bài giảng toán ứng dụng dành cho SV các trường cao đẳng

Định nghĩa hàm số một biến số thực xác định trên tập X, x gọi là biến số độc lập, y gọi là biến số phụ thuộc hay hàm số của x, X gọi là miền xác định của hàm số,tập gọi là miền giá trị c

Được mô tả theo 2 cách:

+)Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp: Ví dụ:

 Song ánh: ánh xạ là song ánh nếu vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

ánh xạ gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ

Ví dụ:

Ánh xạ sau có phải là đơn ánh? Toàn ánh? Song ánh? Nếu là song ánh hãy tìm ánh xạ ngược

CHƯƠNG I: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC – GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

BÀI 1: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC

1 Định nghĩa hàm số một biến số thực

xác định trên tập X, x gọi là biến số độc lập, y gọi là biến số phụ thuộc hay hàm số của x, X gọi

là miền xác định của hàm số,tập gọi là miền giá trị của hàm số

 Miền xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức

có nghĩa

Chú ý : Tìm miền giá trị của hàm số là tìm điều kiện để phương trình có nghiệm với điều kiện của x cho trước ( y coi là hằng số, x coi là ẩn)

Ví dụ1: Cho hàm số ,tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số trên:

Lg: hàm số xác định với mọi do vậy MXĐ của hàm số là R

, do vậy MGT của hàm số là

Ví dụ 2: Tìm MXĐ và MGT của hàm số sau

2 Đồ thị của hàm số một biến số:

Giả sử hàm số xác định trên ,ứng với mỗi giá trị ta được giá trị

của hàm số Gọi nằm trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đề các vuông góc oxy,cho biến thiên trên tập X khi đó điểm biến thiên theo và tạo nên một đường cong trong mặt phẳng oxy,đường cong đó gọi là đồ thị của hàm số

Ví dụ: hàm số có đồ thị là một parabol

3 Hàm số đơn điệu – Hàm số chẵn, hàm số lẻ - Hàm tuần hoàn

a) Hàm số đơn điệu:

Hàm số được gọi là tăng( đồng biến) trên khoảng (a,b) nếu

Hàm số được gọi là giảm (nghịch biến) trên khoảng (a,b) nếu

Hàm số được gọi là đơn điệu trên khoảng (a,b) nếu nó tăng hoặc giảm trên khoảng (a,b)

b) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hàm số được gọi là chẵn trên khoảng nếu

Hàm số được gọi là lẻ trên khoảng nếu

Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

,

c) Hàm tuần hoàn

Hàm số được gọi là tuần hoàn với chu kì nếu

Ví dụ: hàm số là hàm tuần hoàn với chu kì 2

4 Hàm số hợp – Hàm số ngược

a) Hàm số hợp

Cho hàm số là hàm số của biến số u, đồng thời là hàm số của biến số x.Khi đó hàm số được gọi là hàm số hợp của biến số độc lập x thông qua biến số trung gian u.Kí hiệu

Miền xác định của hàm số là tập hợp các giá trị của x sao cho thuộc miền xác định của x

* Một số bài toán liên quan

Bài toán 1: Tìm biết các hàm số f(x) và g(x) là các hàm xác định cho trước

Phương pháp: coi f(x),g(x) như x rồi thay vào các hàm đã cho sau khi tìm được hàm số liên quan đến f(x),g(x) ta lại thay f(x),g(x) bằng các hàm số của x đã cho.

Bài toán 2: Xác định hàm số f(x) nếu biết hàm hợp f(g(x)) của nó

Phương pháp: +)Đặt ,rút x theo biến u,rồi thay vào hàm f(g(x)) đã cho ta tìm được một hàm số liên quan đến u.

+) Trả lại biến thay u bằng x ( nếu có điều kiện của x thì phải tìm điều kiện của u theo điều kiện của x)

Ví dụ: Tìm hàm biết:

a)

b)

b) Hàm số ngược

Cho hàm số xác định,đơn điệu trên tập ,Khi đó là một song ánh từ tập

X vào tập f(X) = Y,nếu tồn tại ánh xạ ngược thì gọi là hàm số ngược của hàm số có MXĐ là miền giá trị của hàm và MGT là miền xác định củahàm

Ví dụ: Xác định hàm số ngược của các hàm số sau:

Hàm xác định trên và lấy giá trị trên R,là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì

Hàm xác định trên và lấy giá trị trên R,là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì

 Hàm số ngược của hàm lượng giác

Hàm có miền xác định và miền giá trị và là hàm tăng

Hàm có miền xác định và miền giá trị và là hàm giảm

Hàm có miền xác định R và miền giá trị và là hàm tăng

Hàm có miền xác định R và miền giá trị và là hàm giảm

BÀI 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ A.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1 Giới hạn của hàm số một biến số

a) Định nghĩa1: Giả sử hàm số xác định trên lân cận của điểm a( trừ điểm a).Ta nói hàm số có giới hạn là A khi x dần tới a nếu cho trước,đều tồn tại sao

Ví dụ1: Chứng minh rằng

Chú ý: Trong định nghĩa ta thấy khi x dần tới a nên x > a hoặc x < a

Khi x dần về phía bên trái a (x < a) mà f(x) dần tới A thì A gọi là giới hạn trái,Kí hiệu

Khi x dần về phía bên phải a ( x > a) mà f(x) dần tới A thì A gọi là giới hạn phải.Kí hiệu

Ví dụ 2: Hàm số

b) Định nghĩa 2: Hàm số được gọi là có giới hạn là + khi x dần tới a nếu

cho trước,lớn tùy ý luôn sao cho khi ta có Kí hiệu

Các dạng giới hạn vô định:

Phương pháp giải : khử dạng vô định bằng cách: phân tích thành nhân tử chung, nhân với biểu

thức liên hợp,chia cả tử và mẫu với x có bậc cao nhất,áp dụng các giới hạn đặc biệt.

 Cho hàm số xác định trên khoảng (a,b), Ta nói rằng hàm số

liên tục tại điểm nếu

 Hàm số được gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm

 Hàm số được gọi là gián đoạn tại điểm nếu:

+) Các hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó

+) Nếu thì gọi là điểm gián đoạn loại 1

+) Hàm số liên tục tại điểm

Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau

Ví dụ 2: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau

Ví dụ 3: Cho hàm số Xác định để hàm số liên tục tại x = 2

Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x

Tìm a và b để hàm số sau liên tục với mọi x:

Ví dụ 4: Xét sự liên tục và gián đoạn của các hàm số sau

CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN

BÀI 1: ĐẠO HÀM

1 Định nghĩa:

 Cho hàm số xác định trên khoảng (a,b) và Nếu tồn tại giới hạn của tỉ số

khi thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm Kí hiệu

 Nếu ta đặt - gọi là số gia của đối số và - gọi là số gia củahàm số thì

Chú ý: hàm số có đạo hàm tại liên tục tại và

Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa

2 Đạo hàm của tổng, tích, thương của hai hàm số

Nếu các hàm số và có đạo hàm tại x thì:

a) có đạo hàm tại x và

b) có đạo hàm tại x và

3 Đạo hàm của hàm số hợp

Nếu hàm số có đạo hàm theo biến u và có đạo hàm theo x thì hàm hợp

có đạo hàm theo biến x và

Ví dụ: hàm số Đặt u = cos x

4 Đạo hàm của hàm số ngược

Cho hàm số có đạo hàm theo x, và có hàm ngược là hàm Khi

Đạo hàm của các hàm cơ bản Đạo hàm của hàm hợp tương ứng

Ví dụ1: Tính đạo hàm của các hàm số sau

Chú ý( Phương pháp logarit để tính đao hàm)

Hai trường hợp sau ta lấy loogarit rồi mới lấy đao hàm hai vế

+)

+) f(x) là tích ,thương của nhiều thừa số

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau

6 Đạo hàm cấp cao

a)Định nghĩa

Nếu hàm số có đạo hàm thì gọi là đạo hàm cấp 1

Đạo hàm (nếu có) của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2.Kí hiệu

Tương tự ta có đạo hàm của đạo hàm cấp n – 1 của hàm gọi là đạo hàm cấp n.Kí

CHƯƠNG III: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

BÀI 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

1 Định nghĩa

 Khái niệm nguyên hàm: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số trong

 Nếu hàm f(x) có một nguyên hàm F(x) thì mọi nguyên hàm của hàm f(x) đều có dạng

a) Phân tích thành những tích phân đơn giản

5 Một số tích phân của các hàm số thường gặp và phương pháp giải

a) Tích phân của các phân thức hữu tỷ đơn giản

 Hàm hữu tỷ đơn giản là các hàm số có một trong các dạng sau

Với Ta dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt

Sau khi tìm được kết quả cuối cùng ta thay t bằng x

Ví dụ: tính các tích phân sau

cả sinx và cosx):Ta đặt tan x = t

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

 Dạng với m,n là số nguyên

+) Nếu m chẵn(hoặc n lẻ) đặt cosx = t (hoặc sinx = t)

+) Nếu m, n đều là chẵn và có ít nhất một trong hai số là số âm thì ta đặt tanx = t,

+) Nếu m và n đều chẵn và dương thì ta dùng công thức hạ bậc

BÀI 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

A TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

1 Định nghĩa

Cho hàm số xác định và bị chặn trên Ta chia đoạn thành n- đoạn nhỏ bởi

ta lấy một điểm bất kì và lập tổng với

cách chọn điểm Thì giới hạn đó gọi là tích phân xác định của hàm số trên đoạn.Kí hiệu ,trong đó a – cận dưới,b – cận trên, f(x) – là hàm dưới dấu tích

phân,f(x)dx – biểu thức dưới dấu tích phân

2 Các tính chất của tích phân xác định

3 Các phương pháp tính tích phân xác định

a) Phương pháp đổi biến số

Xét với là hàm số liên tục trên

1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn

a) Các giá trị của tích phân suy rộng

b) Sự hội tụ của tích phân suy rộng

Phương pháp: Ta sử dụng các tính chất sau đây để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

hội tụ khi và phân kỳ khi

Nếu các hàm f(x) và g(x) liên tục trên và thì

+)Nếu hội tụ thì hội tụ

+)Nếu phân kỳ thì phân kỳ

Nếu hội tụ thì hội tụ

Ví dụ: Xét sự hội tụ, phân kỳ của các tích phân sau

2 Tích phân suy rộng với cận là hằng số

a) Các giá trị của tích phân suy rộng

Chú ý: Nếu các giới hạn bên phải tồn tại thì ta nói các tích phân đó hội tụ ngược lại ta nói

chúng phân kỳ

b)Sự hội tụ của tích phân suy rộng

Phương pháp: Ta sử dụng các tính chất sau đây để xét sự hội tụ của tích phân suy rộng

a) Cho các hàm f(x) và g(x)khả tích trên và

+)Nếu hội tụ thì hội tụ

+)Nếu phân kỳ thì phân kỳ

Nếu hội tụ thì hội tụ tuyệt đối

Nếu phân kỳ và hội tụ thì ta nói bán hội tụ

c) hội tụ khi và phân kì khi

hội tụ khi và phân kì khi

Ví dụ: Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các tích phân sau

CHƯƠNG IV: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ BÀI 1: HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

1 Khái niệm hàm nhiều biến số

a) Khái niệm không gian : Không gian biến số thực n – chiều là tập hợp các bộ gồm n –

số thực sắp thứ tự Mỗi điểm của không gian là một phần tử

.Kí hiệu là M =

b) Khái niệm hàm nhiều biến : Cho ,ánh xạ

được gọi là hàm số n biến số

 D được gọi là miền xác định của hàm số

2 Miền xác định của hàm số nhiều biến số

a) Định nghĩa: Miền xác định của hàm số là tập hợp các điểm M =

sao cho biểu thức có nghĩa

b) Ví dụ: Tìm miền xác định của các hàm số sau

3 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần của hàm hai biến số

a) Đạo hàm riêng

 Định nghĩa (SGT)

+) Đạo hàm riêng theo biến x.Kí hiệu

+) Đạo hàm riêng theo biến x.Kí hiệu

 Phương pháp tính đạo hàm riêng

Nguyên tắc chung: muốn tính đạo hàm riêng của hàm số theo biến nào ta coi

biến đó là ẩn,các biến còn lại coi là hằng số Sau đó áp dụng các công thức và quy tắc tính

đạo hàm của hàm một biến số để tính.

 Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau

b) Vi phân toàn phần

 Định nghĩa:

Cho hàm số xác định trên ,gọi , là hai

trong đó là những số phụ thuộc vào và khi (tức là khi ) thì ta nói rằng hàm khả vi tại điểm và biểu thức gọi là vi phân toàn phần của hàm

.Kí hiệu

 Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần của hàm số sau

4 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao

a) Đạo hàm riêng cấp cao

 Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên miền và có đạo hàm riêng cấp

1 là và Nếu các đạo hàm riêng và có các đạo hàm riêng theo biến x và y thì ta gọi các đạo hàm riêng đó là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số

Kí hiệu :

 Ví dụ: Tìm đạo hàm riêng cấp hai của các hàm số sau

b) Vi phân cấp cao

 Định nghĩa : Cho hàm số xác định trên miền và có vi phân toàn phần

là Nếu khả vi tại mọi x D thì vi phân đó gọi là vi phân cấp hai của hàm

,kí hiệu :

 Ví dụ : Tìm vi phân cấp hai của các hàm số sau

BÀI 2: CỰC TRỊ A.CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN

1 Định nghĩa

dấu không đổi

+) ta nói hàm đạt cực tiểu tại và gọi là điểm cực tiểu gọi là giá trị cực tiểu

+) ta nói hàm đạt cực đại tại và gọi là điểm cực đại

gọi là giá trị cực đại

+) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số gọi chung là cực trị của hàm số

 Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số sau bằng định nghĩa

Ta phải dùng định nghĩa để kiểm tra

Bài toán : Xét hàm số xác định trên miền : (a = const).Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D

1 Phương pháp giải

 Bước 1: Xét tại g(x,y) < a

+) Giải hệ phương trình tìm ra các điểm dừng

+) Giá trị lớn nhất trong các giá trị trên là GTLN của hàm số

+) Giá trị nhỏ nhất trong các giá trị trên là GTNN của hàm số

2 Ví dụ: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số sau

BÀI 1: TÍCH PHÂN BỘI 2

1 Khái niệm tích phân bội hai

a) Khái niệm tổng tích phân: Cho hàm số xác định trong miền D – đóng,bị chặn,ta chia miền D thành n – mảnh nhỏ và gọi là diện tích các mảnh.Trong mỗi mảnh ta lấy một điểm tùy ý và lập tổng

.Khi đó tổng này gọi là tổng tích phân của hàm trên miền D

b) Khái niệm tích phân kép : Gọi là đường kính của mỗi mảnh ,đặt

nếu (sao cho khi thì ) không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách chọn điểm thì giới hạn đó gọi là tích phân kép của hàm

.Kí hiệu ,trong đó : +) D là miền lấy tích phân

+) f(x,y) là hàm dưới dấu tích phân

2 Tính chất

3 Phương pháp tính tích phân kép

a) Phương pháp biến đổi dựa vào miền lấy tích phân

* Nguyên tắc tính: khi tính tích phân kép ta tính từ trong ra ngoài.Tính tích phân theo biến

nào ta coi biến đó là ẩn,các biến còn lại coi là hằng số,, sau đó áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản và các phương pháp tính tích phân để làm

 Nếu miền D xác định bởi

+) Bước 2: Áp dụng công thức sau để tính

qua phép biến đổi.

Ví dụ: Tính các tích phân sau

c) Phương pháp đổi biến trong tọa độ cực

+) Bước 1: Đặt Xác định các cận của r và ( nhưng

)

+) Bước 2: Áp dụng công thức sau để làm

* Chú ý: Ta chỉ sử dụng phương pháp này trong trường miền D có dạng hình tròn hay một

phần hình tròn ( Tức là miền D có chứa biểu thức )

Ví dụ: Tính các tích phân sau

BÀI 2: TÍCH PHÂN BỘI BA Định nghĩa

+) Khái niệm tổng tích phân:

Cho hàm số xác định trong miền ,ta chia miền V thành n – miền nhỏ

và gọi là thể tích của mỗi miền, là đường kính của mỗi miền.Trong mỗi miền ta chọn một điểm tùy ý.Khi đó tổng

được gọi là tổng tích phân của hàm trong miền V

+) Khái niệm tích phân bội ba

chọn điểm thì giới hạn đó gọi là tích phân bội ba của hàm số lấy trên miền V.Kí hiệu ,Trong đó V là miền lấy tích phân

Phương pháp tính tích phân bội ba

Nguyên tắc tính: tương tự như tích phân hai lớp

Tích phân bội ba trong tọa độ đề các vuông góc oxyz

Nếu miền V xác định bởi Ta có công thức

+) Bước 2: Áp dụng công thức sau để tính

+) Bước 1: Đặt Dựa vào các điều kiện bài toán xác định

+) Bước 2: Áp dụng công thức sau để tính

Chú ý: Ta chỉ sử dụng công thức này trong trường hợp miền V có dạng mặt cầu hoặc một

phần của mặt cầu ( tức là có chứa biểu thức )

Ví dụ: Tính các tích phân sau

CHƯƠNG VI: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 Định nghĩa

+) Nghiệm tổng quát của phương trình là một hàm số có dạng hoặc

trong đó c = const thỏa mãn (1)

+) Nghiệm riêng của phương trình là hàm số có dạng với là một giá trị

cụ thể

Một số phương trình vi phân cấp 1 thường gặp

Phương trình biến số phân ly

+) Phương pháp giải: Lấy nguyên hàm hai vế ta được

Nghiệm tổng quát của phương trình là

Ví dụ 1: Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiên y(1) = 1

Tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn y(0) = 1

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Phương trình vi phân cấp một dạng thuần nhất

+) Khái niệm: phương trình vi phân cấp một gọi là thuần nhất nếu được viết dưới dạng tức là có dạng: Ví dụ: phương trình