bài giảng toán ứng dụng dành cho SV các trường cao đẳng

Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN TẬP 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp a) Tập hợp: Là một khái niệm cơ bản của toán học,được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa:A,B,C….: Tập các số tự nhiên N, tập hợp các số nguyên Z,tập hợp các số hữu tỉ Q,tập các số thực R. Được mô tả theo 2 cách: +)Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp: Ví dụ: { } 3, 2, 1,0,1, 2,3A = − − − +)Nêu tính chất đặc trưng: Ví dụ: { } 4 4A x Z x= ∈ − < < Chú ý: tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng,kí hiệu ∅ Tập con: A B x A x B⊆ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ . Chú ý: A A⊆ , và ∅ là tập con của mọi tập hợp b) Các phép toán trên tập hợp: • Hai tập hợp bằng nhau: A B A B B A ⊆  = ⇔  ⊆  • Giao của hai tập hợp: { } à x BA B x x v∩ = ∈ ∈ ,tức là: x A B x A∈ ∩ ⇔ ∈ và x B∈ Ví dụ: { } 2; 1;0;1;2A = − − và { } 1;0;1;2;3B = − .Ta có { } 1,0,1, 2A B∩ = − • Hợp của hai tập hợp: { } A B x x Ahoacx B ∪ = ∈ ∈ ,tức là: x A B ∈ ∪ x A ⇔ ∈ hoặc x B ∈ hoặc x A x B ∈   ∈  .Ví dụ: Cho { } 2 0A x x x= − ≥ và { } 0B x x= ≤ .Ta có { } 1A B x x∪ = ≤ • Phần bù: Cho B A⊆ , { } à x B A C B x x Av= ∈ ∉ ,tức là A x C B x A∈ ⇔ ∈ và x B ∉ Ví dụ: cho { } 3. 2, 1,0,1,2,3,4A = − − − và { } 2, 1,0,1, 2B = − − { } 3,3,4 A C B⇒ = − •Tích đề các của hai tập hợp: { } ( , ) ,A B x y x A y B× = ∈ ∈ Chú ý: mỗi phần tử của A B× được biểu diễn thành một điểm trong hệ trục tọa độ đề các vuông góc oxy Ví dụ: Cho { } { } 2 3 ; 3 4A x x B y y= ≤ ≤ = ≤ ≤ . Hãy biểu diễn hình học tích Đề- các A x B lên mặt phẳng tọa độ. 2. Ánh xạ Các định nghĩa: •Ánh xạ: Cho hai tập hợp: ,X Y≠ ∅ ≠ ∅ .Ta gọi ánh xạ f từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi phần tử x X ∈ một và chỉ một phần tử y Y∈ sao cho ( )y f x= .Kí hiêu: : , ( )f X Y x f x y→ → = .X được gọi là tập nguồn,Y gọi là tập đích, y gọi là ảnh của x •Đơn ánh: ánh xạ :f X Y→ là đơn ánh 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( )x x X x x f x f x⇔ ∀ ∈ = ⇒ = •Toàn ánh: ánh xạ :f X Y→ là toàn ánh ⇔ phương trình ( )f x y= có nghiệm với mọi x ( x coi là ẩn và y coi là hằng số) •Song ánh: ánh xạ :f X Y→ là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh •Ánh xạ ngược: Cho : , ( )f X Y x f x y→ → = là một song ánh ⇒ ∃ ánh xạ 1 1 : , ( )f Y X y x f y − − → → = gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f Ví dụ: Ánh xạ sau có phải là đơn ánh? Toàn ánh? Song ánh? Nếu là song ánh hãy tìm ánh xạ ngược. : , 3 2f R R x y x→ = − +a 1 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB CHƯƠNG I: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC – GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC BÀI 1: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1. Định nghĩa hàm số một biến số thực • Cho ,X R X⊂ ≠ ∅ ,ta gọi ánh xạ : , ( )f X R x y f x→ → = là một hàm số một biến số thực xác định trên tập X, x gọi là biến số độc lập, y gọi là biến số phụ thuộc hay hàm số của x, X gọi là miền xác định của hàm số,tập { } ( ) ( ),Y f X y y f x x X= = = ∀ ∈ gọi là miền giá trị của hàm số • Miền xác định của hàm số ( )y f x= là tập hợp tất cả các giá trị của x sao cho biểu thức ( )f x có nghĩa. Chú ý : Tìm miền giá trị của hàm số ( )y f x= là tìm điều kiện để phương trình ( )f x y= có nghiệm với điều kiện của x cho trước ( y coi là hằng số, x coi là ẩn) Ví dụ1: Cho hàm số 2 2 4 6y x x= − + ,tìm miền xác định và miền giá trị của hàm số trên: Lg: hàm số 2 2 4 6y x x= − + xác định với mọi x R ∈ do vậy MXĐ của hàm số là R Ta xét phương trình: 2 2 2 4 6 2 4 6 0x x y x x y− + = ⇔ − + − = ,phương trình có nghiệm x R∀ ∈ 4 2(6 ) 0 4y y⇔ ∆ = − − ≥ ⇔ ≥ , do vậy MGT của hàm số là [ ) 4,+∞ Ví dụ 2: Tìm MXĐ và MGT của hàm số sau 2 1y x= − 2. Đồ thị của hàm số một biến số: Giả sử hàm số ( )y f x= xác định trên X R⊂ ,ứng với mỗi giá trị o x X∈ ta được giá trị ( ) o o y f x= của hàm số. Gọi ( , ) o o o M x y= nằm trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ đề các vuông góc oxy,cho o x biến thiên trên tập X khi đó điểm o M biến thiên theo và tạo nên một đường cong trong mặt phẳng oxy,đường cong đó gọi là đồ thị của hàm số ( )y f x= Ví dụ: hàm số 2 y x= có đồ thị là một parabol 3. Hàm số đơn điệu – Hàm số chẵn, hàm số lẻ - Hàm tuần hoàn a) Hàm số đơn điệu: Hàm số ( )y f x= được gọi là tăng( đồng biến) trên khoảng (a,b) nếu 1 2 1 2 1 2 , ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ < Hàm số ( )y f x= được gọi là giảm (nghịch biến) trên khoảng (a,b) nếu 1 2 1 2 1 2 , ( , ), ( ) ( )x x a b x x f x f x∀ ∈ < ⇒ > Hàm số ( )y f x= được gọi là đơn điệu trên khoảng (a,b) nếu nó tăng hoặc giảm trên khoảng (a,b) b) Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số ( )y f x= được gọi là chẵn trên khoảng ( , )l l− nếu ( ) , , ( ) ( )x l l f x f x∀ ∈ − − = Hàm số ( )y f x= được gọi là lẻ trên khoảng ( , )l l− nếu ( ) , , ( ) ( )x l l f x f x∀ ∈ − − = − Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: 3 ( ) 3f x x x= − , 1 ( ) ln 1 x f x x − = + c) Hàm tuần hoàn Hàm số ( )y f x= được gọi là tuần hoàn với chu kì 0T ≠ nếu ( ) ( )f x T f x+ = Ví dụ: hàm số ( ) sinxy f x= = là hàm tuần hoàn với chu kì 2 π 4. Hàm số hợp – Hàm số ngược a) Hàm số hợp 2 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB Cho hàm số ( )y f u= là hàm số của biến số u, đồng thời ( )u g x= là hàm số của biến số x.Khi đó hàm số ( ( ))y f g x= được gọi là hàm số hợp của biến số độc lập x thông qua biến số trung gian u.Kí hiệu ( )( ) ( ( ))f g x f g x= o Miền xác định của hàm số f g o là tập hợp các giá trị của x sao cho ( )g x thuộc miền xác định của x * Một số bài toán liên quan Bài toán 1: Tìm ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( ))f f x g g x f g x g f x biết các hàm số f(x) và g(x) là các hàm xác định cho trước Phương pháp: coi f(x),g(x) như x rồi thay vào các hàm đã cho sau khi tìm được hàm số liên quan đến f(x),g(x) ta lại thay f(x),g(x) bằng các hàm số của x đã cho. Ví dụ: Tìm ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( ))f f x g g x f g x g f x biết 2 ( ) , ( ) 2 x f x x g x= = Lg: Ta có 2 2 2 4 ( ( )) ( ( )) ( )f f x f x x x= = = , ( ) 2 ( ( )) 2 2 x g x g g x = = 2 2 2 ( ( )) ( ( )) (2 ) 2 4 x x x f g x g x= = = = , 2 ( ) ( ( )) 2 2 f x x g f x = = Bài toán 2: Xác định hàm số f(x) nếu biết hàm hợp f(g(x)) của nó Phương pháp: +)Đặt ( )u g x= ,rút x theo biến u,rồi thay vào hàm f(g(x)) đã cho ta tìm được một hàm số liên quan đến u. +) Trả lại biến thay u bằng x ( nếu có điều kiện của x thì phải tìm điều kiện của u theo điều kiện của x) Ví dụ: Tìm hàm ( )f x biết: a) 2 ( 1) 3 2f x x x+ = − + b) 2 1 1 ( 0)f x x x x   = + + >  ÷   b) Hàm số ngược Cho hàm số ( )y f x= xác định,đơn điệu trên tập X R⊂ ,Khi đó f là một song ánh từ tập X vào tập f(X) = Y,nếu f tồn tại ánh xạ ngược 1 1 : , ( )f Y X y x f y − − → → = thì 1 f − gọi là hàm số ngược của hàm số f có MXĐ là miền giá trị của hàm f và MGT là miền xác định của hàm f Ví dụ: Xác định hàm số ngược của các hàm số sau: 2 2 3, 1y x y x= + = − 5. Các hàm sơ cấp cơ bản a. Hàm lũy thừa: y x α = xác định trên R nếu N α ∈ và xác định trên { } \ 0N nếu α <0 b. Hàm số mũ: ( 0, 1) x y a a a= > ≠ xác định trên R và lấy giá trị dương,đồng biến nếu 1a > và nghịch biến nếu 1a < c. Hàm logarit: log ( 0, 1) a y x a a= > ≠ xác định trên ( ) 0,+∞ ,đồng biến khi 1a > , nghịch biến nếu 1a < d. Hàm số lượng giác Hàm siny x= xác định trên R và lấy giá trị trên [ ] 1,1− ,là hàm lẻ ,tuần hoàn với chu kì 2 π Hàm cosy x= xác định trên R và lấy giá trị trên [ ] 1,1− ,là hàm chẵn ,tuần hoàn với chu kì 2 π 3 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB Hàm t anxy = xác định trên \ (2 1) , 2 R k k Z π   + ∈     và lấy giá trị trên R,là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π Hàm cot xy = xác định trên { } \ ,R k k Z π ∈ và lấy giá trị trên R,là hàm lẻ và tuần hoàn với chu kì π • Hàm số ngược của hàm lượng giác Hàm arcsiny x= có miền xác định [ ] 1,1− và miền giá trị , 2 2 π π   −     và là hàm tăng Hàm arc osy c x= có miền xác định [ ] 1,1− và miền giá trị [ ] 0, π và là hàm giảm Hàm arctany x= có miền xác định R và miền giá trị , 2 2 π π   −  ÷   và là hàm tăng Hàm arc ty co x= có miền xác định R và miền giá trị ( ) 0, π và là hàm giảm 4 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB BÀI 2: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ A.GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1. Giới hạn của hàm số một biến số a) Định nghĩa1: Giả sử hàm số ( )y f x= xác định trên lân cận của điểm a( trừ điểm a).Ta nói hàm số ( )y f x= có giới hạn là A khi x dần tới a nếu 0 ε ∀ > cho trước,đều tồn tại 0 δ > sao cho khi x a δ − < thì ( )f x A ε − < .Kí hiệu là lim ( ) x a f x A → = Ví dụ1: Chứng minh rằng 1 lim(2 1) 3 x x → + = Chú ý: Trong định nghĩa ta thấy khi x dần tới a nên x > a hoặc x < a . Khi x dần về phía bên trái a (x < a) mà f(x) dần tới A thì A gọi là giới hạn trái,Kí hiệu lim ( ) x a f x A − → = . Khi x dần về phía bên phải a ( x > a) mà f(x) dần tới A thì A gọi là giới hạn phải.Kí hiệu lim ( ) x a f x A + → = lim ( ) lim ( ) lim ( ) x a x a x a f x A f x f x A − + → → → = ⇔ ∃ = = Ví dụ 2: Hàm số 0 ( ) 1 0 x khi x f x x khi x <  =  − >  b) Định nghĩa 2: Hàm số ( )y f x= được gọi là có giới hạn là + ∞ khi x dần tới a nếu 0M ∀ > cho trước,lớn tùy ý luôn 0 δ ∃ > sao cho khi x a δ − < ta có ( )f x M> .Kí hiệu lim ( ) x a f x → = +∞ Các trường hợp ( ) ,f x x a→ −∞ → , ( ) ,f x A x→ → ±∞ ta định nghĩa tương tự Ví dụ: Chứng minh 2 1 1 lim 1 x x → = +∞ − 2. Các tính chất của giới hạn hàm số một biến số a) Định lí 1: Giả sử 1 2 lim ( ) ,lim ( ) x a x a f x A f x B → → = = thì ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( ) lim( ( ). ( )) lim ( ).lim ( ) . lim ( ) ( ) lim , 0 ( ) lim ( ) x a x a x a x a x a x a x a x a x a f x f x f x f x A B f x f x f x f x A B f x f x A B f x f x B → → → → → → → → → + = + = + = =   = = ≠  ÷   Ví dụ1: Tính các giới hạn sau 2 2 2 2 2 3 3 sin ) lim 3 1 ( 3) )lim 5 2 ( 3) )lim 2 x x x x a x x x b x x c x π → → → + − − − − − b) Các dạng giới hạn vô đinh và một số giới hạn đặc biệt Các giới hạn đặc biệt cần nhớ 5 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB ( ) 0 1 0 sinx lim 1 1 1 lim 1 ,lim 1 ( ) x x u x u x e u e u x x → →∞ → =   + = + = =  ÷   Các dạng giới hạn vô định: 0 , ,0. , ,1 0 ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ Phương pháp giải : khử dạng vô định bằng cách: phân tích thành nhân tử chung, nhân với biểu thức liên hợp,chia cả tử và mẫu với x có bậc cao nhất,áp dụng các giới hạn đặc biệt. • Dạng 0 0 Ví dụ 2 : Tính các giới hạn sau 3 2 1 0 0 0 2 0 3 0 0 0 8 )lim 2 1 8 3 )lim 4 2 sin 5 sin )lim ,lim tan x )lim 1 cos )lim tan sinx )lim arcsin )lim arctan )lim x x x x x x x x x x a x x b x x x c x x d x x e x x f x x g x x h x α → → → → → → → → → − − + − − − − • Dạng ∞ ∞ Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau 2 2 2 3 4 1 )lim 2 3 1 ) lim x x x x a x x x b x x x →∞ →+∞ − + − + + + − • Dạng 0.∞ Ví dụ 3 : Tính các giới hạn sau 0 1 )limsinx.cot )lim(1 ).tan 2 x x a x x b x π → → − • Dạng ∞ − ∞ Ví dụ 4: Tính giới hạn sau: 6 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB 2 1 lim ( 1 ) 1 2 lim 1 1 x x x x x x x →+∞ → + −   −  ÷ − −   •Dạng 1 ∞ Ví dụ 5: Tính các gới hạn sau 2 3 1 sin 0 3 )lim 2 ) lim 1 )lim( os2 ) x x x x x x x a x x b x c c x →∞ + →∞ → +    ÷   +    ÷ −   B.SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ 1. Các định nghĩa: • Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng (a,b), ( , ) o x a b∈ .Ta nói rằng hàm số ( )y f x= liên tục tại điểm o x nếu lim ( ) ( ) o o x x f x f x → = • Hàm số ( )y f x= được gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm ( , ) o x a b∈ • Hàm số ( )y f x= được gọi là gián đoạn tại điểm o x nếu: +) ( )f x không xác định tại o x +) lim ( ) lim ( ) o o x x x x f x f x + − → → ≠ +) không tồn tại lim ( ) o x x f x → Nhận xét: để tìm giới hạn của hàm số liên tục ta chỉ việc thay x bởi o x và áp dụng các công thức sau: 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( )ln ( ) ( ) ( )ln ( ) 0 0 lim ( ) lim ( ) lim lim ( ) lim ln(1 ) lim 1 1 lim 1 o x x o x x o o x x x x u x u x x x v x u x v x v x u x x x x x u u u u x u x e e u x e e u u e u → → → → → → → → → = = = = + = − = • Chú ý: +) Các hàm sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó +) Nếu lim ( ) lim ( ) o o x x x x f x f x + − → → ≠ thì o x gọi là điểm gián đoạn loại 1 +) Hàm số ( )y f x= liên tục tại điểm o x lim ( ) lim ( ) ( ) o o o x x x x f x f x f x + − → → ⇔ = = 2. Các ví dụ: 7 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau 1 3 0 3 1 1 )lim(1 ) )lim 4 5 )lim(sinx cos ) x x x x x o a x b x x c x → → → + + + + Ví dụ 2: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau 2 1 3 2 1 ) 3 2 1 ) 1 ) 2 1 x x a y x x b y e x x c y x − + = − + = − − = − Ví dụ 3: )a Cho hàm số 2 3 2 2 x x y x − + = − .Xác định (2)f để hàm số liên tục tại x = 2 )b Tìm a để hàm số sau liên tục với mọi x 2 1 1 3 ax 1 x khi x y khi x + ≤  =  − >  )c Tìm a và b để hàm số sau liên tục với mọi x: 2sin 2 a sin 2 2 cos 2 x khi x y x b khi x x khi x π π π π  − ≤ −    = + − < <    ≥   Ví dụ 4: Xét sự liên tục và gián đoạn của các hàm số sau 2 2 4 : 2 ) ( ) 2 0 : 2 : 0 1 ) ( ) 2 :1 2 x x a f x x x x x b f x x x  − ≠  = −   =   ≤ ≤ =  − < ≤  8 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN BÀI 1: ĐẠO HÀM 1. Định nghĩa: •Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng (a,b) và ( , ) o x a b∈ .Nếu tồn tại giới hạn của tỉ số ( ) ( ) o o f x f x x x − − khi o x x→ thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm o x .Kí hiệu 0 ( ) ( ) '( ) lim o o x x o f x f x f x x x → − = − •Nếu ta đặt x o x x∆ = − - gọi là số gia của đối số và ( ) ( ) y o x o f x f x∆ = + ∆ − - gọi là số gia của hàm số thì 0 '( ) lim x y o x f x ∆ → ∆ = ∆ •Đạo hàm trái: 0 ( ) ( ) '( ) lim o o x x o f x f x f x x x − − → − = − ,Đạo hàm phải: 0 ( ) ( ) '( ) lim o o x x o f x f x f x x x + + → − = − Chú ý: hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại o x ⇔ ( )y f x= liên tục tại o x và '( ) '( ) o o f x f x + − ∃ = Ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng định nghĩa ) 3 4 1 ) a y x b y x = + = 2. Đạo hàm của tổng, tích, thương của hai hàm số Nếu các hàm số ( )u x và ( )v x có đạo hàm tại x thì: a) ( ) ( )u x v x+ có đạo hàm tại x và ( )' ' 'u v u v+ = + b) ( ). ( )u x v x có đạo hàm tại x và ( . )' '. '.u v u v v u= + c) ( ) ( ) u x v x có đạo hàm tại x và ' 2 '. '.u u v v u v v −   =  ÷   3. Đạo hàm của hàm số hợp Nếu hàm số ( )y f u= có đạo hàm theo biến u và ( )u g x= có đạo hàm theo x thì hàm hợp ( ( ))f g x có đạo hàm theo biến x và '( ) '( ) '( )y x y u u x= Ví dụ: hàm số sin(cos )y x= .Đặt u = cos x sin( ) '( ) '( ). '( ) os( ).( sinx) sinx. os(cos )y u y x y u u x c u c x⇒ = ⇒ = = − = − 4. Đạo hàm của hàm số ngược Cho hàm số ( )y f x= có đạo hàm theo x, '( ) 0f x ≠ và có hàm ngược là hàm ( )x y ϕ = .Khi đó hàm ( )x y ϕ = có đạo hàm tại ( )y f x= và ta có 1 '( ) '( ) y f x ϕ = Ví dụ: cho hàm số sinxy = có hàm ngược là hàm arcsiny x= và '( ) cosy x x= .Hãy tính đạo hàm của hàm số arcsiny x= 5. Bảng đạo hàm của các hàm số thường gặp 9 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB Đạo hàm của các hàm cơ bản Đạo hàm của hàm hợp tương ứng 1 2 2 2 ' 0( ons ) ( )' . ( 0, ) ( )' ln ( 0, 1) ( )' 1 (log )' ( 0, 1, 0) ln 1 (ln )' ( 0) (sinx)' cos (cos )' sinx 1 (t anx)' ( , ) os 2 1 (cot )' ( , ) sin x 1 (arcsin )' ( 1 1 x x x x a c c c t x x x R a a a a a e e x a a x x a x x x x x x k k Z c x x x k k Z x x x α α α α π π π − = = = > ∈ = > ≠ = = > ≠ > = > = = − = ≠ + ∈ = − ≠ ∈ = < − 2 2 2 ) 1 (arccos )' ( 1) 1 1 (arctanx)'= 1 1 (ar cot )' 1 x x x x c x x = − < − + = − + 1 2 2 2 2 ( )' . . '( ) ( )' .ln . '( ) ( )' '( ). '( ) (log )' ln '( ) (ln )' (sin )' '( ).cos (cos )' '( ).sin '( ) (tan )' os '( ) (cot )' sin '( ) (arcsin )' 1 '( ) (arccos )' 1 (arc u u u u a u u u x a a a u x e u x e u x u u a u x u u u u x u u u x u u x u c u u x u u u x u u u x u u α α α − = = = = = = = − = = − = − = − − 2 2 '( ) tan )' 1 '( ) (ar cot ) ' 1 u x u u u x c u u = + = − + Ví dụ1: Tính đạo hàm của các hàm số sau 2 3 4 2 2 2 1 sin ) (2 5) ) ln( 1) ) ln sin cos ) cos sinx (1 )arctan ) 2 ) x a y x b y x x x c y x x x x d y x x x x x e y f y e = + = + + = + = − + − = = Chú ý( Phương pháp logarit để tính đao hàm) Hai trường hợp sau ta lấy loogarit rồi mới lấy đao hàm hai vế +) ( ) ' ( ) ( ) ln ln ( ln ) ' ' .( ln )' v x f f x u x f v u v u f f v u f = ⇔ = ⇔ = ⇔ = +) f(x) là tích ,thương của nhiều thừa số Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau 10 [...]... x →c Với dạng này ta phải đi tìm các điểm gián đoạn của hàm số f(x) Ví dụ 2: Tính các tích phân sau 2 dx ∫4 x ln x − 2 ∫ 0 4 ∫ 2 dx 1 − x2 x 2 dx 9 − x2 20 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB Chú ý: Nếu các giới hạn bên phải tồn tại thì ta nói các tích phân đó hội tụ ngược lại ta nói chúng phân kỳ b)Sự hội tụ của tích phân suy rộng Phương pháp: Ta sử dụng các tính chất sau đây để xét sự hội... cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB * Chú ý: Ta chỉ sử dụng phương pháp này trong trường miền D có dạng hình tròn hay một phần hình tròn ( Tức là miền D có chứa biểu thức x 2 + y 2 ) Ví dụ: Tính các tích phân sau a ) I = ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy, D :1 ≤x 2 + y 2 ≤ 4 D b) I = ∫∫ 4 − x 2 − y 2 , D : x 2 + y 2 ≤ 1 D  x2 + y 2 ≤ 4 c) I = ∫∫ x 2 + y 2 dxdy, D :   x ≥ 0, y ≥ 0 D 28 Đề cương Toán ứng dụng. .. phân cấp cao: d n y = f ( n ) ( x)dx n 2 Các công thức vi phân Cho các hàm u ( x), v ( x ) là các hàm số khả vi theo x.Khi đó ta có: d (u ± v) = du ± dv d (u.v) = vdu + udv duα = α uα −1du  u  vdu − udv d  ÷= v2 v Chú ý: công thức tính gần đúng giá trị của hàm số tại xo + ∆x là f ( xo + ∆x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 ).∆x 3 Một số ví dụ áp dụng Ví dụ 1: a) Cho y = arctanx, tính dy, d 2 y, d 3 y b) Cho y... f ( x, y ) theo biến nào ta coi biến đó là ẩn ,các biến còn lại coi là hằng số Sau đó áp dụng các công thức và quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến số để tính • Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của các hàm số sau Z = x2 + y 2 Z = ln x 2 + y 2 Z = arctan y x Z = sin x + y 2 b) Vi phân toàn phần • Định nghĩa: 22 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB 2 Cho hàm số Z = f ( x, y ) xác định trên D ⊂ R... ta đặt tùy ý Ví dụ: Tính các tích phân sau 14 Đề cương Toán ứng dụng a ) ∫ x sin xdx Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB b) ∫ e x sin xdx c) ∫ e 2 x cos xdx d ) ∫ ( x 2 − 3)e x dx e) ∫ ( x 2 + 5 x − 1) ln xdx 5 f ) ∫ x arctan xdx Một số tích phân của các hàm số thường gặp và phương pháp giải a) Tích phân của các phân thức hữu tỷ đơn giản • Hàm hữu tỷ đơn giản là các hàm số có một trong các dạng sau A Mx + N Mx... sin ϕ ,dựa vào điều kiện bài toán xác định các cận của r , ϕ , z ( nhưng z = z  với chú ý r > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π ) 29 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB +) Bước 2: Áp dụng công thức sau để tính I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ f [ r cos ϕ , r sin ϕ , z ] rdrdϕ dz V V' Chú ý: ta chỉ dùng phương pháp nay trong trường hợp miền V chứa biểu thức x 2 + y 2 Ví dụ: Tính các tích phân sau 1 ≤ x 2... Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau a ) y = ln x 1+ x b) y = 1− x c) y = x d ) y = 2 x + 2− x n n! , u (0) = u , v (0) = v k !(n − k )! k =0 2 x Ví dụ 4: Cho hàm số y = ( x + 2 x − 3)e Hãy tính y (3) , y (6) , y (10) (n) k ( n−k ) ( k ) k v , Cn = • Công thức leibniz (u.v) = ∑ Cn u 11 Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB BÀI 2 VI PHÂN 1 Định nghĩa ∆y ,trong ∆x →0 ∆x a )Cho hàm số y = f ( x)... số sau Z = x 3 + 3 xy + y 3 y Z = sin x 2 2 Z = 2x y+ y x 4 Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân cấp cao a) Đạo hàm riêng cấp cao • Định nghĩa: Cho hàm số Z = f ( x, y ) xác định trên miền D ⊂ R 2 và có đạo hàm riêng cấp ' ' ' ' 1 là Z x và Z y Nếu các đạo hàm riêng Z x và Z y có các đạo hàm riêng theo biến x và y thì ta gọi các đạo hàm riêng đó là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số Z = f ( x, y ) ∂Z '' '... Bước 1: Đặt  y = r sin ϕ sin θ ⇒ J = r sin θ Dựa vào các điều kiện bài toán xác định  z = r cos θ  các cận của r , ϕ , θ ( nhưng với chú ý r > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π ) +) Bước 2: Áp dụng công thức sau để tính I = ∫∫∫ f ( x, y , z )dxdydz = ∫∫∫ f [ r cos ϕ sin θ , r sin ϕ sin θ , r cos θ ] J drdϕ dθ V V' Chú ý: Ta chỉ sử dụng công thức này trong trường hợp miền V có dạng mặt cầu hoặc một phần của... Tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số sau 1 a ) y = x 2 (2 ln x − 3) 4 1 2 b) y = − x sin 3 x − cos 3x 9 27 c) y = x ln( x + x 2 + 4) − x 2 + 4 Ví dụ 2: a ) chứng minh rằng y = sin ln x + cos ln x thỏa mãn đẳng thức sau x 2 y ''+ xy '+ y = 0 b) Chứng minh rằng y = e x + 2e 2 x thỏa mãn y '''− 6 y ''+ 11 y '− 6 y = 0 x −3 c ) Chứng minh y = thỏa mãn 2 y '2 = ( y − 1) y '' x+4 1 1 d ) Chứng minh y = e x + e . Đề cương Toán ứng dụng Vũ Văn Hải – Khoa: KHCB MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN ÔN TẬP 1. Tập hợp và các phép toán trên tập hợp a) Tập hợp: Là một khái niệm cơ bản của toán học,được kí hiệu bằng các chữ. là tập hợp các giá trị của x sao cho ( )g x thuộc miền xác định của x * Một số bài toán liên quan Bài toán 1: Tìm ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( ))f f x g g x f g x g f x biết các hàm số. các chữ cái in hoa:A,B,C….: Tập các số tự nhiên N, tập hợp các số nguyên Z,tập hợp các số hữu tỉ Q,tập các số thực R. Được mô tả theo 2 cách: +)Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp: Ví dụ: {