Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ bẳng nhau... Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích
Trang 1CÔNG THỨC TOÁN HỌC
1 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
1.1 Tính chất 1 (tính chất bắc cầu): a > b và b > c ⇔ a > c
1.2 Tính chất 2: a > b ⇔ a + c > b + c
Tức là: Nếu cộng 2 vế của bắt đẳng thức với cùng một số ta được bất đẳng thức cùng
chiều và tương đương với bất đẳng thức đã cho
Hệ quả (Quy tắc chuyển vế): a > b + c ⇔ a – c > b
1.3 Tính chất 3:
a b
a c b d
c d
>
⇒ + > +
>
Nếu cộng các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc trừ hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều
1.4 Tính chất 4:
a > b ⇔a.c > b.c nếu c > 0 hoặc a > b ⇔c.c < b.c nếu c < 0
1.5 Tính chất 5:
0 0
a b
a c b d
c d
> >
> >
Nếu nhân các vế tương ứng của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất đẳng thức cùng chiều Chú ý: KHÔNG có quy tắc chia hai vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều
1.6 Tính chất 6:
a > b > 0 ⇒ an > bn (n nguyển dương)
1.7 Tính chất 7:
a b> > ⇒ a> b (n nguyên dương)
2 Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):
Định lí: Nếu a≥0và b≥0 thì
2
a b
a b
+ ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a = b
Tức là: Trung bình cộng của 2 số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng
Hệ quả 1: Nếu 2 số dương có tổng không đổi thì tích của chùng lớn nhất khi 2 số đõ
bẳng nhau
Trang 2Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện
tích lớn nhất
Hệ quả 2: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chùng nhỏ nhất khi 2 số đó
bằng nhau
Ý nghĩa hình học: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi
nhỏ nhất
3 Bất đẳng thức chứa giá trị trị tuyệt đối:
0
0
x
x
x
>
= − >
Từ định nghĩa suy ra: với mọi x R∈ ta có:
a |x| ≥ 0
b |x|2 = x2
c x ≤ |x| và -x ≤ |x|
Định lí: Với mọi số thực a và b ta có:
|a + b| ≤ |a| + |b| (1)
|a – b| ≤ |a| + |b| (2)
|a + b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≥ 0
|a – b| = |a| + |b| khi và chỉ khi a.b ≤ 0
4 Định lí Vi-et:
Nếu phương trình bậc 2: ax2 + bx +c = 0 (*) có 2 nghiệm x1 , x2 (a ≠0) thì tổng và tích 2 nghiệm đó là:
S = x1 + x2 = b
a
−
P = x1.x2 = c
a
Chú ý:
+ Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = 1 và x2 = c
a
+ Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có nhiệm x1 = -1 và x2 = c
a
−
Hệ quả: Nếu 2 số u, v có tổng S = u + v và tích P = u.v thì chúng là nghiệm của phương
trình: x2 – S.x + P = 0
5 Chia đoạn thẳng theo tỉ lệ cho trước:
a Định nghĩa: Cho 2 điểm phân biệt A, B Ta nói điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k
nếu MA k MBuuur= uuur
nếu x ≥ 0 nếu x < 0
Trang 3b Định lí: Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1 thì với điểm O bất kì ta có:
1
OA kOB
OM
k
−
=
−
uuur uuur
uuuur
6 Trọng tâm tam giác:
a Điểm G là trọng tâm tam giác khi và chỉ khi: GA GB GCuuur uuur uuur r+ + =0
b Nếu G là trọng tâm tam giác, thì với mọi điểm O ta có: 3OG OA OB OCuuur uuur uuur uuur= + +
7 Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác:
7.1 Định lí Cosin trong tam giác:
Định lí: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có:
2 cos
2 cos
2 cos
= + −
= + −
= + −
7.2 Định lí sin trong tam giác:
Định lí: Trong tam giác ABC, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có:
2
R
7.3 Công thức độ dài đường trung tuyến:
2
2
2
a
b
c
m
m
m
+
+
+
8 Tỉ số lượng giác của một số góc cần nhớ:
0
6
π
4
π
3
π
2
3
4
6
2
2 2
3
2
2 2
1
2
2 2
1
Trang 49 Công thức biến đổi tích thành tổng: 10 Công thức biến đổi tổng thành tích:
1
2 1
2 1
2
cos cos 2 cos cos
sin sin 2sin cos
sin sin 2 cos sin
11.Công thức nhân đôi 12 Công thức nhân ba
2
cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin 2 2sin cos
2
tga
tg a
π π π π
=
3 3
sin 3 3sin 4sin cos3 4cos 3cos
13 Công thức hạ bậc: 14 Công thức cộng
2
2
2
3
3
cos 2 1
cos
2
1 cos 2
sin
2
1 cos 2
1 cos 2
3sin sin 3
sin
4 3cos cos3
cos
4
a
a
a a
a
tg a
a
a
a
+
=
−
=
−
=
+
−
=
+
=
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin
tga tgb
tg a b
tga tgb tga tgb
tg a b
tga tgb
−
− =
+ + + =
−
Trang 5
Ngoài ra ta cũng có công thức sau với một số điều kiện: (*) có điều kiện:
a≠ +π k bπ ≠ +π k a bπ − ≠ +π kπ
a≠ +π k bπ ≠ +π k a bπ + ≠ +π kπ
15 Công thức tính tga, cosa, sina theo
2
a
t tg= :
2 2 2
2
2 sin
1 1 cos
1 2 ,
t a
t t a
t t
t
π π
= +
−
= +
−
16.Công thức liên hệ giữa 2 góc bù nhau, phụ nhau, đối nhau và hơn kém nhau 1 góc π hoặc
2
π
:
16.1 Hai góc bù nhau: 16.2 Hai góc phụ nhau:
π
π
π
π
− =
− = −
− = −
− = −
sin( ) cos 2
cos( ) sin 2
2
2
tg a cotga cotg a tga
π π π π
− =
− =
− =
− =
16.3 Hai góc đối nhau: 16.4 Hai góc hơn kém nhau
2
π
:
sin( ) sin
cos( ) cos
( )
( )
tg a tga
cotg a cotga
− = −
− =
− = −
− = −
sin( ) cos
2 cos( ) sin
2
2
2
tg a tga cotg a cotga
π π π π
+ = − + = − + = −
Trang 616.5 Hai góc hơn kém nhau π: 16.6 Một số công thức đặc biệt
sin( ) sin
cos( ) cos
tg a tga
cotg a cotga
π
π
π
π
+ = −
+ = −
+ =
+ =
sin cos 2 sin( )
4 sin cos 2 sin( )
4
π π
17 Phương trình lượng giác
1 Phương trình cơ bản:
* sinx = sina x = a + k2π
hoặc x = π - a + k2π
* cosx = cosa ⟺ x = ± a + k2π
* tgx = tg a ⟺ x = a + kπ (x ≠ k )
* cotgx = cotga ⟺ x = a + kπ (x ≠ kπ)
2 Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx:
Các phương trình lượng giác
* asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0 (1)
* asin3x + bsin2x.cosx + c.sinx.cos2x + dcos3x = 0 (2)
* asin4x + bsin3x.cosx + csin2x.cos2x + dsinx.cos3x + ecos4x = 0 (3)
gọi là phương trình đẳng cấp bậc 2, 3, 4 đối với sinx và cosx
Do cosx ≠ 0 nên chia hai vế của phương trình (1), (2), (3) theo thứ tự cho cos2x, cos3x, cos4x đưa phương trình đã cho về phương trình mới và ta dễ dàng giải các phương trình này
3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
* sinx + bcosx + c = 0 (1), a2 + b2 ≠ 0 phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 - c2 ≥ 0
Có ba cách giải loại phương trình này :
- Giả sử a ≠ 0
(1) sinx bcosx c 0
Đặt : tg b
a
ϕ =
(2) sinx tg cosx c 0
a
ϕ
a
Ta dễ dàng giải phương trình này
- Đặt :
2
x
tg =t
2
−
Giải phương trình bậc hai đối với t, dễ dàng giải được phương trình (1)
Trang 7- Do a2+b2 ≠0, chia hai vế của phương trình cho a2+b2 :
(1) 2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
Đặt :
sin
cos
a
a b
b
a b
α α
α
⇔ + = −
+ (đây là phương trình cơ bản)
Chú ý : Ta luôn có :
| sina x b+ sin |x ≤ a2+b2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi sin(x + a) = 1
4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (1) (a, b, c là hằng số)
Giải phương trình (1) bằng cách đặt :
sinx + cosx = t , | |t ≤ 2
Đưa (1) về phương trình
2
bt + at− +b c =
Giải phương trình (2) với | |t ≤ 2.
5 Hệ phương trình lượng giác:
1) Hệ phương trình lượng giác một ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :
sin 1
cos 0
x
x
=
Có hai phương pháp giải :
* Phương pháp thế, giải một phương trình của hệ rồi thế nghiệm tìm được vào phương trình còn lại
* Phương pháp tìm nghiệm chung, giải tìm nghiệm của mỗi phương trình trong hệ, sau đó tìm nghiệm chung
2) Hệ phương trình lượng giác hai ẩn Chẳng hạn có hệ phương trình :
sin sin 1
x y
π
+ =
Phương pháp chung là đưa nó về hệ phương trình đại số hai ẩn, hoặc đa về phương trình tổng tích
18 Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp:
Trang 818.1 Hoán vị:
+ Định nghĩa: Một hoán vị của n phần tử là một bộ gồm n phần tử đó, được sắp xếp
theo một thứ tự nhất định, mỗi phần tử có mặt đúng một lần Số tất cả các hoán vị khác nhau của n phần tử ký hiệu là Pn
+ Công thức : Pn =1.2.3 n = n !
18.2 Chỉnh hợp:
+ Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k của n phần tử ( 0 k n≤ ≤ ) là một bộ sắp thứ tự gồm
k phần tử lấy ra từ n phần tử đã cho số tất cả các chỉnh hợp chập k của n phần tử ký hiệu là
k
n
A
+Công thức :
( )
1
0
1
!
!
! 1
!
k
n
k
n
n
n
n A
n k
A
+
−
=
−
= −
= =
=
= = (qui ước 0! = 1)
18.3 Tổ chợp:
+ Định nghĩa: Cho một tập hợp a gồm n phần tử (n nguyên dương) Một tổ hợp chập k
của n phần tử (0 k n≤ ≤ ) là một tập con của a gồm k phần tử Số tất cả các tổ hợp chập k của
n phần tử ký hiệu là k
n
C
+ Công thức: + Tính chất:
!
!( )!
( 1) ( 1)
!
k
n
k
n
n
C
k n k
n n n k
C
k
=
−
=
0
1
1
k n k
n
−
+
=
= = + + + = + =
18.4 Công thức Newton:
Tk là số hạng thứ k +1 của khai triển nhị thức (a + b)n : k n k k
T =C a b−
Trang 90 1 1 2 2 2
a b+ =C a +C a b C a b− + − + +C a − b + +C b
19 Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và không gian:
19.1 Trong mặt phẳng:
Cho các vec-tơ a x y b x yr( , ), ( , )1 1 r 2 2 và các điểm A x y B x y( , ), ( , )1 1 2 2 :
1 2 1 2
a b x xr r= +y y
| |ar = x + y
d = AB = x −x + y −y
cos( , )a b x x y y
+
=
r r
a b r ⊥ ⇔ r x x + y y =
12.2 Trong không gian:
Cho các vec-tơ a x y z b x y zr( , , ), ( , , )1 1 1 r 2 2 2 và các điểm A x y z B x y z( , , ), ( , , )1 1 1 2 2 2 :
1 2 1 2 1 2
a b x xr r= +y y +z z
| |ar = x + y +z
d = AB = x −x + y −y + z −z
cos( , )a b x x y y z z
=
r r
20 Đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian:
20.1 Đường thẳng trong mặt phẳng:
a Khoảng cách:
+ Khoảng cách từ điểm M(x0, y0) đến đương thẳng (d) : Ax + By + C = 0
| Ax By C|
MH
A B
=
+ + Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song: Ax + By + C1 = 0 và Ax + By + C2 = 0
Trang 101 2
|C C |
A B
− +
b Vị trí tương đối 2 đường thẳng:
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
*( ) ( )
*( ) / /( )
*( ) ( )
*( ) ( )
A B
A B
d d A A B B
φ
c Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) : A1 x + B1 y + C1 = 0
(d2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
1 2
( , )d d
α =
1 2 1 2
d Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):
A x B y C A x B y C
+ + (góc nhọn lấy dấu – , góc tù lấy dấu + )
e Phương trình chùm đường thẳng có tâm là giao của 2 đường thẳng (d 1 )và (d 2 ):
(A x B y C) (A x B y C ) 0
0
α +β >
20.2 Đường thẳng trong không gian:
Góc giữa 2 đường thẳng:
(d1) có vector chỉ phương ur=( , , )a b c1 1 1
(d2) có vector chỉ phương vr=( , , )a b c2 2 2
α là góc giữa (d1) và (d2)
1 2 1 2 1 2
cos a a b b c c
a b c a b c
Trang 111 2 1 2 1 2 1 2
( )d ⊥( )d ⇔a a +b b +c c =0
21 Mặt phẳng:
a Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
|Ax By Cz D|
MH
A B C
=
+ +
b Chùm mặt phẳng đi qua giao tuyến của 2 mặt phẳng:
P A x B y C z D
Q A x B y C z D
+ + + = là phương trình mặt phẳng có dạng:
(A x B y C z D) (A x B y C z D ) 0
22.Cấp số cộng:
+ Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số trong đó, kể từ số hạng thứ hai đều là tổng của số
hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 gọi là công sai
1
*, n n
n N U + U d
+ Tính chất của cấp số cộng :
U + −U =U + −U +
2 1
2
n
U U
+
+
=
+ Số hạng tổng quát: U n =U1+d n( −1)
+ Tổng n số hạng đầu:
1
2
n n
a a n
U = +
1
2
n
a d n
23 Cấp số nhân:
+ Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số trong đó số hạng đầu khác không và kể từ số hạng
thứ hai đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi khác 0 và khác
1 gọi là công bội
"n Є N*, Un + 1 = Un.q
+ Tính chất :
Trang 121 2
1
+
=
U + = U U + , U n > 0
+ Số hạng tổng quát :
Un = U1.qn - 1
+ Tổng n số hạng đầu tiên: 1 2 1
1
1
n
q
q
−
−
+ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: Với |q| < 1
1
1 2
1
U
q
−
CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM & TÍCH PHÂN 12
I Đạo hàm:
1 Bảng các đạo hàm cơ bản:
1
x
−
2
u u
'
u u
−
' cos
u u
' sin
u u
−
11 y=f(u) và u=g(x) y'
(x)=y’(u).g’(x)
Trang 139 ln|x| 1x(x≠0)
ln
x a
xα
α −
cos x
sin x
−
2 Tính chất của đạo hàm:
a (u + v)’ = u’ + v’
b (u – v)’ = u’ – v’
c (u.v)’ = u’.v + u.v’
d (u.v.w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’
e
'
2
' '
u u v v u
−
=
÷
II Nguyên hàm:
1 Bảng các nguyên hàm cơ bản:
STT Hàm số & Nguyên hàm
2
1
1
x
x dxα α C
α
+
+
∫ (α ≠ −1)
3 dx dx ln | |x C
4 ∫e dx e x = +x C
5
ln
x
a
∫ (0< ≠a 1)
6 ∫sinxdx= −cosx C+
cos x dx tgx C= +
2
x≠ +π kπ
sin x dx= −cotgx C+
2 Một số nguyên hàm khác:
Trang 14* Hàm y =( )m
a
x−α (m≠1) Hàm số có dạng :
'
m
u
u = u'.u-m (m≠1) với u = x-α Nguyên hàm là : ( )m
a dx
x−α
1 (m 1)(x α)m−
−
* Hàm y = 2
2ax b
ax bx c
+ + + Đặt t = ax2+ +bx c ⇒ t' = 2ax + b Hàm số có dạng : t'
t ⇒ Họ nguyên hàm của hàm số là : ln|t| + C = ln|ax2+ +bx c| + C
2
2
ax b
dx ax bx c C
ax bx c
+ +
∫
* Hàm y 2 1
ax bx c
=
+ + Ta có các trường hợp sau :
+ Mẫu số ax2+ +bx c có 2 nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 và giả sử x 1 < x 2 Ta có :
2
ax + +bx c= a x x x x( − 1)( − 2) Ta có thể viết như sau 2 1 dx
ax + +bx c
1
a x x x x− −
a x x x x x x
1 ln
x x
C
a x x x x
− +
ax + + =bx c a x m−
ax bx c a x m a x m a x m
−
+ Mẫu số không có nghiệm (vô nghiệm):
ax + + =bx c a x m+ ±n Đặt u = 2
(x m+ ) Ta có :
ax + + =bx c a u +n
⇒ 21 dx
au +n
a
=
* ax2+ + =bx c a u 2−n ⇒ 21 dx
au −n
∫ Nguyên hàm là :
2
2
ln 2
n u a
n
u
−
+
3 Họ nguyên hàm của các hàm vô tỉ :
3.1 Hàm số có dạng : f x( ) 21 2
x k
=
1 ( )
f x
x k
=
−
* Cách 1 : Đặt 2 2
x +k = -x + t ⇒ t = x + 2 2
x +k
Trang 15⇒ dt = (1 2x 2)dx
x k
+
x k x
dx
x k
+ +
t dx
x +k
⇒ 2dx 2 dt
t
x k =
+ Do đó :
2dx 2 dt ln | |t C ln |x x k | C
t
+
*Cách 2: Biến đổi :
1
x x k
=
x+ x +k )
1 ( )
x
x k
f x
x x k
+ +
=
( Chia tử và mẫu cho x2+k2 )
Đặt t = +x x2+k2 Suy ra : dt t (1 2x 2)dx
x k
= +
+ ⇒ f x dx( ) =
dt
t
f x dx= t + =C x+ x +k +C
∫
Tương tự : 21 2 dx
x −k
∫ =ln |x+ x2−k2 |+C
3.2 Hàm số dạng : f x( ) 21 2
k x
=
1 ( )
f u
k u
=
− Đặt x k= sint với [ ; ]
2 2
x∈ −π π
(hoặc x k= cost với x∈[0; ]π )⇒dx k= costdt ⇒
(1 sin )
k t dt dx
cos cos
| cos | cos )
k t dt t dt
t
k t =
2 2
t∈ −π π
nên cost > 0 ⇒ cos cos
| cos | cos
t dt t
dt dt t C
t = t = = +
Tương tự: 21 2du
k −u
3.3 Hàm số dạng : f x( )= x2−k2 ; f u( )= u2−k2
Nguyên hàm là :
2
x −k dx= x −k + x+ x −k +C
∫
Cách khác: đặt
sin
k x
t
= hoặc
cos
k x
t
= với [0; ]
2
t∈ π
3.4 Hàm số dạng : f x( )= ax2+bx c+
Trang 16⇒ Ta biến đổi về một trong hai dạng sau: f x( )= u2 −k2 hoặc f x( )= u2+k2 rồi áp dụng theo mục 3
3.5 Hàm số dạng : f x( )= x2+k2 và f u( )= u2+k2
Đặt x ktgt= , u ktgt= với [- ; ]
2 2
t∈ π π
3.6 Hàm số dạng : 2 2
1 ( )
f x
x m
=
1 ( )
f u
u m
=
− Phân tích thành : f x( ) 2 1 2
x m
=
x m + x m
− + rồi áp dụng theo công thức đã học
3.7 Hàm số dạng : f x( ) 21 2
x m
=
1 ( )
f u
u m
= + + Đặt x mtgt= , u=mtgt với [- ; ]
2 2
t∈ π π
Vì [- ; ]
2 2
t∈ π π
nên | ost |2 ost2
os t 1 sin
−
+ Đặt tiếp : u =sint ⇒ du = costdt .Do đó : ost2 1 2
c
t = u
u
C u
−
+
4 Các trường hợp tổng quát cần chú ý :
a Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với cosx : Đặt: t = sinx
b Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx : Đặt: t = cosx
c Trường hợp: f(x) là hàm chẵn đới với sinx và cosx :
R(sinx, cosx) = R(-sinx, -cosx)
d Trường hợp: f(x) là hàm lẻ đối với sinx và cosx : Đặt: t = tgx
e.Trường hợp: f(x) chỉ chứa sinx hoặc cosx : Đặt
2
x
t tg=
* Phương pháp chung:
A Dạng f(x) = sin 2n x.cos 2m x :
2
xdx= − dx
2
(c) ∫sin2nxcos2m xdx Thay cos2x = 1 – sin2x hoặc thay sin2x = 1 – cos2x rối chuyển về dạng (a) hoặc (b)
B Dạng : ( ) sin2n2m
os
x a
f x
+
=
+ Đặt t = tgx