131 BAI GIANG TOAN UNG DUNG THUC TIEN

BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN BÀI TỐN ỨNG DỤNG – THẦY TRẦN TÀI Nhóm 1: Bài tốn qng đường Câu Một cơng ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách bờ biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ biển cho BB’ vng góc với bờ biển Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền Khi C cách A đoạn bằng: A 6.5km B 6km C 0km D.9km Hướng dẫn giải Đặt x = B ' C ( km) , x ∈ [0;9] BC = x + 36; AC = − x Chi phí xây dựng đường ống C ( x ) = 130.000 x + 36 + 50.000(9 − x ) (USD )  13x  C '( x ) = 10000  − 5÷  x + 36  Hàm C ( x ) , xác định, liên tục [0;9] C '( x ) = ⇔ 13 x = x + 36 ⇔ 169 x = 25( x + 36) ⇔ x = 25 ⇔x= 5 C  ÷ = 1.170.000 C (0) = 1.230.000 ;   ; C (9) ≈ 1.406.165 Vậy chi phí thấp x = 2,5 Vậy C cần cách A khoảng 6,5km Câu Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB = 5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đò từ A đến M bờ biểnvới vận tốc 4km / h đến C với vận tốc 6km / h Vị trí điểm M cách B khoảng để người đến kho nhanh nhất? A km Y B km C km 14 + 5 km 12 D BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Hướng dẫn giải Đặt BM = x( km) Þ MC = - x( km) ,(0 < x < 7) Ta có: Thời gian chèo đò từ A đến M là: Thời gian đi đến C là: Thời gian từ A đến kho Khi đó: t′ = x x + 25 − t= tMC = x + 25 (h) 7−x ( h) x + 25 − x + 6 , cho t ′ = ⇔ x = Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian Câu t AM = đến kho nhanh x = 5( km) Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Cơn Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn từ C đến B 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước chi phí 5000 USD, chi phí cho km dây điện bờ 3000 USD Hỏi điểm G cách A để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí A: 40km B: 45km C: 55km Hướng dẫn giải Gọi BG = x (0 < x < 100) ⇒ AG = 100 − x Ta có GC = BC + GC = x + 3600 Chi phí mắc dây điện: Khảo sát hàm ta được: Y f (x) = 3000.(100 − x) + 5000 x + 3600 x = 45 Chọn B D: 60km BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Một ảnh chữ nhật cao 1,4 mét đặt độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho C · 1,4 BOC góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí ? ( gọi góc nhìn) B AO = 2,4m A C B AO = 2,6m D AO = 2m 1,8 AO = 3m A O Hướng dẫn giải Với tốn ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tanBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) = = AC AB − OA OA AC AB 1+ OA2 = 1,4 x 3,2.1,8 1+ x2 tan AOC − tan AOB + tan AOC tan AOB 1,4 x x + 5,76 = 1,4 x x + 5,76 Xét hàm số f(x) = Bài tốn trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có f'(x) = −1,4 x + 1,4.5,76 (x + 5,76)2 Ta có bảng biến thiên ⇔ ± , f'(x) = x x = 2,40 2,4 + f'(x) _ ∞ 84 193 f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Câu Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn D nhất? Hướng dẫn giải A Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = l− = h h tanα + sinα v1 v2 AC CD + v1 v2 = cosα = v2 v1 = B h E  Ứng dụng Đạo hàm ta cosα = Vậy để t nhỏ ta chọn C cho B C v2 v1 t (α ) lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy nhỏ B1 A Hai tàu vĩ tuyến cách hải Câu E D l − h.cot α h − v1 v2 sinα l − h.cot α h − v1 v2 sinα h  A t (α ) = Xét hàm số = AE − CE CD + v1 v2 α C B d A1 hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? Hướng dẫn giải Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 A d 85t2 − 70 + 25 Suy d = d(t) = Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ t= 17 ≈ (giờ), ta có d 3,25 Hải lý Nhóm 2: Bài tốn diện tích hình phẳng Y B1 A1 B BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Câu Cho hình chữ nhật có diện tích 100(cm2 ) nhiêu để chu vi nhỏ nhất? 10cm × 10cm 20cm × 5cm A B C Hỏi kích thước bao 25cm × 4cm D Đáp án khác Hướng dẫn giải x(cm) y(cm) (x , y > 0) Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật là: P = 2(x + y) = x + 2y Chu vi hình chữ nhật là: 100 200 P = 2(x + y ) = x + y= xy = 100 x >0 x x Theo đề thì: hay Do đó: với P '(x) = − Đạo hàm: 200 x − 200 = x2 x2 y ' = ⇔ x = 10 Cho Pmin = 40 x = 10 ⇒ y = 10 Lập bảng biến thiên ta được: 10 × 10 Kết luận: Kích thước hình chữ nhật (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cơ-Sy: Câu P = 2( x + y) ≥ 2.2 xy = 100 = 40 Một lão nơng chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? 200m × 200m 300m × 100m 250m × 150m A B C D.Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x( m) y( m) ( x , y > 0) Diện tích miếng đất: S = xy Theo đề thì: 2( x + y) = 800 hay y = 400 - x Do đó: S = x(400 - x) =- x + 400 x với x > Đạo hàm: S '( x) =- x + 400 Cho y ' = Û x = 200 Lập bảng biến thiên ta được: Smax = 40000 x = 200 Þ y = 200 Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200 ´ 200 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cơ-Sy Câu Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước 180 mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN hàng rào rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật rào có diện tích lớn bao nhiêu? Smax = 3600m2 A B Smax = 4000m2 C Smax = 8100m2 D Smax = 4050m2 Hướng dẫn giải y Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu, theo ta có x + y = 180 Diện tích miếng đất S = y(180 - y ) 1 (2 y + 180 - y )2 180 y(180 - y) = ×2 y(180 - y ) £ × = = 4050 2 Ta có: Dấu '' = '' xảy Û y = 180 - y Û y = 45m Vậy Smax = 4050 m x = 90m , y = 45m Câu Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, l y x độ dài đường biên giới l hạn tiết diện này, - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, l nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) x = 4S ,y = A x = 2S , y = C S x = 4S , y = S x = 2S , y = S B S D Hướng dẫn giải Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy; l = 2y + x = Y Xét hàm số 2S l ( x) = x + x ⇔ x − 2S = ⇔ x = S ' l (x) 2S +x x =0 , y = ' Ta có S x = S l ( x) = −2S x2 +1= x − 2S x2 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước x = 2S mương Câu 10 S ,y= mương có dạng thuỷ động học Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình a(m) a chữ nhật, có chu vi ( chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? 2a a 4+π 4+π A chiều rộng , chiều cao B chiều rộng C chiều rộng a 4+π , chiều cao a(4 + π ) S1 S2 2x 2a +π , chiều cao 2a(4 + π ) D Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt a −π x cạnh hình chữ nhật Diện tích cửa sổ là: S = S1 + S2 = π x2 a −π x −2x π π a + 2x = ax − ( + 2) x = ( + 2) x( − x) π 2 2 +2 x= Dễ thấy S lớn a π +2 −x x= hay a 4+π πx , tổng ba (Có thể dùng đạo hàm đỉnh Parabol) Vậy để Y S max kích thước là: chiều cao a 4+π ; chiều rộng 2a +π BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Câu 11 cho diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải A nào? a a x= ;y= x= C a Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước x= B a 2a ;y = a a ;y = 3 y x α x D Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình quạt, a = 2x + y y độ dài cung tròn Ta có chu vi cánh diều Ta cần x tìm mối liên hệ độ dài cung tròn y bán kính cho diện tích quạt lớn Dựa vào cơng thức tính diện tích hình quạt S= tích hình quạt là: S= lR Dễ thấy độ dài cung tròn 2π Rα 360 , ta có diện ⇔ 2x = a − 2x ⇔ x = cực đại l = Vận dụng tốn diện tích cánh diều là: xy x(a − x) = = x(a − 2x) 2 S π R2 α S= 360 a a ⇒y= Như với chu vi cho trước, diện tích hình quạt cực đại bán kính nửa độ dài cung tròn Câu 12 Có gỗ hình vng cạnh 200 cm Cắt gỗ có hình tam giác vng, có tổng cạnh góc vng cạnh huyền số 120cm từ gỗ cho gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn Hỏi cạnh huyền gỗ bao nhiêu? A 40cm B 40 3cm C 80cm D 40 2cm Hướng dẫn giải Kí hiệu cạnh góc vng AB = x,0 < x < 60 2 Khi cạnh huyền BC = 120 − x , cạnh góc vng AC = BC − AB = 120 − 240 x Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN Diện tích tam giác ABC là: khoảng Ta có S ( x) = x 1202 − 240 x Ta tìm giá trị lớn hàm số ( 0;60 ) S,( x ) = 1 −240 14400 − 360 x 1202 − 240 x + x = ⇒ S ' ( x ) = ⇔ x = 40 2 2 120 − 240 x 1202 − 240 x Lập bảng biến thiên ta có: x 40 60 S' ( x ) +0− S ( 40 ) S ( x) Tam giác ABC có diện tích lớn BC = 80 Từ chọn đáp án C Câu 13 A Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính 10cm, biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường kính đường tròn 80cm2 B 100cm C 160cm D 200cm Hướng dẫn giải Gọi x(cm) độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường tròn ( < x