tam thức bậc hai và các vấn đề liên quan

Một số ứng dụng của tam thức bậc hai ..... K là một biểu thức theo x1,x2 Ta thực hiện theo các bước sau: Bước1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1,x2 0a Bước 2: Áp d

Thành viên nhóm 1: (Mọi thành viên đều có vai trò như nhau)

- Huỳnh Thị Bích Liễu

- Võ Thị Lụa

- Võ Thị Bích Tuyền

- Nguyễn Thị Hồng Uyên

MỤC LỤC

YZ

I Phương trình bậc hai 3

1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 3

1.2 Định lí viét đối với phương trình bậc bai 3

1.3 Các bài toán liên quan 3

II Dấu của tam thức bậc hai 10

2.1 Tam thức bậc hai 10

2.2 Dấu của tam thức bậc hai 10

2.3 So sánh nghiệm của tam thức bậc hai 13

III Một số ứng dụng của tam thức bậc hai 21

3.1 Tìm giá trị lơn nhất và nhỏ nhất của hàm số 21

3.2 Giải bất phương trình bậc hai một ần 22

3.3 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc ba 22

3.4 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc bốn 24

3.5 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số lượng giác 26

3.6 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm mũ và ham logarit 27

3.7 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với phương trình - bất phương

trình chứa căn 30

Bài tập đề nghị 31

Hướng dẫn giải 33

Danh mục tài liệu tham khảo 40

I PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1.1 Công thức nghiệm của phương trình bậc hai dạng ax2 +bx+c=0 (a ≠ 0)

• Bước 1: Tính Δ( )Δ′

• Bước 2: Tìm nghiệm dựa vào dấu Δ( )Δ′

- Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm

- Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép

2a

bx

Δbx

2a

Δbx

2 1

1.2 Định lí Vi-et đối với phương trình bậc hai:

=

a

c.xx

P

a

bx

x

S

2 1

2 1

Sxx

2 1

2

1 ⇒ x1 , x2 là hai nghiệm của phương

trình: X2−SX+P =0 (với địều kiện S2−4P≥0)

1.3 Các bài toán liên quan:

Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai:

¾ Phương pháp

- Nếu a có chứa tham số

+ Trường hợp 1: Xét a = 0 rồi biện luận + Trường hợp 2: Xét a≠0 rồi dùng Δ biện luận

baba

bax

1x

−

+++

bbx

Phương trình (1): x 1 0

ba

baba

ba

baba

ba4ba

bab

−

Phương trình (*) có hai nghiệm:

ba

bax,b

bax,ba

ba

2x

b x a x 2 b x b a x a

Xét điều kiện:

0 a b b

x

0 b a b a a x

b a b 2

b a b x

b a a 2

b a a x

2 2 1 1

≠

⇔

≠ +

Kết luận:

ƒ Nếu a = b = 0 phương trình vô nghiệm

ƒ Nếu a = 0, b≠ 0 phương trình có nghiệm

ƒ Nếu a≠ 0, b≠ 0, a = b phương trình có nghiệm x2 =2a

ƒ Nếu a≠ 0, b≠ 0, a≠b phương trình có nghiệm ,x a b

2

ba

x1 = + 2 = +

Bài toán 2: Tìm giá trị của tham số để phương trình ax2+bx+c=0 (*) thỏa một

số điều kiện liên quan đến nghiệm của chúng

a Tìm giá trị của tham số để phương trình: ax2 +bx+c= 0 (*) có số nghiệm nhất định

0a

=

0 Δ

0 a

0 c bx

0 a

ƒ Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt⇔

0a

=

0Δ

0a

0cbx

0a

ƒ Phương trình (*) có vô số nghiệm⇔

0b

0a

=

−

2

3 m

1 m

2

3 m

1 m

1 x

1 m

0 12 8m

0 1 m

0 2 2x

0 1 m

Vậy, với m = 1 hoặc

1 m 0

12 8m

0 1 m

−

2

3m

1m

1x

1m

0128m

01m

022x

01m

Vậy, với

2

3

m≤ thì (*) luôn có nghiệm

b Tìm giá trị của tham số để phương trình: ax2 +bx+c=0 ( a ≠ 0) (*) có

™ Hai nghiệm trái dấu 0

0ac

0ab

™ Hai nghiệm âm phân biệt

0ac

0ab

Bài toán 3: Dùng định lí Vi-et tìm mối liên hệ giữa các nghiệm trong một phương trình bậc hai

Tìm tham số để phương trình ax2 +bx+c thỏa mãn điều kiện K.( K là một biểu thức theo x1,x2 )

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm x1,x2

0a

Bước 2: Áp dụng định lí Vi-et, ta được:

(I)

Bước 3: Biểu diễn điều kiện thông qua (I)

Ta có thể biểu thị các đa thức đối xứng giữa các nghiệm x1,x2 theo S và P

( ) ( )

mg.xx

mfxx

2 1 2 1

2 1

2 2

2 1 3 2

3

1

3 2 1 2 1.

3 2 1

3 2

3

1

2 1

2 1 2 1

2 2 1.

2 2 1

2 2

2

1

P

2PSx

x

xxx

1x

1

3SPS

xxx3xx

xx

x

P

Sx

x

xxx

1x

1

2PSx2xx

xx

−

=+

−+

=+

=

+

=+

−

=

−+

=+

0a

3m10m3

01m

−

=

+

1m

2m.x

x

1m

1m2x

2m7

1m

1m24.x7xx

2

x

xx

ma

c.xxP

1ma

bx

x

S

2 1

2 1

1) S x x (x x ) 2x x S2 2P [ (m 1) ]2 2m m2 1

2 1

2 2 1

2 2

.xxxxxx

x

S

2 2

2 2

2 2 1

2 1 2 1

3 2

3

1

+

−+

−

=

−++

−

=

−

=+

−+

=+

=

m

1mP

S.xx

xxx

1x

1

2 1

2 1 2 1

=

2

1 1

2

x

xx

m

1mm

2m1

m.x

x

.x2xx

x.x

x

x

2 1

2 1

2 2 x 2

1

2 2

=

ma

c.xxP

1ma

bx

x

S

2 1

2 1

Suy ra: x1+x2 =−x1.x2−1⇔x1+x2 +x1.x2 =−1

Mối liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình là: x1+x2 +x1.x2 = − 1

Bài toán 4: Quan hệ giữa các nghiệm trong một phương trình bậc hai

(1) 0 c x b x a

2 2

2 2

1 1

2 1

= + +

= + +

=++

0cxbxa

0cxbxa

2 2

2 2

1 1

Giải:

Giả sử x0là nghiệm chung của hai phương trình (1) và (2)

⇔

01x32m6x

03x13m2x

0

2 0

0 2

⇒(11m−6)x0 =8

ƒ Nếu

11

6m061m

Trường hợp này (1) và (2) không có nghiệm chung

ƒ Nếu

611m

8x

11

6m06

2m068164m

35xx

1x0

1x6x2

Vậy với m= 2 thì cả hai phương trình đã cho đều có nghiệm chung x =

(1) 0cxbxa

2 2

2 2

1 1

2 1

=++

=++

b Giải quyết vấn đề:

Để (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi hai tập hợp nghiệm của chúng phải trùng nhau Muốn vậy ta xét hay trường hợp:

ƒ Trường hợp 1: Trường hợp cả hai phương trình đều vô nghiệm

Ta giải hệ điều kiện:

0

2 1

ƒ Trường hợp 2: Trường hợp cả hai phương trình đều có nghiệm

Ta giải hệ điều kiện:

2 1 2 1

PP

SS

0Δ

0Δ

Ví dụ: Cho hai phương trình x 2 + 2x − m = 0 (1) và 2x 2 + mx + 2 = 0 (2)

1 m 4 4 m 4

1 m 0 16 m

0 4m 4 0 Δ

0 Δ

2 2

4 m

4 m

4 m

1 m

1 m 2

m 2

0 16 m

0 4m 4

Vậy, với -4<m<-1 thì hai phương trình đã cho tương đương

II DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Các biểu thức Δ = b2 – 4ac và Δ’ = b’2 –ac với b =2b’ theo thứ tự cũng được gọi

là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c

Nếu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có Δ ≥ 0 thì f(x) có hai nghiệm

2a

Δb

x1,2 = − ±

và có thể phân tích thành nhân tử như sau: f(x) = a(x – x1)(x - x2 )

2.2 Dấu của tam thức bậc hai

b

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu củaΔvà dấu của hệ số a

Trong từng trường hợp ta xét dấu của f(x) như sau:

Vậy f(x) cùng dấu với a với mọi x Tổng hợp các kết quả trên ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Định lí: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0)

Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với a, ∀x∈R

Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với a,

Từ định lí trên ta có bảng xét dấu tam thức bậc hai:

Δ = 0 f(x) có nghiệm kép x =

(x1;x2)

x∈ :af(x) < 0

Ví dụ: Xét dấu của các biểu thức sau:

a) f(x) = 2 x2 +5x + 2 b) f(x) = 3 x2 +x + 5

Mà a = 3 > 0

Cho nên ∀x∈R: f(x) > 0

2.2.2 Một số điều kiện tương đương

Nếu ax2 + bx + c là một tam thức bậc hai (a ≠ 0 ) thì

i) ax2 + bx + c có nghiệm ⇔ Δ =b2 − 4ac≥ 0

ii) ax2 + bx + c có hai nghiệm trái dấu ⇔ < 0

a c

iii) ax2 + bx + c có hai nghiệm dương

0

a c a b

iv) ax2 + bx + c có hai nghiệm âm

0

a c a b

Ví dụ: Xét phương trình mx2 -2(m-1)x +4m – 1 = 0 (1)

Tìm các giá trị của m để (1)

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có hai nghiệm trái dấu

c) Có hai nghiệm cùng dương

d) Có hai nghiệm cùng âm

b) (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

4

1m001)m(4m0

m

1)(4m− < ⇔ − < ⇔ < <

c) (1) Có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

1- 13-62(m-1)

m >0 4m-1

1- 13-62(m-1)

m < 0 4m-1

Cho tam thức bậc hai f( )x =ax2 +bx+c và hai số α, sao cho β α<β Điều kiện cần và đủ để f(x) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm nằm trong khoảng

( )α;β và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [ ]α;β là f( ) ( )α f β <0

af

0)(

af

0)(

af

0)(

2 1

xx

xx

0)

f(x =

⇔ có hai nghiệm, trong đó có 1 nghiệm nằm trong khoảng ( )α;β và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [ ]α;β

2.3.2 So sánh nghiệm với một số cho trước:

Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2 +bx+c (a ≠0), khi đó:

• Để f(x) có hai nghiệm x1, x2 và x1<α<x2, điều kiện cần và đủ là

0af

0af

0Δ

0107mm

1m

6m1

2m5m

1m

6m5

2.3.3 So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với hai số α,β(α <β).

Sα

0βaf

0αaf

0Δβ

xx

β x α x

2 1

0αafx

βα

0αaf

0Δβ

αx

Sβ 0af

0Δx

xβ

16 1 3m 8

12 7m

3 2m

0 33 22m 9m 2

12 m 2

3 m m

7

12m2

3

2.3.4 Điều kiện để tam thức bậc hai có nghiệm thuộc khoảng cho trước

0 ) (

α

α

S f

b/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc (α; +∞ ): có 3 trường hợp

0 ) (

α

α

S f

0 2

0 ) ( 0

α

α

S af

c/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc [α;β]: có 3 trường hợp

0 2

0 ) (

0 ) ( 0

2 1

βαβ

αβ

α

S

S af

af x

x

d/ f(x) có ít nhất nghiệm thuộc (α;β): có 4 trường hợp

i) f(x) cónghiệm α và nghiệm kia thuộc (α;β) ⇔

0 2

0 ) (

0 ) ( 0

2 1

βαβ

αβ

α

S

S af

af x

x

Ví dụ 1:

Cho phương trình: f(x) = x2 –(m+2)x + 5m + 1 = 0 Tìm m sao cho:

a/ Phương trình chỉ có một nghiệm lớn hơn 1

b/ Phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1

c/ Phương trình có ít nhất một nghiệm có trị tuyệt đối lớn hơn 1

d/ Phương trình chỉ có một nghiệm thuộc [0;1]

0f(1)

−

−

=

012.1

2)(mm 0 ⇔

0m

Suy ra không tồn tại giá trị m

iii) 1< x1 = x2

m4 21m 4 04m

016m

16m

0m

⇔m = 16 Vậy: m < 0 ∨ m = 16

b/ Phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn 1: có 3 trường hợp

i) x1 < 1 < x2

⇔af(1) <0

⇔4m < 0

⇔m < 0 ii) x1 =1< x2

0m

Suy ra không tồn tại giá trị m

af(1)

0Δ

0m

016m

0m

16m0m

01)f(

−

−

11a

b1

015m2)(m1)

Suy ra không tồn tại giá trị m

0f(1)

04m

0m

Suy ra không tồn tại giá trị m

iii) f(x) có nghiệm thuộc (-1;1) và một nghiệm ngoài [-1;1]

01)(2S

0af(1)

01)af(

0Δ

1xx

−

−

>

++

2)(m

012

2)(m

04m1.f(1)

046m1)1.f(

016mm

4m

0

2m

16m0m

Suy ra không tồn tại giá trị m

=

−

=

=+

=

[0;1]

2ma

bx

015mf(0)

5

9x

5

1m

2

⇔ m = -5

ii) f(x) có nghiệm x1 = 1, x2∉ [0;1]

−+

bx

0f(1)

=

=+++

−

[0;1]

1mx

015m2).1(m(1)

2 2

1x

0m

bx

x

016mm

Δ

2 1

2pxx

2x

1

2 4

2

2

=

−++

++

2pxx

2x1

2 4

2

2

=

−++

+++

Đặt t = 2

x1

2x+ , điều kiện: t ≤1 ( Bất đẳng thức Cauchy)

Dấu “=” xảy ra khi x = ± 1

Khi đó dẫn đến bài toán: Tìm p để phương trình: f(t) = t2 +pt + 1 – p2 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc [-1;1]

Có 4 trường hợp:

i) f(t) có nghiệm là -1

⇔ f(-1) = 2 – p – p2 = 0

⇔ p = 1 ∨ p = -2 ii) f(t) có nghiệm là 1

⇔ f(1) = 2 + p – p2 = 0

⇔ p = -1 ∨ p =2

iii) f(t) có nghiệm thuộc (-1;1) và một nghiệm ngoài [-1;1]

⇔f(-1).f(1) < 0

⇔(2 + p – p2)( 2 – p – p2 )< 0

⇔-2 < p < -1 ∨ 1 < p < 2 iv) f(t) có các nghiệm thuộc (-1;1)

1tt

P2

S1

0pp21)f(

0pp2f(1)

045pΔ

2 2 2

1p5

25

2p

2p

Với hàm số f(x)=ax2 +bx+c(a >0) xét trên đoạn [α,β]

Muốn tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số, ta cần phân biệt ba trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu hoành độ đỉnh của parapol [ ]α,β

2a

b

x0 = − ∈ thì:

ƒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là fmin =f( )x0 đạt được khi: x =x0

ƒ Giá trị lớn nhất của hàm số là fmax =max{f( ) ( )α,f β}

Trường hợp 2: Nếu hoành độ đỉnh của parapol α β

2a

b

x0 = − < < thì:

ƒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là fmin =f( )α đạt được khi: x =α

ƒ Giá trị lớn nhất của hàm số là fmax =f( )β đạt được khi: x=β

Trường hợp 3: Nếu hoành độ đỉnh của parapol

2a

bx

β

α< < 0 = −

thì:

ƒ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là fmin =f( )β đạt được khi: x =β

ƒ Giá trị lớn nhất của hàm số là fmax =f( )α đạt được khi: x= α

Với a<0 ta xét tương tự

Áp dụng:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: f( )x = cos 2x− 2 cosx

Giải:

Biến đổi hàm số về dạng: f( )x =2cos2x−2cosx−1

Đặt t = cosx, điều kiện t ≤1, ta được: f( )t =2t2−2t−1

Hoành độ đỉnh của parapol [ 1,1]

2

1

t0 = ∈ − Vậy, ta được:

2

32

1ftf

1

ƒ fmax =max{f( ) ( )−1,f 1}=3 đạt được khi: cosx=−1⇔x= π+2kπ

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của f( )x =x4+4x2+2 với −1≤ x≤2

Giải:

Đặt t =x2, điều kiện 1≤ t≤4

Ta được: f( )t =t2+4t+2

Hoành độ đỉnh của parapol t0 =−2nằm ở bên trái [ ]1,4

ƒ fmin =f( )1 =7 đạt được khi t =1⇔x2 =1⇔x =±1

ƒ fmax =f( )4 =34 đạt được khi t=2⇔x2 =4⇔x =±2

3.2 Giải bất phương trình bậc hai một ẩn:

Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng :

ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx +c≤ 0 hoặc ax2 + bx + c > 0 hoặc ax2 + bx + c ≥ 0 ) trong đó a, b ,c là những số cho trước với a ≠ 0 ; x là ẩn số

Cách giải bất phương trình bậc hai

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu của tam thức bậc hai

Ví dụ: Giải bất phương trình 0 (1)

149xx

149xx

2

2

≥++

+

−

Giải Tam thức bậc hai x2 -9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = 2 ; x = 7.Tam thức bậc hai x2 +9x + 14 có hai nghiệm phân biệt x = -2 ; x = -7 Ta lập bảng xét dấu của bất phương trình

x -∞ -7 -2 2 7 +∞

x2 -9x + 14 + + + 0 - 0 +

x2 +9x + 14 + 0 - 0 + + +

Vế trái của (1) + - + 0 - 0 +

Từ bảng trên ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình là:( −∞ ; − 7 ) ∪ ( − 2 ; 2 ] ∪ [ 7 ; +∞ )

3.3 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc ba:

3.3.1 Điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm phân biệt:

™ Phương pháp:

Phương trình bậc ba có thể nhóm thành tích f1(x).f2(x) = 0.để phương trình đã cho

có ba nghiệm phân biệt thì một trong hai phương trình f1(x) = 0 hoặc f2(x) = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm đơn đã biết

™ Ví dụ:

Cho phương trình: (a – 1)x3 + ax2 + (a – 1)x = 0 (1)

Tìm a để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Giải

0x

1a

1a

1a

Vậy để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt thì

1a

3.3.2 Điều kiện để phương trình bậc ba có ba nghiệm trong đó có hai nghiệm phân biệt dương và một nghiệm âm hoặc hai nghiệm phân biệt âm và một nghiệm dương:

™ Phương pháp:

Khi phương trình y = 0 có nghiệm đặc biệt x = x0

Ta viết phương trình dưới dạng: (x – x0)(Ax2 + Bx +C) = 0

Có ba nghiệm phân biệt trong đó:

a) Có hai nghiệm âm, một nghiệm dương

b) Có hai nghiệm dương, một nghiệm âm

1x

2

Ta thấy (1) luôn có một nghiệm x = 1

a) Để (1) có hai nghiệm âm một nghiệm dương thì (2) phải có hai nghiệm cùng âm, khi đó thì :

⎧m-2 < 0

m≠0 ⇔ m < 2 Vậy với giá trị m < 2 thì phương trình (1) có ba nghiệm trong đó có hai nghiệm dương và một nghiệm âm

3.4 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số bậc bốn:

ea

thì phương trình đó là phương trình lùi bậc bốn

Khi đó phương trình giải như sau:

=

db)khi

đk cân (khôngx

1xt

dbkhi)2t

k (Đx

1xt

−

=+

2tx

1x

2tx

1x

2 2 2

2 2 2

Suy ra ta có phương trình bậc hai của t

1 x 10 x

1 x

0 x

1 x

10 26 10x

x

2 2

2 2

= +

− +

32x

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là:

83x

83x

32x

=+

15x

15x

4 x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = -4 hoặc x = -6

Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 3)4 + (x - 5)4 = 1312 (2)

Giải:

Đặt t = x - 1

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = -1 và x = 3

3.5 Ứng dụng của đa thức bậc hai đối với hàm lượng giác:

3.5.1 Dạng 1:

Tìm điều kiện của tham số để phương trình lượng giác thỏa một số điều kiện cho trước, ta thường đưa về phương pháp sử dụng tam thức bậc hai Cụ thể là đi so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số cho trướcα hay hai số cho trước α,β

3,2

ππ

3,2

π

π thì phương trình f(t) = 0 cần phải có nghiệm t∈[−1,0)

f(

02

S1

02.f(0)

01)2.f(

0Δ

≥

−

⇔

01)m(m

02

12m1

0m

01m

01

2

1m23

0m

1mm

3,2π

3.5.2 Dạng 2 – Một số bài toán dạng đặc biệt:

Ví dụ : Định m để phương trình sau có nghiệm:

sinx –cosx -2m (cosx + sinx )+ 2m2 +

2

3 = 0 (1)

Giải

Phương trình (1) là phương trình bậc hai với ẩn m

(1) ⇔ 2m2 - 2m (cosx + sinx )+ sinx – cosx +

2

3 = 0 (2)

Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm:

01)1)(sinx2(cosx

0)2

3cosx2(sinx

sinx)(cosx

≥+

−

⇔

≥+

−

−+

01-cosx

01sinx

1cosx

1sinx0

1cosx

01sinx

Với sinx = -1 thì cosx = 0

Phương trình (2)

2

1m014m

± thì phương trình đã cho có nghiệm

3.6 Ứng dụng của tam thức bậc hai đối với hàm số mũ và hàm logarit:

Bài toán 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) 9x + m.3x – 1 = 0 2) 4x + 2x + m = 0