131 bài toán ứng dụng thực tiễn có lời giải chi tiết trần văn tài

BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 BÀI TỐN ỨNG DỤNG – THẦY TRẦN TÀI Nhóm 1: Bài tốn qng đường Câu Một cơng ty muốn làm đường ống dẫn từ điểm A bờ đến điểm B đảo Hòn đảo cách đảo bờ biển 6km Giá để xây đường ống bờ 50.000USD km, 130.000USD km để xây nước B’ điểm bờ biển cho BB’ vng góc với bờ biển B biển 6km Khoảng cách từ A đến B’ 9km Vị trí C đoạn AB’ cho nối ống theo ACB số tiền Khi C cách B' A đoạn bằng: A 6.5km B 6km C 0km bờ biển 9km D.9km Hướng dẫn giải Đặt x  B ' C (km) , x  [0;9] BC  x  36; AC   x Chi phí xây dựng đường ống C ( x)  130.000 x  36  50.000(9  x) (USD)  13x   5 Hàm C ( x ) , xác định, liên tục [0;9] C '( x )  10000   x  36  C '( x)   13x  x  36  169 x  25( x  36)  x  25 x 5 C(0)  1.230.000 ; C    1.170.000 ; C(9)  1.406.165 2 Vậy chi phí thấp x  2,5 Vậy C cần cách A khoảng 6,5km Câu Một hải đăng đặt vị trí A có khoảng cách đến bờ biển AB  5km Trên bờ biển có kho vị trí C cách B khoảng 7km Người canh hải đăng chèo đò từ A đến M bờ biểnvới vận tốc 4km / h đến C với vận tốc 6km / h Vị trí điểm M cách B khoảng để người đến kho nhanh nhất? A km B km C km D 14  5 km 12 FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y A BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Hướng dẫn giải Đặt BM x( km) MC x( km) ,(0 7) x Ta có: Thời gian chèo đò từ A đến M là: t AM  Thời gian đi đến C là: tMC  Thời gian từ A đến kho t  Khi đó: t   x  25 (h) 7x ( h) x  25  x  x  , cho t    x  x  25 Lập bảng biến thiên, ta thấy thời gian đến kho nhanh x Câu 5( km) Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) đất liền Cơn Đảo (điểm C) biết khoảng cách ngắn từ C đến B 60km, khoảng cách từ A đến B 100km, km dây điện nước chi phí 5000 USD, chi phí cho km dây điện bờ 3000 USD Hỏi điểm G cách A để mắc dây điện từ A đến G từ G đến C chi phí A: 40km B: 45km C: 55km D: 60km C Hướng dẫn giải Gọi BG  x(0  x  100)  AG  100  x Ta có GC  BC  GC  x2  3600 B A G Chi phí mắc dây điện: f (x)  3000.(100  x)  5000 x  3600 Khảo sát hàm ta được: x  45 Chọn B Một ảnh chữ nhật cao 1,4 mét đặt độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép hình) Để nhìn rõ phải xác định vị C trí đứng cho góc nhìn lớn Hãy xác định vị trí ? ( BOC gọi góc 1,4 nhìn) B A AO  2,4m B AO  2m C AO  2,6m D AO  3m 1,8 FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 A O H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Hướng dẫn giải Với tốn ta cần xác định OA để góc BOC lớn Điều xảy tanBOC lớn Đặt OA = x (m) với x > 0, tan AOC  tan AOB ta có tanBOC = tan(AOC - AOB) =  tan AOC tan AOB AC AB 1,4  1,4 x x = OA OA = = AC AB 3,2.1,8 x  5,76 1 1 2 OA x Xét hàm số f(x) = 1,4 x x  5,76 Bài tốn trở thành tìm x > để f(x) đạt giá trị lớn Ta có 1,4 x  1,4.5,76 f'(x) = , f'(x) =  x =  2,4 (x  5,76)2 Ta có bảng biến thiên x 2,4 + f'(x) + _ f(x) 0 Vậy vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Câu Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định D trạm trung chuyển hàng hóa C xây dựng đường từ C đến D Biết vận tốc đường h A C B E sắt v1 đường v2 (v1 < v2) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? Hướng dẫn giải Gọi t thời gian vận chuyển hàng hóa từ cảng A đến cảng D Thời gian t là: t = h h  tan  sin = v1 v2 AC CD AE  CE CD   = = v1 v2 v1 v2 =  h.cot h  v1 v2 sin D A C B FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 h E H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Xét hàm số cos  Câu t ( )   h.cot h Ứng dụng Đạo hàm ta t ( ) nhỏ  v1 v2 sin v2 v Vậy để t nhỏ ta chọn C cho cos  v1 v1 Hai tàu vĩ tuyến cách hải A lý Đồng thời hai tàu khởi hành, chạy hướng Nam với hải lý/giờ, tàu chạy vị trí B1  B  B1  B  d A1 tàu thứ với vận tốc hải lý/ Hãy xác định mà thời điểm mà khoảng cách hai tàu lớn nhất? Hướng dẫn giải Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách hai tàu d Ta có d2 = AB12 + AA12 = (5 - BB1)2 + AA12 = (5 - 7.t)2 + (6t)2 Suy d = d(t) = A  d 85t  70t  25 A1 Áp dụng Đạo hàm ta d nhỏ t  (giờ), ta có d  3,25 Hải lý 17 Nhóm 2: Bài tốn diện tích hình phẳng Câu Cho hình chữ nhật có diện tích 100(cm2 ) Hỏi kích thước để chu vi nhỏ nhất? A 10cm  10cm B 20cm  5cm C 25cm  4cm D Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng hình chữ nhật là: x(cm) y(cm) (x , y  0) Chu vi hình chữ nhật là: P  2(x  y)  2x  2y 100 200 Do đó: P  2(x  y)  2x  với x  x x 200 x  200 Đạo hàm: P '(x)    Cho y '   x  10 x x2 Lập bảng biến thiên ta được: Pmin  40 x  10  y  10 Theo đề thì: xy  100 hay y  Kết luận: Kích thước hình chữ nhật 10  10 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cơ-Sy: P  2(x  y)  2.2 xy  100  40 FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Câu Một lão nơng chia đất cho trai để người canh tác riêng, biết người chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi 800(m) Hỏi chọn kích thước để diện tích canh tác lớn nhất? A 200m 200 m B 300m  100m C 250m  150m D.Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi chiều dài chiều rộng miếng đất là: x(m) y(m) ( x, y 0) Diện tích miếng đất: S xy Theo đề thì: 2( x y) 800 hay y Đạo hàm: S '( x) 2x 400 400 Cho y ' Lập bảng biến thiên ta được: Smax x Do đó: S x x(400 x) x2 400x với x 200 40000 x 200 y 200 Kết luận: Kích thước miếng đất hình chữ nhật 200 200 (là hình vng) Lưu ý: Có thể đánh giá BĐT Cơ-Sy Câu Người ta muốn rào quanh khu đất với số vật liệu cho trước 180 mét thẳng hàng rào Ở người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào rào thành mảnh đất hình chữ nhật Hỏi mảnh đất hình chữ nhật rào có diện tích lớn bao nhiêu? B Smax  4000m2 A Smax  3600m2 C Smax  8100m2 D Smax  4050m2 Hướng dẫn giải Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài cạnh vng góc với bờ giậu, theo ta có x Ta có: y(180 y) Dấu '' '' xảy Vậy Smax Câu 180 Diện tích miếng đất S 2y y(180 y) 2y 180 4050m2 x 2y y 90m, y (2 y 180 y)2 1802 y(180 y) 4050 45m 45m Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương y dẫn nước dạng "Thuỷ động học" (Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S, độ dài đường biên giới x hạn tiết diện này, - đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) A x  S , y  S B x  S , y  S FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 C x  2S , y  S D x  2S , y  S Hướng dẫn giải Gọi x, y chiều rộng, chiều cao mương Theo ta có: S = xy;  2y  x  ' x  2S 2S 2S 2S  x Xét hàm số (x)   x Ta có ' (x) = + = x2 x x x (x) =  x  2S   x  2S , y = S = x S Dễ thấy với x, y mương có dạng thuỷ động học, kích thước mương x  2S , y = S mương có dạng thuỷ động học Câu 10 Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a(m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu S1 vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? 2a a A chiều rộng , chiều cao 4 4 B chiều rộng S2 2x a 2a , chiều cao 4 4 C chiều rộng a(4   ) , chiều cao 2a(4   ) D Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , tổng ba cạnh hình chữ nhật a   x Diện tích cửa sổ là: S  S1  S2   x2  2x a  x  2x   a  ax  (  2)x  (  2)x(  x)  2 2 Dễ thấy S lớn x   a 2  x hay x  a (Có thể dùng đạo hàm đỉnh 4 Parabol) Vậy để S max kích thước là: chiều cao a 2a ; chiều rộng 4 4 FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Câu 11 Người ta muốn làm cánh diều hình quạt cho với chu vi cho trước a cho diện tích hình quạt cực đại Dạng quạt phải nào? a a a a A x  ; y  B x  ; y  3 C x  a 2a ;y  D Đáp án khác y x x Hướng dẫn giải Gọi x bán kính hình quạt, y độ dài cung tròn Ta có chu vi cánh diều a  2x  y Ta cần tìm mối liên hệ độ dài cung tròn y bán kính x cho diện tích quạt lớn Dựa vào cơng thức tính diện tích hình quạt S  tích hình quạt là: S  S  R2  360 độ dài cung tròn  2 R , ta có diện 360 R Vận dụng tốn diện tích cánh diều là: xy x(a  2x)   2x(a  2x) 2 a a  y  Như với chu vi cho trước, diện tích hình quạt cực đại bán kính nửa độ dài cung tròn Dễ thấy S cực đại  2x  a  2x  x  Câu 12 Có gỗ hình vng cạnh 200 cm Cắt gỗ có hình tam giác vng, có tổng cạnh góc vng cạnh huyền số 120cm từ gỗ cho gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn Hỏi cạnh huyền gỗ bao nhiêu? A 40cm B 40 3cm C 80cm D 40 2cm Hướng dẫn giải Kí hiệu cạnh góc vng AB  x,0  x  60 Khi cạnh huyền BC  120  x , cạnh góc vng AC  BC  AB  1202  240 x Diện tích tam giác ABC là: S  x   x 1202  240 x Ta tìm giá trị lớn hàm số khoảng  0;60  Ta có S ,  x   1 240 14400  360 x 1202  240 x  x   S '  x    x  40 2 2 120  240 x 1202  240 x Lập bảng biến thiên ta có: x 40 60 FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 S'  x  0 S  40  S  x Tam giác ABC có diện tích lớn BC  80 Từ chọn đáp án C Câu 13 Tìm diện tích lớn hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn bán kính 10cm , biết cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường kính đường tròn A 80cm B 100cm C 160cm 2 D 200cm Hướng dẫn giải Gọi x (cm) độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường tròn 10 x Khi độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc đường tròn là: 102 x 102 Diện tích hình chữ nhật: S 102 Ta có S S x x S 8x x2 10 2 10 2 S 10 2 2x 10 x x2 2.102 x cm 4x thỏa không thỏa 40 Suy x 10 điểm cực đại hàm S x Vậy diện tích lớn hình chữ nhật là: S 10 10 102 100 cm Câu 14 Một máy tính lập trình để vẽ chuỗi hình chữ nhật góc phần tư thứ trục tọa độ Oxy , nội tiếp đường cong y=e x Hỏi diện tích lớn hình chữ nhật vẽ cách lập trình FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 A 0,3679 ( đvdt) B 0,3976 (đvdt) C 0,1353( đvdt) D 0,5313( đvdt) Hướng dẫn giải Diện tích hình chữ nhật điểm x S = xe-x S '( x)  e x (1  x) S '( x)   x  Dựa vào bảng biến thiên ta có Smax = e1 0,3679 x=1 Đáp án A Câu 15 Cho nhơm hình vng cạnh cm Người ta muốn cắt hình thang hình vẽ Tìm tổng x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ A cm E B x cm 3cm H F D A G C y cm B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có S EFGH nhỏ  S  S AEH  SCGF  S DGH lớn Tính 2S  x  y  (6  x)(6  y)  xy x  3y 36 (1) Mặt khác AEH đồng dạng CGF nên Từ (1) (2) suy 2S  42  (4 x  Biểu thức x  AE AH   xy  (2) CG CF 18 18 ) Ta có 2S lớn x  nhỏ x x 18 18  y  2 Vậy đáp án cần chọn C nhỏ  x   x  x x Nhóm 3: Bài tốn liên hệ diện tích, thể tích FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Câu 16 (ĐMH)Có nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x(cm) gấp nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hình hộp nhận tích lớn A x  C x  B x  D x  Hướng dẫn giải Độ dài cạnh đáy hộp: 12  2x Diện tích đáy hộp: (12  2x)2 Thể tích hộp là: V  (12  2x)2 x  x  48x  144 x với x (0;6) Ta có: V '(x)  12x  96x  144 x Cho V '(x)  , giải chọn nghiệm x  Lập bảng biến thiên ta Vmax  128 x  Câu 17 Một Bác nơng dân cần xây dựng hố ga khơng có nắp dạng hình hộp chữ nhật tích 3200cm3 , tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy Hãy xác định diện tích đáy hố ga để xây tiết kiệm ngun vật liệu nhất? A 1200cm2 C 1600cm2 B 160cm2 D 120cm2 Hướng dẫn giải Gọi x, y (x, y 0) chiều rộng, chiều dài đáy hố ga Gọi h chiều cao hố ga ( h ) Ta có suy thể tích hố ga : V xyh Diện S tích 2xh 2yh tồn xy Khảo sát hàm số y 4x 6400 x f (x ), x h x 3200 phần 1600 x 4x h y 2x 3200 xh 1600 x2 8000 x hố ga là: f (x ) suy diện tích tồn phần hố ga nhỏ 1200cm x 10 cm y 16cm Suy diện tích đáy hố ga 10.16 160cm2 Câu 18 Người ta phải cưa thân hình trụ có đường kính 1m , chiều dài 8m để xà hình khối chữ nhật hình vẽ Hỏi thể tích cực đại khối gỗ sau cưa xong bao nhiêu? FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 10 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Đáp án A Đè n r h I N  a M Câu 101.Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất ban đầu 5%/ năm lãi hàng tháng nhập vào vốn Cứ sau năm, lãi suất giảm 0,2% Hỏi sau năm, tổng số tiền người nhận gần với số sau đây? A 119,5 triệu đồng B 132,5 triệu đồng C 132 triệu đồng D 119 triệu đồng Giải: Gọi số tiền ban đầu A Sau năm đầu, người nhận số tiền A 1,052 Sau năm tiếp theo, người nhận số tiền A 1,052  1,0482 Sau năm tiếp theo, người nhận số tiền A 1,052  1,0482  1,0462  132,484 triệu Vậy, chọn đáp án B Câu 102.Một sinh viên trường làm lĩnh lương khởi điểm triệu/ tháng Cứ sau năm, lương tăng thêm 10% Biết rằng, tiền sinh hoạt phí hàng tháng 2,5 triệu đồng Hỏi sau năm, sinh viên tiết kiệm số tiền gần với số sau đây? A 105 triệu đồng B 106 triệu đồng C 102 triệu đồng D 103 triệu đồng Giải: Tỏng số lương lĩnh sau năm làm việc  12  48 triệu đồng Tổng số lương lĩnh sau năm làm việc 48  12   1,1  100,8 triệu đồng Tổng số lương lĩnh sau năm làm việc 100,8  12   1,12  158,88 triệu đồng Tổng số lương lĩnh sau năm làm việc 155,88  12   1,13  222,768 triệu đồng Tiền sinh hoạt phí năm 2,5   12  120 triệu đồng Vậy, số tiền tiết kiệm sau năm 222,768  120  102,768 triệu đồng ( Thực phép tính  12  1  1,1  1,12  1,13   2,5   12 ) Chọn đáp án D Câu 103.Lãi suất ngân hàng 6% / năm 1,4% / q Ơng A gửi 100 triệu với lãi suất tính theo năm, ơng B gửi 100 triệu với lãi suất tính theo q Hỏi sau năm, số tiền nhận ơng A ơng B gần với số sau biết FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 60 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 khoảng thời gian đó, lãi suất khơng thay đổi, người gửi khơng rút lãi tiền lãi sau kỳ nhập vào vốn ban đầu? A 596 ngàn đồng B 595 ngàn đồng C 600 ngàn đồng D 590 ngàn đồng Giải: năm = q Sau năm, số tiền ơng A nhận 100  1,062 triệu đồng Sau năm, số tiền ơng B nhận 100  1,0148 triệu đồng Vậy, sau năm số tiền ơng A nhận ơng B 100  1,06  100  1,0148   1000  595,562 nghìn đồng Vậy, chọn đáp án A GV: THÂN MINH ĐỨC Câu 104.Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn cơng thức: t  T m  t   m0   , m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t 2 = 0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng bao nhiêu? A m  t   100.e  t ln2 5730 m  t   100.e  100t 5730 1 B m  t   100   2 5730 1 C m  t   100   2  100 t 5730 D Hướng dẫn giải Theo cơng thức m t   m0e  kt ta có: m  5730   ln2  t 100 ln2  50  100.e  k.5730  k  suy m  t   100e 5730 5730 Đáp án: A Câu 105.Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn cơng thức: t  T m  t   m0   , m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t 2 = 0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Người ta tìm mẫu đồ cổ lượng Cabon xác định khoảng 25% lượng Cabon ban đầu Hỏi mẫu đồ cổ có tuổi bao nhiêu? A 2378 năm B 2300 năm C 2387 năm D 2400 năm Hướng dẫn giải FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 61 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Giả sử khối lượng ban đầu mẫu đồ cổ chứa Cabon m0 , thời điểm t tính từ thời điểm ban đầu ta có: m  t   m0 e  ln2 t 5730 ln2  t 3m0   m0e 5730  t  3 5730ln      2378 (năm)  ln2 Đáp án: A Câu 106.Một nghiên cứu cho thấy nhóm học sinh cho xem danh sách lồi động vật kiểm tra lại xem họ nhớ % tháng Sau t tháng, khả nhớ trung bình nhóm học sinh cho cơng thức M t   75  20lnt  1 ,t  (đơn vị %) Hỏi sau khoảng nhóm học sinh nhớ danh sách 10%? A 24.79 tháng B 23 tháng C 24 tháng D 22 tháng Hướng dẫn giải Theo cơng thức tính tỉ lệ % cần tìm t thỏa mãn: 75  20ln1  t   10  lnt  1  3.25  t  24.79 Đáp án: A Câu 107.Một cơng ty vừa tung thị trường sản phẩm họ tổ chức quảng cáo truyền hình ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, sau x quảng cáo 100 , x  Hãy tính phát số % người xem mua sản phẩm P(x)   49e 0.015 x số quảng cáo phát tối thiểu để số người mua đạt 75% A 333 B 343 C 330 D 323 Hướng dẫn giải Khi có 100 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P 100    9.3799%  49e 1.5 Khi có 200 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P  200    29.0734%  49e 3 Khi có 500 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P  500    97.3614%  49e 7.5 Đáp án: A Câu 108.Ơng Năm gửi 320 triệu đồng hai ngân hàng X Y theo phương thức lãi kép Số tiền thứ gửi ngân hàng X với lãi suất 2,1 q thời gian 15 tháng Số tiền lại gửi ngân hàng Y với lãi suất 0,73 tháng thời gian tháng Tổng lợi tức đạt hai ngân hàng 27507768,13 (chưa làm tròn) Hỏi số tiền ơng Năm gửi ngân hàng X Y bao nhiêu? A 140 triệu 180 triệu C 200 triệu 120 triệu B 180 triệu 140 triệu D 120 triệu 200 triệu FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 62 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Hướng dẫn giải Tổng số tiền vốn lãi (lãi lợi tức) ơng Năm nhận từ hai ngân hàng 347,50776813 triệu đồng Gọi x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng X, 320  x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng Y Theo giả thiết ta có: x(1  0,021)  (320  x)(1  0,0073)  347,50776813 Ta x  140 Vậy ơng Năm gửi 140 triệu ngân hàng X 180 triệu ngân hàng Y Đáp án: A Giả thiết dùng chung cho câu 109, 110, 111 Mức lạm phát VN 12% / năm, nghĩa giá sản phẩm tăng lên 12% sau năm Một ngơi nhà TPHCM có giá 1.000.000.000 (1 tỉ) đồng vào năm 2016 Một người trường làm với lương khởi điểm 4.000.000 (4 triệu đồng) tháng Giả sử sau năm tăng thêm 10% chi tiêu hàng tháng người 50% lương Câu 109.Hỏi sau làm 21 năm người tiết kiệm tiền? A 683.076.312 B 823.383.943 C 504.000.000 D 982.153.418 Hướng dẫn giải Gọi A0 số tiền tiết kiệm năm đầu Ta có: A0  2.000.000  36  72.000.000 Gọi Ai số tiền tiết kiệm sau năm thứ i Ta có: Ai  A0 1  R  i 1 với R  0.1 Tổng số tiền tiết kiệm sau 21 năm là: S  A0  A1   A6 1  R    A0 1  R    683.076.312 Câu 110.Hỏi sau năm làm người tiết kiệm 1.000.000.000 ? A 28 B 27 C 26 D 25 Hướng dẫn giải Gọi A0 số tiền tiết kiệm năm đầu Ta có: A0  2.000.000  36  72.000.000 Gọi Ai số tiền tiết kiệm sau năm thứ i Ta có: Ai  A0 1  R  i 1 với R  0.1 Tổng số tiền tiết kiệm sau 3i năm là: FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 63 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 S  A0  A1   Ai 1 1  R    A0 1  R   i  R 1  A i R Ta có: S  1.000.000.000  i  9,14 Vậy sau 28 năm làm người tiết kiệm 1.000.000.000 Câu 111.Nếu muốn mua nhà sau 21 năm làm lương khởi điểm phải bao nhiệu? Biết mức lạm phát mức tăng lương khơng đổi A 6.472.721 B 12.945.443 C 17.545.090 D 8.772.545 Hướng dẫn giải Gọi G0 giá nhà ban đầu Ta có: G0  1.000.000.000 Gọi A0 số tiền tiết kiệm năm đầu Gọi Ai số tiền tiết kiệm sau năm thứ i Ta có: Ai  A0 1  R  i 1 với R  0.1 Tổng số tiền tiết kiệm sau 21 năm là: S  A0  A1   A6 1  R    A0 1  R    R 1  A R Giá nhà sau 21 năm là: G  G0 1  r  với r  0.12 Ta có: S G G0 1  r  R  A0  1  R  1  A0  233.017.978 Suy lương khởi điểm là: A0  12.945.443 36  0.5 GV: TRẦN ANH TUẤN Câu 112.Ơng An gửi 100 triệu vào tiết kiệm thời gian lâu mà khơng rút với lãi suất ổn định chục năm qua 10%/ năm Tết năm ơng kẹt tiền nên rút hết để gia đình đón Tết Sau rút vốn lẫn lãi, ơng trích gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết nhà ơng 250 triệu.Hỏi ơng gửi tiết kiệm lâu? FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 64 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 A 10 C 17 B 15 D 20 Hướng dẫn giải Gọi n số năm ơng An gửi tiền Khi đó, số tiền ơng rút là: 100 1  0,1  100.1,1n n triệu Theo giả thiết ta có: 250  100.1,1n  260 hay log1,1 2,5  n  log1,1 2,6 nên n = 10 Đáp án: A Câu 113.Một tơ chạy với tốc độ 36 km/h hãm pham, chuyển động chậm dần với phương trình vận tốc v  10  0,5t  m / s Hỏi tơ chuyển động qng đường dừng lại? A 100 m B 200 m C 300 m D 400 m Hướng dẫn giải Ta có: vo  36km / h  10m / s ứng với to  v1  10  0,5t1  nên t1  20 Do đó: qng đường s   20 10  0,5t  dt  100  m Đáp án: A Câu 114.Cường độ trận động đất M(richer) cho cơng thức M  log A  log A0 với A biên độ rung chấn tối đa, A0 biên độ chuẩn Đầu kỉ 20, trận động đất San Francisco có cường độ 8,3 độ Richer Trong năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp lần Cường độ trận động đât Nam mỹ là: A 8,9 B 33,2 C 2,075 D 11 Hướng dẫn giải Theo cơng thức tính M  log A  log A0  log Ta có: MF  log A Ao AF A 4A 4A  ANM  AF nên MNM  log NM  log F  log4  log F Ao Ao Ao Ao 8,9 Đáp án: A GV: TRẦN DUY PH NG Câu 115.Một thiếc hình chữ nhật dài 45 cm, rộng 24 cm làm thành hộp khơng nắp cách cắt bốn hình vng từ góc gấp mép lên Hỏi hình vng cắt có cạnh để hộp nhận tích lớn nhất? A x  18 B x  C x  12 D Đáp án khác FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 65 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Hướng dẫn Gọi x cm   x  12 cạnh hình vng bị cắt rời Khi đó, chiều cao hộp x , chiều dài 45  2x , chiều rộng 24  2x Thể tích V  x   x  45  2x 24  2x   x  138 x  1080 x Suy V '  x   12x  276 x  1080 Cho V '  x   , suy giá trị x cần tìm x  V ''  x   24 x  276  V ''  5  156  Do x  điểm cực đại Câu 116.Một sợi dây có chiều dài 28 m cắt thành hai đoạn để làm thành hình vng hình tròn Tính chiều dài đoạn dây làm thành hình vng cắt cho tổng diện hình vng hình tròn tối thiểu? 196 112 28 A 14 B C D    Hướng dẫn Gọi l   l  28  chiều dài đoạn dây làm thành hình vng Khi đoạn dây làm thành hình tròn có chiều dài 28  l l Cạnh hình vng , bán kính hình tròn 28  l  2 1 l2  28  l  , suy S '  l    28  l  16 4 2 112 28 Cho S '  l   , ta l  , suy chiều dài đoạn dây lại    112  Kiểm tra lại đạo hàm cấp 2, S ''  0  4  196 112 Vậy S đạt giá trị nhỏ x    Câu 117.Một viên đá bắn thẳng đứng lên với vận tốc ban đầu 40 m/s từ Tổng diện tích S  l   điểm cao m cách mặt đất Vận tốc viên đá sau t giây cho cơng thức v t   40  10t m/s Tính độ cao lớn viên đá lên tới so với mặt đất A 85 m B 80 m C 90 m D 75 m Hướng dẫn Gọi h qng đường lên cao viên đá v t   h' t   h t    v t  dt    40  10t  dt  40t  5t  c Tại thời điểm t  h  Suy c  Vậy h t   40t  5t  h  t  lớn v t    40  10t   t  Khi h    85 m GV: TRẦN HẢI HẠNH FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 66 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Câu 118.Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn cơng thức: t  T m  t   m0   , m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t 2 = 0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Cho trước mẫu Cabon có khối lượng 100g Hỏi sau khoảng thời gian t khối lượng bao nhiêu? A m  t   100.e  t ln2 5730 m  t   100.e  100t 5730 1 B m  t   100   2 5730 1 C m  t   100   2  100 t 5730 D Hướng dẫn giải Theo cơng thức m t   m0e  kt ta có: m  5730   ln2  t 100 ln2  50  100.e  k.5730  k  suy m  t   100e 5730 5730 Đáp án: A Câu 119.Trong vật lí, phân rã chất phóng xạ biểu diễn cơng thức: t  T m  t   m0   , m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t 2 = 0); T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Chu kì bán rã Cabon 14 C khoảng 5730 năm Người ta tìm mẫu đồ cổ lượng Cabon xác định khoảng 25% lượng Cabon ban đầu Hỏi mẫu đồ cổ có tuổi bao nhiêu? A 2378 năm B 2300 năm C 2387 năm D 2400 năm Hướng dẫn giải Giả sử khối lượng ban đầu mẫu đồ cổ chứa Cabon m0 , thời điểm t tính từ thời điểm ban đầu ta có: m  t   m0 e ln2  t 5730  3m0  m0e ln2  t 5730 3 5730ln      2378 (năm) t   ln2 Đáp án: A Câu 120.Một nghiên cứu cho thấy nhóm học sinh cho xem danh sách lồi động vật kiểm tra lại xem họ nhớ % tháng Sau t tháng, khả nhớ trung bình nhóm học sinh cho cơng thức M t   75  20lnt  1 ,t  (đơn vị %) Hỏi sau khoảng nhóm học sinh nhớ danh sách 10%? A 24.79 tháng B 23 tháng C 24 tháng D 22 tháng Hướng dẫn giải FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 67 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Theo cơng thức tính tỉ lệ % cần tìm t thỏa mãn: 75  20ln1  t   10  lnt  1  3.25  t  24.79 Đáp án: A Câu 121.Một cơng ty vừa tung thị trường sản phẩm họ tổ chức quảng cáo truyền hình ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, sau x quảng cáo 100 phát số % người xem mua sản phẩm P(x)  , x  Hãy tính  49e 0.015 x số quảng cáo phát tối thiểu để số người mua đạt 75% A 333 B 343 C 330 D 323 Hướng dẫn giải Khi có 100 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P 100    9.3799%  49e 1.5 Khi có 200 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P  200    29.0734%  49e 3 Khi có 500 quảng cáo phát tỉ lệ người xem mua sản phẩm là: 100 P  500    97.3614%  49e 7.5 Đáp án: A Câu 122.Ơng Năm gửi 320 triệu đồng hai ngân hàng X Y theo phương thức lãi kép Số tiền thứ gửi ngân hàng X với lãi suất 2,1 q thời gian 15 tháng Số tiền lại gửi ngân hàng Y với lãi suất 0,73 tháng thời gian tháng Tổng lợi tức đạt hai ngân hàng 27507768,13 (chưa làm tròn) Hỏi số tiền ơng Năm gửi ngân hàng X Y bao nhiêu? A 140 triệu 180 triệu B 180 triệu 140 triệu C 200 triệu 120 triệu Hướng dẫn giải D 120 triệu 200 triệu Tổng số tiền vốn lãi (lãi lợi tức) ơng Năm nhận từ hai ngân hàng 347,50776813 triệu đồng Gọi x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng X, 320  x (triệu đồng) số tiền gửi ngân hàng Y Theo giả thiết ta có: x(1  0,021)5  (320  x)(1  0,0073)9  347,50776813 Ta x  140 Vậy ơng Năm gửi 140 triệu ngân hàng X 180 triệu ngân hàng Y Đáp án: A Câu 123.Số có ánh sáng mặt trời TPHCM năm khơng nhuận cho FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 68 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 y 14h sin 178 (x 60) 10 với x 365 số ngày năm Ngày 25/5 năm số có ánh sáng mặt trời TPHCM gần với số ? B 16h C 12h D 13h30 Hướng dẫn giải Giải :Ngày 25 / ngày 25  30,5.5  32,5  145 năm nên    y  4sin (145  60)   10  14  178  Tổng qt ( khó tốn tìm cơng thức tính ngày 25/5 ngày thứ năm) Gọi a, b, c ngày, tháng, năm a, b, c  , a  31,b  12 y số lượng ngày tính từ ngày / a tháng b ( khơng tính năm nhuận ) Nếu b lẻ b  y  a  30,5b  32,5 Nếu b chẵn b  y  a  30,5b  32 Nếu b lẻ b  y  a  30,5b  31,5 Nếu b  y  31  a Câu 124 Người ta muốn xây bồn chứa nước 1dm dạng khối hộp chữ nhật phòng tắm Biết chiều dài, chiều rộng, A 1180 viên ;8820 VH' 1dm VH chiều cao khối hộp 5m, 1m, 2m, xây vách (hình vẽ 2m bên) Biết viên gạch có chiều dài 20cm, chiều rộng 10cm, chiều cao 5cm 1m 5m Hỏi người ta sử dụng viên gạch để xây bồn thể tích thực bồn chứa lít nước? B 1180 viên ;880 C 1182 viên ;882 D 1182 viên ;880 (Giả sử lượng xi măng cát khơng đáng kể ) H ướn g dẫn giải FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 69 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 Giải : Đáp án chọn A Gọi V thể tích khối hộp chữ nhật Ta có : V  5m.1m.2m  10m3 VH  0,1m.4,9m.2m  0,98m3 VH  0,1m.1m.2m  0,2m3 VH  VH  1,18m3 Thể tích viên gạch VG  0,2m.0,1m.0,05m  0,001m3 Số viên gạch cần sử dụng VH  VH 1,18   1180 viên VG 0,001 Thể tích thực bồn : V   10m3  1,18m3  8,82m3  8820dm3  8820 lít Câu 125 Một hộp khơng nắp làm từ mảnh tơng hình bên Hộp có đáy hình vng cạnh x ( cm ), đường cao h ( cm ) tích 500 cm3 Tìm giá trị x diện tích mảnh tơng nhỏ h h x x h h A x  B x  10 C x  15 D x  20 Hướng dẫn giải Giải: Chọn đáp án B V  x h  500  h  500 x2 Gọi S(x) diện tích mảnh tơng S(x)  x  xh  x  2000 ; x  Bài tốn trở thành x tìm giá trị nhỏ S(x) (0; ) FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 70 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 S(x)  2(x  1000) ; S(x)   x  10 x2 Lập bảng biến thiên x S(x) S( x )  10 – +   300 Dựa vào bảng biến thiên diện tích mảnh cáctơng nhỏ điểm x  10 (cạnh hình vng) Câu 126 Cho nhơm hình vng cạnh 18 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A:3 B: C: D: Giải : chọn đáp án A Điều kiện:  x  V  h.B  x.(18  2x)2  f (x) Bấm mod tìm x=3 Cách khác: Áp dụng BĐT Cơsi cho số khơng âm 4x; 18-2x; 18-2x FILE WORD LIÊN HỆ: THẦY TRẦN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG NĂM 2017 H.Y 71 BÀI GIẢNG TỐN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 2017 1  x  (18  x)  (18  x)  V  x.(18  2x)  x(12  x).(12  x)     4   Dấu “=” xảy x  18  2x  x  Vậy: x=3 thể tích lớn Câu 127 Một anh cơng nhân lĩnh lương khởi điểm 700.000đ/tháng Cứ ba năm lại tăng lương thêm 7% Hỏi sau 36 năm làm việc anh cơng nhân lĩnh tổng cộng tiền (lấy xác đên hàng đơn vị) A 456.788.972 B 450.788.972 C 452.788.972 D 454.788.972 Hướng dẫn giải Giải: + Tiền lương năm đầu: T1  36 x700nghìn + Tiền lương năm thứ hai: T2  T1  T1  7%  T1 (1  7%) + Tiền lương năm thứ ba: T3  T1 (1  7%)  T1 (1  7%)  7%  T1 (1  7%) + Tiền lương năm thứ tư: T4  T1 (1  7%)