Định nghĩa hàm số: Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc chỉ 1 giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x và x đ
Trang 1Phần I / căn thức bậc 2.
I/
Định nghĩa – Tính chất:
1 Căn bậc hai số học :
* ĐN: Căn bậc 2 số học của 1 số a không âm là số x sao cho x2 = a
- Số dơng a có đúng 2 CBH là 2 số đối nhau : a và - a
- Số 0 có đúng 1 CBH , chính là 0 : a = 0
* Chú ý : Với a ≥ 0 ta có x = a ⇔x ≥ 0 và x2 = a
* Định lí : Với a , b ≥ 0 ta có a < b ⇔ a < b
2 Căn thức bậc 2:
- Với A là 1 biểu thức đại số , ta gọi A là căn thức bậc 2 của A , còn A là biểu thức
lấy căn hay biểu thức dới dấu căn
- ĐKXĐ của A là A ≥ 0
3 Hằng đẳng thức : - Với ∀a∈R ta có a2 = a
*
<
−
≥
=
=
0 ,
0 ,
2
KhiA A
KhiA A A A
* Chú ý : ( )A 2 = A2 = A nếu A ≥ 0
4 Căn bậc 3: Căn bậc 3 của 1 số là số x sao cho x3 = a
Mỗi số a có duy nhất 1 căn bậc 3 là 3 a
ĐKXĐ của 3 a là ∀x∈R
* Chú ý : Căn bậc 3 của 1 số dơng ( hay 1 số âm ) là 1 số dơng ( hay 1 số âm )
II/ Các phép biến đổi căn bậc hai :
1 A.B = A B ( A; B ≥ 0 )
2 A 2B = A B ( B ≥ 0 )
3
B
A B
A
= ( A ≥ 0 ; B > 0 )
4
≥
<
−
≥
≥
=
) 0
; 0 (
) 0
; 0 ( ,
2
2
B A B A
B A B A B
A
5 = ; (A.B≥ 0 ,B2 ≠ 0 )
B
AB B
6 a, = . ; (B> 0 )
B
B A B A
b, ( ); ( 0 ; 2 )
B A
B A C B A
C
≠
≥
−
=
±
c, ( );(A,B 0;A B)
B A
B A C B A
C
≠
≥
−
=
±
III/ Một số tính chất mở rộng về căn thức :
1 Với A; B ≥ 0 ta có : A = B ⇔ A= B
A < B ⇔ A< B
2 0 < A < 1 ⇒ A < A < 1
3 A > 1 ⇒ 1 < A < A
4 n a =x⇔a≥0;x≥0 ; xn = a ( n chẵn)
5 x=n a ⇔ xn = a ( n lẻ )
6 n abc =n a.n b.n c
7 n n
n
b = b
8 n a mn =a m
9 ( )n a m =n a m
10 m n a =mn a ( m; n ∈ N; m; n ≥ 2 )
11 n a m =nk a mk ( k ≠ 0 ).
Trang 212 n a m =a m/n
* a b+ ≤ a + b a b( ; ≥ 0) Dấu “ = ” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0
* a b− ≥ a − b a b( ≥ ≥ 0) Dấu “ = ” xảy ra khi a = b hoặc b = 0
*
2
a b
ab
+ ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi a = b
* 1 1
a b
ab≥
+ ( a > 0 ; b > 0 )
* a+b ≥ +a b Dấu “ = ” xảy ra khi a b ≥ 0
* a−b ≤ −a b Dấu “ = ” xảy ra khi a ≥ b ≥ 0 Hoặc a ≤ b ≤ 0
* + Với n là số tự nhiên : + n+ −1 n = n+ +11 n
n
= − ữ= − ữữ + ữữ
Chú ý : - Mọi số thực a đều có căn bậc lẻ.
- Số âm không có căn bậc chẵn
* Công thức căn phức tạp :
* M ± 2 N = A± B , Trong đó a, b là nghiệm của PT : t2 – Mt + N = 0
2
± = ( Với A; B > 0 ; A2 > B )
* Chú ý: Nếu hệ số của N ≠2 ta làm xuất hiện hệ số 2 ở đó
IV/ Một số bài toán về căn bậc 2:
1/ Bài toán 1: Thực hiện phép tính :
• Dạng tính 1 : Thực hiện tính khai căn bậc 2 nhờ phân tích 2ab trong HĐT( a +
b )2 :
Khi gặp căn thức dạng P = M ±E N ta có thể nghĩ đến việc phân tích E N về dạng
E N = 2.a.b và phân tích M = a2 + b2 > kq
• Dạng tính 2 : Th.hiện tính khai căn bậc 2 nhờ xhiện bình phơng khi dùng HĐT
a2 - b2
Trong 1 tích , nếu xuất hiện thừa số có dạng M - N ( Hoặc M + N ) thì ta có thể
là xuất hiện thừa số dạng M + N ( Hoặc M - N )
• Dạng tính 3 : Tính GTBT T,trớc hết tính T2 rồi xét dấu của T để có k quả của biểu thứcT
• Dạng tính 4: Khi gặp mẫu của biểu thức chứa căn ta nghĩ đến việc trục căn thức
ở mẫu Hoặc quy đồng mẫu Hoặc đa thừa số vào trong căn , ra ngoài căn rồi nhóm
• Dạng tính 5 : Biểu diễn luỹ thừa bậc cao qua luỹ thừa bậc 1.
VD : Tính GTBT: E = 2x5 + x3 – 3x2 + x - 1 với x = 1 - 2
G : Vì x = 1 - 2 nên ta có :
* x2 = (1 - 2)2 = 3 - 2 2 = 1 + 2(1 - 2) = 1 + 2x
* x3 = x2x = = x + 2x2 = = x + 2(1 + 2x ) = 5x + 2
* x5 = x3x2 = = 9x +2 + 10x2 = 9x + 2 + 10( 1 + 2x ) = 29x + 12
> E = 2(29x + 12) + 5x + 2 -3(1 + 2x) + x – 1 = 58x + 22 =
Trang 3E = 80 - 58 2./
2 Bài toán 2 : Chứng minh đẳng thức A = B:
C1 : Dựa vào định nghĩa: A = B ⇔ A – B = 0
- Lập hiệu số A – B > biến đổi A – B > Chứng tỏ A – B = 0 > KLuận
C2: Biến đổi trực tiếp : Biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản: A > B Hoặc B > A
C3 : Biến đổi song song 2 vế của đẳng thức đã cho
C4 : Với bài toán chứng minh có ĐK ta có thể :
- Dùng các ĐK để biến đổi sao cho > có mối liên hệ với biểu thức đã cho
- Hoặc: Niến đổi biểu thức đã cho sao cho > có mối liên hệ với ĐK
C5 : Dùng PP quy nạp nếu đẳng thức đã cho phụ thuộc vào số nguyên n
C6 : Dùng biểu thức phụ :
- Đặt y =A , y phải thoả mãn ĐK (*) nào đó
- Bình phơng 2 vế ta có : y2 = A2 = A1 = = B2
- Suy ra y = B hoặc y = - B
- Đối chiếu với ĐK (*) suy ra B > KL
3 Bài toán 3: Rút gọn biểu thức :
* Các bớc thực hiện:
- Quy đồng mẫu ( Phân tích nhân tử Nếu có – Nếu cần )
- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn Hoặc vào trong dấu căn ( Nếu cần )
- Trục căn thức ở mẫu ( Nếu có )
- Thực hiện các phép tính : Luỹ thừa , khai căn , nhân,chia ,
- Cộng trừ các số hạng đồng dạng
4 Bài toán 4: Giải PT chứa căn thức ( Xem CĐ PT Vô Tỉ )
-@@@ -Phần II / Hàm số bậc nhất: y = ax + b ( a ≠ 0 )
Hàm số : y =
x
a ( a ≠ 0 ) Hàm số bậc hai : y = ax 2 ; y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ).
A/ Hàm số - Đồ thị hàm số bậc nhất.
I/ Định nghĩa – Tính chất của hàm số bậc nhất :
1 Định nghĩa hàm số:
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng x thay đổi sao cho với mỗi giá trị của x
ta luôn xác định đợc chỉ 1 giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số của x
và x đợc gọi là biến số
2 Định nghĩa hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax hay y = ax + b,
trong đó a, b ∈ R, a ≠ 0
3 Tính chất :
- HSố bậc nhất xác định với ∀x∈R
- Trên tập hợp số thực R , hàm số bậc nhất đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0
II/ Đồ thị hàm số y = ax và y = ax + b.
1 Đồ thị hàm số y = ax (a≠0) là 1 đờng thẳng đi qua gốc toạ độ
* Cách vẽ :
- Tìm thêm 1 điểm M(x0 , y0 ) bằng cách cho x = x0 ⇒ y0 = ax0
- Dựng điểm M trên mặt phẳng toạ độ
- Vẽ đờng thẳng đi qua M(x0 , y0 ) và O( 0;0 )
Trang 42 Đồ thị hàm số y = ax + b là đờng thẳng song song với đờng thẳng y = ax ; cắt trục tung
tại điểm có tung độ bằng b ( nếu b ≠0 )
* Cách vẽ 1 :
- Xác định 2 điểm A, B bất kì của đồ thị:
Cho x = 1 ⇒ y = a + b, ta có A(1; a + b) Cho x = - 1 ⇒ y = - a + b, ta có B(1; - a + b)
- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy
- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs
* Cách vẽ 2 :
- Xác định giao điểm của đồ thị với 2 trục toạ độ:
Cho x = 0 ⇒ y = b , ta có A( 0; b) Cho y = 0 ⇒ x = - b/ a , ta có B(-b/ a ; 0 )
- Dựng 2 điểm A , B trên Oxy
- Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hs
III/ Hệ số góc của đ ờng thẳng y = ax và y = ax + b
Đờng thẳng y = ax (d ) Đờng thẳng y = ax + b (d)
Góc hợp
bởi đờng
thẳng với
tia Ox
Góc α tạo bởi đgt (d)và tia Ox đó là góc hợp bởi tia Ox
và nửa đgt nằm trong nửa mf bờ là trục hoành và chứa tia Oy
Góc α tạo bởi đgt (d) và tia Ox đó là góc hợp bởi tia Ax và AB trong đó
AB là phần đgt (d) nằm trong nửa mf
bờ là trục hoành và chứa tia Oy
Hệ số góc
a của
đ-ờng thẳng
a > 0 ⇒ αnhọn
a càng lớn thì α càng lớn (< 90o)
a < 0 ⇒ α tù
a càng lớn thì α càng lớn (<180o)
a > 0 ⇒ α nhọn
a càng lớn thì α càng lớn (< 90o) a < 0 ⇒ α tù
a càng lớn thì α càng lớn (<180o)
B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.
I/ Định nghĩa – Tính chất của hàm số bậc hai :
1 Định nghĩa:
Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax2 (a ≠ 0), trong đó a,b∈R, a
≠ 0
2 Tính chất:
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0
- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0
( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )
• Nhận xét :
- Nếu a > 0 thì y > 0 với ∀x≠ 0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số
- Nếu a < 0 thì y < 0 với ∀x≠ 0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số
II/ Đồ thị hàm số y = ax 2 (a ≠ 0).
* Tính chất của đồ thị:
- Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
B/ Hàm số bậc hai - Đồ thị hàm số bậc hai.
I/ Định nghĩa – Tính chất của hàm số bậc hai :
2 Định nghĩa:
Hàm số bậc 2 là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax2 (a ≠ 0), trong đó a,b∈R, a
≠0
y = ax + b (a>0)
y
x
O O
x y
y = ax + b (a<0)
y = ax
y
x O
Trang 52 Tính chất:
- Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 , hàm số đồng biến khi x > 0
- Nếu a < 0 thì hàm số nghịch biến khi x > 0 , hàm số đồng biến khi x < 0
( Hàm số Đồng biến khi a và x cùng dấu ; Nghịch biến khi a và x trái dấu )
• Nhận xét :
- Nếu a > 0 thì y > 0 với ∀x≠ 0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTNN của hàm số
- Nếu a < 0 thì y < 0 với ∀x≠ 0; Khi x = 0 thì y = 0 là GTLN của hàm số
II/ Đồ thị hàm số y = ax 2 (a ≠ 0).
* Tính chất của đồ thị:
- Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) là 1 Parabol đi qua gốc toạ độ O , nhận trục Oy làm trục đối xứng, O là đỉnh của Parabol
- Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
y = ax2( a > 0 ) y = ax2 ( a < 0 )
* Cách vẽ : - Lập bảng giá trị tơng của x và y:
2
( Chú ý: x1 và x , 1 đối nhau ; y1 và y , 1 đối nhau)
- Biểu diễn các điểm có toạ độ (xi ; yi )
- Vẽ đờng cong (P) đi qua O( 0; 0 ) và các điểm (xi ; yi )
III/ Mở rộng:
1/ Hàm số
x
a
y =
Đồ thị của hàm số y = a/ x ( a ≠ 0 ) là đờng cong Hypebol gồm 2 nhánh
y = a/ x ( a > 0) y = a/ x ( a < 0 )
2/ Hàm số y = / x /
Đồ thị của hàm số có dấu GTTĐ bậc nhất là 1 hình bao gồm các tia hoặc các tia và đoạn thẳng liên tiếp nhau
VD : y = / x / ⇒
<
−
=
≥
=
0 ,
0 ,
khix x y
khix x y
3/ Hàm số y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ):
a/ Xét hàm số y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ):
Ta có
a a
b x a a
b c a
b x a
b x a c x a
b x a y
4 4
4
2 2
2 2
2 2
+
=
− +
= +
=
Đặt 0
2a x
b
=
0
4a∆ = y
− ta có y = a( x – x0)2 + y0.
- Nh vậy để vẽ Parabol (P) ta tịnh tiến theo tr hoành x0 đơn vị rồi tịnh tiến theo tr tung y0 đơn vị Cụ thể:
Đỉnh (P) là điểm D(
a
b
2
− ;
a
∆
− ) Giao điểm của (P) với trục tung là C(0; c) Điểm thứ 2 của (P) có tung độ bằng c là C,( -b/a ; c ), điểm này đối xứng với C qua đờng thẳng x = -b/2a
Trang 6.Giao điểm của (P) với trục hoành ( nếu có) , hoành độ các điểm này là nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0
b/ Nhận xét :
- Hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
Nếu a > 0 Thì Min f(x) =
a
∆
− với x0 =
a
b
2
−
Nếu a < 0 Thì Max f(x) =
a
4
∆
− với x0 =
a
b
2
−
- Trong 1số tr hợp, x không nhận giá trị thuộc R mà chỉ thuộc 1 tập con của R Chẳng hạn, x ⊂[α ; β] hoặc nằm ngoài khoảng (α ; β)
- Trong trờng hợp x0 =
a
b
2
− không thuộc khoảng đang xét của x ta cũng tìm đợc GTLN , GTNN của f(x) căn cứ vào đồ thị của hàm số y = f(x) và xét các giá trị f(
α ) ; f(β)./
C/ Một số dạng bài toán liên quan đến hàm số
Bài toán1 Lập PT đờng thẳng y = ax + b thoả mãn đ.kiện cho trớc (Tức là tìm a, b).
1/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và có hệ số góc bằng k:
- B1: Xác định a: Theo đề bài ta có a = k
- B2: Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + b ⇒ b
- KL: Thay a, b tìm đợc vào công thức ta đợc PT cần tìm
2/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và B(x B , y B )
- B1: Đờng thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB ) nên ta có :
+
=
+
=
b ax y
b ax y
B B
A A
⇒
a ; b
3/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và có tung độ gốc là h:
- B1: Xác định b: Theo đề bài ta có b = h
- B2: Xác định a : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + h ⇒ a
4/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và // trục hoành Ox (Hoặc trục tung Oy)
- Đờng thẳng song song với trục hoành thì x = xA ⇒ y = b = yA
( Nếu đgt // trục tung Oy thì y = yA ⇒ x = xA = b )
5/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và vuông góc với đgt d , có PT y = a , x + b ,
- Đờng thẳng d ⊥d, nên a.a, = - 1 Từ đó suy ra a
- Thay toạ độ của A vào PT trên suy ra b
6/ Lập PT đờng thẳng (d) // (d , ) : y = a , x + b , và đi qua A(x A , y A )
Khi b ≠b, : - Xác định a: Theo đề bài ta có a = a,
- Xác định b : Đờng thẳng đi qua A nên ta có yA = a, xA + b ⇒ b
- KL: Thay a, b tìm đợc vào công thức ta đợc PT cần tìm
7/ Lập PT đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A(x A , 0 ) và cắt trục Oy tại B( 0, y B ).
- B1: Xác định b: (d) cắt Oy tại B( 0, yB ) nên b = yB
- B2: Xác định a : (d) cắt Ox tại A(xA , 0 ) nên a = b/ xA
8/ Lập PT đờng thẳng (d) có hệ số góc bằng k và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x)
- B1: Xác định a : Theo đề bài ta có a = k PT có dạng y = kx + b (*)
- B2: Xác định b : PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b
Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT (*) có nghiệm kép (∆ = 0) ⇒ b
9/ Lập PT đờng thẳng (d) đi qua A(x A , y A ) và tiếp xúc với đờng cong (P): y = f(x).
- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P ) là f(x) = ax + b (*)
- Đờng thẳng (d) tiếp xúc với (P) ⇔ PT (*) có nghiệm kép
Từ ĐK này ta tìm đợc 1 hệ thức liên hệ giữa a và b Ta đợc (**)
- Đờng thẳng (d) đi qua A nên ta có yA = axA + b (***)
- Từ (**) và (***) suy ra a và b
10/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
- Theo đề bài ta có a = k PT có dạng y = kx + b
- PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
Trang 7- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi PT (*) có ∆ > 0 ⇒ b
11/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại A có hoành độ
x A :
- Theo đề bài ta có a = k PT có dạng y = kx + b
- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
- Đờng thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ xA khi xA là nghiệm của PT (*) Khi đó ta có f(xA ) = kxA + b ⇒ b
* Chú ý :
1 Bài toán lập PT đờng cong y = ax2 đi qua điểm A(xA, yA ) tức là xác định hệ số a
Giải tơng tự bài toán lập PT đgt
2 Hoành độ giao điểm của đờng cong y = ax2 (P) và đgt y = mx+ n (d) là nghiệm
của PT ax2 = mx +n (1)
- Nếu PT (1) vô nghiệm thì (d) không giao với (P)
- Nếu PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
- Nếu PT (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P)
3 Bài toán với hàm số y = ax2 + bx + c giải tơng tự bài toán với hàm số y = ax2 ( Theo các bài toán 1 > 5 )
4 Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b trong đó a, b là số vô tỉ a = m , b = n ta cần
sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông
Bài toán 2 Xác định vị trí tơng đối giữa: Đờng thẳng-đờng thẳng; Đờng thẳng – Parbol.
1 Xác đinh vị trí tơng đối của 2 đờng thẳng y = ax + b (d) và y = a , x + b , (d , )
* d // d, ⇔ a = a, và b ≠ b,
* d ∩ d, ⇔ a ≠ a, * d ≡ d
, ⇔ a = a, và b = b,
* d ⊥ d, ⇔ a.a, = 1
2 Xác đinh vị trí tơng đối của đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax 2 (P)
PT hoành độ giao điểm chung nếu có của (d) và (P) là ax + b = ax2 (1)
* (d) ∩ (P) tại 2 điểm phân biệt ⇔PT(1) có 2 nghiệm phân biệt ( ∆> 0 )
* (d) và (P) chỉ có 1 điểm chung ⇔PT (1) có nghiệm kép ( ∆ ≥ 0 )
* (d) và (P) không có điểm chung ⇔PT (1) vô nghiệm ( ∆ < 0 )
Bài toán 3 Bài toán chứng minh:
a Chứng minh đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.
- Gọi C(x0 , y0 ) là điểm cố định của đờng thẳng (d)
- ĐK cần và đủ để đờng thẳng luôn đi qua C(x0 , y0 ) với mọi tham số m là : Am = B
( Biến đổi PT đgt khi C(x0,y0) ∈ (d) )
Trong đó : A là biểu thức chứa x0, y0 hoặc x0 hoặc y0
B là biểu thức chứa x0 hoặc y0 hoặc x0 ; y0
- GPT A = 0 ; B = 0 với tham số m ⇒ x0 ; y0 ⇒C(x0; y0 )
VD: CMR đờng thẳng (d) có PT y = mx +
2
1 luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m?
G: Gọi C(x0; y0 ) là điểm cố định của (d) ⇔C ∈ (d) với mọi m
⇒ Ta có y0 = mx0 +
2
1 ⇔ 2y0 - 1= 2mx0 , với mọi m ⇔ 2y0 - 1= 2x0 m, với mọi m ⇔2y0 – 1 = 0 và 2x0 = 0 ⇔ x0 = 0 ; y0 = 0
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định C( 0;
2
1 )
b Chứng minh (d) luôn tiếp xúc (hoặc không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt) :
Đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc ( không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt)
⇔PT hđộ gđiểm ax + b = ax2 có N0 kép ( hoặc vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt)
VD: CMR với mọi m thì đgt (d) có PT y = mx +
2
1 và (P) y =
2
1x2 luôn cắt nhau tại 2
điểm phân biệt ?
G : PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là mx +
2
1 =
2
1x2 ⇔ ⇔x2 – 2mx – 1
= 0
có ∆, = m2 + 1 > 0 với mọi m
Trang 8Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài toán 4 Xác định toạ độ giao điểm 2 đờng thẳng trên cùng 1 hệ trục toạ độ.
Giả sử điểm M(x0 , y0 ) là giao điểm 2 đờng thẳng (d) : y = ax + b và y = a,x + b, (d, )
B1: Tìm hoành độ giao điểm x0 thoả mãn nghiệm đúng PT ax + b = a,x + b, B2: Tìm tung độ giao điểm y0 bằng cách thay x0 vào 1 trong 2 hàm số đã cho
Bài toán 5 Xác định điểm M( x M , y M ) cho trớc có thuộc đồ thị của HSố cho hay không.
• Cách giải : Đồ thị của hàm số đi qua M khi toạ độ của M thoả mãn nghiệm đúng
PT của (d) : M ∈ (d) ⇔ yM = f(xM)
Do đó tính f(xM) : Nếu f(xM) = yM Thì (d) đi qua M
Nếu f(xM) ≠ yM Thì (d) không đi qua M
-@@@ -Phần III / Hệ ph ơng trình 1)Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn
- Định nghĩa :
Cho hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’
Khi đú ta cú hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn '
( )
ax by c d
a x b y c d
- Nếu hai phương trỡnh cú nghiệm chung (x0;y0) thỡ nú được gọi là nghiệm của hệ (I)
- Nếu hai phương trỡnh ấy khụng cú nghiệm chung thỡ ta núi hệ vụ nghiệm
2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
- Nếu (d) cắt (d’) hệ cú nghiệm duy nhất
- Nếu (d) song song với (d’) thỡ hệ vụ nghiệm
- Nếu (d) trựng (d’) thỡ hệ vụ số nghiệm
3)Hệ phương trỡnh tương đương:
Hai HPT được gọi là tương đương với nhau nếu chỳng cú cựng tập nghiệm
4) Một số PP giải HPT:
* Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp thế.
+ Từ 1 PT của hệ đó cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới
(chỉ cú1 ẩn) + Dựng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyờn PT kia )
* Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp cộng đại số.
+ Nhõn 2 vế của mỗi PT với 1 số thớch hợp (nếu cần ) sao cho cỏc hệ số của 1 ẩn nào đú bằng nhau hoặc đối nhau
+ Dựng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đú cú 1 PT bậc nhất 1 ẩn
+ Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ.
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị
Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’)
5/ Biện luận và Giải hệ phương trỡnh :
B1 Dựng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng Mx = N (*)
B2 Xột cỏc trường hợp:
Trang 9+ Nếu M¹ 0 thì (*) trở thành x = N
M thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tìm được y Do đó hệ có nghiệm duy nhất (x;y)
+ Nếu M = 0 thì: +(*) vô nghiệm khi N ¹ 0,Do đó hệ vô nghiệm
+ (*) có vô số nghiệm khi N = 0
Nghiệm TQ
x R
ì Î ïï ïí
ïïî Hoặc x;y Î R Hoặc x = 0;y RÎ Hoặc y = 0
x RÎ
B3 Kết Luận
6) Một số bài toán về hệ có chứa tham số:
Xác định các giá trị của tham số thoả mãn ĐK cho trước
1/ Nghiệm thoả mãn các ĐK về số nghiệm :
Có nghiệm duy nhất- Vô số nghiệm - Vô nghiệm
PP: Nếu PP: Nếu ab’ – ba’ ¹ 0 Hay ' '
a ¹ b thì (**) có nghiệm duy nhất
Nếu ' '
ïï
íï = ïî
ab ba
bc cb Hoặc ' '
ìïï = ïïï íï
ïïïî
thì (**) có vô số nghiệm
Nếu ' '
ïï
íï ¹ ïî
ab ba
bc cb Hoặc ' '
ìïï = ïïï íï
ï ¹ ïïïî
thì (**) vô số nghiệm
2/ Nghiệm thoả mãn hệ đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các giá trị của
nghiệm.
+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm
+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )
+ B3: Cho nghiệm thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức giữa các giá trị của nghiệm
từ đó tìm được giá trị của tham số
+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời
3/ Nghiệm của hệ là số nguyên.
+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm
+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )
+ B3: Xét các giá trị của nghiệm thoả mãn là số nguyên
+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời
4/ Tìm GTLN – GTNN của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm.
+ B1: Tìm ĐK để hệ có nghiệm
+ B2: Tìm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế )
+ B3: Xét các giá trị của biểu thức giữa các giá trị của nghiệm
+ B4: KL: Xét giá trị của tham số tìm được so với ĐK có nghiệm và trả lời
-@@@ -PhÇn IV / ph¬ng tr×nh bËc 2: ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠0 )(1)
1 C«ng thøc nghiÖm cña PT bËc 2:
Trang 10b2 −4
=
∆
- Nếu ∆< 0 Thì PT vô nghiệm
- Nếu ∆= 0 Thì PT có N0 kép: x1= x2 =
2
b
a
−
- Nếu ∆> 0 Thì PT có 2 N0 phân biệt :
a
b x
2
2 ,
1
∆
±
−
=
ac
b −
=
∆, ,2
- Nếu ∆ '< 0 Thì PT vô nghiệm.
- Nếu ∆ '= 0 Thì PT có N0 kép: x1= x2 =
2
b a
−
- Nếu ∆ '> 0 Thì PT có 2 N0 phân biệt :
a
b x
, , 2 , 1
∆
±
−
=
• Nhận xét :
*Nếu a + b + c = 0 thì :
=
=
a
c x
x
2
*Nếu a - b + c = 0 thì :
−
=
−
=
a
c x
x
2
* Nếu c = 0 thì :
−
=
=
a
b x
x
2
*Nếu x1, x2 là nghiệm của (1) thì ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2)
2 Hệ thức Vi-Et:
*Thuận : Phơng trình bậc2 Nếu có nghiệm Thì :
=
=
−
= +
=
a
c x x P
a
b x
x S
2 1
2 1
.
*Đảo: Nếu 2 số x1, x2 thoả mãn
=
=
−
= +
=
a
c x x P
a
b x x S
2 1
2 1
.
( Với S2 – 4P ≥ 0)
Thì x1 ,x2 là 2 nghiệm của PT x2 - Sx + P = 0
II/ Một số bài toán liên quan đến PT bậc 2:
Bài toán 1: Biện luận theo m sự có nghiệm của PT B2
- Xét hệ số a Có thể có 2 trờng hợp xảy ra:
*Trờng hợp a = 0 với 1 vài giá trị nào đó của m
Giả sử a = 0 ⇔m = m0 ta có (1) trở thành pt b1: bx + c = 0 (2) -Nếu b≠0 ( với m = m0 ), pt (2) có 1 nghiệm là
b
c
x= − (cũng là nghiệm của(1))
-Nếu b = 0 và c =0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định ⇒ pt (1) vô nghiệm -Nếu b = 0 và c ≠ 0 ( với m = m0 ), pt (2) vô định ⇒ pt (1) nghiệm
*Trờng hợp a ≠ 0:
- Nếu ∆> 0 : pt (1) có 2 nghiệm phân biệt :
a
b x
2
2 , 1
∆
±
−
=
- Nếu ∆= 0 : pt (1) có 2 nghiệm kép : x1 = x2 =
a
b
2
−
- Nếu ∆< 0 : pt (1) vô nghiệm / R
- Kết luận : Tóm tắt phần biện luận trên.
Bài toán 2: Điều kiện có nghiệm của PT bậc 2.
2.a, PT có nghiệm: C1, a= 0 , b ≠0
C2, Hoặc a ≠ 0 , ∆ ≥ 0
C3, Tìm số α sao cho a.f(α) < 0 C4, Tìm 2 số α , β sao cho f(α ).f(β) < 0 Tập hợp các giá trị m phải tìm là tất cả các giá trị của m thoả a) hoặc b)