Bài giảng toán A1,C1 dành cho hệ cao đẳng,đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1 (BẬC CAO ĐẲNG) TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang 2 Mục lục 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 7 1.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Giới hạn phải, giới hạn trái . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL) . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 37 2.1 Đạo hàm của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Các định lý cơ bản của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 Quy tắc L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Khai triển Taylor-Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Vi phân cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.7 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3 TÍCH PHÂN 65 3.1 Tích phân bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2 Phương pháp tính tích phân bất định . . . . . . . . . . . . 67 3.3 Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 Tích phân hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7 Công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.8 Phương pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 87 3.8.1 Phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.8.2 Phương pháp tích phân từng phần . . . . . . . . . 88 3.9 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10 Tích phân suy rộng loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.10.2 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 94 3.11 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.11.1 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.12 Tích phân suy rộng loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.12.1 Sử dụng công thức Newton - Leibnitz . . . . . . . . 101 3 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 3.12.2 Các định lý so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.12.3 Hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13 Ứng dụng tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . 103 3.13.2 Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.13.3 Tính độ dài cung phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 109 4 Ma trận và định thức 117 4.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1.1 Các khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1.2 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . 120 4.1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận . . . . . . . 127 4.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.1 Hoán vị và nghịch thế . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2.2 Định nghĩa định thức của ma trận vuông . . . . . 130 4.2.3 Phần bù đại số, ma trận phụ hợp và công thức khai triển định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.2.4 Một số tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . 136 4.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3.1 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.3.2 Phương trình ma trận AX = B và XA = B . . . . 149 4.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.4.1 Khái niệm về hạng của ma trận . . . . . . . . . . . 152 4.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5 Hệ phương trình tuyến tính 171 5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . 171 5.1.1 Khái niệm tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2 Phương pháp khử Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.3 Phương pháp Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.4 Phương pháp phân rã LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.4.1 Phương pháp Crout . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.4.2 Phương pháp Doolittle . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . 190 5.7 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát195 6 Không gian vector 205 6.1 Khái niệm không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 205 6.2 Tổ hợp tuyến tính và biểu thị tuyến tính . . . . . . . . . . 207 6.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính . . . . . . . . 210 6.4 Cơ sở và số chiều của không gian vector . . . . . . . . . . 216 6.5 Tọa độ của vector. Ma trận chuyển cơ sở . . . . . . . . . . 222 6.6 Không gian vector con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Trang 4 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM 6.6.1 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . 229 6.6.2 Không gian con nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.7 Không gian vector Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.7.1 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Trực chuẩn hóa Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Trang 5 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang 6 Chương 1 GIỚI HẠN HÀM SỐ. HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Giới hạn hàm số Định nghĩa 1.1. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến về một số hữu hạn) Cho hàm số y = f (x) xác định trong tập D. Giá trị L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) tại điểm a, ký hiệu lim x→a f (x) = L, nếu với mọi ϵ > 0 cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại δ > 0 sao cho |f(x) −L| < ϵ với mọi x ∈ D thỏa điều kiện |x − a| < δ. Ví dụ 1.1. Chứng tỏ rằng lim x→1 (2x + 1) = 3. Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức |(2x + 1) − 3| < ϵ được thỏa mãn thì |(2x + 1) − 3| < ϵ ⇔ |x − 1| < ϵ 2 Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ 2 thì với mọi x thỏa |x −1| < δ ta được |(2x + 1) − 3| < ϵ. Do đó lim x→1 (2x + 1) = 3.  Nhận xét 1.1. Để tồn tại giới hạn của hàm số khi x → a, hàm số không nhất thiết phải xác định tại điểm x = a. Khi tính giới hạn ta chỉ xét các giá trị của hàm trong lân cận của điểm a nhưng khác a. Ví dụ 1.2. Chứng tỏ rằng lim x→2 x 2 − 4 x −2 = 4. 7 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Hàm số đã cho không xác định tại x = 2. Ta cần phải chứng minh rằng với mọi ϵ > 0 bé tùy ý, ta có thể chỉ ra δ sao cho |x − 2| < δ, x ̸= 2 thì | x 2 − 4 x −2 − 4| < ϵ. Khi x ̸= 2 ta được     x 2 − 4 x −2 − 4     < ϵ ⇔ |x + 2 − 4| < ϵ ⇔ |x − 2| < ϵ Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn δ = ϵ thì với mọi x thỏa |x −2| < δ, x ̸= 2 ta được | x 2 − 4 x −2 − 4| < ϵ. Do đó lim x→2 x 2 − 4 x −2 = 4.  Định nghĩa 1.2. (Giới hạn hữu hạn của hàm số khi x tiến ra vô cùng) Ta nói giá trị L là giới hạn của hàm số y = f(x) khi x tiến ra cộng (trừ) vô cùng, ký hiệu lim x→+∞ f (x) = L  lim x→−∞ f (x) = L  nếu với mọi ϵ > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại số N > 0 sao cho với mọi x thỏa x > N(x < −N) thì ta có bất đẳng thức |f(x) −L| < ϵ. Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng lim x→+∞ 2x x −1 = 2. Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức | 2x x −1 − 2| < ϵ được thỏa mãn thì     2x x −1 − 2     < ϵ ⇔     2 x −1     < ϵ ⇔ |x −1| > 2 ϵ Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn N > 2 ϵ + 1 thì với mọi x thỏa x > N ta được | 2x x −1 − 2| < ϵ. Do đó lim x→+∞ 2x x −1 = 2.  Ví dụ 1.4. Chứng minh rằng lim x→−∞ 3x 2x −1 = 3 2 . Giải. Với ϵ > 0 nhỏ tùy ý, để bất đẳng thức | 3x 2x −1 − 3 2 | < ϵ được thỏa mãn thì     3x 2x −1 − 3 2     < ϵ ⇔     3 2 (2x −1)     < ϵ ⇔ |2x −1| > 3 2ϵ Vậy với ϵ > 0 nhỏ tùy ý cho trước, chọn N > 1 2  3 2ε − 1  thì với mọi x < −N ta được | 3x 2x −1 − 3 2 | < ϵ. Do đó lim x→−∞ 3x 2x −1 = 3 2 .  Trang 8 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Tính chất 1.1. Các tính chất của giới hạn hữu hạn (a có thể bằng ±∞): 1. Nếu f(x) = c (hằng số) thì lim x→a f (x) = c. 2. Nếu f(x) ≥ c và hàm f(x) có giới hạn tại x = a thì lim x→a f (x) ≥ c. 3. Nếu φ(x) ≤ f(x) ≤ ψ(x) và lim x→a φ (x) = lim x→a ψ (x) = L thì lim x→a f (x) = L 4. Nếu tồn tại các giới hạn hữu hạn lim x→a f (x) và lim x→a g (x) thì • lim x→a [f (x) + g (x)] = lim x→a f (x) + lim x→a g (x). • lim x→a [f (x) g (x)] = lim x→a f (x) lim x→a g (x). • lim x→a f (x) g (x) = lim x→a f (x) lim x→a g (x)  lim x→a g (x) ̸= 0  Sử dụng các tính chất trên làm cho việc tính giới hạn trở nên rất đơn giản. Chúng ta xét một số ví dụ điển hình sau: Ví dụ 1.5. Tính giới hạn L = lim x→1 x 3 + x + 1 x 2 − x + 1 . Giải. Vì lim x→1 (x 2 − x + 1) = 1 ̸= 0 nên L = lim x→1 x 3 + x + 1 x 2 − x + 1 = 3 1 = 3.  Ví dụ 1.6. Tính giới hạn L = lim x→1 x 2 − 3x + 2 x −1 . Giải. Vì lim x→1 (x 2 − 3x + 2) = lim x→1 (x −1) = 0 nên ta cần khử dạng vô định (dạng 0 0 ) lim x→1 x 2 − 3x + 2 x −1 = lim x→1 (x −1) (x − 2) x −1 = lim x→1 (x −2) = −1 Vậy L = −1.  Ví dụ 1.7. Tính giới hạn L = lim x→1 3 √ x −1 √ x −1 . Giải. Giới hạn trên cũng có dạng vô định, ta có lim x→1 3 √ x −1 √ x −1 = lim x→1 (x −1)  3 √ x 2 + 3 √ x + 1  √ x + 1 x −1 = lim x→1 √ x + 1 3 √ x 2 + 3 √ x + 1 = 2 3 Vậy L = 2 3 .  Trang 9 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Ví dụ 1.8. Tính giới hạn L = lim x→+∞ x 3 − 2x + 5 2x 3 + 2x + 1 . Giải. Chia tử thức và mẫu thức cho x 3 ta được lim x→+∞ x 3 − 2x + 5 2x 3 + 2x + 1 = lim x→+∞ 1 − 2 x 2 + 5 x 3 2 + 2 x 2 + 1 x 3 = 1 2 Vậy L = 1 2 .  Ví dụ 1.9. Tính giới hạn L = lim x→−∞ x 3 3 √ x 4 − 2x 4 − 1 2x 3 3 √ x 4 + 2x 4 + 2 . Giải. Ta có lim x→−∞ x 3 3 √ x 4 − 2x 4 − 1 2x 3 3 √ x 4 + 2x 4 + 3 = lim x→−∞ 1 − 2 3 √ x − 1 x 3 3 √ x 4 2 + 2 3 √ x + 3 x 3 3 √ x 4 = 1 2 . Vậy L = 1 2 .  Định nghĩa 1.3. (Giới hạn vô cùng của hàm số khi x tiến về một số hữu hạn)) Hàm số f(x) được gọi là tiến ra +∞ (−∞) khi x → a nếu mỗi số dương M lớn tùy ý, ta có thể tìm được δ > 0 sao cho với mọi x thỏa |x −a| < δ, x ̸= a thì f(x) > M (f(x) < −M), ký hiệu lim x→a f (x) = +∞  lim x→a f (x) = −∞  Ví dụ 1.10. Chứng minh rằng lim x→2 1 (x −2) 2 = +∞. Giải. Với M > 0 lớn tùy ý và x ̸= 2 ta có 1 (x −2) 2 > M ⇔ (x −2) 2 < 1 M ⇔ |x −2| < 1 √ M Vậy với M lớn tùy ý, chọn δ = 1 √ M thì với mọi x thỏa |x −2| < δ, x ̸= 2 ta được 1 (x −2) 2 > M. Do đó lim x→2 1 (x −2) 2 = +∞.  Ví dụ 1.11. Chứng minh rằng lim x→1 −1 (x −1) 2 = −∞. Trang 10 [...]... x + ln (1 + 2x) nếu < x < 0 Bài tập 1.27 Cho hàm số y = sin x 2  x2 + sin x + a nếu x ≥ 0 Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0 Trang 35 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM   x sin x + 2tan2 x nếu x < 0 Bài tập 1.28 Cho hàm số y = Với giá x2  cos2 x + 2a nếu x ≥ 0 trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0   x tan x nếu x ̸= 0 ln (1 + x2 ) Bài tập 1.29 Cho hàm số f (x) = Với giá... (x) ∼ x d f (x) ∼ − x { x = ln (1 + 2t) Bài tập 1.24 Cho hàm số Khi x → 0, ta chọn y = sin t + tan2 2t khẳng định đúng a f (x) ∼ x a y ∼ x 2 b y ∼ − x 2 c y ∼   arctan  x2 2 d y ∼ − x2 2 1 nếu x < 1 (x − 1)2 Bài tập 1.25 Cho hàm số y = Tìm a để  x2 + 3x + a  nếu x ≥ 1 x2 + 1 f (x) liên tục tại x = 1  1  π + arctan  nếu x < 1  2 (x − 1)3 Bài tập 1.26 Cho hàm số y = Tìm  (x − 1)2 a   2... gián đoạn loại II x BÀI TẬP Bài tập 1.1 Tính các giới hạn sau: x2 − 5x + 4 c lim x→1 √ x3 − 1 3 x+8−2 d lim √ 4 x→0 x+1−1 x5 + 1 a lim 4 x→−1 x + 1 √ √ 2+x− 2−x b lim x→0 x Bài tập 1.2 Tính các giới hạn sau: Trang 32 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM √ n x−1 c lim √ (m, n ∈ N) m x→1 ( x−1 ) 1 3 d lim − x→1 x − 1 x3 − 1 xn − 1 a lim m (m, n ∈ N) x→1 x − 1 √ 3− 6+x √ b lim x→3 2 − 7−x Bài tập 1.3 Tính các... lim x→0 x c lim Trang 33 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 1.11 Tính các giới hạn sau: ( ) 2014 x + sin 4x a lim x sin c lim x→+∞ x→0 2x − sin x x cos x sin πx d lim 2 b lim 3 x→ π 4x − π 2 2 x→1 x − 1 Bài tập 1.12 Tính các giới hạn sau: √ tan ( x − 1) tan x − tan a a lim c lim 2−1 x→1 x→a tan (x − a) x πx tan nx d lim (1 − x) tan b lim 2 2 x→1 x→π x − π 2 Bài tập 1.13 Tính các giới hạn sau:... 2 arcsin (tan πx) arctan (1 − cos x) b lim d lim x→1 x→0 x−1 x2 ( ) 1 2 Bài tập 1.14 Tính giới hạn lim x sin x→+∞ 1 + 2 + + [x] Bài tập 1.15 Tính các giới hạn sau: √ √ arcsin2 1 − x tan2 x √ c lim a lim x→1− x→0+ sin x x−1 1 d lim x ln x b lim xe x + − x→0 x→0 Bài tập 1.16 Chứng minh rằng lim xα (ln x)β = 0 (α, β > 0) + x→0 Bài tập 1.17 Tính các giới hạn sau: a lim (cos 3x) 1 sin2 x x→0 1 b lim... (a ∈ R) x→+∞ x Bài tập 1.18 Tính các giới hạn sau: √ √ 4 1 + 2sin2 x − 1 81 + 3x − 3 a lim c lim √ 2 3 x→0 √ tan x x→0 √27 − 3x − 3 5 x−2 −x2 + 2x − 1 b lim √ d lim x→32 2x − 8 x→1 (x2 − 1)2 Bài tập 1.19 Tính các giới hạn sau: cos x2 − cos x x→0 x2 1 − cos3 2x b lim x→0 x2 a lim 1 − (sin x + cos x) x √ √ 1 + cos x − 2 d lim x→0 x2 c lim x→0 Trang 34 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Bài tập 1.20 Tính... lim x→+∞ e −1 sin x x→0 Bài tập 1.21 Tính các giới hạn sau: √ √ x2 + x + x2 + 1 3x + 2x + x2 a lim c lim x x→+∞ x→+∞ 3 + ln x + 1 x + ln3 (x + 1) x 2x x ex + 3 2 + x x +5 +1 d lim x b lim x→+∞ 2ex + 3 2 + 1 x→+∞ 3x2x + x3 + 1 Bài tập 1.22 Tính các giới hạn sau: arcsin (tan2 3x) (√ ) x→0 (ex − 1)2 + 1 + x3 − 1 (1 − cos 2x) + sin2 x b lim x→0 ln (cos x) + x3 a lim Bài tập 1.23 Cho hàm số f (x) = x → 0+... (các trường hợp ngoại lệ khi thay sẽ dẫn tới kết quả sai, ta sẽ xét trong những phần sau) • Có thể loại bỏ các VCB bậc cao trong quá trình tính giới hạn (cách thức loại bỏ bạn đọc xem kĩ trong các ví dụ mà tác giả trình bày) Một số cặp VCB tương đương thường được sử dụng trong bài giảng: Cho lim u = 0, khi đó x→a • sin u ∼ u, tan u ∼ u khi x → a • arcsin u ∼ u, arctan u ∼ u khi x → a 1 • 1 − cos u ∼ u2... x→±∞ √ x3 + x − 1 − √ ) x2 − x + 1 x2 + 1 x−2 Bài tập 1.7 Tính các giới hạn sau: ax (a > 1, n ∈ N) x→+∞ xn (a + b)x d lim (a, b > 0) x→+∞ x (ax + bx ) a lim ax (a > 1) x→+∞ x b lim n (n ∈ N) x→+∞ (ln x) c lim P (x) với P (x), Q(x) là hai đa thức x→±∞ Q (x) ( ) 1 x Bài tập 1.9 Chứng minh rằng lim a + x = +∞ với mọi a > 0 x→±∞ a Bài tập 1.8 Tính giới hạn lim Bài tập 1.10 Tính các giới hạn sau: sin x −... + x2 ) Bài tập 1.29 Cho hàm số f (x) = Với giá trị  2a + 1 nếu x = 0 nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0 { cos x Bài tập 1.30 Cho hàm số y = x a nếu x ̸= 0 nếu x = 0 Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0   arcsin x + sin2 2x nếu x ∈ (−1; 1) \ {0} Bài tập 1.31 Cho hàm số y =  2a + 1tan x nếu x = 0 Với giá trị nào của a thì hàm số liên tục tại x = 0 Trang 36 . TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HCM KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN HUỲNH HỮU DINH BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1-C1 (BẬC CAO ĐẲNG) TPHCM - Ngày 12 tháng 10 năm 2013 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Trang. 4 x −2 = 4. 7 Trường Đại Học Công Nghiệp TPHCM Giải. Hàm số đã cho không xác định tại x = 2. Ta cần phải chứng minh rằng với mọi ϵ > 0 bé tùy ý, ta có thể chỉ ra δ sao cho |x − 2| < δ, x ̸=. . . . . . 185 5.5 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.6 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất . .