, 9) ⇒ [ ] * S K Ma trận độ cứng [K*] S 66'441.33 -13'811.56 77.76 -13'811.56 10'864.59 -856.32 77.76 -856.32 3'208.00 - Bỏ các hàng trong vectơ [ ] S R có số thứ tự tương ứng với bậc tự do của nút có liên kết, hoặc không xác định (1, 2, 3, 7, 8, 9) ⇒ [ ] * S R { } T { 0.36 11.08 0.6 * } (4) (5) (6) S R − − − = - Bỏ các hàng trong vectơ [ ] S R có số thứ tự tương ứng với bậc tự do của nút có liên kết, hoặc không xác định (1, 2, 3, 7, 8, 9) ⇒ [ ] * S R 4.3 Giải hệphương trình: [ ] { } { } SSS RuK **.* = [ ] }*{*}*{ 1 SSS RKu − = Ma trận [K*] -1 S 2.0594E-05 2.6702E-05 6.6285E-06 2.6702E-05 0.00012864 3.3692E-05 6.6285E-06 3.3692E-05 0.00032055 { } T { 0.0003073 0.0014552 0.000568 * } (4) (5) (6) S u − − − = 4.4 Vectơ chuyểnvị nút của phần tử: Lắp ghép cácchuyểnvị nút (gồm những chuyểnvịtạicác liên kết và những chuyểnvị xác định từ kết quả giải hệphương trình) ⇒ vectơ chuyểnvị nút của phầntửtronghệ toạ độ tổng thể { } e u' . Xác địn vectơ chuyểnvị nút của phầntửtronghệ toạ độ địa phương { } e u . [ ] { } { ' } e e e u T u= + Phầntử 1: { } T { 0 0 0 0.0003073 0.0014552 0.000568 ' } (1) (2) (3) (4) (5) (6) e u − − − = { } { } 0 0 0 0.0003073 0.0014552 0.000568 T e u = − − − + Phầntử 2: { } T { 0.0003073 0.0014552 0.000568 0 0 0 ' } (4) (5) (6) (7) (8) (9) e u − − − = { } { } 0.0006273 0.0013485 0.000568 0 0 0 T e u = − 3.5 Vectơ nội lực của phần tử: [ ] { } eeee RuKF −= }{}{ Nội lực tại 2 đầu thanh: { } )1( ei FN −= ; { } )2( ei FQ = ; { } )3( ei FM −= { } )4( ej FN = ; { } )5( ej FQ −= ; { } )6( ej FM = + Phầntử 1: { } { } 14.748 3.753 3.070 14.748 3.447 2.457 T e F = − − Nội lực tại 2 đầu thanh: 14.748 i N =− ; 3.753 i Q = ; 3.070 i M =− 14.748 j N =− ; 3.447 j Q =− ; 2.457 j M = − + Phầntử 2: { } { } 16.867 2.091 2.457 19.267 1.109 0 T e F = − Nội lực tại 2 đầu thanh: 16.867 i N =− ; 2.091 i Q = ; 2.457 i M =− 19.267 j N =− ; 1.109 j Q =− ; 0 j M = . CÁC CÔNG THỨC SỬ DỤNG TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN - MÔ HÌNH CHUYỂN VỊ - BÀI TOÁN HỆ THANH 1. Thiết lập ma trận độ cứng phần tử 1.1 Ma trận. các chuyển vị nút (gồm những chuyển vị tại các liên kết và những chuyển vị xác định từ kết quả giải hệ phương trình) ⇒ vectơ chuyển vị nút của phần tử trong