Bài giảng toán A1,C1 dành cho hệ cao đẳng,đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCMKHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1 BẬC CAO ĐẲNG TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013... Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

HUỲNH HỮU DINH

BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1

(BẬC CAO ĐẲNG)

TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013

Mục lục

1.1 Giới hạn hàm số 7

1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái 17

1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) 19

1.4 Hàm số liên tục 28

2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 2.1 Đạo hàm của hàm số 37

2.2 Đạo hàm cấp cao 43

2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm 46

2.4 Quy tắc L’Hospital 51

2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin 52

2.6 Vi phân cấp 1 59

2.7 Vi phân cấp cao 60

3 TÍCH PHÂN 65 3.1 Tích phân bất định 65

3.2 Phương pháp tính tích phân bất định 67

3.3 Tích phân hàm hữu tỷ 72

3.4 Tích phân hàm lượng giác 76

3.5 Tích phân hàm vô tỷ 80

3.6 Tích phân xác định 83

3.7 Công thức Newton - Leibnitz 86

3.8 Phương pháp tính tích phân xác định 87

3.8.1 Phương pháp đổi biến 87

3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần 88

3.9 Tích phân suy rộng 90

3.10 Tích phân suy rộng loại một 90

3.10.1 Các định nghĩa 90

3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz 94

3.11 Các định lý so sánh 94

3.11.1 Hội tụ tuyệt đối 96

3.12 Tích phân suy rộng loại hai 97

3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz 101

3

3.12.2 Các định lý so sánh 101

3.12.3 Hội tụ tuyệt đối 103

3.13 Ứng dụng tích phân xác định 103

3.13.1 Tính diện tích hình phẳng 103

3.13.2 Tính thể tích vật thể 106

3.13.3 Tính độ dài cung phẳng 109

4 Ma trận và định thức 117 4.1 Ma trận 117

4.1.1 Các khái niệm về ma trận 117

4.1.2 Các phép toán trên ma trận 120

4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 127

4.2 Định thức 128

4.2.1 Hoán vị và nghịch thế 128

4.2.2 Định nghĩa định thức của ma trận vuông 130

4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai triển định thức 132

4.2.4 Một số tính chất cơ bản của định thức 136

4.3 Ma trận nghịch đảo 144

4.3.1 Tính chất 148

4.3.2 Phương trình ma trận AX = B và XA = B 149

4.4 Hạng của ma trận 152

4.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận 152

4.4.2 Tính chất 153

5 Hệ phương trình tuyến tính 171 5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 171

5.1.1 Khái niệm tổng quát 171

5.2 Phương pháp khử Gauss 173

5.3 Phương pháp Cramer 176

5.4 Phương pháp phân rã LU 181

5.4.1 Phương pháp Crout 182

5.4.2 Phương pháp Doolittle 185

5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 188

5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 190

5.7 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát195 6 Không gian vector 205 6.1 Khái niệm không gian vector 205

6.2 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính 207

6.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 210

6.4 Cơ sở và số chiều của không gian vector 216

6.5 Tọa độ của vector Ma trận chuyển cơ sở 222

6.6 Không gian vector con 228

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

6.6.1 Không gian con sinh bởi một tập hợp 2296.6.2 Không gian con nghiệm 2326.7 Không gian vector Euclide 2346.7.1 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn Trực chuẩn hóa

Gram-Schmidt 237

Trang 5

Chương 1

GIỚI HẠN HÀM SỐ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Định nghĩa 1.1 (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến

về một số hữu hạn) Cho hàm số y = f (x) xác định trong tập D.

Giá trị L được gọi là giới hạn của hàm số f (x) tại điểm a, ký hiệu

Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ

2 thì với mọi x thỏa

|x − 1| < δ ta được |(2x + 1) − 3| < ϵ Do đó lim

Nhận xét 1.1 Để tồn tại giới hạn của hàm số khi x → a, hàm số không nhất thiết phải xác định tại điểm x = a Khi tính giới hạn ta chỉ xét các giá trị của hàm trong lân cận của điểm a nhưng khác a.

Giải Hàm số đã cho không xác định tại x = 2 Ta cần phải chứng minh

rằng với mọi ϵ > 0 bé tùy ý, ta có thể chỉ ra δ sao cho |x − 2| < δ, x ̸= 2

|x − 2| < δ, x ̸= 2 ta được | x2− 4

x − 2 − 4| < ϵ Do đó lim x →2

x2− 4

Định nghĩa 1.2 (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến ra

vô cùng) Ta nói giá trị L là giới hạn của hàm số y = f (x) khi x

tiến ra cộng (trừ) vô cùng, ký hiệu lim

x →+∞ f (x) = L

(lim

2ε − 1

)thì với mọi

3

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính chất 1.1 Các tính chất của giới hạn hữu hạn (a có thể bằng ±∞):

Trang 9

Ví dụ 1.8 Tính giới hạn L = lim

x→+∞

x3− 2x + 5 2x3+ 2x + 1

Giải Chia tử thức và mẫu thức cho x3 ta được

lim

x →+∞

x3− 2x + 5 2x3+ 2x + 1 = limx →+∞

Vậy với M lớn tùy ý, chọn δ = √1

M thì với mọi x thỏa |x − 2| < δ, x ̸= 2

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Giải Với M > 0 lớn tùy ý và x ̸= 1 ta có

−1 (x − 1)2 < −M ⇔ (x − 1)2

< 1

M ⇔ |x − 1| < √1

M

Vậy với M lớn tùy ý, chọn δ = √1

M thì với mọi x thỏa |x − 1| < δ, x ̸= 1

Định nghĩa 1.4 (Giới hạn vô cùng của hàm số khi x tiến ra

vô cùng)) Hàm số f (x) được gọi là tiến ra + ∞ khi x → +∞ nếu với mỗi số dương M lớn tùy ý, ta có thể tìm được N > 0 sao cho

Vậy với M > 0 tùy ý, chọn N = −M− √ M2−4M

2 thì với mọi x < N ta được

Tính chất 1.2 Các tính chất của giới hạn vô cùng (a có thể bằng ±∞):

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải Với x > 0 ta có

x2 = 1

2limx →0

(sinx2

x

2

)2

= 12

2014x sin (2014x) =

2x sin 2x =

d lim

x →0

√ arctan x + 1 − 1 x

Giải a lim

x →0

arctan (sin x) arcsin (tan x) = limx →0

arctan (sin x) sin x

tan x arcsin (tan x)

sin x tan x = 1

arcsin 3x 3x

6(1− x)2 = 6

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

(cos x + sin x) cos x+sin x1 −1

](cos x+sin x −1) cot x

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

cos x − 1

Định nghĩa 1.5 (Giới hạn phải) Cho hàm số f (x) xác định trong

tập D Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f (x) tại điểm a, ký hiệu lim

x→a+f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý tồn tại δ > 0 sao cho

|f(x) − L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa 0 < x − a < δ.

Định nghĩa 1.6 (Giới hạn trái) Cho hàm số f (x) xác định trong

tập D Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f (x) tại điểm a, ký hiệu lim

x →a − f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý tồn tại δ > 0 sao cho

|f(x) − L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa −δ < x − a < 0.

Nhận xét 1.2 Trường hợp L = ±∞ bạn đọc tự định nghĩa.

Ví dụ 1.24 Dựa vào định nghĩa giới hạn một phía ta tính được một số

giới hạn quan trọng sau:

1 + cos 2x

√ 2x − √ π

=

(

2√

x + √ 2π)

√

1 + cos 2x

√ 2x − √ π =

√ 2π.

d Dựa vào câu c ta được lim

Định lý 1.1 Hàm số f (x) tồn tại giới hạn tại x = a khi và chỉ khi

giới hạn phải và trái của f (x) tại x = a tồn tại và bằng nhau, cụ thể hơn ta có

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải a Ta có

Chú ý 1.1 Trong định nghĩa trên ta có thể thay x → a bằng x → a+

hoặc x → a − (trường hợp a là số hữu hạn).

Ví dụ 1.27 Một số VCB thường gặp:

1 α (x) = x c (c > 0) là VCB khi x → 0+ Trường hợp c ∈ N thì α(x) là VCB khi x → 0.

2 Các hàm số sin x, tan x, 1 − cos x, arcsin x, arctan x, ln(x + 1), e x − 1 là VCB khi x → 0.

β (x) (giả thiết là giới hạn tồn tại), khi đó

• Nếu k = 0, ta nói α(x) là VCB bậc cao hơn β(x), ký hiệu α (x) =

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải a Ta có

x tan x 2x = 0 Vậy α (x) = o (β (x)).

= lim

x →0

arctan (sin 2x) sin 2x

sin 2x tan 2x

tan 2x arcsin (tan 2x) = 1

8 Nếu β(x) = o(α(x)) và γ(x) = o(α(x)) thì β(x) + γ(x) = o(α(x)).

Nhận xét 1.3 Từ Định lý 1.2 ta rút được hai kết quả quan trọng sau:

• Trong quá trình tính giới hạn, ta có thể thay thế các VCB tương

đương với nhau (các trường hợp ngoại lệ khi thay sẽ dẫn tới kếtquả sai, ta sẽ xét trong những phần sau)

• Có thể loại bỏ các VCB bậc cao trong quá trình tính giới hạn (cách

thức loại bỏ bạn đọc xem kĩ trong các ví dụ mà tác giả trình bày)

Một số cặp VCB tương đương thường được sử dụng trong bài giảng:Cho lim

x →a u = 0, khi đó

• sin u ∼ u, tan u ∼ u khi x → a.

• arcsin u ∼ u, arctan u ∼ u khi x → a.

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải a Khi x → 0 ta có sin 3x ∼ 3x, ta suy ra

2x 3x =

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Chú ý 1.2 Tổng hai VCL chưa chắc là một VCL Ta xét ví dụ đơn giản

sau: Hai hàm số α(x) = x2 và β(x) = −x2 là VCL khi x → +∞, nhưng tổng α(x) + β(x) = 0 không là VCL khi x → +∞.

Một hàm bị chặn nhân với một VCL chưa chắc là một VCL Xét ví

dụ sau: Hàm số α(x) = 0 là hàm bị chặn, hàm số β(x) = x là VCL khi

x → +∞, nhưng tích α(x)β(x) = 0 không là VCL khi x → +∞.

Định nghĩa 1.10 Cho α(x) và β(x) là hai VCL khi x → a Đặt

k = lim

x →a

α (x)

β (x) (giả thiết là giới hạn tồn tại), khi đó

• Nếu k = 0, ta nói β(x) là VCL bậc cao hơn α(x), ký hiệu β (x) ≫ α(x).

• Nếu k = ±∞ thì α(x) ≫ β(x).

• Nếu k ̸= 0, k ̸= ±∞ thì ta nói α(x) và β(x) là hai VCL cùng bậc Trường hợp k = 1 ta nói α(x) và β(x) là hai VCL tương đương,

ký hiệu α(x) ∼ β(x).

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Tính chất 1.5 Từ Định nghĩa 1.10 và kết quả ở những phần trước ta

được một số kết quả quan trọng sau:

Nhận xét 1.4 Từ Định lý 1.2 ta rút được hai kết quả quan trọng sau:

• Trong quá trình tính giới hạn, ta có thể thay thế các VCL tương

đương với nhau

• Có thể loại bỏ các VCL bậc thấp, hàm bị chặn, các hằng số trong

quá trình tính giới hạn

Trang 27

Giải Áp dụng Tính chất 1.5 và Đinh lý 1.3 ta được

Định nghĩa 1.11 Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D Hàm

số f (x) được gọi là liên tục tại điểm x = a nếu thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

Hàm số f (x) không liên tục lại a thì ta nói f (x) gián đoạn tại a.

Ví dụ 1.37 Xét tính liên tục của hàm số f (x) = 2x + 1 tại điểm x = 1.

Giải Ta có

• f(1) = 3.

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

• lim

x →1 f (x) = lim x →1 (2x + 1) = 3

Ta thấy lim

x →1 f (x) = f (1) nên f (x) liên tục tại x = 1. 

Ví dụ 1.38 Cho hàm f (x) xác định như sau:

x→1 f (x) ̸= f (1) nên f(x) gián đoạn tại x = 1. 

Ví dụ 1.39 Cho hàm số f (x) xác định như sau:

Hàm f (x) liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi 3a + 1 = 4 hay a = 1. 

Nhận xét 1.5 Các hàm số sơ cấp cơ bản: các đa thức, các hàm phân

thức hữu tỉ, hàm mũ a x (0 < a ̸= 1), hàm loga log a x(0 < a ̸= 1), các hàm số lượng giác sin x, cos x, tan x, cot x, các hàm lượng giác ngược arcsin x, arccos x, arctan xđều liên tục trên tập xác định của nó

Các hàm số được tạo ra từ các hàm số sơ cấp cơ bản nhờ việc thựchiện một số hữu hạn một phép tính số học (cộng, trừ, nhân, chia) vàphép lấy hàm hợp thông qua các hàm sơ cấp cơ bản cũng liên tục trêntập xác định của nó

Trang 29

Định nghĩa 1.12 Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D Hàm

số f (x) được gọi là liên tục phải (trái) tại điểm x = a ∈ D nếu

lim

x →a+f (x) = f (a)

(lim

1− x liên tục trái tại x = 1 nhưng không liên tục

phải tại điểm này

Chú ý 1.3 Hàm số f (x) được gọi là liên tục trong đoạn [a; b] nếu f (x)

liên tục trong khoảng (a; b), đồng thời f (x) liên tục phải tại a và liên tục trái tại b.

Định lý 1.4 Hàm số f (x) liên tục tại x = a khi và chỉ khi f (x) liên

tục phải và liên tục trái tại x = a, cụ thể hơn ta có

lim

x →a f (x) = f (a) ⇔ lim

x →a+f (x) = f (a) = lim

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

x →0+f (x) nên f (x) không liên tục tại x = 0. 

Ví dụ 1.43 Cho hàm số f (x) xác định như sau:

x→0+(cos 2x) arctan2x1 = lim

x→0+e ln(cos 2x) arctan2x = e x →0+lim

−2x2 x2

Định nghĩa 1.13 Cho hàm số f (x) xác định trên tập D Giả sử f (x)

gián đoạn tại điểm a Ta nói rằng

• a là điểm gián đoạn bỏ được của f(x), nếu tồn tại giới hạn trái, phải tại a và lim

x →a − f (x) được gọi là bước nhảy của f (x) tại a.

• Trong những trường hợp còn lại a được gọi là điểm gián đoạn loại II.

Ví dụ 1.44 Hàm số y = arctan x

x mặc dù không xác định tại 0, nhưng 0

là điểm gián đoạn bỏ được của nó vì lim

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Q (x) với P (x), Q(x) là hai đa thức.

Bài tập 1.9 Chứng minh rằng lim

Trang 33

Bài tập 1.11 Tính các giới hạn sau:

a lim

x →+∞ x sin

(2014

d lim

x → π

2

cos x 4x2− π2

Bài tập 1.12 Tính các giới hạn sau:

Bài tập 1.15 Tính các giới hạn sau:

a lim

x →0+

tan2√

x sin x

Bài tập 1.19 Tính các giới hạn sau:

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

Bài tập 1.20 Tính các giới hạn sau:

Bài tập 1.21 Tính các giới hạn sau:

Bài tập 1.22 Tính các giới hạn sau:

a lim

x →0

arcsin (tan23x) (e x − 1)2

Chương 2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM

MỘT BIẾN

Định nghĩa 2.1 Cho f (x) xác định trong khoảng (a, b) Ta nói rằng

f (x) có đạo hàm tại điểm x0 ∈ (a, b) nếu tồn tại giới hạn (có thể vô hạn)

f ′ (x0) = lim

h →0

f (x0+ h) − f (x0)

h

f ′ (x0)được gọi là đạo hàm của hàm số f (x) tại điểm x0.

Trường hợp f ′ (x0)hữu hạn ta nói f (x) khả vi tại x0 Nếu f (x) khả

vi tại mọi điểm x ∈ (a, b) thì ta nói f(x) khả vi trên (a, b).

Nhận xét 2.1 Nếu hàm số f (x) khả vi tại x0 thì f (x) sẽ liên tục tại x0nhưng f (x) liên tục tại x0 thì ta không suy ra được f (x) khả vi tại x0.Năm 1872 Karl Weierstrass đã xây dựng một hàm số liên tục nhưngkhông khả vi tại bất kỳ điểm nào

Ta có thể định nghĩa đạo hàm một phía như sau:

Hàm số f (x) được gọi là khả vi trên đoạn [a, b] nếu f (x) khả vi trên khoảng (a, b), có đạo hàm phía phải tại a và đạo hàm phía trái tại b.

Khi đó f ′ (a) = lim

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

√ h

h2 không tồn tại nên f (x) không có đạo hàm tại x = 0. 

Nhận xét 2.2 Trong Ví dụ 2.8, nếu lim

x →+∞ cos x = lim x →+∞ cos (x + π) = lim x →+∞ − cos x = −a

Ta suy ra a = 0 Mặt khác sin x = cos(x − π

2)nênlim

x →+∞ sin x = lim x →+∞cos

Định lý 2.1 Hàm số f (x) có đạo hàm tại a khi và chỉ khi f (x) có

đạo hàm hai phía tại a và f+′ (a) = f − ′ (a).

Trang 39

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

5 Nếu f (x) khả vi trong khoảng (a, b) chứa x0 sao cho f ′ (x)liên tục

trong (a, b) và f ′ (x) ̸= 0, ∀x ∈ (a, b) thì tồn tại hàm ngược x = f −1 (y)

trong khoảng (c, d) nào đó của y0 = f (x0), f−1 (y) khả vi tại y0 và

Chú ý 2.1 Việc tính đạo hàm của hàm f (x) = u(x) v(x) có đôi chút khó

khăn Phương pháp sau đây hay được sử dụng để tính f ′ (x).

Vì f (x) = u(x) v(x) nên ln f (x) = v(x) ln u(x), khi đó

y x ′ = y

′ t

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

x ′ t =

2e 2t − 2 cos t Với x = 0 ta suy ra sin t = 0 hay t = 0 Do đó y x ′ (0) = 0 

Định nghĩa 2.2 Cho hàm số f (x) xác định và khả vi trong khoảng

(a, b) Khi đó, f ′ (x) cũng là hàm số nên có thể có đạo hàm Ta ký hiệu đạo hàm của f ′ (x) là f ′′ (x) hoặc f(2)(x) và f ′′ (x) được gọi là đạo hàm cấp hai của f (x) Cứ tiếp tục như thế ta xác định được các hàm số

f (x) , f ′ (x) , f ′′ (x) , , f (n) (x) trong đó f (i) (x) là đạo hàm của f (i −1) (x) với i = 1, n, qui ước f(0)(x) =

f (x) f (n) (x) được gọi là đạo hàm cấp n của f (x).

Tính chất 2.2 Cho f (x) và g(x) là hai hàm có đạo hàm cấp n trong

khoảng (a, b), khi đó

Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM

x − 2

)(2014)

−

(1

2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm

Sau đây tác giả xin nêu một số kết quả quan trọng của đạo hàm, được

sử dụng nhiều và có ứng dụng hay (các chứng minh độc giả có thể xemtrong mục tại liệu tham khảo)

Định nghĩa 2.3 Cho hàm số f (x) xác định trong khoảng (a, b) Hàm

số f (x) được gọi là đơn điệu tăng (giảm) trong (a, b) nếu ∀x1, x2 ∈ (a, b) sao cho x1 < x2 thì f (x1) < f (x2)(f (x1) > f (x2))

Ví dụ 2.25 Hàm số f (x) = x3 là đơn điệu tăng trong R vì ∀x1, x2 ∈ R sao cho x1 < x2 thì

)2

+ 3x

2 1

4]

Ta thấy (

x2+x12

)2

+3x

2 1

4 > 0 nên f (x2) > f (x1) Vậy f (x) = x3 làđơn điệu tăng trongR

Ví dụ 2.26 Hàm số f (x) = − sin x giảm trong khoảng (− π