CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Cho đến bây giờ có thể nói rằng đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề không còn mới mẽ nữa những vẫn còn đang được ngành GDĐT nói chung chú ý quan tâm và tiếp tục phát triển. Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay chủ yếu theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm”. Phải làm sao cho học sinh (HS) hoạt động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức một cách chủ động, nhanh chóng mà vẫn đảm bảo hiểu sâu sắc, vững chắc vấn đề. Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay cũng nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc đáp ứng mục tiêu giáo dục là đào tạo học sinh thành những con người biết làm chủ tương lai của đất nước. Chính vì thế mà mỗi môn học nói riêng đòi hỏi các thầy giáo, cô giáo phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để làm sao truyền đạt đầy đủ nhất, nhanh nhất nội dung, kiến thức của từng bộ môn mình đảm nhận.Định hướng đổi mới PPDH môn toán trong giai đoạn hiện nay đã được xác định là: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trao dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”. (Chương trình giáo dục phổ thông môn toán của Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành theo quyết định số 162006QĐBGDĐT ngày 5 tháng 5 năm 2006). – Trích: “Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học toán Trung học cơ sở”.

1 CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I/ ĐẶT VẤN ĐỀ: 1/Thực trạng tầm quan trọng vấn đề: Cho đến nói đổi phương pháp dạy học vấn đề khơng cịn mẽ cịn ngành GD-ĐT nói chung ý quan tâm tiếp tục phát triển Đổi phương pháp dạy học chủ yếu theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm” Phải cho học sinh (HS) hoạt động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức cách chủ động, nhanh chóng mà đảm bảo hiểu sâu sắc, vững vấn đề Đổi phương pháp dạy học nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc đáp ứng mục tiêu giáo dục đào tạo học sinh thành người biết làm chủ tương lai đất nước Chính mà mơn học nói riêng địi hỏi thầy giáo, giáo phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để truyền đạt đầy đủ nhất, nhanh nội dung, kiến thức mơn đảm nhận Định hướng đổi PPDH mơn tốn giai đoạn xác định là: “Phương pháp dạy học toán nhà trường cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động người học, hình thành phát triển lực tự học, trao dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư duy” (Chương trình giáo dục phổ thơng mơn tốn Bộ Giáo dục Đào tạo ban hành theo định số 16/2006/QĐ-BGD&ĐT ngày tháng năm 2006) – Trích: “Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học tốn Trung học sở” Tốn học nói riêng môn học công cụ đắc lực thiếu để hổ trợ cho môn khoa học khác giải vấn đề thực tế Việc giúp HS nắm vững kiến thức vận dụng toán học vào thực tế riêng thầy giáo, giáo Chương trình tốn THCS giúp HS giải nhiều vấn đề thực tế Trong chương trình tốn lớp có dạng tốn mang tính áp dụng cao, sở để ứng dụng giải toán liên quan như: giải phương trình tích, phương trình chứa ẩn mẫu, tốn phân thức,chia hết… “phân tích đa thức thành nhân tử” Có thể nói khơng thực thành thạo việc phân tích đa thức thành nhân tử HS khó giải số phương trình bậc cao địi hỏi phải đưa phương trình tích tốn liên quan đến phân thức như: rút gọn phân thức, cộng, trừ phân thức, chứng minh chia hết, … Trên thực tế phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (SGK toán lớp 8) cung cấp SGK gồm phương pháp như: Đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử dừng lại mức độ qua ví dụ chưa sâu phân tích kĩ Các phương pháp như: thêm bớt hạng tử, tách hạng tử đưa dạng tập có hướng dẫn đơn giản Thế kì thi thi học sinh giỏi (lớp 8, 9) tập đưa đỏi hỏi HS phải vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử mức độ khó, khơng hiểu cách sâu sắc phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác HS khó làm được! Qua nhiều năm giảng dạy, thân không khỏi trăn trở làm để HS hiểu nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách hệ thống, đầy đủ khoa học Chính tơi vào nghiên cứu, tìm hiểu viết đề tài nhằm san sẻ kinh nghiệm với em HS đồng nghiệp 2/Phạm vi đề tài: Trong chương trình tốn THCS dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” HS thức học lớp với phương pháp với phương pháp có tiết luyện tập với thời lượng tương đối áp dụng nhiều vào dạng toán khác lớp mà đề tài nghiên cứu áp dụng cho HS lớp lớp đặt biệt áp dụng cho HSG toán lớp 3/Đối tượng nghiên cứu: Để tiến hành đề tài nghiên cứu áp dụng cho lớp 8, lớp trường THCS Quang Trung năm học 2010-2011, 2011-2012, 20122013 đặt biệt áp dụng cho HSG lớp lớp Đề tài tài liệu học tập tốt cho HSG lớp 8, lớp tài liệu tham khảo cho thầy, cô giáo phụ huynh HS nói chung II/ CƠ SỞ LÝ LUẬN: Dạy học toán thực chất dạy hoạt động toán học HS-chủ thể hoạt động học cần phải hút vào hoạt động học tập giáo viên tổ chức đạo, thơng qua học sinh tự lực khám phá điều chưa biết khơng phải thụ động tiếp thu tri thức đặt sẵn Theo tinh thần tiết lên lớp, giáo viên người tổ chức đạo học sinh tiến hành hoạt động học tập, củng cố kiến thức cũ tìm tịi phát kiến thức Giáo viên không cung cấp, không áp đặt kiến thức có sẵn đến với học sinh mà hướng cho học sinh thông qua hoạt động để phát chiếm lĩnh tri thức Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự tìm tịi phát kiến thức giúp rèn luyên khả tư duy, nhớ kỹ kiến thức học Về mặt lí luận mà nói theo khung phân phối chương trình sách giáo khoa (SGK) hành tồn kiến thức “phân tích đa thức thành nhân tử” gói gọn (kèm theo tiết luyện tập) với phương pháp phân tích việc trình bày phương pháp chủ yếu thơng qua ví dụ chưa sâu, phân tích hay khai thác thêm để HS dễ nhớ nắm vững phương pháp Các phương pháp: “thêm, bớt hạng tử”, “tách hạng tử” giới thiệu thông qua tập với hướng dẫn gợi ý Chính mà HS cịn thiếu kỉ phương pháp phân tích gặp tốn khó! III/ CƠ SỞ THỰC TIỄN: Nhìn chung nhiều năm qua trường THCS Quang Trung nói riêng chất lượng mũi nhọn mơn tốn nói cịn q khiêm tốn Việc nghiên cứu viết chun đề mơn tốn để giảng dạy đặt biệt để bồi dưỡng HSG nói cịn Với đề tài “phân tích đa thức thành nhân tử” chưa có viết Tơi hỏi thăm nhiều đồng nghiệp huyện để tìm tư liệu dạy học chưa có viết đề tài Qua nhiều kì thi thi HSG việc phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng đơi địi hỏi mức độ cao nhiều HS học lớp địi hỏi phương pháp ngồi SGK “xở” Do phần lớn HS bỏ dở! Qua kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy, nghiên cứu, tìm tịi tài liệu, nhận thấy tầm quan trọng việc phân tích đa thức thành nhân tử chương trình tốn THCS tơi nhận thấy cần có đề tài sâu vấn đề viết đề tài nhằm san sẻ hiểu biết với đồng nghiệp IV/ NỘI DUNG: 1/ Tìm hiểu vấn đề: Như nói phần trên, khơng phân tích đa thức thành nhân tử khơng thể giải phương trình bậc cao địi hỏi đưa phương trình tích làm toán phân thức, chia hết! Đề tài khơng tìm hiểu kỉ ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử mà giới thiệu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Như tơi nói chương trình toán lớp 8, SGK giới thiệu số phương pháp như: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử 4 - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Và phương pháp giới thiệu cách thơng qua ví dụ cụ thể khơng phân tích kĩ cách làm Do nhiều HS cịn lúng túng vận dụng Ngoài phương pháp đề tài tơi cịn giới thiệu thêm số phương pháp khác Chúng ta tìm hiểu phương pháp cụ thể phần 2/ Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: a) Khái niệm: Theo SGK tốn lớp thì: “Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) biến đổi đa thức thành tích đa thức” Ta cần ý đơn thức gọi đa thức nhiều đa thức biến đổi thành tích đơn thức đa thức coi phân tích thành nhân tử b) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: PP1: Phương pháp đặt nhân tử chung: PP: Khi tất hạng tử đa thức có nhân tử chung ta đặt nhân tử ngồi làm nhân tử chung Tóm tắc: A.B + A.C +… +A.D = A(B + C + … +D) * Lưu ý: + Nhân tử chung đơn thức hay đa thức Nếu nhân tử chung đơn thức nhân tử chung xác định gồm phần: Phần hệ số (là ƯCLN hệ số) phần biến (là biến chung hạng tử lấy với số mũ nhỏ nhất) + Nhiều để làm xuất nhân tử chung ta phải đổi dấu hạng tử PP đổi dấu: -(-A) = A AB = (-A).(-B) (Đổi dấu số chẳn nhân tử hạng tử) Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 * Ta xác định nhân tử chung sau: Phần hệ số (ƯCLN(14,21,28)) Phần biến là: xy 2 2 Giải: 14x y – 21xy + 28x y = 7xy(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 x ( y − 1) − y( y − 1) 5 *Nhân tử chung là: ( y − 1) 2 Giải: x ( y − 1) − y( y − 1) = ( y − 1)(x − y) 5 5 Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 10x(x-y) -8y(y-x) Nhận xét: x-y y-x khác dấu nên ta đổi dấu để xuất nhân tử chung Giải: 10x(x-y) -8y(y-x) = 10x(x-y) +8y(x-y) = 2(x-y)(5x+4y) PP 2: Phương pháp dùng đẳng thức: Vì phương pháp dùng đẳng thức nên HS cần thuộc lòng đẳng thức sau: (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 (A-B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A+B)(A-B) (A+B)3 = A3+3A2B+3AB2+B3 = A3+B3 +3AB(A+B) (A-B)3 = A3-3A2B+3AB2-B3 = A3-B3 -3AB(A-B) (A+B)(A2 - AB+B2) = A3 +B3 (A-B)(A2 + AB+B2) = A3 -B3 8.(A+B+C)2 = A2+B2+C2 +2AB+2AC+2BC An - Bn = (A - B)(An-1 + An-2B +An-3B2 +…… + ABn-2 + Bn-1) *Các đẳng thức dành cho HS khá, giỏi Ta cần lưu ý đẳng thức ln có vế tích (lưu ý lũy thừa tích đa thức giống nhau) HS cần phải biết quan sát, biến đổi hợp lý sử dụng * Chú ý : Nhiều phải đổi dấu áp dụng đẳng thức Ví dụ 1: x2 + 6x + = (x – 3)2 1 1   1 x − .( 2x ) + 2x +    Ví dụ 2: 8x - = (2x) -   =  2 2   2     1 =  x −  4x + x +   4  Ví dụ 3: - x3 +9x2-27x+27 = - (x3 – 9x2 + 27x – 27) = -(x – 3)3 PP3: Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: Sử dụng tính chất giao hốn, kết hợp để nhóm hạng tử cách thích hợp * Khi nhóm hạng tử ta phải nhóm cho hạng tử nhóm làm thành vế đẳng thức hang tử nhóm có nhân tử chung Ví dụ 1: 3x2 – 3xy – 5x + 5y = (3x2 – 3xy) - (5x – 5y) = 3x(x – y) - 5(x – y) = (x – y)(3x - 5) 2 Ví dụ 2: x – 3x – 2xy + y + 3y = (x2 – 2xy + y2) – (3x – 3y) = (x – y)2 – 3(x – y) = (x – y)(x – y – 3) *Một số lưu ý: - Một đa thức có nhiều cách nhóm kết cuối - Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên phân tích “đến cùng” tức phân tích nhiều nhân tử - Khi phân tích đa thức thành nhân tử phối hợp nhiều phương pháp Ví dụ: 5x3 + 10x2y +5xy2 = 5x(x2 + 2xy + y2) = 5x(x+y)2 PP4: Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử: Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhóm thích hợp Khi tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác thường nhằm mục đích: - Làm xuất hệ số tỉ lệ nhờ mà xuất nhân tử chung - Làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 - 8x + Giải: Cách 1: 3x2 - 8x + = 3x2 - 6x -2x + = 3x(x - 2) - 2(x - 2) = (x - 2)(3x - 2) (Ta tách: – 8x= - 6x – 2x) Cách 2: 3x2 - 8x + = 4x2 - 8x + - x2 = (2x - 2)2 - x2 = (2x - +x)(2x - - x) = (3x - 2)(x - 2) 2 (Ta tách: 3x = 4x – x 2) * Đặc biệt: Phân tích tam thức bậc hai: ax +bx +c thành nhân tử (nếu phân tích được) ta tách bx thành b1x + b2x cho b1b2=ac + PP thực hành: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích ac thành thừa số Bước 3: Chọn thừa số có tổng b Hai thừa số b1 b2 Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2+10x+8 Ta có: ac=3.8 = 24=2.12 =3.8 =4.6 Ta nhận thấy: +6 = 10 Vậy đa thức tách phân tích sau: Giải: 3x2+10x+8 = 3x2+ 6x + 4x + = (3x2+6x)+(4x+8) = 3x(x+2) + 4(x+2) = (x+2)(3x+4) Việc thực bước thực tế HS nhẩm được! * Chú ý: Tam thức bậc hai dạng: ax2 + bx + c - Nếu b2 - 4ac bình phương số hữu tỉ phân tích thành nhân tử - Nếu b2 - 4ac khơng bình phương số hữu tỉ khơng phân tích thành nhân tử PP5: Phương pháp thêm bớt hạng tử: Nhiều để phân tích đa thức thành nhân tử ta cần phải thêm bớt hạng tử phân tích Việc thêm, bớt hạng tử thường nhằm mục đích sau: a/ Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ: 4x2 + 81 = 4x2 + 36x2 +81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 - (6x)2 = (2x2+9+6x)(2x2+9-6x) b/ Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung: Ví dụ: Phân tích thành nhân tử: x5 +x - Cách 1: x5 +x - = x5 - x4 + x3 + x4 - x3 + x2 - x2 + x -1 = x3(x2 - x +1) + x2(x2 - x +1) - (x2 - x +1) = (x2 - x +1)(x3 + x2 - 1) Cách 2: x5 +x - = x5 + x2 - x2 +x -1 = x2(x3 + 1) -(x2 - x +1) =x2(x+1)(x2 - x +1) – (x2 - x +1) = (x2 - x +1)[x2(x+1)-1 ] =(x2 - x +1)(x3+x2 – 1) PP6: Phương pháp đổi biến (đặt ẩn phụ): - Khi đa thức cho có biểu thức xuất nhiều lần ta đặt ẩn phụ cho biểu thức để đa thức đơn giản Ví dụ: A = (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x - 3) - Đặt x2 + 3x + = y ta được: A = y(y - 4) - = y2 - 4y - = y2 + y - 5y - = y(y + 1) -5(y + 1) = (y + 1)(y - 5) Thay x + 3x + = y ta được: A = (x2 + 3x + 2)(x2 + 3x -4) = (x + 1)(x + 2)(x - 1)(x + 4) (Ở ta tiếp tục phân tích tam thức bậc hai (x + 3x + 2); (x2 + 3x -4) thành nhân tử hướng dẫn phân để có kết vậy.) PP7: Phương pháp hệ số bất định: (áp dụng cho đa thức biến) Vì hai đa thức “bằng nhau” hệ số hạng tử đồng dạng ví dụ: a xn + bxm + … + c =a’xn +b’xm +…+c’ Suy ra: a = a’ , b = b’, … c = c’ nên ta áp dụng tính chất để phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: Phân tích đa thức x3 + 11x + 30 thành nhân tử? Giải: Nếu đa thức phân tích thành nhân tử kết phân tích viết dạng: (x + a)(x2 + bx + c) Vì (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a+b)x2 + (ab+c)x +ac Nên: x3 + 11x + 30 = x3 + (a+b)x2 + (ab+c)x +ac Khi ta có: a+b = (Vì vế trái hệ số lũy thừa bậc hai 0) ab+c = 11 ac = 30 Có thể chọn ra: a = 2; c = 15 ; b = -2 số thoả mãn Vậy: x3 + 11x + 30 = (x +2)(x2 - 2x + 15) PP8: Phương pháp xét giá trị riêng: Nếu đẳng thức với giá trị tham số k ta gán cho k giá trị tùy ý thích hợp Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x -y) Giải: Thử thay x y P = Vậy P chia hết cho x -y.(Xem phần phụ lục) Tương tự thay y z thay z x P = Vậy P chia hết cho (y - z) (z - x) Do P = k(x - y)(y - z)(z - x) Ta thấy k số P có bậc ba biến x, y, z (x - y) (y - z)(z - x) có bậc ba biến Vì x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x -y) = k(x - y)(y - z)(z - x) với x, y, z nên ta gán cho x, y,z giá trị riêng Chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1(-2) + = k.1.1.(-2) => k = -1 Vậy P = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) (Lưu ý: x, y, z đôi khác nhau) 3/ Dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho HS: Trên số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên tiến hành dạy phương pháp cho HS lại vấn đề cần quan tâm Theo qui định chương trình khơng có thời gian để dạy hết phương pháp Với phương pháp: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm hạng tử Thì phân phối chương trình qui định có thời gian dạy cho HS SGK Còn với hai phương pháp: - Thêm bớt hạng tử - Tách hạng tử Thì giáo viên tranh thủ dạy kĩ cho HS tiết luyện tập kể hướng dẫn cách phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx +c cho HS 9 Với phương pháp cịn lại, phương pháp khó, nâng cao nên theo tơi nên dạy cho HSG tham gia bồi dưỡng HSG Cũng tùy theo trình độ HS mà thời gian dạy phương pháp nâng cao lại GV cần phân phối thích hợp Một vấn đề cần lưu ý dù dạy cho đối tượng HS nên nhớ phân tích đa thức thành nhân tử ta nên áp dụng phương pháp theo thứ tự học! V/ KẾT QUẢ: Qua việc áp dụng dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử năm gần thân nhận thấy đem lại kết tốt Đa số HS nắm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử HS nắm thứ tự áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử HS biết vận dụng thành thạo phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào tập cụ thể Đối với HSG: HS thực phân tích đa thức thành nhân tử mức độ khó chí khó Kết cụ thể: Với HS đại trà lớp 8, đề kiểm tra (về phân tích đa thức thành nhân tử hay có ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử) thu kết sau: Chưa áp dụng đề tài Đã áp dụng đề tài 75% trung bình 82% trung bình Với HSG: - Năm học 2010-2011: tơi bồi dưỡng HSG tốn (chưa áp dụng đề tài) kết không đạt giải huyện - Năm học 2011-2012: bồi dưỡng HSG tốn (có áp dụng đề tài) kết đạt giải khuyến khích huyện - Năm học 2012-2013: tơi bồi dưỡng HSG tốn (có áp dụng đề tài) đến chưa tiến hành thi HSG kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử nói HS nắm tốt Kết khiêm tốn minh chứng cho tính hiệu đề tài Nhưng dù nghĩ kết thi HSG tốn khơng phụ thuộc vào người thầy vào đề tài mà phụ thuộc nhiều yếu tố khác VI/ KẾT LUẬN: Với kinh nghiệm giảng dạy tìm tịi nghiên cứu áp dụng thấy việc hướng dẫn HS phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đem lại hiệu định, góp phần nâng cao chất lượng đăc biệt 10 chất lượng HSG Đại đa số HS nắm phương pháp cách hệ thống, khoa học, biết đối chiếu so sánh, nhận dạng biết vận dụng cách sáng tạo vào tập Khi tiến hành hướng dẫn HS phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cần nắm yêu cầu sau: 1/ Yêu cầu HS nắm cách áp dụng phương pháp 2/ HS cần nắm vững đẳng thức đáng nhớ học Riêng HSG cần nắm thêm đằng thức nêu 3/ HS cần nắm thứ tự vân dụng phương pháp theo thứ tự học Vấn đề khó khăn đề tài thời gian để dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho HS Với HSG nói thời gian thuận lợi bồi dưỡng riêng Cái khó dạy đại trà khơng có thời gian để chuyển tải hết Vì GV cần tranh thủ tiết luyện tập mà chuyển tải cho HS cách hợp lý Cần phải có hệ thống tập HS rèn luyện thêm sau dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nêu VII/ ĐỀ NGHỊ: Trong trình viết vận dụng đề tài, chủ yếu để bồi dưỡng HSG nhằm rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử nên chưa sâu phân tích mặt lý thuyết phương pháp chưa nêu ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Chính mà đơi có tốn khơng nêu trực tiếp u cầu phân tích đa thức thành nhân tử (ví dụ chứng minh chia hết) HS cịn bỡ ngỡ Trong viết tài liệu không sâu vào việc phân phối thời gian lựa chọn số lượng tập cố không đề cập đến việc dặn dò, hướng dẫn nhà mà đề cập đến việc hướng dẫn HS phương pháp phân tích đa thức thánh nhân tử Vì tuỳ theo tình hình thực tế địa phương, trình độ HS lớp mà GV điều chỉnh hợp lý Rất mong bạn đọc tìm hiểu nghiên cứu, phân tích cụ thể, nêu ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử, xếp tập theo loại để giúp HS có có nhìn tổng qt sâu sắc vấn đề Với thời gian ngắn ngủi kinh nghiệm chưa nhiều tài liệu cịn có nhiều thiếu sót, hạn chế mong thầy giáo, học sinh bạn đọc góp ý kiến phê bình Chân thành cảm ơn ! Đại Lộc, ngày 01/03/2013 Người viết: Nguyễn Mính (TT tổ Tốn-Lí-Tin trường THCS Quang Trung) 11 VIII/ PHỤ LỤC 1/ Đa thức, nghiệm đa thức, ứng dụng vào phân tích đa thức thành nhân tử: * Chú ý 1: +Cho đa thức P(x) Nếu P(a) = a nghiệm đa thức P(x) P(x) chia hết cho (x-a) Nên P(x) = (x -a).Q(x) Do ta dùng phép chia đa thức để phân tích đa thức thành nhân tử + Nếu P(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức P(x) + Nếu P(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẳn tổng hệ số hạng tử bậc bậc lẻ -1 nghiệm đa thức * Chú ý 2: Nghiệm đa thức a0xn + a1xn-1 + + an-1x + + an có phải ước hệ số tự an Thật giả sử đa thức: a0xn + a1xn-1 + + an-1x + + an với hệ số a , a1, a2, an nguyên có nghiệm x = a (a thuộc Z) a 0xn + a1xn-1 + + an-1x + + an = (x – a)(b0xn-1 + b1xn-2 + + bn-1 ) b0, b1, ., bn-1 nguyên Hạng tử có bậc thấp vế phải – ab n-1 ; hạng tử có bậc thấp vế trái an Do –abn-1 = an tức a ước an 2/ Một số tập rèn luyện: Phân tích đa thức thành nhân tử: Bài 1: a/ x2 + 7x + 10 b/ x2 - 6x +5 c/ 3x2 -7x - d/ 10x2 - 29x + 10 e/ x3 + 4x2 - 3x - 18 f/ x3 + 4x2 - 29x + 24 g/ x3 + 6x2 +11x + Bài 2: a/ x4 + b/ x4 + x2 +1 Bài 3: a/ x4 + 4y2 b/ x5 + x + Bài 4: a/ ( x + 1)(x + 3)(x +5)(x +7) +15 b/ (x2 - 2x +2)4 - 20x2(x2 -2x +2)2 + 64x4 Bài 5: a/ ab(a - b) + bc(b - c) +ca(c - a) b/ a(b + c)(b2 -c2) + b(c + a)(c2 - a2) + c(a - b)(a2 - b2) Bài 6: a/ x4 +x3 - 5x - b/ 3x4 - 5x3 - 18x2 - 3x +5 Bài 7: a/ 2a2b2 + 2a2c2 + 2b2c2 - a4 - b4 - c4 b/ x8 + x4 + c/ a4 + a2b2 +b4 Bài 8: a/ a3(b - c) + b3(c -a) + c3(a -b) b/ x3 +y3 +z3 - 3xyz c/ (a -b)3 + (b - c)3 + (c - a)3 d/ (a2 + b2)3 + (c2 - a2)3 - (b2 + c2)3 Bài 9: [4abcd + (a2 + b2)(c2 + d2)]2 - 4[cd(a2 + b2) + ab(c2 + d2)]2 Bài 10: (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 12 A = x2y2(y - x) + y2z2(z - y) - z2x2(z - x) a/ a(b +c)2(b -c) + b(c +a)2(c -a) + c(a+b)2(a -b) b/ a(b -c)3 + b(c -a)3 + c(a -b)3 c/ a2b2(a -b)+ b2c2(b -c) + c2a2(c -a) d/ a(b2 + c2) + b(c2 + a2 ) + c(a2 + b2) - 2abc - a3 - b3 - c3 e/ a4(b -c) + b4(c -a) + c4(a -b) Bài 13: a/ (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b +c - a)3 - (c + a - b)3 b/ abc - (ab + bc + ca) + ( a +b +c) - Bài 14: a/ (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4 b/ (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 c/ 2(x4 + y4 +z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y +z)2 + (x + y + z)4 Bài 15: (a + b +c)3 - 4(a3 + b3 + c3) -12abc (HD: đặt a +b = m; a - b = n) Bài 16: a/ 4x4 - 32x2 +1 b/ x6 + 27 c/ 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 d/ (2x2 - 4) + Bài 17: a/ 4x4 + b/ 4x4 + y4 c/ x4 + 324 Bài 18: a/ x5 + x4 +1 b/ x8 + x7 +1 c/ x5 - x4 -1 d/ x7 + x5 + Bài 19: a/ a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 b/ x3 + 3xy + y3 - Bài 20: a/ 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x +1 b/ x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + c/ x4 - 8x +63 d/ (x + 1)4 + (x2 + x +1)2 Bài 21: a/ x8 + 14x4 + b/ x8 + 98x4 +1 Bài 22: a/ ab + b a + a + b/ x − y + x y − xy Bài 11: Bài 12: c/ a 3b + ab + (a + b) d/ y − x y + x e/ x − + x − 13 VIII/ TÀI LIỆU THAM KHẢO: Để viết đề tài tham khảo số tài liệu sau: 1/ Các chuyên đề toán tải từ Webside WWW.diendantoanhoc.com.vn 2/ Để học tốt đại số NXB Giáo dục – Năm 2006 3/ Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học toán Trung học sở (Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên mơn tốn THCS năm học 2008-2009) 4/ Sách tập toán lớp tập NXB Giáo dục - Năm 2004 5/ Sách giáo khoa Toán lớp tập NXB Giáo dục - Năm 2004 6/Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 14 MỤC LỤC THỨ TỰ MỤC Đặt vấn đề Cơ sở lý luận Cơ sở thực tiển Nội dung nghiên cứu Kết nghiên cứu Kết luận Đề nghị Phụ lục Tài liệu tham khảo TRANG 3 9 10 11 13 ... tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử 4 - Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Và phương pháp. .. đơn thức gọi đa thức nhiều đa thức biến đổi thành tích đơn thức đa thức coi phân tích thành nhân tử b) Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: PP1: Phương pháp đặt nhân tử chung: PP:... đa thức có nhiều cách nhóm kết cuối - Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta nên phân tích “đến cùng” tức phân tích nhiều nhân tử - Khi phân tích đa thức thành nhân tử phối hợp nhiều phương pháp