tam thức bậc hai và các vấn đề liên quan

Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 1 http://www.ebook.edu.vn Thành viên nhóm 1: (Mọi thành viên đều có vai trò như nhau) - Huỳnh Thị Bích Liễu - Võ Thị Lụa - Võ Thị Bích Tuyền - Nguyễn Thị Hồng Uyên Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 2 http://www.ebook.edu.vn MỤC LỤC YZ I. Phương trình bậc hai 3 1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 3 1.2 Định lí viét đối với phương trình bậc bai 3 1.3 Các bài toán liên quan 3 II. Dấu của tam thức bậc hai 10 2.1 Tam thức bậc hai 10 2.2 Dấu của tam thức bậc hai 10 2.3 So sánh nghiệm của tam thức bậc hai 13 III. Một số ứng dụng của tam thức bậc hai 21 3.1 Tìm giá trị lơn nhất và nhỏ nhất của hàm số 21 3.2 Giải bất phương trình bậc hai một ần 22 3.3 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc ba 22 3.4 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc bốn 24 3.5 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số lượng giác 26 3.6 Ứ ng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm mũ và ham logarit 27 3.7 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với phương trình - bất phương trình chứa căn 30 Bài tập đề nghị 31 Hướng dẫn giải 33 Danh mục tài liệu tham khảo 40 Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 3 http://www.ebook.edu.vn I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: 1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai dạng 0cbxax 2 =++ () 0a ≠ • Bước 1: Tính () Δ ′ Δ • Bước 2: Tìm nghiệm dựa vào dấu ( ) Δ ′ Δ - Nếu 0< Δ : Phương trình vô nghiệm - Nếu 0= Δ : Phương trình có nghiệm kép 2a b xx 21 − == - Nếu 0> Δ : Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− = +− = 2a Δb x 2a Δb x 2 1 1.2 Định lí Vi-et đối với phương trình bậc hai: 1.2.1 Định lí thuận: Nếu phương trình bậc hai : 0cbxax 2 =++ có hai nghiệm phân biệt 21 , xx thì ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ == − =+= a c .xxP a b xxS 21 21 1.2.2 Định lí đảo Với hai số thực x 1 , x 2 thỏa: ⎩ ⎨ ⎧ = =+ P.xx Sxx 21 21 ⇒ x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình: 0PSXX 2 =+− (với địều kiện 04PS 2 ≥− ) 1.3 Các bài toán liên quan: Bài toán 1 : Giải và biện luận phương trình bậc hai: ¾ Phương pháp - Nếu a có chứa tham số + Trường hợp 1: Xét a = 0 rồi biện luận + Trường hợp 2: Xét a ≠ 0 rồi dùng Δ biện luận - Nếu a là hằng số Dùng () Δ ′ Δ để biện luận trực tiếp Ví dụ: Giải và biện luận phuơng trình: 1) b a ba b a ba x 1 x − + + + − =+ (1) 2) 2 ax b b x a = − + − (2) Giải: 1) Điều kiện () 0x ≠ ; điều kiện bab,a − ≠ ≠ Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 4 http://www.ebook.edu.vn Phương trình (1): 01.x ba ba ba ba x 2 =+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + − −⇔ (*) =Δ ba,0, ba ba ba ba 4 ba ba ba ba 22 ∀≥ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + − + − =− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + + − Phương trình (*) có hai nghiệm: b a ba x, b a ba x 21 + − = − + = (thỏa mãn điều kiện vì a b ± ≠ ) Kết luận : Vậy, bab;a, ± ≠ ∀ phương trình (1) có hai nghiệm b a ba x, b a ba x 21 + − = − + = 2) Điều kiện bxa,x ≠≠ Phương trình (1): () ( ) ( ) ( ) ()() 0baxba32x bxax2bxbaxa 2 2 =+++−+⇔ −−=−+−⇔ (*) ()() ( ) 0baba8ba9 222 ≥+=+−+=Δ ba, ∀ Phương trình (*) có hai nghiệm: bax, 2 ba x 21 += + = Xét điều kiện: 0abbx 0babaax bab 2 ba bx baa 2 ba ax 2 2 1 1 ≠⇔≠+⇔≠ ≠⇔≠+⇔≠ ≠⇔≠ + ⇔≠ ≠⇔≠ + ⇔≠ ba Kết luận :  Nếu a = b = 0 phương trình vô nghiệm  Nếu a = 0, b 0≠ phương trình có nghiệm 2 b x 1 =  Nếu a 0≠ , b = 0 phương trình có nghiệm 2 a x 1 =  Nếu a 0≠ , b 0≠ , a = b phương trình có nghiệm 2ax 2 =  Nếu a 0≠ , b 0≠ , a ≠ b phương trình có nghiệm bax, 2 ba x 21 += + = Bài toán 2: Tìm giá trị của tham số để phương trình 0cbxax 2 =++ (*) thỏa một số điều kiện liên quan đến nghiệm của chúng. a. Tìm giá trị của tham số để phương trình: 0 2 =++ cbxax (*) có số nghiệm nhất định Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 5 http://www.ebook.edu.vn  Phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ =Δ ≠ 0 0a  Phương trình (*) có một nghiệm ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ = ≠ ⎩ ⎨ ⎧ =+ = 0Δ 0a 0cbx 0a  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ >Δ ≠ 0 0a  Phương trình (*) có nghiệm ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≠ ⎩ ⎨ ⎧ =+ = 0Δ 0a 0cbx 0a  Phương trình (*) có vô số nghiệm ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 0c 0b 0a Ví dụ: Tìm m để phương trình: () 022xx1m 2 =++− (*) a) Có đúng một nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có nghiệm Giải: ( ) 128m1m84 + −=−−=Δ a) Để (*) có đúng một nghiệm, thì: ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ ⎩ ⎨ ⎧ −= = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ =+− ≠− ⎩ ⎨ ⎧ =+ =− 2 3 m 1m 2 3 m 1m 1x 1m 0128m 01m 022x 01m Vậy, với m = 1 hoặc 2 3 m = thì phương trình có đúng một nghiệm. b) Để (*) có hai nghiệm phân biệt, thì: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≠ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ >+− ≠− 2 3 m 1m 0128m 01m Vậy, với m 1≠ và 2 3 m < thì phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) Để (*) có nghiệm, thì: Có một nghiệm Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 6 http://www.ebook.edu.vn ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≠ ⎩ ⎨ ⎧ −= = ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎩ ⎨ ⎧ ≥+− ≠− ⎩ ⎨ ⎧ =+ =− 2 3 m 1m 1x 1m 0128m 01m 022x 01m Vậy, với 2 3 m ≤ thì (*) luôn có nghiệm. b. Tìm giá trị của tham số để phương trình: 0cbxax 2 =++ ( a ≠ 0) (*) có  Hai nghiệm trái dấu 0 a c <⇔  Hai nghiệm dương phân biệt ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > > >− ⇔ 0Δ 0 a c 0 a b  Hai nghiệm âm phân biệt ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > > <− ⇔ 0Δ 0 a c 0 a b Bài toán 3: Dùng định lí Vi-et tìm mối liên hệ giữa các nghiệm trong một phương trình bậc hai Tìm tham số để phương trình cbxax 2 ++ thỏa mãn điều kiện K.( K là một biểu thức theo 21 x,x ) Ta thực hiện theo các bước sau: Bước1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm 21 x,x ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≠ ⇔ 0Δ 0a Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et, ta được: (I) Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua (I) Ta có thể biểu thị các đa thức đối xứng giữa các nghiệm 21 x,x theo S và P. () () ⎩ ⎨ ⎧ = =+ mg.xx mfxx 21 21 Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 7 http://www.ebook.edu.vn () () () 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 3 2 3 1 3 2121. 3 21 3 2 3 1 21 21 21 2 21. 2 21 2 2 2 1 P 2PS xx xx x 1 x 1 3SPSxxx3xxxxx P S x.x xx x 1 x 1 2PSx2xxxxx − = + =+ −=+−+=+ = + =+ −=−+=+ Ví dụ : Cho phương trình: () ( ) 02mx1m2x1m 2 =−+−−+ Xác định m để phương trình hai nghiệm 21 x,x thỏa mãn ( ) 2121 .x7xxx4 =+ Giải: Phương trình có 2 nghiệm 21 , xx : ⎩ ⎨ ⎧ ≥ ≠ ⇔ 0Δ 0a 3m1 0m3 01m ≤≠−⇔ ⎩ ⎨ ⎧ ≥− ≠+ ⇔ (*) Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + − = + − =+ 1m 2m .xx 1m 1m2 xx 21 21 Suy ra: () ( ) 6m 1 m 2m 7. 1 m 1m2 4.x7xxx4 2121 −=⇔ + − = + − ⇔=+ thỏa (*) Vậy, với 6 − =m thỏa điều kiện của đề bài. Ví dụ: Cho phương trình () 01 2 =+++ mxmx Gọi x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình trên, tìm: 1) S 2 2 2 1 xx += 2) S 3 2 3 1 xx += 3) S 21 x 1 x 1 += 4) S 2 1 1 2 x x x x += 5) Mối liên hệ giữa hai nghiệm theo m Giải: () () 22 1m4m1mΔ −=−+= 0≥ m ∀ Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm m ∀ Theo định lí Viet ta có: Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 8 http://www.ebook.edu.vn () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ === +−= − =+= m a c .xxP 1m a b xxS 21 21 1) S () ( ) [ ] 1m2m1m2PSx2x.xxxx 2 2 2 21 2 21 2 2 2 1 +=−+−=−=−+=+= 2) () ( ) ( ) ()() () () () 1mm1m3m1m1m 3PSSx.xxxxxxxS 2 2 2 2 221 2 121 3 2 3 1 +−+−=−++−= −=+−+=+= 3) S ( ) m 1m P S .xx xx x 1 x 1 21 21 21 + − == + =+= 4) S =+= 2 1 1 2 x x x x ( ) ( ) m 1m m 2m1m .xx .x2xxx .xx xx 2 2 21 21 2 2x 21 2 2 2 1 + = −+ = −+ = + 5) () ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ === +−= − =+= m a c .xxP 1m a b xxS 21 21 Suy ra: 1.xxxx1.xxxx 21212121 − = + + ⇔ −−=+ Mối liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình là: 1. 2121 −= + + xxxx Bài toán 4: Quan hệ giữa các nghiệm trong một phương trình bậc hai A. Vấn đề 1: a. Đặt vấn đề: Định tham số để hai phương trình bậc hai: (2) 0cxbxa (1) 0cxbxa 22 2 2 11 2 1 =++ =++ có chung nghiệm b. Giải quyết vấn đề: Để (1) và (2) có chung nghiệm thì hệ phương trình: ⎩ ⎨ ⎧ =++ =++ 0cxbxa 0cxbxa 22 2 2 11 2 1 phải có nghiệm Ví dụ : Tìm giá trị nguyên của m để hai phương trình sau có chung nghiệm: () () (2) 01x32m6x (1) 03x13m2x 2 2 =−−− =−−+ Giải: Giả sử 0 x là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2). Khi đó yêu cầu của bài toán ( ) () ⎩ ⎨ ⎧ =−−− =−−+ ⇔ 01x32m6x 03x13m2x 0 2 0 0 2 0 có nghiệm Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 9 http://www.ebook.edu.vn ( ) 8x611m 0 = − ⇒  Nếu 11 6 m061m1 =⇒=− Trường hợp này (1) và (2) không có nghiệm chung  Nếu 611m 8 x 11 6 m0611m 0 − =⇒≠⇒≠− Thay vào (1) và rút gọn ta được: 2m068164m99m 2 =⇔=−− * Với m = 2 thì (1) thành: ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= = ⇔=−+ 3x 2 1 x 035xx2 2 * Với m = 2 thì (2) thành: ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −= = ⇔=−− 3 1 x 2 1 x 01x6x 2 Vậy với m= 2 thì cả hai phương trình đã cho đều có nghiệm chung x = 2 1 B. Vấn đề 2: a. Đặt vấn đề: Tìm điều kiện của tham số để hai phương trình bậc hai tương đương: (2) 0cxbxa (1) 0cxbxa 22 2 2 11 2 1 =++ =++ b. Giải quyết vấn đề: Để (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi hai tập hợp nghiệm của chúng phải trùng nhau. Muốn vậy ta xét hay trường hợp:  Trường hợp 1: Trường hợp cả hai phương trình đều vô nghiệm Ta giải hệ điều kiện: ⎩ ⎨ ⎧ <Δ <Δ 0 0 2 1  Trường hợp 2: Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm Ta giải hệ điều kiện: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ≥ ≥ 21 21 2 1 PP SS 0Δ 0Δ Ví dụ: Cho hai phương trình 0m2xx 2 =−+ (1) và 02mx2x 2 =++ (2). Tìm m để (1) và (2) tương đương. Giải: Ta có 4m4Δ 1 += ; 16mΔ 2 2 −= • Trường hợp 1: Trường hợp cả hai phương trình vô nghiệm Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI 10 http://www.ebook.edu.vn 1m4 4m4 1m 016m 04m4 0Δ 0Δ 2 2 1 −<<−⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <<− −< ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ <− <+ ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ < < ⇔ • Trường hợp 2: Trường hợp cả hai phương trình có nghiệm Để (1) và (2) tương đương thì : ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −= = ⎢ ⎣ ⎡ −≤ ≥ ≥ ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− −=− ≥− ≥+ ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ≥ ≥ 1m 4m 4m 4m 1m 1m 2 m 2 016m 04m4 PP SS 0Δ 0Δ 2 21 21 2 1 (vô nghiệm) Vậy, với -4<m<-1 thì hai phương trình đã cho tương đương. II. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 2.1 Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai ( đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c trong đó a, b ,c là những số cho trước với a ≠ 0. Ví dụ : f(x) = 2x 2 + 3x + 1 ; g(x) = x 2 + 2 là những tam thức bậc hai Nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 Cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c Các biểu thức Δ = b 2 – 4ac và Δ ’ = b’ 2 –ac với b =2b’ theo thứ tự cũng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c. Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c có ≥ Δ 0 thì f(x) có hai nghiệm 2a Δb x 1,2 ±− = và có thể phân tích thành nhân tử như sau: f(x) = a(x – x 1 )(x - x 2 ) 2.2 Dấu của tam thức bậc hai 2.2.1 Định lý thuận: Xét tam thức bậc hai : f(x) = ax 2 + bx + c .Ta có thể biến đổi f(x) về dạng như sau : f(x) = ax 2 + bx + c = a ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 2 4a Δ 2a b x . Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của Δ và dấu của hệ số a Trong từng trường hợp ta xét dấu của f(x) như sau: * Trường hợp: Δ = 0 ta có x 1 = x 2 = 2a b − nên f(x) = a 2 2a b x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + . Vì 2 2a b x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + > 0 , 2a b x −≠∀ nên f(x) cùng dấu với a, 2a b x −≠∀ . * Trường hợp: Δ > 0 thì có hai nghiệm 21 xx ≠ Giả sử x 1 < x 2 , ta có bảng xét dấu như sau: x ∞− x 1 x 2 ∞+ x – x 1 - 0 + + x –x 2 - - 0 + f(x) = a(x- x 1 ) (x –x 2 ) Cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a [...]... 0 ) trong đó a, b ,c là những số cho trước với a ≠ 0 ; x là ẩn số Cách giải bất phương trình bậc hai Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu của tam thức bậc hai x 2 − 9x + 14 Ví dụ: Giải bất phương trình 2 ≥ 0 (1) x + 9x + 14 Giải Tam thức bậc hai x2 -9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = 2 ; x = 7 .Tam thức bậc hai x2 +9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = -2 ; x = -7 Ta lập bảng xét dấu của bất phương... α Nếu af( α ) < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x 1 < α < x 2 Hệ quả: 13 http://www.ebook.edu.vn Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI Cho tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c và hai số α, β sao cho α < β Điều kiện cần và đủ để f(x) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm nằm trong khoảng (α; β) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [α; β] là f (α )f (β) < 0 Chứng minh: Vì...Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI * Trường hợp: Δ < 0 2 ⎡⎛ b ⎞ Δ ⎤ f(x) = ax2 + bx + c = a ⎢⎜ x + ⎟ − 2 ⎥ 2a ⎠ 4a ⎥ ⎢⎝ ⎦ ⎣ 2 ⎡⎛ b ⎞ Δ ⎤ Δ Khi đó > 0 cho nên ⎢⎜ x + ⎟ − 2 ⎥ > 0 2a ⎠ 4a ⎥ 4a 2 ⎢⎝ ⎣ ⎦ Vậy f(x) cùng dấu với a với mọi x Tổng hợp các kết quả trên ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau: Định lí: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0) Nếu Δ 0 ⎪ ⎨af (α... m > 1 ⎩ d) (1) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi ⎧m ≠ 0 ⎪Δ’ ≥ 0 ⎨ x +x ⎪x1.x 2 0 ⇔ ⇔ ⎧m ≠ 0 ⎪1+-613 < m < 1 613 ⎨2(m-1) < 0 m ⎪4m-1 ⎩ m >0 ⎧m ≠ 0 ⎪1+ 13 < m < 1- 13 1 -6 ⇔ < m < 1- 13 ⎨0 1 ⎩ 4 2.3 So sánh nghiệm của tam thức bậc hai: 2.3.1 Định lý đảo: Định lý: Cho tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c và một số α Nếu af( α ) < 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt... m < 2 ⎪ ⎪1 < m < 6 ⎪ S ⎪ 2 >0 ⎪m > 1 ⎪ >2 ⎩ ⎪2 ⎪m −1 ⎩ ⎩ 2.3.3 So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với hai số α , β (α < β ) Phương pháp chung: a Điều kiện để cả hai nghiệm của tam thức nằm trong khoảng (α , β ) ⎧ Δ≥0 ⎪ af (α ) > 0 ⎪ α < x 1 ≤ x 2 < β ⇔ ⎨ af (β ) > 0 ⎪ S ⎪α < < β ⎩ 2 b Điều kiện để trong khoảng (α , β ) tam thức có đúng một nghiệm (còn nghiệm khi nằm ngoài) ⎡x 1 ≤ α < x 2 < β... http://www.ebook.edu.vn + Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI Mà a = 3 > 0 Cho nên ∀x ∈ R : f(x) > 0 2.2.2 Một số điều kiện tương đương Nếu ax2 + bx + c là một tam thức bậc hai (a ≠ 0 ) thì i) ax2 + bx + c có nghiệm ⇔ Δ = b 2 − 4ac ≥ 0 ii) iii) iv) v) vi) vii) viii) c 0 ⎪ ⎪c 2 ax + bx + c có hai nghiệm dương ⇔ ⎨ > 0 ⎪a ⎪Δ ≥ 0 ⎪ ⎩ ⎧ b ⎪− a < 0 ⎪ ⎪c 2 ax + bx + c có hai nghiệm âm ⇔ ⎨ > 0 ⎪a ⎪Δ ≥ 0... cần và đủ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: 15 http://www.ebook.edu.vn Nhóm 1 – Toán 2006A TAM THỨC BẬC HAI ⎧∀m ⎧Δ > 0 ⎪ ⎧9m 2 + 22m + 33 > 0 ⎪4f(−1) > 0 ⎪m > − 3 ⎪ ⎪ 3 12 ⎪ ⎪ ⎪2m > −3 2 ⇔− 0 ⇔ ⎨ 2 7 ⎪m < 12 ⎪7m < 12 ⎪ S ⎪ ⎪− 8 < 3m + 1 < 16 7 ⎪− 1 < < 2 ⎩ ⎪ ⎪3 < m < 5 ⎩ 2 ⎩ ⎛ 3 12 ⎞ Vậy tập giá trị cần tìm của m là T = ⎜ − ; ⎟ ⎝ 2 7⎠ 2.3.4 Điều kiện để tam thức bậc hai. .. ⎪ ⎨af (α ) > 0 ⎪S ⎪ >α ⎩2 • Để f(x) có hai nghiệm x1, x2 và x 1 < x 2 < α , điều kiện cần và đủ là ⎧ ⎪Δ > 0 ⎪ ⎨af (α ) > 0 ⎪S ⎪ 0 m... có ba nghiệm trong đó có hai nghiệm dương và một nghiệm âm 3.4 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc bốn: 3.4.1 Phương trình lùi bậc bốn: ⎧a = e Cho phương trình: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (a ≠ 0) nếu có: ⎨ ⎩b = ± d thì phương trình đó là phương trình lùi bậc bốn Khi đó phương trình giải như sau: 1 ⎡ t = x + (Đ k t ≥ 2)khi b = d ⎢ x Vì x ≠ 0, chia 2 vế cho x2 và đặt: ⎢ ⎢ t = x − 1 (không . Các bài toán liên quan 3 II. Dấu của tam thức bậc hai 10 2.1 Tam thức bậc hai 10 2.2 Dấu của tam thức bậc hai 10 2.3 So sánh nghiệm của tam thức bậc hai 13 III. Một số ứng dụng của tam thức. thức bậc hai đối với hàm số bậc bốn 24 3.5 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số lượng giác 26 3.6 Ứ ng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm mũ và ham logarit 27 3.7 Ứng dụng của tam thức. nghiệm) Vậy, với -4<m<-1 thì hai phương trình đã cho tương đương. II. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 2.1 Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai ( đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c trong