Bồi dưỡng HSG cơ học 10 (không chuyên)

Vậy sau sau khi VĐV thứ nhất gặp HVL và quay lại chạy thì tới lượt VĐV thứ hai gặp HVL và quay lại thì trong khoảng thời gian VĐV thứ hai tới gặp HVL thì khoảng cách giữa VĐV thứ nhất ch

ẦN I : ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM.

I Chuyển động thẳng đều, thẳng biến đổi đều

Bài mẫu 1: Hai ôtô chuyển động đều cùng một lúc từ A đến B, AB=S Ôtô thứ nhất đi nửa quãng đờng

đầu với vận tốc v1, nửa quãng đờng sau với vận tốc v2 Ôtô thứ hai đi với vận tốc v1 trong nửa thời gian đầu

và với vận tốc v2 trong nửa thời gian còn lại

a)Tính vtb của mỗi ôtô trên cả quãng đờng

b) Hỏi ôtô nào đến B trớc và đến trớc bao nhiêu?

c) Khi một trong hai ôtô đã đến B thì ôtô còn lại cách B một khoảng bao nhiêu?

2 12

)(

v v

v v

vtb1=

2 1

2 12

v v

v v t

b)+ Ôtô 1 đi hết AB trong khoảng thời gian là: tA=

2 1

2 12

)(

v v

v v

+ Ôtô 2 đi hết AB trong khoảng thời gian là: tB=

2 1

2

v v

S

+ . tB-tA=

)(

2

)(

2 1 2 1

2 2 1

v v v v

v v S

2

)(

2 1 1

2 2 1

v v v

v v S

1

2 )(

v v

v v S

Bài mẫu 2: Một chiếc xe chạy lên đồi với vận tốc 40km/h rồi chạy xuống dốc với vận tốc 60 km/h Tính

vận tốc trung bình cho toàn bộ đờng đi

Giải:

Ta có vtb=

2 1

2 1

2

v

S v S

S t

t

S S

+

=+

Hình 1

Bài mẫu 4: Một hạt có vận tốc 18m/s và sau 2,4 s nó có vận tốc 30m/s theo chiều ngợc lại.

a)Gia tốc trung bình của hạt trong khoảng thời gian 2,4s là bao nhiêu?

18301

v v

6,30

a)Sớm hơn thời điểm trên là 2,5s

b)Muộn hơn thời điểm trên 2,5s

Trừ vế với vế của (3) cho (1) ta đợc: v+=9,6+3,2.2,5=17,6m/s

Bài mẫu 6: Một ngời đứng ở sân ga nhìn đoàn tầu chuyển bánh nhanh dần đều Toa (1) đi qua trớc mặt

ngời ấy trong t(s) Hỏi toa thứ n đi qua trớc mặt ngời ấy trong bao lâu?

v(m/s)

8

4 t

0 2 4

6 8 10 12 14 16

v(m/s)

18 A 0.9 2,4

0 B D t(s)

-30 C

Hình 2

at’2 (4) với t’ là thời gian (n-1) toa tầu đi hết qua trớc mặt ngời ấy.

Do đó, thời gian toa thứ n đi qua là: ∆t = ( n− n− 1 )t1

Bài mẫu 7: Một ngời đứng tại điểm M cách một con đờng thẳng một khoảng h=50m để chờ ôtô; khi thấy

ôtô còn cách mình một khoảng a= 200m thì ngời ấy bắt đầu chạy ra đờng để gặp ôtô (hình 1) Biết ôtô chạy với vận tốc v1= 36km/giờ Hỏi:

a) Ngời ấy phải chạy theo hớng nào để gặp đúng ôtô? Biết rằng ngời chạy với vận tốc v2=10,8 km/giờ

b) Ngời phải chạy với vận tốc nhỏ nhất bằng bao nhiêu để có thể gặp đợc ôtô?

Giải:

a) Muốn gặp đúng ôtô tại B thì thời gian

ngời chạy từ M tới B phải bằng thời gian ôtô

chạy từ A tới B:

1

AB v

MB = (1

Trong tam giác AMB có:

α

β sinsin

v

v a

MB ≥ ⇒ v2min=

a

h

v1=2,5m/s

Bài mẫu 8: Môt chiếc ca nô xuất phát từ điểm A trên đờng cái, ô tô này

cần đến điểm D (trên đồng cỏ) trong thời

gian ngắn nhất Biết AC=d;CD=l

Vận tốc ô tô chạy trên đờng cái (v1)lớn hơn vận tốc ô tô trên

v

x d

Mh

Ha

Hỡnh 1

Mh

Ha

Hỡnh 1

β

α

Thời gian ô tô chạy trên đồng cỏ từ B đến D:

2

2 2

l x

1

2 2

v

l x

Đặt: ( )

1

2 2

v

l x n x d x

⇒ ( )

1

1'

v x

1 x l v

nx

+

+

2 2 1

2 2 x l v

l x nx

1

v

n l d

Bài mẫu 9: Có hai vật m1 và m2 chuyển động thẳng đều với vận tốc lần lợt là v1 và v2 Vật m2 xuất phát

từ B

Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng trong quá trình

chuyển động và thời gian đạt đợc khoảng cách đó? Biết

khoảng cách ban đầu giữa chúng là l và góc giữa hai đờng

l

2 1 2

2 2 2

hay d =dmin ⇔ 2

2 2

1

2 1

2 1cos2

)cos(

v v

v v

v v l t

++

+

=

αα

Và khoảng cách bé nhất giữa chúng lúc đó sẽ là:

a

d

4min

1 2 1

2

cos 2

sin

v v

v v

lv

+

α

Bài mẫu 10: Một ngời đứng ở sân ga nhìn ngang đầu toa thứ nhất của một đoàn tàu bắt đầu chuyển

động nhanh dần đều Toa thứ nhất vợt qua ngời ấy sau thời gian t 1

Hỏi toa thứ n đi qua ngời ấy trong thời gian bao lâu?

Biết các toa có cùng độ dài là S, bỏ qua khoảng nối các toa

2 1

t n 1 = 2( −1)

− Toa thứ n vợt qua ngời ấy trong thời gian∆t:

∆ = − −1 = 2 ( n − n−1)

a

S t

Hai chiếc tầu chuyển động với cùng vận tốc đều v hớng đến O theo quỹ đạo là những đờng thẳng hợp với

nhau góc α=600 Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa các tầu Cho biết ban đầu chúng cách O những khoảng l1=20km và l2=30 km

Tầu A chuyển động theo hớng AC tạo với AB một góc α nh hình vẽ

a)Hỏi tầu B phải đi theo hớng nào để có thể gặp đợc tầu A Sau bao lâu kể từ

H B C

A l

H B

C

Giả sử 2 tầu gặp nhau ở C Gọi t là thời gian 2 tầu đi để gặp nhau.

2

v

v t

v t

HB

=

III Công thức cộng vận tốc

Bài mẫu 1:

Một ngời muốn chèo thuyền qua sông có dòng nớc chảy Nếu ngời ấy chèo

thuyền theo hớng từ vị trí A sang vị trí B (AB⊥với dòng sông, hình3.1) thì sau

thời gian t1=10min thuyền sẽ tới vị trí C cách B một khoảng s=120m Nếu ngời

ấy chèo thuyền về hớng ngợc dòng thì sau thời gian t2=12,5 min thuyền sẽ tới

đúng vị trí B Coi vận tốc của thuyền đối với dòng nớc không đổi Tính:

a) Bề rộng l của con sông

b) Vận tốc v của thuyền đối với dòng nớc

c) Vận tốc u của dòng nớc đối với bờ

d) Góc α

Giải:

- Thuyền tham gia đồng thời 2 chuyển động: chuyển động cùng với dòng nớcc với vận tốc u và chuyển

động so với dòng nớc với vận tốc v Chuyển động tổng hợp chính là chuyển động của thuyền đối với bờ sông với vận tốc:

V= v+ u

a) Trờng hợp 1 ứng với hình 3.1.a; trờng hợp 2 ứng với hình 3.1.b:

Theo các hình vẽ ta có các phờng trình sau:

s=ut1; l=vt1; u=vsinα ; l=(vcosα )t2

a) Vận tốc của dòng nớc đối với bờ sông

b) Thời gian cần để thuyền qua đợc sông Cho biết chiều rộng của dòng sông bằng l=0,5km

Giải: Ta có v=7,2km/h=2m/s.

B C

M A

Hình 3.1

B s C

A

Hình 3.1.a

B A Hình 3.1.b

Thời gian cần thiết để qua sông là t1=

2) Sau đó xe đổi hớng, chạy theo hớng Tây-Bắc nhng ngời lái xe vẫn cảm thấy gió vẫn giữ nguyên hớng

nh trớc Hỏi khi đó vận tốc của xe bằng bao nhiêu và ngời lái xe cảm thấy gió có vận tốc là bao nhiêu? cho biết gió không đổi hớng và vận tốc

Giải:

vxd=40km/h Vận tốc của đất so với xe vdx=-vxd vận tốc của gió so với

xe vgx=40km/h và vxd ⊥ vgx;

Ta có vgx=vgd+vdx, và giản đồ vectơ nh hình vẽ Vì vxd=vgx nên gió có hớng Tây-Nam và có vận tốc vgd=40 2 km/h

2) Khi xe chuyển hớng mà gió không chuyển hớng thì vxd' ⊥ vgd, với vxd'là vận tốc mới của xe đối với

đất Ta cũng có vdx' ⊥ vgd Theo bài ra v'gxgiữ nguyên hớng cũ, nghĩa là v'gx hợp với vgdmột góc 450 nh

ở hình trên đây Theo hình này ta có: v'gx=vgd+vdx'; từ đó suy ra v’gx=vgd 2 =80km/h và v’dx=v’xd=vgd=40 2 km/h: xe chạy với tốc độ 40 2 km/h và ngời lái xe cảm thấy gió coa vận tốc 80km/h

IV Chuyển động rơi tự do

IV.I-Tính thời gian rơi, quãng đờng rơi và vận tốc rơi

Bài tập 1 Một vật đợc buông rơi tự do tại nơi có g=9,8m/s2

a) Tính quãng đờng vật rơi đợc trong 3 s và trong giây thứ 3

b) Lập biểu thức quãng đờng vật rơi trong n giây và trong giây thứ n

2

n g; sn-1=

2

1g(n-1)2Suy ra ∆sn=sn-sn-1=

450

Bài tập 2 Một vật rơi tự do tại nơi có g=10m/s2 Thời gian rơi là 10s Hãy tính:

a) Thời gian rơi một mét đầu tiên

b) Thời gian rơi một mét cuối cùng

∆

t=t-t’=10-5

1

102 − =0,01s

Bài tập 3: Vật A đặt trên mặt phẳng nghiêng của một cái nêm nh hình vẽ Hỏi phải truyền cho nêm một

gia tốc bao nhiêu theo phơng nằm ngang để vật A rơi xuống dới theo phơng thẳng đứng?

g

a≥

Bài tập 4 Một bán cầu có bán kính R trợt đều theo một đờng nằm ngang Một quả cầu nhỏ cách mặt

phẳng ngang một khoảng bằng R Ngay khi đỉnh bán cầu đi qua quả cầu nhỏ thì nó đợc buông rơi tự do.Tìm vận tốc nhỏ nhất của bán cầu để nó không cản trở chuyển động rơi tự do của quả cầu nhỏ Cho R=40cm

Giải

Gọi v là vận tốc trợt của bán cầu

Quãng dờng dịch chuyển của bán cầu trong thời gian t là : s1= vt

Trong thời gian đó, vật rơi dợc là: s2=

Vậy, để vật rơi tự do mà không bị cản trở bởi bán cầu thì vận tốc nhỏ nhất của bán cầu là vmin= Rg

IV.2.Liên hệ giữa quãng đờng, thời gian, vận tốc của 2 vật rơi tự do

h

A

S2

B C

R O

ơng pháp

-áp dụng các công thức về sự rơi tự do cho mỗi vật và suy ra sự liên hệ về đại lợng cần xác định

Nếu gốc thời gian không trùng với lúc buông vật, phơng trình quãng đờng rơi là: s=

2

1(t-t0)2-Có thể coi một vật là hệ quy chiếu và nghiên cứu cứu chuyển động tơng đối của vật kia

Ta luôn có: a21 =g−g=0

Hai vật rơi tự do luôn chuyển động thẳng đều đối với nhau

Bài tập 1 Hai giọt nớc rơi từ cùng một vị trí, giọt nọ sau giọt kia 0,5s.

a)Tính khoảng cách giữa 2 giọt nớc sau khi giọt trớc rơi đợc 0,5s, 1s, 1,5s

Hai giọt nớc rơi tới đất cách nhau một khoảng thời gian bao nhiêu? (g=10m/s2)

Giải

Chọn gốc thời gian lúc giọt thứ nhất rơi

Các quãng đờng rơi: s1=

4

g

(2t-0,5)

b) Thời gian rơi bằng nhau nên thời diểm chạm đất cách nhau 0,5s

IV.3 Chuyển động của vật đợc ném thẳng đứng hớng xuống

Nội dung bài toán đợc giải quyết bằng cách

*Thiết lập các phơng trình và thực hiện tính toán theo đề bài

* Xét chuyển động tơng đối nếu có nhiều vật chuyển động

Bài tập 1 Từ một tầng tháp cách mặt đất 45m, một ngời thả rơi một vật Một giây sau, ngời đó ném vật

thứ hai xuống theo hớng thẳng đứng Hai vật chạm đất cùng lúc Tính vận tốc ném vật thứ hai (g = 10m/s2)

a) Trớc 1s so với trờng hợp rơi tự do

b) Sau 1s so với trờng hợp rơt tự do

Lấy g=10m/s2

Giải

Chọn trục toạ độ Ox hớng xuống dới

0

g v

g v

−

−

g v g

−

−

Bài tập 4

Từ 3 điểm A, B, C trên một vòng tròn, ngời ta đồng thời thả rơi 3 vật Vật thứ

nhất rơi theo phơng thẳng đứng AM qua tâm vòng tròn, vật thứ hai theo dây

BM, vật thứ 3 theo dây CM Hỏi vật nào tới m trớc tiên, nếu bỏ qua ma sát?

Giải

Quãng đờng đi và gia tốc của vật thứ nhất: S1=2R, a1=g

Quãng đờng đi và gia tốc của vật thứ hai: S2=2Rcos(AMB), a2=gcos(AMB)

Quãng đờng đi và gia tốc của vật thứ ba: S3=2Rcos(AMC), a3=gcos(AMC)

áp dụng phơng trình đờng đi của chuyển động biến đổi đều ta suy ra thời gian rơi của mỗi vật đều bằng t=

Cõu 1 Một vật đi một phần đường trong thời gian t1 với vận tốc trung bỡnh v1, đi phần cũn lại trong thời

gian t2 với vận tốc trung bỡnh v2

a.Tỡm vận tốc trung bỡnh của vật trờn cả đoạn đường trờn?

b.Trong điều kiện nào vận tốc trung bỡnh bằng trung bỡnh cộng của hai vận tốc trung bỡnh v1, v2?

Cõu 2.Vật đi nửa đoạn đường đầu với vận tốc trung bỡnh v1, và đi nửa đọan đường sau với vận tốc trung

bỡnh v2

a.Tớnh vận tốc trung bỡnh trờn cả đoạn đường?

b.Vận tốc trung bỡnh trờn cú bằng trung bỡnh cộng cỏc vận tốc v1, v2 hay khụng (giải thớch)? Tỡm điều kiện để chỳng bằng nhau?

Cõu 3.Một đoàn vận động viờn chạy đều với vận tốc v1 = 1m/s, họ cỏch đều nhau.Chiều dài của đoàn là L

= 20m Huấn luyện viờn chạy ngược lại Khi gặp huấn luyện viờn thỡ vận động viờn chạy quay lại chạy

A

B

C

M

theo vận tốc của huấn luyện viên v2 = 2/3 (m/s).Sau đó tất cả cùng chạy về với huấn luyện viên thì chiều dài của đoàn là L’ Tính L’?

Giải:

Gọi n là số vận động viên(VĐV) Khoảng cách giữa 2 vận động viên liên tiếp là : ∆L = L / (n-1)

Sau khi VĐV thứ nhất gặp HVL thì thời gian VĐV thứ hai gặp HVL là:

=> vHLV/VĐV = v1 + v2 ( hết dấu vector lấy +v2 vì chạy ngược chiều )

Khi gặp huấn luyện viên thì từng vận động viên sẽ quay lại chạy theo chiều của huấn luyện viên nhưng khác vận tốc vì nếu cùng vận tốc thì tất cả HVL và VĐV sẽ là một cục về đích một lúc

Vậy sau sau khi VĐV thứ nhất gặp HVL và quay lại chạy thì tới lượt VĐV thứ hai gặp HVL và quay lại thì trong khoảng thời gian VĐV thứ hai tới gặp HVL thì khoảng cách giữa VĐV thứ nhất chạy nhanh hơn HLV và VĐV thứ hai một quãng là :

Câu 4.Hai xe ô tô đi theo hai con đường vuông góc nhau, xe A đi về hướng Tây với vận tốc 50km/h, xe B

đi về hướng Nam với vận tốc 30km/h Lúc 8h, A và B còn cách giao điểm của hai đường lần lượt là 4,4km và 4km và tiến về phía giao điểm Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe là:

a Nhỏ nhất

b Bằng khoảng cách lúc 8h

Giải:

Lấy trục toạ độ Ox và Oy trùng với hai con đường

Chọn gốc toạ độ là giao điểm của hai cong đường, chiều dương trên hai trục toạ độ ngược hướng với chiều chuyển động của hai xe và gốc thời gian là lúc 8h

Phương trình chuyển động của xe A là: (1)

.

Ta thấy khoảng cách hai xe nhỏ nhất, tức là nhỏ nhất, khi phút

Vậy khoảng cách hai xe là nhỏ nhất lúc 8h 06 phút

b) Khoảng cách hai xe bằng khoảng cách ban đầu khi

.Vậy khoảng cách hai xe bằng khoảng cách ban đầu lúc 8h 12 phút

Câu 5 Ba người đi xe đạp từ cùng một điểm và cùng chiều, trên cùng một đường thẳng Người thứ nhất

có vận tốc v1 = 8km/h.Người thứ hai xuất phát muộn hơn 15 phút và có vận tốc v2 =10km/h Người thứ ba xuất phát muộn hơn người thứ hai 30 phút và đuổi kịp hai người đi trước tại hai nơi cách nhau 5km.Tính vận tốc của người thứ ba?

a.gia tốc a của xe hai bằng bao nhiêu để trên đoạn đường AB không có lúc nào chúng có cùng vận tốc

b gia tốc a của xe thứ hai bằng bao nhiêu thì hai xe có cùng vận tốc trung bình Trong trường hợp này, thời điểm nào hai xe có cùng vận tốc?

a Tìm khoảng cách lớn nhất giữa khí cầu và vật trong quá trình rơi, cho g = 10m/s2.

b Thời gian vật rơi gặp lại khí cầu

Giải:

Trọn trục Oy hướng lên, gốc toạ độ tại điểm ném vật Khoảng cách lớn nhất giữa vật và khí cầu là khi vật đạt độ cao cực đại Khi vật đạt độ cao cực đại thì vận tốc của nó v1 = 0

Ta có 0 = v0 + gt<=> 0 = 18 - 10t <=> t = 1.8 s

Sau 1.8 s vật bay lên đc độ cao là: v1^2 - v0^2 = 2gS <=> 0 - 18^2 = 2.(-10).S <=> S = 16,2 m

đồng thời trong 1.8 s khí cầu đi xuống đc: S' = v.t = 2.1.8 = 3,6 m

a Tính thời gian vật chuyển động đều

b Vẽ đồ thị vận tốc của vật theo thời gian đs: 15s

Câu 10.

Hai người đứng trên một cánh đồng tại hai điểm A và B cách nhau một đoạn a =20m và cùng cách con đường thẳng một đoạn d = 60m Hãy tìm trên đường thẳng đó một điểm M để hai người đi đến M trong cùng một thời gian Biết rằng hai người đi với cùng vận tốc, nhưng trên đường đi của người A có một đoạn lầy c = 10m phải đi với vận tốc giảm một nửa so với bình thường

Đs: 25m.

Câu 11.

Con mèo đang đùa cùng một quả bóng đàn hồi nhỏ trên mặt bàn nằm ngang cách sàn h =1m thì quả bóng lăn rơi xuống sàn và va chạm hoàn toàn đàn hồi với sân Đứng ở mép bàn, sau thời gian quan sát nhiều va chạm cùa bóng với sàn, con mèo nhảy khỏi bàn theo phương ngang và bắt được bóng trước khi mèo chạm đất.Hỏi con mèo bắt được quả bóng cách sàn bao nhiêu? Biết rằng khi mèo nhảy khỏi bàn đúng lúc bóng

va chạm với sàn Bỏ qua lực cản không khí? Đs:0,75m

Câu 12.Hai chiếc tàu biển chuyển động đều với cùng vận tốc hướng tới điểm O trên hai đường thẳng hợp

nhau góc 600 Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 con tàu và lúc đó chúng đã vượt qua O chưa? Biết rằng lúc đầu chúng cách O những khoảng cách là d1 = 60km và d2 = 40km

Đs: 10km Câu 13.

Một người muốn qua một con sông rộng 750m.Vận tốc bơi của anh ta đối với nước 1,5m/s.Nước chảy với vận tốc 1m/s.Vận tốc chạy bộ trên bờ của anh ta là 2,5m/s.Tìm đường đi ( kết hợp giữa bơi và chạy bộ) để người này tới điểm bên kia sông đối diện với điểm xuất phát trong thời gian ngắn nhất, cho cos25,40 = 0,9; tan25,40 = 0,475 Đs: 556s; 198m

Câu 14

Cần đẩy AB chuyển động nhanh dần đều sau 4s

trượt từ vị trí cao nhất xuống một đọan 4cm

làm cho bán cầu bán kính R = 10cm trượt trên

nền ngang.Tìm vận tốc và gia tốc của bán cầu đó

Đs:1,5cm/s; 0,40625cm/s 2

Câu 15.

Trên dốc nghiêng 300, buông một vật nhỏ từ A Vật nhỏ trượt xuống dốc không ma sát Sau khi buông vật này 1s, cũng từ A, bắn một bi nhỏ theo phương ngang với vận tốc đầu v0 Xác định v0 để bi trúng vào vật trượt trên dốc nghiêng Bỏ qua lực cản của không khí Gia tốc trọng lực là g

Đs: 8,7m/s.

Câu 16.

Một tàu ngầm đang xuống sâu theo phương thẳng đứng Máy thủy âm định vị trí trên tàu phát tín hiệu âm kéo dài trong thời gian t0 theo phương thẳng đứng xuống đáy biển Tín hiệu âm phản hồi mà tàu nhận được kéo dài trong thời gian t.Hỏi tàu đang xuống sâu với vận tốc bằng bao nhiêu? Biết vận tốc của âm trong nước là u và đáy biển nằm ngang?

Câu 17.

Một vật chuyển động nhanh dần đều theo đường thẳng MN.Đánh dấu điểm A trên MN; đo quãng đường vật đi tiếp từ A, người ta thấy: đoạn đường AB dài 9,9cm vật đi mất thời gian 3s, đoạn đường AC dài 17,5cm vật đi mất thời gian 5s Xác định gia tốc của vật và thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động khi

Câu 18.

Hai máng rất nhẵn AB và CD cùng nằm trong

mặt phẳng thẳng và cùng hợp với phương ngang

góc như nhau (CD = CB) Hai vật nhỏ được thả

đồng thời không vận tốc đầu từ A và C.Thời gian để vật

trượt từ A đến B là t1 và thời gian để vật trượt

từ C đến D là t2.Sau bao lâu kể từ khi thả,

khoảng cách giữa hai vật là ngắn nhất

phương hợp với bờ một góc β , gió thổi với vận tốc

u hướng ra xa bờ và vuông góc với bờ.Người ta

thấy lá cờ treo trên tàu bay theo hướng hợp với hướng

chuyển động của tàu một góc α Xác định vận tốc của tàu đối với bờ

a.Hỏi cho đến khi hai tàu va vào nhau thì con chim bay được bao nhiêu lượt?

b.Đường bay toàn bộ của con chim là nao nhiêu? ĐS: 60km

Câu 21

Tàu A đi theo đường AC với vận tốc v1

Ban đầu tàu B cách tàu A một khoảng AB =l Đoạn AB

làm với đường BH vuông góc với AC một góc α

HÌNH VẼ ) Mô đun vận tốc của tàu B là v2

a.Tàu B phải đ theo hướng nào để đến gặp

tàu A và sau thời gian bao lâu thì gặp?

b.Tìm điều kiện để hai tàu gặp nhau ở H

ĐS:

Câu 22 Ô Tô A chạy trên đường AX với vận tốc v1 = 8m/s.

Tại thời điểm bắt đầu quan sát một người đứng ở

cách đường một khoảng d = 20m và cách ô tô

một khoảng l =160m (hình vẽ).Người ấy phải

chạy theo hướng nào để đến gặp ô tô

và chạy bao lâu thì gặp? Vận tốc chạy của người v2 =2m/s

Đs:

Câu 23 Một vật chuyển động chậm dần đều.Xét ba đoạn đường liên tiếp bằng nhau trước khi dừng lại thì

đoạn ở giữa vật đi trong thời gian 1s Tìm tổng thời gian vật đi ba đoạn đường bằng nhau

ĐS:

Câu 24 Một xe tải cần chuyển hàng giữa hai điểm A,B cách nhau một khoảng L =800m Chuyển động

của xe gồm hai gia đoạn: khởi hành tại A chuyển động nhanh dần đều va sau đó tiếp tục chuyển động chậm dần đều dừng lại ở B.Biết rằng độ lớn gia tốc của xe trong suốt quá trình chuyển động không vượt quá 2m/s2.Hỏi phải mất ít nhất bao nhiêu thời gian để xe đi được quãng đường trên?

ĐS:

Câu 25.

Hai chất điểm M1, M2 đồng thời chuyển động đều trên hai

đường thẳng đồng quy hợp với nhau một góc α với vận tốc v1, v2.

Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa chúng và khoảng thời gian

đạt khoảng cách đó, biết lúc đầu khoảng cách

giữa hai chất điểm là l và chất điểm M2

xuất phát từ giao điểm của hai đường thẳng

ĐS:

Câu 26

Một xe con đang chuyển động thẳng đều với vận tốc v0 thì người lái xe nhìn thấy một xe tải đang chuyển động cùng chiều, thẳng đều phía trước với vận tốc v1 ( v1 < v0) Nếu thời gian phản ứng của người lái xe con là t (tức là thời gian vẫn còn giữ nguyên vận tốc v0) và sau đó hãm phanh, xe con chuyển động chậm dần đều với gia tốc a.Hỏi khoảng cách tối thiểu của hai xe kể từ lúc người lái xe con nhìn thấy xe tải phải

là bao nhiêu để không xảy ra tai nạn? ĐS:

Câu 27.

Một hòn bi rất nhẵn nhỏ lăn ra khỏi cầu thang theo phương ngang với vận tốc v0 = 4m/s.Mỗi bậc cầu thang cao h =20cm và rộng d = 30cm.Hỏi hòn bi sẽ rơi xuống bậc cầu thang nào đầu tiên.Coi đầu cầu thang là bậc thang thứ 0.Lấy g =9,8m/s2 Bỏ qua lực cản của không khí

Đs: Bậc thang thứ 8.

Câu 28.

Hai chiếc ca nô xuất phát đồng thời từ một cái phao neo chặt ở giữa một dòng sông rộng.Các ca nô chuyển động sao cho quỹ đạo của chúng là hai đường thẳng vuông góc nhau, ca nô A đi dọc theo bờ sông.Sau khi đi được quãng đường L đối với phao, hai ca nô lập tức quay trở về phao.Cho biết độ lớn vận tốc của mỗi ca nô đối với nước luôn gấp n lần vận tốc u của dòng nước so với bờ.Gọi thời gian chuyển động đi và về của mỗi canô A và B lần lượt là tA và tB.Hãy xác định tỉ số A

Câu 29 Hai chất điểm chuyển động trên cùng một đường thẳng với các vận tốc đầu v1 ; v2 ngược chiều

nhau, hướng đến với nhau.Gia tốc của chúng không thay đổi và ngược chiều với các vận tốc đầu tương ứng.Độ lớn các gia tốc a1, a2.Khoảng cách ban đầu giữa hai chất điểm có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu

để chúng không gặp nhau khi chuyển động? Đs: ( )

( )

2

1 2

1 22

++

Câu 30.Hai người đấu súng ở trên một bàn quay đều với tốc độ góc ω Một ở tâm và một ở cách tâm một đoạn R, giả sử hai người dùng cùng một loại súng, đạn được coi là thẳng đều

a.Mỗi người phải ngắm như thế nào để bắn trúng đối thủ

b.Ai có lợi thế hơn ? giải thích? ĐS:

Câu 31 Máy bay từ A đến B rồi trở lại A.Vận tốc của máy bay khi không có gió là v Chuyến khứ hối

đầu gió thổi từ A đến B, chuyến khứ hồi thứ hai gió thổi vuông góc với AB.Vận tốc mà gió truyền thêm cho máy bay theo hướng gió thổi là v.Bỏ qua thời gian đỗ ở B,Tính tỉ lệ các thời gian thực hiện hai chuyến bay.Máy bay phỉa luôn bay theo đúng đường AB

ĐS:

Câu 32.

Thanh AB dài l =2m chuyển động sao cho hai đầu A, B

của nó luôn tựa trên hai giá vuông góc nhau OX và OY

Hãy xác định vận tốc của các điểm A và D của thanh

tại thời điểm mà thanh hợp với giá oy góc OBA=600

Cho biết AD = 0,5m; vận tốc đầu B của thanh tại

thời điểm đó là vB= 2m/s và có chiều như hình vẽ

đs:

Câu 33.

Hai vành tròn mảnh bán kính R, một vành đứng yên, vành còn

lại chuyển động tịnh tiến sát vành kia với vận tốc v0

Tính vận tốc của điểm cắt C giữa hai vành khi khoảng

cách giữa hai tâm OO2 = d

đs:

Câu 34.

Thanh dài AB có thể trượt dọc theo hai trục ox và

oy vuông góc nhau.Cho đầu B của thanh trượt đều

với vận tốc v0.Tìm độ lớn và hướng gia tốc của

trung điểm C của thanh tại thời điểm thanh hợp

với ox một góc α

Câu 35.

Một em học sinh cầm hai quả bóng nhỏ trên tay

Lỳc đầu em đú tung quả búng thứ nhất thẳng đứng, lờn cao với vận tốc v0.

a.Hỏi sau đú bao lõu em đú phải tỳng tiếp quả búng thứ hai thẳng đứng lờn cao với vận tốc đầu là v0/2 để hai quả búng đập vào nhau sau khoảng thời gian ngắn nhất( kể từ lỳc đầu)

b.Hỏi nơi quả búng đập vào nhau cỏch vị trớ tung búng khoảng bao nhiờu? Lấy g = 10m/s2 v0= 10m/s, bỏ qua sức cản của khụng khớ? Đs:a.1,365s ; b.1,25m

Cõu 36.

Một canụ qua sụng luụn theo phương AB Hỏi canụ phải hướng theo hướng nào ( hợp với AB một gúc?)

để thời gian đi từ A đến B rồi từ B về A mất 5 phỳt Biết rằng vận tốc nước là 1,9m/s và hợp với AB một

Cõu 37.

Trờn mặt phẳng tại ba đỉnh của tam giỏc đều , cạnh dài L cú ba con rựa nhỏ.Theo hiệu lệnh chỳng bắt đầu chuyển động với vận tốc cú độ lớn v0 khụng đổi Biết rằng tại thời điểm bất kỡ, mỗi con rựa đều chuyển động hướng đỳng về phớa con rựa bờn cạnh theo chiều kim đồng hồ.Tỡm gia tốc của rựa phụ thuộc vào thời gian?

2 0 0

3

v a

=

−

Cõu 38.Hai ụ tụ chuyển động đều tiến lại gần nhau: Trong trường hợp thứ nhất trờn cựng một con đường

và trường hợp thứ hai cựng tiến đến một ngó tư của hai con đường vuụng gúc nhau Hỏi vận tốc tiến lại gần của hai xe trong trường hợp thứ nhất lớn gấp tối đa bao nhiờu lần vận tốc này trong trường hợp thứ

Cõu 39 Con mốo Tom ngồi trờn mỏi nhà, sỏt mộp của mỏi nhà Con chuột Jerry ở dưới đất dựng sỳng cao

su bắn nú Hũn đỏ từ lỳc rời sỳng bay theo đường cong đó rơi trỳng chõn con mốo sau thời gian 1s.Hỏi mốo nằm cỏch chuột một khoảng bằng bao nhiờu nếu biết rằng cỏc vộctơ vận tốc của hũn đỏ lỳc đầu và

lỳc rơi trỳng con mốo vuụng gúc nhau? ĐS: 5m

Cõu 40.

Một người bước ra khỏi toa tàu và đi về phớa đầu tàu với vận tốc 5,4km/h.Hai giõy sau, bắt đầu chuyển động với gia tốc khụng đổi và 6s nữa tàu đi ngang qua người đú Tại thời điểm này vận tốc của tàu gấp 10 lần vận tốc của người Hỏi người đú bước ra khỏi toa tàu ở cỏch đuụi tàu bao nhiờu một?

Đs: 27,5m.

PHẦN II: ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM.

I.Chuyển động của vật bị nộm xiờn, nộm ngang.

Bài 1: Ném một viên đá từ điểm A trên mặt phẳng nghiêng với vận tốc v0 hợp với mặt phẳng ngang một

góc β =600, biết α =300 Bỏ qua sức cản của không khí

a Tính khoảng cách AB từ điểm ném đến điểm viên đá rơi.

b Tìm góc ϕ hợp bởi phơng véc tơ vận tốc và phơng ngang ngay sau viên đá chạm mặt phăng nghiêng và bán kính quỹ đạo của viên đá tại B

Giải:

a Chọn hệ trục oxy gắn o vào điểm A và trục ox song song với phơng ngang Trong quá trình chuyển

động lực tác dụng duy nhất là trọng lực P

Theo định luật II Newton:

1.sin

)1(

cos

2 0

0

gt t v

y

t v

x

β

β

Khi viên đá rơi xuống mặt phẳng nghiêng:

)3(cos

α

α

l y

l x

T hế (3) vào (1) ta rút ra t thế vào (2) và đồng thời thế (4) vào (2) ta rút ra :

α

αββ

α

β

2

2 0

cos

)cos.sincos

(sincos2

β2

2 0cos

)sin(

.cos2

a Tại B vận tốc của vật theo phơng ox là:

v x =v0cosβ

20

v

= Khi vật chạm mặt phẳng nghiêng :

α cosα

3

2cos

2 0

g

v l

hay β cosα

3

2.cos

2 0 0

g

v t

Vận tốc theo phơng oy tại B:

v y =v0sinβ−gt

323

2

0

v v

v

⇒tan =ϕ

31

2

320

F ht

2cos =

ϕcos

2 0 2 2 2 2

v v

2 2 0

Câu 2:

Một quả cầu nhỏ nằm ở chân nêm AOB

vuông cân, cố định cạnh l (hình vẽ)

Cần truyền cho quả cầu vận tốc v0 bằng

bao nhiêu hướng dọc mặt nêm để quả cầu

rơi đúng điểm B trên nêm Bỏ qua mọi ma

sát, coi mọi va chạm tuyệt đối đàn hồi

22

2

2 0

2

2

Sau khi rời O, quả cầu chuyển động

như vật ném xiên với vtạo với phương

Khi chạm B: y = 0 ⇒ t =

g

v

22

Vận tốc quả cầu ngay trước va chạm: vy = v - ⋅ =

A

O

BX

n

gl

Bài 3: Ngời ta đặt một súng cối dới một căn hầm có độ sâu h Hỏi phải đặt súng cách vách hầm một

khoảng l bao nhiêu so với phơng ngang để tầm xa S của đạn trên mặt đất là lớn nhất? Tính tầm xa này biết vận tốc đầu của đạn khi rời súng là v 0

2 0

gt t v

v g

t v

v x = y ⇒ = α − α ⋅

(1) Hơn nữa ta phải có sau thời gian này:

sin

)2(cos

2 0

0

h

gt t v

l t v

h y

l x

αα

v

gh

−

=αThế vào (4):

= 02 (sinαcosα −cos2α)

g v l

l = )

2

1 4

1

0 4

0

0

v

gh v

h g g

−+

=

0

2 0

2 0 0

0

2 0

2 0

2

12

12

12

12

1

v

gh v

gh v

gh v

v v g

v

gh v

gh

2 02

1()2

1

0 2 0

2 0

2 0

gh v

gh v

v A

⇒Smax = ( )

g

v v gh g

0 2 0

14

1

0

4 0

2 2 2

0

v

gh v

h g g

gh

1.2

0 2 0

Bài 4: ở mép của một chiếc bàn chiều cao h, có một quả

cầu đồng chất bán kính R = 1(cm) (R≤h) Đẩy cho tâm 0

của quả cầu lệch khỏi đờng thẳng đứng đi qua A, quả cầu

rơi xuống đất vận tốc ban đầu bằng 0 Tính thời gian rơi và

tầm xa của quả cầu(g = 10m/s2)

Từ (1) và (2) suy ra:

3

5sin

v gR

3

2

=Giai đoạn tiếp theo vật nh một vật bị ném xiên với góc α và với vận tốc ban đầu:

v gR

32

=

Theo đề bài R<<h do vậy ban đầu ta xem 0≡ A.

.cos

gt t v y

t v x

αα

Khi chạm đất y=h, nên:

v t+ gt2 =h

2

1.sinα

32

α

gR v

−

=

)(0

33

5410

10

.33

5410

10

2

1

loai g

gh gR

gR t

g

gh gR

gR t

Vậy sau t =

g

gh gR gR

3 3

54 10

2

v x

g

gh gR

gR

.33

5410

10

2 27

Bài 5: Hai vật nhỏ được nộm đồng thời từ cựng một điểm: một vật được nộm thẳng lờn, và vật kia nộm ở

gúc θ =600so với phương ngang Vận tốc ban đầu của mỗi vật là v0= 25 m/s Bỏ qua ảnh hưởng của khụng khớ Tỡm khoảng cỏch giữa hai vật sau thời gian 1,7s?

2 2 2 2 o

Bài 6: Từ đđỉnh A của một mặt bàn phẳng nghiêng người ta thả

một vật nhỏ cĩ khối lượng m = 0,2kg trượt khơng ma sát, khơng vận

tốc đầu Cho AB=50cm; BC = 100cm; AD = 130cm; g = 10m/s2

a) Tính vận tốc của vật tại điểm B

b) Viết phương trình quỹ đạo của vật sau khi rời khỏi bàn (Lấy

Câu 1 Một người đứng ở đỉnh dốc bở biển ném một hịn đá ra biển Hỏi người ấy phải ném hịn đá dưới

một gĩc bằng bao nhiêu so với phương nằm ngang để nĩ rơi xa chân bờ biển nhất.Khoảng cách xa nhất

ấy là bao nhiêu?Cho biết bờ dốc thẳng đứng, hịn đá được ném từ độ cao H =20m so với mặt nước và cĩ vận tốc v0 = 14m/s.Lấy g = 9,8m/s2 ĐS: 34,63( m )

Câu 2 Một chất điểm được ném từ điểm O trên mặt đất tới một điểm B cách O một đoạn a theo phương

nằm ngang vá cách mặt đất một đoạn 3

4a Bỏ qua lực cản của khơng khí.

a.Nếu vận tốc ban đầu của chất điểm là v0 = 2 ag thì gĩc ném so với phương nằm ngang là bao nhiêu để nĩ trúng vào điểm B

b Tìm giá trị nhỏ nhất của v0 để chất điểm tới được điểm B và tìm gĩc ném ứng với giá trị v0min

Đs: tan = 7 và tan =1; v0 = 2 ag và tan = 2

Câu 3 Một bánh xe cĩ bán kính R, đặt cách mặt đất một đoạn H, quay đếu với vận tốc gĩc ω Từ bánh

xe bắn ra một giọt nước và nĩ rơi chạm đất tại điểm B, ngay dưới tâm cảu bánh xe ( hình vẽ).Tính thời gian rơi của gọt nước và xác định điểm A trên bánh xe, nơi giọt nước từ đĩ bắn ra?

ĐS:

2

2cos

Câu 4 Cần ném bĩng rổ dưới một gĩc nhỏ nhất so với phương nằm ngang là bao nhiêu để nĩ bay qua

vịng bĩng rổ từ phía trên xuống mà khơng chạm vào vịng?Bán kính quả bĩng là r, bán kính vịng bĩng

rổ là R, độ cao của vịng tính từ mặt đất là H Cầu thủ ném bĩng từ độ cao h ( h <H) khi cách vịng một khoảng l theo phương ngang.Sự thay đổi vận tốc của quả bĩng trong thời gian bay qua vịng cĩ thể bỏ qua.Tính αmin khi H =2r; H =3m; h =2m; l = 5m

ĐS: α =450

Câu 5 Một người đứng trên đỉnh tháp cao H phải ném hịn đá với vận tốc tối thiểu bằng bao nhiêu để hịn

đá rơi cách chân tháp một khoảng L cho trước? Tính gĩc ném ứng với vận tốc tối thiểu đĩ?

ĐS:

2 0

gL

α =

Câu 6.Một hịn bi rơi từ độ cao h xuống mặt phẳng nghiêng

gĩc α so với mặt phẳng ngang.Tính tỉ số các khoảng cách giữa các điểm

va chạm của hịn bi với mặt phẳng nghiêng.Va chạm là hồn tồn đàn hồi

ĐS: 1:2:3:4…

Câu 7 Một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v0= 20m/s hợp vớí phương ngang một gĩc α =600 a.Tại thời điểm nào vận tốc của vật tạo với phương ngang một gĩc 300

b Tính bán kính quỹ đạo của vật tại những thời điểm trên và thời điểm bắt đầu ném.Lấy g =10m/s2.

ĐS: 2 ; 4

Câu 8 Cho mặt phẳng nghiêng hoàn toàn nhẵn, góc nghiêng α ( 0<α <900 ) Từ một điểm O trên mặt phẳng nghiêng bắn lên một vật nhỏ với vận tốc ban đầu v0 hợp với mặt phẳng nghiêng góc β , xác định

β sao cho khi vật đến va chạm vào mặt phẳng nghiêng lại nảy về điểm O.Coi va chạm là hoàn toàn đàn

Câu 9 Một hòn bi nhỏ bằng kim loại được thả không

vận tốc đầu từ điểm A, cách mặt phẳng nghiêng góc

nghiêng α một đọan h =AB =1m theo phương thẳng đứng.

Bi va chạm với mặt phẳng nghiêng lần đầu tại B và lần ngay

sau đó tại C Biết S = BC = 4m.bỏ qua lực cản, xem

va chạm là đàn hồi.Lấy g = 10m/s2.Tính bán kính quỹ đạo

của hòn bi tại điểm cao nhất giữa hai lần va chạm đó

ĐS: 1,5cm

Câu 10 Em bé ngồi dưới sàn nhà ném một viên bi lên bàn cao h =1m với vận tốc v0= 2 10 m/s Để viên

bi có thể rơi xuống mặt bàn ở B xa mép bàn A nhất thì vận tốc v0 phải nghiêng với phương ngang một góc bằng bao nhiêu? Tính khoảng cách AB và khoảng cách từ chỗ ném O đến chân bàn H Lấy g = 10m/s2 ĐS: AB= 1m; OH = 0,732m

Câu 11 Từ A ( độ cao AC = H =3,6m) người ta thả một vật rơi tự do

Cùng lúc đó, từ B cách C đoạn BC = l =H người ta ném một vật khác

với vận tốc đầu v0 hợp với phương ngang một vật góc α

Tính góc α và vận tốc v0 để hai vật có thể gặp nhau khi

chúng đang chuyển động

ĐS: 450 ; V0 ≥ 6m/s Câu 12 Từ A cách mặt đất khoảng AH =45m người ta ném vật với vận tốc v01= 30m/s theo phương

Câu 13 Hai vật được ném đồng thời từ cùng một điểm trên mặt đất Vận tốc đầu của chúng có cùng độ

lớn v0 nhưng hợp với phương ngang các góc ,α β như hình vẽ

a Tìm vận tốc tương đối của vật II so với vật I

b Tìm khoàng cách giữa hai vật sau khi phóng đi T giây

ĐS: V21= 2v0.cos

2

α β+ ; d = 2v0 cos(

2

α β+).T

Câu 14 Từ cùng một điểm ở trên cao , hai vật được đồng thời ném ngang với các vận tốc đầu ngược

chiều nhau Gia tốc trọng lực là g Sau khoảng thời gian nào kể từ lúc ném thì các vectơ vận tốc của hai vật trở thành vuông góc nhau

ĐS: t = v v1 2

g

Câu 15 Một quả bom nổ ở độ cao H so với mặt đất.Gỉa sử các mảnh văng ra theo mọi phương ly tâm ,

đối xứng nhau với cùng độ lớn vận tốc v0.Tính khoảng thời gian từ lúc nổ cho đến khi:

a Mảnh đầu tiên và mảnh cuối cùng chạm đất

CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT NỐI VỚI NHAU QUA RềNG RỌC ĐỘNG.

Cõu 1 Cho hệ như hỡnh vẽ: m1= 3kg; m2= 2kg, m3= 5kg.Tỡm gia tốc của mỗi vật và lực căng dõy của dõy

Cho hệ như hỡnh vẽ: m1=3kg Ban đầu vật A được

giữ đứng yờn cỏch sàn là h = 70cm, sau đú buụng vật A

Tỡm lực căng của đoạn dõy nối với B và của đoạn dõy

buột vào trần nhà Và tỡm độ cao cực đại đạt được của

vật B khi vật A chạm đất Xột hai trường hợp:

m2=1,5kg ; m2= 1kg.Bỏ qua ma sỏt và khối lượng

rũng rọc.Lấy g =10m/s2

ĐS: Th1: T 1 = 30N; T 2 =T 3 =15N ; B đứng yờn.

Th2: T 3 =T 2 = 12,86N; T 1 = 25,72N; h max = 1,1m

CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC VẬT CHỒNG LấN NHAU

Bài 1: Cho cơ hệ nh hình vẽ Lúc đầu hệ cân bằng, bàn nhận đợc

gia tốc a theo phơng ngang nh hình vẽ Tính gia tốc

của M đối với mặt đất, biết hệ số ma sát trợt giữa M và sàn là à.

a là gia tốc của M đối với bàn 0

a là gia tốc của bàn đối với đất

=

=

=

)3(cos

sin

)2(

0 2

2 2

ma T mg

F

g

a mg

ma P

F tg

qt

qt

αα

mg ma

N Ma a

+

++

sin

2 2 2

2

a g

a g a tg

tg

+

=+

=+

=α

αα

1

11

1cos

2 2 2

2

g g

a

=αα

Và N1 =Mg (8)

Thế (6), (7), (8) vào (5) ta rút ra:

M m

g a m Mg Ma

a

+

++

g a m Mg Ma

a a

+

++

mg Mg g

a m

Bài 2: Cho cơ hệ nh hình vẽ Hệ số ma sát giữa M và m là à1,

giữa M và sàn là à2 Tìm độ lớn của lực F nằm ngang:

a Đặt lên m để m trợt trên M

b Đặt lên M để M trợt khỏi m

N N

ma F

1 2

1 1

M

F F a g M m P P N

N

N

Ma F

2 2

1 2

1

2 2

)(

=+

M

g M m mg

F >( 1− 2)( + )

Với điều kiện: a1 >0⇔ F >à1mg

Vậy đáp số của bài toán này:

g M

m M m F

1

2 1

à

à à

ma

F ms

1 1

1 1

m

N m

F

1 1 1 1

1 = = à =à

⇒ Phơng trình chuyển động của vật M:

=+

Ma F

F

)(

2 1 2 1

2 2

1

M

F F F

mg F

F

ms

ms ms

2 2

1 ' 1 1à

à)

hay g

M

F F

1 2 1'

F

1 2

àà

Điều kiện a2 >0

hay F>à1mg+à2(m+M)g (2)

Điều kiện (2) bao hàm trong điều kiện (1)

Do vậy kết quả bài toán :

)2(

)1(

2

2 2 2 2

2 2 2

1

1 1 1 1

1 1 1

0 0 0

0

m

T P a a

m T P

m

T P a a

m T P

m

T a a

m T

Giả sử ròng rọc quay ngợc chiều kim đồng hồ

Gọi S0, S1, S2 là độ dời của m0, m1, m2 so với ròng rọc A

S’ là độ dời của m1, m2 so với ròng rọc B

0 2

S S S

=+

⇒

=+

Rút ra:

g

m m m

2

12

122

2 1 0

++

=

1 1

1 1

1 1 1

2

2

m

T g m

T g m m

T g m

⇒Hay :

( 4 1 1 )

2

2 1 0 1

1

m m m m

g g

a

++

−

=