Ứng dụng phương pháp phân tử hữu hạn mở rộng trong việc tính hệ cường độ ứng suất

Ứng dụng phương pháp phân tử hữu hạn mở rộng trong việc tính hệ cường độ ứng suất.

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 51 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG TRONG VIỆC TÍNH HỆ CƯỜNG ĐỘ ỨNG SUẤT Vũ Công Hòa, Nguyễn Công Đạt Trường Đại Học Bách Khoa, ĐHQG –HCM (Bài nhận ngày 28 tháng 06 năm 2010,, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 18 tháng 10 năm 2010) TÓM TẮT: Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số ñược ứng dụng rất hữu hiệu trong cơ học khi dự ñoán và mô hình hóa ứng xử cơ học của vật liệu và của kết cấu. Tuy nhiên trong một số trường hợp phương pháp phần tử hữu hạn trở nên phức tạp như việc mô phỏng sự di chuyển của những miền không liên tục, dẫn ñến việc chia lại lưới phần tử. Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (PP-PTHHMR) cho ta một cách thức mới trong việc mô hình hóa vết nứt trên nền tảng phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp này cho phép vết nứt ñược thể hiện một cách ñộc lập với lưới phần tử, do ñó không cần phải chia lại lưới phần tử khi mô hình vết nứt lan truyền. Bài báo này ñề cập tới việc hiện thực hóa phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng trong tính toán hệ số mật ñộ ứng suất, một tham số quan trọng trong việc dự ñoán ñược hướng của vết nứt ngay khi vết nứt không còn phát triển. Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, hệ số cường ñộ ứng suất, Abaqus. 1. GIỚI THIỆU Trong những năm gần ñây PP-PTHHMR xuất hiện như một kỹ thuật hiệu quả trong việc phân tích những vấn ñề của vết nứt. Nó ngày càng ñược sử dụng rộng rãi như một phương pháp khả thi trong mô hình vết nứt phát triển dưới giả thuyết của cơ học rạn nứt ñàn hồi tuyến tính [1, 2, 3, 4]. Nguyên tắc của PP-PTHHMR ở chỗ kết hợp những hàm mở rộng vào những phần tử suy biến ñể tính chuyển vị ở gẩn ñỉnh vết nứt. So sánh với PP-PTHH cổ ñiển, PP-PTHHMR cung cấp những thuận lợi trong việc mô phỏng sự lan truyền của vết nứt. Phương pháp này dựa trên sự mở rộng của bậc tự do của những nút bị chia cắt bởi vết nứt. 2. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Khảo sát một miền Ω có biên là Г bao gồm Гu , Гt , Гc với Г = Г u U Гt U Гc Hình 1. Trạng thái cân bằng của vật có vết nứt Với: Г u là biên của chuyển vị, Гt là biên của ngoại lực, Гc là bề mặt kéo tự do (vết nứt), t là thời gian. Khi ñó phương trình cân bằng ñược viết : 0bfsÑ + = trong miền Ω (1) Điều kiện biên như sau: .tn fs = trên biên tG tΓ uΓ ΓΓ ntf t 0= cΓ Ω Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010 Trang 52 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM =u u là trường chuyển vị trên biên uG . 0ns = trên biên cG với σ là tensor ứng suất , bflà lực khối , tf là ngoại lực, n là pháp vector ñơn vị. 3. XẤP XỈ TRONG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG (PP-PTHHMR) Ý tưởng cơ bản của PP-PTHHMR là mở rộng không gian hữu hạn phần tử bằng cách cộng thêm những hàm mở rộng. Khảo sát một ñiểm xthuộc miền phần tử, xấp xỉ chuyển vị tại ñiểm x ñược tính như sau [1]: ( ) ( ). ( ). ( ).enreh fem enrI I J JI NJ Nu x u u N x u N x x aψ∈∈= + = +∑ ∑ (2) Trong (2): ( ). ;efemI II Nu N x u∈=∑ ( ). ( ).enrenrJ JJ Nu N x x aψ∈=∑ Với: ( )hu x là xấp xỉ chuyển vị tại ñiểm x; Iu là chuyển vị nút liên tục; Ja là chuyển vị nút không liên tục; ( )IN x và ( )JN x là các các hàm dạng tương ứng; ( )xψ là hàm mở rộng tại các nút không liên tục; eN là tập các nút của phần tử; enrNlà tập các nút bị mở rộng. Trong trường hợp mô hình vết nứt phẳng ta có ñược xấp xỉ [2]: 41( ) ( ). ( ). . . .dis asympthI I J j J K K KI NJ N K Nu x N x u N x H a N F bα αα∈ =∈ ∈= + +∑ ∑ ∑ ∑ (3) Ở ñây: Nlà tập các nút không mở rộng; disNtập các nút bị chia cắt bởi vết nứt; asymptN là tập các nút chứa ñỉnh vết nứt; Kbα là bậc tự do mở rộng dưới ảnh hưởng của hàmKFα tại nút K ñược ñịnh nghĩa như sau: ( ) ( )= −K KF F x F xα α α (4) Khi ñó trường chuyển vị .    = =     Txh fem enr fem enrI I I Iyuu N N u uu (5) Điều này ñược thể hiện rõ hơn thông qua phần tử tứ giác với hàm dạng tuyến tính. Đây là một phần tử thông dụng trong PP-PTHHMR vì việc tính toán dựa trên phần tử này không quá phức tạp và chính xác hơn so với phần tử tam giác nói chung. Xét một phần tử tứ giác TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 53 Hình 2. Phần tử tứ giác trong hệ tọa ñộ tổng thể và hệ tọa ñộ ñịa phương. Ta có các hàm dạng trong tọa ñộ phần tử tương ứng: 1 23 41 1( , ) (1 )(1 ) ; ( , ) (1 )(1 )4 41 1( , ) (1 )(1 ) ; ( , ) (1 )(1 )4 4= − − = + −= + + = − +N NN Nξ η ξ η ξ η ξ ηξ η ξ η ξ η ξ η (6) Lúc này trường chuyển vị: = +h fem enri i iu u u (7)     = =     I I I ITxh fem enr fem enriyuuuN N u u (8) 1 2 3 41 2 3 40 0 0 00 0 0 0 =  IfemN N N NN N N NN (9) 1 2 3 41 2 3 40 0 0 00 0 0 0 =   IenrN N N NN N N NN (10) Với: , ( ) ( ) ( )= = −II I I i i iIN N x x xψ ψ ψ ψ (11) Khi ñó: 1 2 3 4 1 2 3 4 = ITfemx x x x y y y yu u u u u u u uu (12) .1 2 3 4 1 2 3 4 = ITenrx x x x y y y ya a a a a a a au (13) 4. RỜI RẠC HÓA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG Theo thuyết cân bằng năng lượng [1]: =in extW W (14) Tương ñương: Ω Ω ΓΩ = Ω + Γ∫ ∫ ∫b td d f ud f udσ ε δ δ (15) Việc hiện thực hóa phương trình trên sử dụng PP-PTHHMR thu ñược phương trình sau: =hK u f (16) Với Klà ma trận cứng tổng thể; hulà vector bậc tự do nút bao gồm bậc tự do mở rộng và f là vector ngoại lực. Trong PP-PTHHMR thìK, fñược ñịnh nghĩa như sau:  =  fe- fe fe-enen- fe en-enK KKK K (17) Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010 Trang 54 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM Với Ω Ω−Ω Ω= Ω = Ω= Ω = Ω =∫ ∫∫ ∫T TT Tfe enfe- fe fe en-en enfe enfe-en en fe en fed dd dK B C B K B C BK B C B B C B K (18) 31 2 4[ ]( 1,2,3,4)Γ ΩΓ ΩΓ Ω== Γ + Ω= Γ + Ω= Γ + Ω=∫ ∫∫ ∫∫ ∫tttbb b bu a Ti i i i i iu t bi i ia t bi i ibt bi i if f f f f f ff N f d N f df N H f d N H f df N F f d N F f dαα αα (19) Với B là ma trận ñạo hàm của hàm dạng: , , ,, , ,, , ,, , ,( ) ( )0 0 00 0 ( ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( 1 4)          = = =               = ÷i x i x i xu ai i y i i y i i yi y i y i yi x i x i xN N H N FB N B N H B N FN N H N FN N H N Fαααααα (20) Xét trong trưởng hợp phần tử tứ giác. Ta có tensor biến dạng : ( )2.  = =   xxhyy ixyDu xεε εε (21) Với D là toán tử ñạo hàm, khi ñó: = =h hI i iD N u Buε (22) Kết hợp hai trường hợp cơ bản và mở rộng ta có ñược :  = I Ifem enrB B B (23) 1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 4,.1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4,0 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ; 0 0 0 0I Ix x x xx x x xfem enry y y yy y y yy y y y x x x xy y y y x x x xN N N NN N N NN N N N N N N NN N N N N N N NN N N N N N N N    = =       B B(24) Công việc còn lại của việc tính toán là ñịnh nghĩa những hàm mở rộng Ψ [5]. 4.1 Hàm Heaviside ( ) ( )=x Hψ ξ Hàm của xấp xỉ ( )hu xñược viết lại ở dạng: . ( . ( ) . ( ))∈∈= + −∑ ∑enrhI I J J i JI NJ Nu N u N H N H aξ ξ (25) TP CH PHT TRIN KH&CN, TP 13, S K5 - 2010 Bn quyn thuc HQG-HCM Trang 55 ,1=iHti vt nt, ,0iH = ti nhng ni khỏc. Suy ra cụng thc (20) ủc vit li nh sau: ,,,,00i xai i yi yi xN HB N HN HN Hộ ựờ ỳờ ỳ=ờ ỳờ ỳờ ỳở ỷ (26) 4.2 Hm dc ( ) ( )=x x o hm ca ( )xủc tớnh ( ),,( ) ( ( )) ( )=iix sign x x o hm ca ( )xtheo hai bin ,x yủc tớnh nh sau: 12, 1, 2, 3, 4,34( ) [ ] ( , ) = = i i i i ix N N N N i x y (27) 4.3 Hm m rng gn ủnh vờt nt ( ) ( , )x F ray q= Hm m rng ti ủnh vt nt ủc ủnh ngha dng h trc ta ủ ( , )r q gn vi ủnh vt nt. Hỡnh 3. H ta ủ tng th v h ta ủ ủa phng. ( , ) sin , cos , sin sin , sin cos2 2 2 2F r r r r raq q q qq q qỡ ỹù ùù ù=ớ ýù ùù ùợ ỵ (28) o hm ca ( , )F raq trong h trc( , )r q 1, 1, 2, 2,3, 3,4, 4,1 1sin cos cos sin2 2 2 2 2 22 21 1sin sin ( cos sin sin cos )2 2 2 221 1cos sin ( sin cos cos cos )2 2 2 22r rrrr rF F F Fr rF F rrF F rrq qqqq q q qq q qq q qq q qq q q= = = = -= = += = - + (29) Trong h trc ta ủ 1 2( , )x x y x X1 X2 Vt nt Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010 Trang 56 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM 1 2 1 21 2 121, 1, 2, 2,3, 3, 4,4,1 1 1 1sin cos cos sin2 2 2 22 2 2 21 3 1 3 1 3sin sin (sin sin cos ) cos sin2 2 2 22 2 21 3(cos cos cos )2 22x x x xx x xxF F F Fr r r rF F Fr r rFrq q q qq q q qq q qq qq= = = == = + == + (30) Cuối cùng trong hệ trục tổng thể ta thu ñược 1 2 1 2, , , , , ,cos sin sin cosx x x y x xF F F F F Fa a a a a aa a a a= - = + (31) Trong (31): a là góc hợp bởi vết nứt và trục x 5. TÍNH HỆ SỐ MẬT ĐỘ ỨNG SUẤT DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TƯƠNG TÁC Hệ số mật ñộ ứng suất là một tham số quan trong việc phân tích vết nứt phát triển. Hệ số mật ñộ ứng suất ñược ño bằng sự thay ñổi ứng suất tại vùng lân cận ñỉnh vết nứt. Vì vậy hệ số mật ñộ ứng suất có vai trò quan trọng trong việc biết ñược hướng của vết nứt ngay khi vết nứt không còn lan truyền. Phương pháp tích phân tương tác là một kỹ thuật rất hữu hiệu trong việc lập trình ñể tính hệ số mật ñộ ứng suất. Xét một vết nứt trong tọa ñộ ñề-các, với Γlà chu tuyến bao quanh ñỉnh vết nứt. Hình 4. Tích phân J xung quanh ñỉnh vết nứt. Tích phân J theo chu tuyến Γ ñược ñịnh nghĩa như sau [3]: 2 11 1Γ Γ   ∂ ∂= − Γ = − Γ   ∂ ∂   ∫ ∫i ii i ij ju uJ Wdx T d W n dx xδ σ (32) Với .=i ij jT nσlà lực kéo trên chu tuyến;Γjnpháp vector ngoài của ;Γ Wlà mật ñộ năng lượng biến dạng. Trong phương pháp tích phân tương tác, một trường bổ trợ ñược ñặt thêm vào ñối tượng chứa vết nứt cùng với trường hiện có. Lúc này tích phân J là tổng của hai trường này. 211( )1( )( ) ( ) 2auxaux aux auxiij ij ij ij j ij ij ju uJ n dxσ σ ε ε δ σ σΓ ∂ += + + − + Γ ∂ ∫ (33) Co n n e1 e2 m C+ C- TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 57 Trong (33): ijσlà các thành phần ứng suất; auxijσlà các thành phần ứng suất bổ trợ; ijεlà các thành phần biến dạng; auxijεà các thành phần biến dạng bổ trợ. Dạng rút gọn của công thức (33) là: = + +act auxJ J J M (34) 11 1 auxaux Mi iij ij j ju uM W n dx xσ σ σΓ ∂ ∂= + − Γ ∂ ∂ ∫ (35) và M aux auxij ij ij ijWσ ε σ ε= = (36) (actJ là tích phân J thực; auxJlà tích phân J bổ trợ; M ñược gọi là tích phân tương tác và MW ñược gọi là năng lượng tương tác) Từ mối quan hệ của tích phân J và hệ số mật ñộ ứng suất, ta có: 2 2''1( ) ;2( . . )I IIaux auxI I II IIJ K KEM K K K KE= += + (37) Ở ñây: IKvà auxIKlà hệ số cường ñộ ứng suất và hệ số cường ñộ ứng suất trạng thái bổ trợ theo dạng nứt mode I; IIKvà auxIIK là hệ số cường ñộ ứng suất và hệ số cường ñộ ứng suất trạng thái bổ trợ theo dạng nứt mode II. Đối với từng dạng vết nứt ta chọn 1;auxIK = 0=auxIIKcho dạng nứt thứ nhất (mode I), và ngược lai cho dạng nứt thứ hai (mode II). Khi ñó: '2=EK M (38) Trong công thức (38), E E′=khi có trạng thái ứng suất phẳng và 1EEν′=− khi có trạng thái biến dạng phẳng. Với E là mô-ñun ñàn hồi dọc (Young’s modulus) và νlà hệ số poisson. 6. KẾT QUẢ VÀ SO SÁNH Trong phần này giới thiệu việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng ñể mô phỏng một ví dụ ñiển hình của cơ học nứt. Một tấm có kích thước (0.08 x 0.04) m như hình 5, chịu kéo với ứng suất σ = 1000 MPa cạnh dưới cố ñịnh theo phương y, các tham số vật liệu là E = 117.103 MPa, ν = 0.34. Hình 5. Tấm hình chữ nhật chịu kéo a W H σ Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010 Trang 58 Bn quyn thuc HQG.HCM Theo lý thuyt h s mt ủ ng sut KI ủc tớnh nh sau [1]: IK C as p= (39) Trong ủú al chiu di vt nt, W l chiu rng tm, v C l h s thc nghim [1] 2 3 41.12 0.231 10.55 21.72 30.39 a a a a aCW W W W Wổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ổ ửữ ữ ữ ữ ữỗ ỗ ỗ ỗ ỗ= - + - +ữ ữ ữ ữ ữỗ ỗ ỗ ỗ ỗữ ữ ữ ữ ữỗ ỗ ỗ ỗ ỗố ứ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ (40) khi 0.015a m= thỡ h s mt ủ ng sut theo lý thuyt bng428.3 Mpa m. tin cho vic so sỏnh mt tm hỡnh ch nht chu kộo ủc chia vi nhiu li phn t khỏc nhau bi phn t t giỏc, ủ tip cn vi kt qu chớnh xỏc. Trờn hỡnh 6 chuyn v theo phng Y ca tm ủc gii bng Abaqus v XFEM, mt phn mm khỏ mnh trong lnh vc c hc phi tuyn trờn nn tng phng phỏp phn t hu hn. Bng 1 v hỡnh 7 so sỏnh chuyn v ln nht theo phng y (UYmax) ca tm vi nhiu li phn t khỏc nhau khi gii bng Abaqus v XFEM. a) b) Hỡnh 6. Chuyn v theo phng Y ca tm gii bng a) Abaqus v b) XFEM Bng 1.Chuyn v ln nht theo phng y S phn t UY max (Abaqus) UY max (PTHHMR) Sai S (%) 171 1,801.10-3 1,5360.10-3 14,714 361 1,801.10-3 1,5643.10-3 13,143 741 1,801.10-3 1,5921.10-3 11,599 1521 1,801.10-3 1,5924.10-3 11,582 3081 1,801.10-3 1,6082.10-3 10,705 4661 1,801.10-3 1,6140.10-3 10,381 TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 13, SỐ K5 - 2010 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 59 Bảng 2. Ứng suất lớn nhất theo phương y Số phần tử σYY max (Abaqus) σYY max (PTHHMR) 171 9,888.103 2,8355.103 361 9,888.103 4,7754.103 741 9,888.103 6,7139.103 1521 9,888.103 7,4157.103 3081 9,888.103 8,0143.103 4661 9,888.103 10,033.103 Hình 7. Quan hệ giữa tổng số phần tử và chuyển vị lớn nhất UYmax Bảng 2 và hình 9 so sánh ứng suất lớn nhất theo phương Y (σYY max) của tấm với nhiều lưới phần tử khác nhau khi giải bằng Abaqus và XFEM. a) (b) Hình 8. Ứng suất trong tấm theo phương Y giải bằng a) Abaqus và b) XFEM Science & Technology Development, Vol 13, No.K5- 2010 Trang 60 Bản quyền thuộc ĐHQG.HCM Hình 9. Đồ thị quan hệ giữa tổng số phần tử và ứng suất lớn nhất theo trục Y (σYY max). Bảng 3 và hình 10 so sánh hệ số mật ñộ ứng suất với các lưới phần tử khác nhau và hệ số mật ñộ ứng suất theo lý thuyết Bảng 3.Hệ số mật ñộ ứng suất KI Số nút KI (lý thuyết) KI (xấp xỉ) Sai số (%) 50 4.283.102 3.942.102 7.966 200 4.283.102 4.089.102 4.532 800 4.283.102 4.217.102 1.547 1600 4.283.102 4.218.102 1.511 3200 4.283.102 4.253.102 0.695 4800 4.283.102 4.265.102 0.4144 Hình 10. Đồ thị ñánh giá sai số % của hệ số mật ñộ ứng suất KI so với lý thuyết dựa trên tổng số nút N. Tổng số phần tử σYY max Tổng số nút N Sai số % [...]... nhưng ñi u này ñã ñư c kh c ph c thông qua 7 K T LU N Vi c áp d ng phương pháp s ñ gi i phương pháp ph n t h u h n m r ng b ng quy t các v n ñ c a cơ h c r n n t là c n thi t chương trình mô ph ng trên máy tính Bài báo trong th c t Thông qua s h tr c a máy tính này d ng l i và PP – PTHHMR, nh ng mô hình v t n t b n c a cơ h c n t Trong các nghiên c u k ñư c gi i quy t m t cách thu n l i, nhanh ti... T P 13, S Lư i (20 x 40) K5 - 2010 Lư i (20 x 20) Hình 11 Chu tuy n tích phân J B ng 4: Quan h gi a bán kính chu tuy n và t ng s nút K I − K I XFEM T ng s nút Bán kính chu tuy n 400 10.4 10-3 800 7.3 10-3 1.6036 1600 5.1 10 -3 x 3.1759 1800 4.8 10-3 x 3.1397 2400 4.1 10-3 x 2.5076 3200 3.6 10-3 (%) 2.8229 1.7101 KI x x x Tich phân J T ng s nút Gi i tích XFEM Sai s (%) 400 1.380 1.303 5.580 800 1.380... Trong các nghiên c u k ñư c gi i quy t m t cách thu n l i, nhanh ti p theo s chóng Ví d như h s m t ñ truy n các d ng mô hình v t n t s ñư c ti p ng su t KIC trư c ñây ñư c tính thông qua th c nghi m, ch ch mô ph ng m t ví d cơ tính toán và mô ph ng s lan t c phát tri n APPLYING OF EXTENDED FINITE ELEMENT METHOD FOR CALCULATING STRESS INTENSITY FACTOR Vu Cong Hoa, Nguyen Cong Dat University of Technology, . Trang 51 ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN MỞ RỘNG TRONG VIỆC TÍNH HỆ CƯỜNG ĐỘ ỨNG SUẤT Vũ Công Hòa, Nguyễn Công Đạt Trường. phát triển. Từ khóa: Phương pháp phần tử hữu hạn, Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, hệ số cường ñộ ứng suất, Abaqus. 1. GIỚI THIỆU Trong những năm