Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp Phần thứ nhất:Mở đầu Lý chọn đề tài: Trong dy hc i s THCS, việc dạy cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biết vận dụng cách hợp lí phương pháp vào giải tập đóng vai trị quan trọng Có nhiều loại tập sử dụng tới kết việc phân tích đa thức thành nhân tử Ví dụ: Rút gọn phân thức, giải phương trình bậc cao, quy đồng mẫu nhiều phân thức, biến đổi đồng phân thức hữu tỉ, tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị ngun, tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn biểu thức Vì vậy, ngồi việc nắm vững, sử dụng thành thạo phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử trình bày sách giáo khoa việc hiểu, biết vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác cần thiết Thêm nữa, sử dụng phương pháp phân tích đó, học sinh cần vận dụng nhiều kiến thức liên quan như: Nhẩm nghiệm đa thức, bảy đẳng thức, chia đa thức nên việc chuẩn bị kiến thức cho học sinh cần thiết Qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn đặc biệt Đại số 8, tơi thấy “Phân tích đa thức thành nhân tử” chiếm phần quan trọng nội dung chương trình, nhiều em học sinh cịn lúng túng q trình phân tích đa thức thành nhân tử Vì vậy, việc học tập mơn tốn em cịn gặp khó khăn Do tơi chọn đề tài “Phân tích đa thức thành nhân tử” với mục đích hệ thống, củng cố kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo học sinh Mục đích nghiên cứu: Nhằm giúp học sinh thực thành thạo dạng tốn “Phân tích đa thức thành nhân tử” để em vận dụng giải bập dạng phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm đa thức ( tìm x), chia đa thức, rút gọn phân thức, biến đổi biểu thức hữu tỉ dạng phân thức Từ em tránh sai lầm giải toán dạng này, tạo niềm say mê, hứng thú cho học sinh mơn tốn nói chung đại số nói riêng Góp phần nâng cao chất lượng dạy học Nhiệm vụ nghiên cứu: a Hệ thống phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo SKG số phương pháp khác Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho häc sinh líp b Lựa chọn tập phù hợp làm bật phương pháp c Một số dạng tập liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử môn Đại số Phạm vi đối tợng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp trờng THCS Bắc Trạch, Bố Trạch, Quảng Bình Phơng pháp nghiên cứu: - Phơng pháp nghiên cứu lý luận - Phơng pháp thực nghiệm s phạm Phần thứ hai:Nội dung Chơng 1:Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu Xuất phát từ khó khăn học sinh giải toán có liên quan đến việc phân tích đa thức thành nhân tử đà làm cho cảm thấy cần nghiên cứu làm giúp em vợt qua đợc trở ngại đúc kết thân Những học sinh cha nắm vững phơng pháp giải loại toán tỏ lúng túng vận dụng linh hoạt Do cha đạt yêu cầu dẫn đến điểm sinh chán nản, lời học môn toán Bên cạnh em nắm đợc thuật toán để giải tỏ chủ quan nên kết làm cha cao, cách giải cha tối u.Từ khó khăn giáo viên phải làm cho học sinh hiểu rõ phơng pháp giải loại toán từ đơn giản đến phức tạp, nắm Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp thuật toán để từ áp dụng linh hoạt vào việc giải cụ thể việc luyện tập nhiều hình thành thói quen cho học sinh Chơng 2: Các biện pháp s phạm cần thực để góp phần nâng cao chất lợng dạy học nội dung quan tâm Để giúp học sinh thực tốt việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử trớc hết phải hớng dẫn em nắm đợc khái niệm thông qua số ví dụ, việc phân tích đa thức thành nhân tử thực biến đổi đa thức thành tích đơn thức đa thức tích đa thøc VÝ dô: a, 5x - 5y = 5(x - y) 5x - 5y đợc biến đổi thành tÝch cđa vµ (x - y) b, x3 - 3x2 - x + = (x - 1)(x + 1)(x - 3) x3- 3x2 - x + đợc biến đổi thành tích ba đa thức (x - 1)(x + 1)(x - 3) Tiếp đến phải làm cho học sinh nắm rõ phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử ẹoỏi vụựi hoùc sinh yếu, kém: củng cố kiến thức ta cã thể giới thiệu phơng pháp nh sách giáo khoa + Phương pháp Đặt nhân tử chung + Phương pháp Dùng đẳng thức + Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử Đối với học sinh đại trà: Vận dụng phát triển kỹ + Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên) - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán - Củng cố phép biến đổi hoàn thiện kó thực hành - Tìm tòi cách giải hay, khai thác toán - Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư (giụựi thieọu Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp hai phửụng pháp) + Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác + Phương pháp thêm bớt moọt haùng tửỷ I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử đợc trình bày SGK: 1)Phơng pháp đặt nhân tử chung: Khi hạng tử đa thức có chung nhân tử ta đặt nhân tử chung dấu ngoặc theo công thức:A.B + A.C = A(B + C) Nên cho học sinh nắm đợc phơng pháp dựa tính chất phân phối phép nhân phép cộng đa thức a) Phơng pháp tiến hành: Bớc 1: Tìm nhân tử chung đơn thức, đa thức có mặt tất hạng tử Bớc 2: Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác (có thể đổi dấu hạng tử để làm xuất nhân tử chung) Bớc 3: Viết nhân tử chung dấu ngoặc, nhân tử lại đợc viết ngoặc kÌm theo dÊu cđa chóng b) VÝ dơ: VD1:Ph©n tÝch đa thức sau thành nhân tử: 12x2y3 - 6xy2 + 3x2y2 Bớc 1: Các hạng tử có hệ số là: 12; -6; cã íc chung lín nhÊt lµ Phần biến chứa x y: lũy thừa nhỏ cđa x lµ 1; lịy thõa nhá nhÊt cđa y Vậy nhân tử chung là: 3xy2 Bớc 2: 12x2y3 = 3xy2 4xy - 6xy2 = 3xy2 (-2) 3x2y2 = 3xy2.x Phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư cho häc sinh líp Bíc 3: 12x2y3 - 6xy2 + 3x2y2 = 3xy2(4xy - + x ) VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x(a - b) + 2y(b - a) = x(a - b) - 2y(a - b) = (a - b)(x - 2y) 2) Phơng pháp dùng đẳng thức Nếu ®a thøc chøa mét c¸c vÕ cđa h»ng đẳng thức đáng nhớ ta dùng đẳng thức để viết đa thức thành tích đa thức a) Phơng pháp tiến hành: + Xét bậc đa thức, dự định quy đa thức đẳng thức (theo bậc, theo số hạng tử đa thức) + Biến đổi đợc dạng đẳng thức mong muốn + Viết đa thức dới dạng tích b) Ví dụ: VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tư: y2 - 25 + NhËn xÐt vỊ sè h¹ng tư: h¹ng tư + Lịy thõa cđa h¹ng tư: y có lũy thừa + Trong đẳng thức có lũy thừa 2, đẳng thức có hạng tử ? + Làm để biến đa thức đà cho thành đẳng thức ? Gi¶i: y2 - 25 = y2 - 52 = (y + 5)(y - 5) VD2:Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: -a3 + 6a2 - 12a + ? Đa thức có dạng đẳng thức cha ? Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ? Cần biến đổi nh để xuất đẳng thức (a b) ? Gi¶i: -a3 + 6a2 - 12a + = -( a3 - 6a2 + 12a - 8) = -( a3 - 3a2.2 + 3a.22 - 23) = - (a - 2)3 ( Hc (2 - a)3) * Chú ý: - Việc xét số hạng tử đa thức giúp xác định nhanh dạng đẳng thøc: + Cã h¹ng tư , d¹ng: A3 - B3 ; A3 + B3 ; A2 - B2 + Cã h¹ng tư, d¹ng: A2 - 2AB + B2 ; A2 + 2AB + B2 + Cã h¹ng tư, d¹ng: A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 ; A3 - 3A2B + 3AB2 B3 Ngoài ra, nên giới thiệu thêm cho học sinh giỏi số ®¼ng thøc më réng nh: an + bn = (a + b)(an - - an - b + an - b2 + … - a.bn - + bn - 1) ( n lỴ) an - bn = (a - b)(an - + an - b + an - b2 + … - a.bn - + bn - 1) nguyên dơng) (n 3) Phơng pháp nhóm hạng tử: a) Phơng pháp tiến hành: - Phát hạng tử có quan hệ (hằng đẳng thức, nhân tử chung) để kết hợp chúng thành nhóm - áp dụng phơng pháp: đặt nhân tử chung dùng đẳng thức phân tích hoàn toàn đa thức đà cho thành nhân tử Chẳng hạn: A.B + A.C - D.B - D.C = (A.B + A.C) - (D.B + D.C) = A(B + C) - D(B + C) = (B + C)(A - D) b) Ví dụ: Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2y3 - 7y2 + 2y - = (2y3 + 2y)- (7y2 + 7) = 2y(y2 + 1) – 7(y2 + 1) = (y2 + 1) (2y – 7) Hc: 2y3 - 7y2 + 2y - = (2y3 - 7y2) + (2y – 7) = y2(2y – 7) + (2y – 7) = (2y 7) (y2 + 1) VD2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + x - y + y NÕu nhãm (x2 + x); (-y2 + y) bớc sau không phân tích tiếp đợc Ta cã: x2 + x - y2 + y = (x2 - y2) + (x + y) = (x – y)(x + y)(x + y) VD3:Phân tích đa thức sau thành nhân tử: -x2 + 2xy + 5x 5y - y2 = -( x2 - 2xy + y2) + (5x – 5y) = -(x – y)2 + 5(x – y) = (x – y)(y – x + 5) 4) Phối hợp nhiều phơng pháp: a) Phơng pháp tiến hành: - Vận dụng với dùng phơng pháp đơn lẻ nêu - Lựa chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên: + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử b) Ví dụ: VD1:Phân tích đa thức sau thành nh©n tư: x4 + 5x3 + 15x - = (x4- 9) + (5x3 + 15x) Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp = (x2 + 3)(x2 - 3) + 5x(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 + 5x- 3) VD2:Ph©n tích đa thức sau thành nhân tử: 3x3y - x2y - 3xy3 – 6axy2 - 3a2xy + 3xy = 3xy(x2 - 2x – y2 – 2ay - a2 + 1) = 3xy[(x2 - 2x + 1) – (a2 + 2ay + y2)] = 3xy[(x – 1)2 - (a + y)2] = 3xy(x – – a – y)( x – + a + y) = 3xy(x– y – a – 1)( x + y + a – 1) Đối với học sinh khá, giỏi cần giới thiệu thêm số phơng pháp sau: II Một số phơng pháp khác: 1.Phơng pháp tách hạng tử: a) Phơng pháp tiến hành: Ta tách hạng tử đa thức thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phơng pháp khác để phân tích đợc b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 + 4x + Cách 1: x2 + 4x + = x2 + x + 3x + = (x2 + x)( 3x + 3) = x(x + 1) + 3(x + 1) = (x + 1)(x + 3) C¸ch 2: x2 + 4x + = x2 + 4x + – = (x + 2)2 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp = (x + – 1)(x + + 1) = (x + 1)(x + 3) C¸ch 3: x2 + 4x + = x2 + 2x + 2x + + = (x2 + 2x + 1) + (2x + 2) = (x + 1)2 + 2(x + 1) = (x + 1)(x + + 2) = (x + 1)(x + 3) C¸ch 4: x2 + 4x + = x2 + 4x + – = (x2 – 1) + (4x + 4) = (x + 1)(x – 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x – + 4) = (x + 1)(x + 3) C¸ch 5: x2 + 4x + = x2 + 4x – + 12 = (x2– 9) + (4x + 12) = (x + 3)(x – 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x – + 4) = (x + 3)(x + 1) c) Lu ý: Thờng việc phân tích đợc tiến hành theo cách: Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Khi phân tích ax2 + bx + c, ta làm nh sau: Tìm tÝch a.c Ph©n tÝch ac tÝch cđa hai thõa số nguyên cách Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp Trong chọn hai thừa số mà tổng b VÝ dô: 9x2 + 6x – ta cã a = 9; b = 6; c = -8 Bíc 1: a.c = 9.(-8) = -72 Bíc 2: (-8).9 -72 = (-1).72 = (-2).36 = (-3).24 = (-4).18 = (-6).12 = Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tỉng b»ng b ( tức 6) (-6) 12 VËy 9x2 + 6x – = 9x2 – 6x + 12x – = (9x2 – 6x) + (12x – 8) = 3x(3x - 2) + 4(3x – 2) = (3x - 2)( 3x + 4) C¸ch 2: T¸ch hạng tử không đổi đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng Ví dụ: 4x2 - 4x – = 4x2 - 4x + 1– = (2x – 1)2 - 22 = (2x – + 2)(2x – – 2) = (2x + 1)(2x – 3) 2.Phơng pháp thêm, bớt hạng tử: a) Phơng pháp tiến hành: Ta thêm bớt hạng tử vào đa thức để làm xuất nhóm hạng tử mà ta dùng phơng pháp khác để phân tích đợc Khi thêm, bớt thờng sử dụng đẳng thức: a2 - b2 = (a + b)(a – b) 2ab + b2 (a - b)2 = a2 – (a + b) = a2 + 10 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp = x3 - 3x2 + 2x2- 6x + x2- 3x +2x - Qua đó, ta thấy đợc cần tách hạng tư nµo cđa f(x) c) Chó ý: Cã thĨ dïng sơ đồ hoocne để tìm nghiệm nguyên đa thức cách thuận lợi n n Cho f ( x) a nx a n 1x a1 x a0 LËp b¶ng: a � b n a n 1 b n 1 n2 Trong ®ã ớc nguyên b n2 b n a = a n 1 n 2 ………… a ………… b a;b n 1 = a a r n + � b n 1 �.b n …………………… b = r= a a + � b1 + � b VÝ dơ: Ph©n tÝch f(x) = x4 + x3 - 5x2 + x - Các ớc là-1; -2; -3; -6; 1; 2; 3; B»ng c¸ch xÐt tổng hệ số, ta thấy x = -1 x = không nghiệm f(x) Thử với �= �= 1 -5 -6 3 r=0 VËy �= lµ nghiƯm cđa f(x) 17 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tư cho häc sinh líp f(x) = (x - 2)(x3 + 3x2 + x + 3) Ph©n tÝch tiÕp g(x) = x3 + 3x2 + x + C¸c íc cđa lµ -1; -3; 1; NhÈm tỉng hệ số, loại bỏ x = x = -1 XÐt �= -3 �= 3 1 x3 + 3x2 + x + = (x + 3)(x2 + 1) TiÕp tôc, ta thÊy x2 + v« nghiƯm VËy f(x) = x4 + x3 - 5x2 + x - = (x - 2)(x + 3)(x2 + 1) 5.Phơng pháp hệ số bất định: Ví dụ: Phân tích A = 2x3 -5x2 + 8x - thành nhân tử Giải: Giả sử đa thức đợc phân tích thành dạng (ax + b)(cx2 + dx + m) Thùc hiƯn nh©n ta ®ỵc A = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x +bm Đồng đa thức với 2x3 -5x2 + 8x - 3, ta cã: �ac �ad bc 5 � � �am bd � bm 3 � Ta gi¶ thiÕt a > (nÕu a < 0, ta ®ỉi dÊu hai vĨ cđa pt) ac = � a = hc a = XÐt ac = � c = VËy, ta cã 2d b 5 � � 2m bd � � bm 18 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp bm = -3 � b lµ íc cđa -3 Ta cã ớc -3 -1; -3; 1; Vậy b cã thÓ b»ng -1; -3; 1; XÐt b = -1 th× m = 3; d = -2 (tháa mÃn điều kiện đà nêu) Vậy a = 2; c = 1; b = -1; m = 3; d = Ta cã 2x3 -5x2 + 8x - = (2x - 4)( x2 - 2x + 3) 6.Phơng pháp xét giá trị riêng: a) Xác định dạng thừa số cha biết đa thức: + Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức + Giải cho biết giá trị cụ thể; xác định thừa số lại b) Ví dụ: VD1: phân tích đa thức sau thành nhân tử P = ab(a b) + bc(b – c) + ca(c – a) Gi¶i: NÕu thay a bëi b th×: P = + bc(b – c) + cb(c – b) =0 VËy P M(a – b) Do vai trß a; b; c nh ®a thøc nªn P M(a – b)(b – c)(c – a) Vì P (a b)(b c)(c a) có bậc ba tập biến nên thơng phép chia P cho (a b)(b – c)(c – a) lµ h»ng sè k � P = k (a – b)(b – c)(c – a) Hay ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) = k (a – b)(b – c)(c – a) (1) Cho a = 2; b = 1; c = 0, thay vµo (1) ta cã: 2.1.1 + + = k.1.1.(-2) � = -2k � k = -1 VËy P = -(a – b)(b – c)(c – a) = (b – a)(b – c)(c – a) 19 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp VD2: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = (a + b + c)3 – a3 – b3 - c3 Gi¶i: Thay a bëi (-b) th×: N = c3 + b3 - b3 – c3 = � N M(a + b) Do vai trò a; b; c Q nh nên Q M(a + b)(b + c )(c + a) Trong ®ã N vµ (a + b)(b + c )(c + a) có bậc ba tập biến nên: Q : (a + b)(b + c )(c + a) = k � (a + b + c)3 – a3 – b3 - c3 = k (a + b)(b + c )(c + a) (2) Cho biÕn nhËn c¸c gi¸ trị riêng a = 2; b = 1; c = 0, thay vµo (2) ta cã: 33 – 23 – 13 = k.3.1.2 27 – – 1= 6k 18 = 6k k=3 vËy Q = (a + b + c)3 – a3 – b3 - c3 = 3.(a + b)(b + c )(c + a) III Mét sè bµi toán nâng cao: Bài 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử a, a7 + a2 + b, a5 + a + c, x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Híng ®Én häc sinh: a, Thêm, bớt hạng tử a6 ; a5 ; a4 ; a3 ; a sau nhóm hạng tử liên tiếp dấu Kết (a2 + a + 1)( a5 - a4 + a3 – a + 1) b, Thêm, bớt hạng tử a4 ; a3 ; a2 KÕt qu¶ (a2 + a + 1)(a3 – a2 + 1) c, Tách hạng tử 7x2 = 9x2 - 2x2 20 Phơng pháp phân tích đa thức thành nh©n tư cho häc sinh líp Ta cã x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + = x4 + 6x3 + 9x2 - 2x2 - 6x + = (x2 + 3x)2 – 2(x2 + 3x) + = (x2 + 3x - 1)2 Bài 2: phân tích đa thức sau thành nhân tử a, a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2b2c2 - 2c2a2 b, x4 + 64 Híng dÉn häc sinh: a, Ta cã (a4 +2a2b2 + b4) – (2b2c2 + 2c2a2) + c4 - 4a2b2 = [(a2+ b2)2 - 2c2(a2+ b2) + c4] - 4a2b2 = (a2 + b2 - c2)2 – (2ab)2 = (a2+ b2 - c2 – 2ab) (a2+ b2 - c2 + 2ab) =[(a+ b)2 - c2][(a- b)2 – c2] = (a + b + c)(a + b - c)(a – b + c)(a – b – c) b, Thªm, bớt 16x2 Bài 3: phân tích đa thức sau thành nhân tử a, 6x4 - 11x2 + b, (a2 + b)2 + 3(a2 + b) + c, x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 10 Hớng dẫn học sinh: a, Đặt ẩn phụ b, Đặt ẩn phụ c, Biến đổi x2 2xy + y2 + 3x 3y 10, ta đợc (x + y) + 3(x + y) 10 đặt ẩn phụ phân tích tiếp Bài 4: phân tích đa thức sau thành nhân tử cách xét giá trị riêng a, M = x(y2 - z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) b, Q = x2(y - z) + y2(z – x) + z2(x – y) Kết quả: 21 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp a, M = (y – z)(x – z)(y – x) b, Q = (y – z)(x – z)(x - y) IV Mét số dạng toán sử dụng phân tích đa thúc thành nhân tử: Dạng rút gọn phân thức: a Phơng pháp: + Phân tích tử mẫu thành nhân tử + Chia tử mẫu cho nhân tử chung b VÝ dơ: VD1: Rót gän x x x x( x x 4) x2 ( x 2)( x 2) x( x 2)2 x( x 2) ( x 2)( x 2) x2 (§k: x �2; x �-2) VD2: Rót gän x y z xy ( x y ) z ( x y z )( z y z ) x y z = = x y z xz ( x z ) y ( x y z )( x z y ) x z y VD3: Rót gän a3b ab3 b3c bc3 c 3a ca (a b)(a c)(b c)(a b c ) abc a 2b ab b 2c bc c a ca (a b)(a c )(b c ) VD4:Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: x2 x 1 D x 1 Ta cã: D x x 1 x 1 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x x 1 22 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp Đặt t , D có dạng: x D = t2 - t + 1 3 = t 2 4 víi mäi t 1 1 D t 0 x 1 x 1 2 VËy gi¸ trị nhỏ D , đạt đợc x = Dạng quy đồng mẫu thức nhiều phân thức a Phơng pháp: + Rót gän ph©n thøc (nÕu cã thĨ) + Ph©n tÝch mẫu thành nhân tử + Tìm mẫu thức chung + Nhân tử, mẫu phân thức với nhân tử phụ tơng ứng b Ví dụ: VD1: Quy đồng mẫu phân thức sau 2x x v x x 16 3x 12 x Ta cã : x2 – 8x + 16 = x2 - 2.4x + 42 = (x - 4)2 3x2 -12x = 3x(x - 4) MTC: 3x(x - 4)2 Ta cã 2x 2x x.3 x 6x2 = ( x 4) = x x 16 3x ( x 4) x( x 4) x x( x 4) x = x( x 4) x( x 4) 3x 12 x VD2: Quy đồng mẫu phân thức sau 23 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 1 2x x2 3x ; -2 x x 1 x 1 Ta cã x3 - = (x -1)(x2 + x + 1) Vậy MTC: (x -1)(x2 + x + 1) x 3x x2 3x = ( x 1)( x x 1) x3 (1 x )( x 1) 1 2x = ( x 1)( x x 1) x x 1 -2 = 2( x 1) ( x 1)( x x 1) VD3: Quy đồng mẫu phân thức sau x5 x x 4x 3x Ta cã x2 + 4x + = (x + 2)2 3x + = 3(x + 2) MTC: 3(x + 2)2 Ta cã x5 3( x 5) x5 = 3( x 2) x x ( x 2) x x( x 2) x = 3( x 2) 3( x 2)2 3x D¹ng giải phơng trình: a Phơng pháp: Khi giải phơng trình từ bậc hai trở lên, ta biến đổi, phân tích vế trái thành dạng A(x).B(x) = A(x) = B(x) = thành dạng Ax.Bx + Cx = 0, Ax.Bx; Cx dơng, ta có phơng trình vô nghiệm 24 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp b Ví dụ: VD1: giải phơng trình sau ( x2 - 2x + 1) - = (1) Gi¶i: (1) � (x - 1)2 - 22 = � ( x + 1)(x - 3) = � x + 1= hc x - = � x = -1 hc x = VËy S = {-1 ; 3} VD2: giải phơng trình sau 16x2 - 8x + = (2) Gi¶i (2) � (4x - 1)2 + �4 VËy: PT vô nghiệm VD3: giải phơng trình sau x2 2x (3) x 2( x 2) Gi¶i - ĐKXĐ PT là: x �0 ; x �2 (3) � 2( x 2)( x 2) x(2 x 3) x( x 2) x( x 2) � 2(x + 2)(x - 2) = x(2x + 3) � 2x2 - = 2x2 + 3x � 3x = -8 � x = - Ta thấy x = - thoả mãn với ĐKXĐ phương trình Vậy tập nghiệm PT là: S = {- } VD4: giải phơng trình sau 25 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho häc sinh líp | x + | = 3x + (4) Gi¶i: + Nếu x + > � x > - (4) � x + = 3x + � 2x = � x = thỏa mãn + Nếu x + < � x < - (4) � - (x + 5) = 3x + � - x - - 3x = � - 4x = � x = - ( Loại, khụng tha món) S={2} Dạng giải bất phơng trình: a Phơng pháp: Biến đổi bất phơng trình bậc cao dạng Ax.Bx > Ax.Bx < lập bảng xét dấu tích biện luận dấu nhân tử b Ví dụ: VD1: giải bất phơng trình sau - 3x - 7x + (1) Gi¶i (1) � - 7x + 3x +5 �0 � - 4x �- � x � VËy , tËp nghiƯm lµ {x/x � } VD2: giải bất phơng trình sau x2 3x 10 < (2) Giải 26 Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp (2) � x – 5x + 2x – 10 < � x(x – 5) + 2(x – 5) < � (x – 5)(x + 2) < �x �� �x �x �x � �x �x � * � * � �x � �x hc �x � �x 2 �x � �x 2 � -2