skkn phương trình mũ và phương trình logarit

Lý do chọn đề tài : Phương trình mũ và phương trình logarit là một bài toán thường được cho trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như đề thi tuyển sinh vào cao đẳng và đại học.. Việc là

MỤC LỤC

A Đặt vấn đề 2

B Giải quyết vấn đề 3

I Cơ sở lý luận 3

II Thực trạng 3

III Các biện pháp tiến hành 4

1 Một số phương pháp giải phương trình mũ 4

2 Một số phương pháp giải phương trình logarit 8

3 Một số phương pháp giải phương trình logarit 32

IV Hiệu quả 21

D Kết luận 21

Tài liệu tham khảo 22

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài :

Phương trình mũ và phương trình logarit là một bài toán thường được cho trong các đề thi tốt nghiệp THPT cũng như đề thi tuyển sinh vào cao đẳng và đại học Yêu cầu về bài toán tiếp tuyến khá phong phú và đa dạng Các em học sinh thường lúng túng hoặc bế tắc khi gặp phải các câu hỏi lạ Do đó, các em phải biết chuyển một bài toán lạ về một bài toán quen thuộc đã biết cách giải Việc làm này đòi hỏi học sinh phải nắm vững lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán Ngoài ra, các

em học sinh còn phải biết tư duy, phân tích, vận dụng phương pháp giải một cách khoa học Điều này còn có một số em học sinh chưa nắm vững và hay nhầm lẫn trong việc vận dụng Cho nên tôi đã chọn đề tài nhằm giúp học sinh nắm vững lý thuyết và phương pháp giải của từng dạng toán về phương trình mũ và phương trình lôgarit Đồng thời chỉ ra một số lưu ý, những sai lầm mà học sinh thường mắc phải

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các em học sinh trong việc ôn tập để kiểm tra và thi cử

II Mục đích nghiên cứu :

Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khả năng vận dụng giải bài toán của học sinh về giải phương trình mũ và phương trình lôgarit Từ đó, giáo viên có thể đưa ra phương pháp giảng dạy phù hợp với khả năng của học sinh, rèn luyện thêm kỹ năng phân tích và vận dụng giải các bài tập từ đơn giản đến phức tạp

III Phương pháp nghiên cứu - Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu :

 Các phương pháp nghiên cứu bao gồm : Nghiên cứu tài liệu, quan sát điều tra , thực nghiệm sư phạm và thống kê kết quả thực nghiệm

 Phạm vi nghiên cứu : lớp 12B4

 Thời gian nghiên cứu là năm học 2013 - 2014

0 ( 1

0  a

a a

n n

b

a b

a



n n

n

ab b

k a

a

n n

2 a

1 2 n khi

n m n

m a

b a b

a

) ( 1

b

b

a a

a 1 log log  

b b

c

c a

hệ thống lại lý thuyết và phương pháp giải để cho học sinh nắm vững là điều rất quan trọng Cho nên đề tài này cần được nghiên cứu và phát triển cho học sinh khối 12

III CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH :

Giáo viên tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải, cho ví dụ minh hoạ để học sinh tham khảo Sau mỗi dạng toán có phần bài tập tự luyện để học sinh làm Tài liệu này được phôtô cho học sinh để tiện trong việc học tập và nghiên cứu Đối với dạng toán về phương trình mũ và phương trình lôgarit, tôi chia ra thành các dạng như sau :

1.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ :

1.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

1.1 a) Phương pháp : Biến đổi cùng cơ số đưa phương trình về các dạng sau:

( ) ( ) ( )

819

3 2x x 72

3 3 5

819

2 223

3x 4 2x 2

x 2 01

2

x x x x

x

x

x x

3 1 

22) 22x1 4x1 5

23) 4 3 4 3

3 5 5 3

1 9

26)

x x

2

3

1 1 75

.

0

27)

1 7

5

3

2 5

28)

1 2

2 2

1 8

29) 2 1

2 25 , 0

8x  x

9 2

1 4 6 9 3

1 4

1.2 Phương pháp đưa về phương trình tích :

1.2 a) Các bước giải : Biến đổi cùng cơ số đưa phương trình về dạng sau:

 ( )  ( )  ( )

( )

00

x x

x x

x

x x x

x x

x x

x x x

 Chia hai vế phương trình cho 2 ( )f x

 Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là x1,xlog3 23 2

14) ( 2  3 )tanx ( 2  3 )tanx  4

15) x x

3 1

1 1 3

hai vế luôn dương

 Chọn cơ số thích hợp ( theo cơ số a, hoặc b, hoặc c) để lấy lôgarit hai vế của

2

2 2

log 3 log 2 0log 3 0

2

log 3 00

log 3

x x

log 3 5 log 5log 3 log 5 1log 3 1 1log 3 00

2 7 log 2 log 7

4 ( 2) log 7( 2)( 2 log 7) 02

log 7 2

x x x

 Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là : x2,xlog 7 22 

1.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số :

1.5 a) Các bước giải :

 Thường biến đổi phương trình đã cho về dạng f x( )g x( ) hay f x( )c

 Nhẩm nghiệm xx0

 Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x x0

+ Với x x0  f x( ) f x( )0 suy ra phương trình vô nghiệm

+ Với xx0  f x( ) f x( )0 suy ra phương trình vô nghiệm

    là nghiệm của phương trình

 Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x2

3  5 2.1 x 1 là nghiệm của phương trình

 Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x1

2.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT:

2.1 Phương pháp đưa về cùng cơ số:

2.1 a) Các bước giải :

 Tìm điều kiện xác định của phương trình

 Biến đổi đưa phương trình về dạng cơ bản :

1) log2 xlog4 xlog8 x7

3log xlog x2log x4

3) 2

5log (x 4 ) 1x 

log log log 7 log log log 7

log log log 7

7log 76

3 4

log log 2 log 4 log log 2 log 4

log 2 log 2 log 4log 4

3 81

x x

2 log 2 log 2 1 0 log 2 log 2 1 0

log 2 log 2 1( 2) 2 1

 Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x5

5) log2x 3 2log 3log4 3 x2 TN2012

log 3 log 2log 3 2

23

2.1 c) Bài tập tự luyện :

Giải các phương trình sau :

1) 2

2log (x  x 4)2  x 0, x12) log2 xlog4 xlog8 x11  x 64

3) log3 xlog9 xlog27x11  x 729

4) log3 xlog 3 xlog 642 0  x 9

3log xlog xlog x8  x 816) log2 xlog (2 x 3) 2  x 1

2log (x 2) log (3x)4  x 220) log2x 3 log0.5x 1 3  x 1

21) log(x 1) log(2x11)log 2  x 7

22) 2

log (x  3) log (6x10) 1 0   x 223) log3 x2log (9 x 2) 1  x 3

 Tìm điều kiện xác định của phương trình

 Biến đổi cùng cơ số và đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng phương trình bậc

hai hoặc phương trình bậc ba, hoặc phương trình chứa ẩn ở mẫu

 Với mỗi giá trị của t ta giải phương trình loga f x( )t để tìm x

 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

 Giải phương trình (*) tìm t, chỉ nhận giá trị t0

 Với mỗi giá trị của t0 ta giải phương trình loga f x( )t để tìm x

 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

  

 

  để tìm

 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

log x6log x 2 0  x 2;x 2

12) 2

3 3

x x

x x

log 3 8 2 3 3

3 8 9.38.3 8

3 10

x

x x

 Tìm điều kiện xác định của phương trình

 Chú ý dạng : loga u u loga vv có dạng f u( ) f v( ) u v , trong đó hàm f là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên tập xác định của nó và phương pháp đánh giá hai vế của phương trình

 Ta thấy x2 là nghiệm của phương trình

 Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x2.Thật vậy :

+ với mọi x2,ta có f x( )log2 x đồng biến và g x( ) 3 x là hàm nghịch biến nên f x( ) f(2) 1 , ( )g x g(2) 1 Do đó phương trình

vô nghiệm với mọi x2

+ Tương tự, với mọi x thoả 0 x 2 phương trình vô nghiệm

 Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x2

2) 2x  2 log x

 Điều kiện : x0

 Ta thấy x1 là nghiệm của phương trình

 Ta chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất x1 Thật vậy :

+ với mọi x1,ta có ( ) 2x

f x  đồng biến và g x( ) 2 log3 x là hàm nghịch biến nên f x( ) f(1)2 ,g x( )g(1)2 Do đó phương trình

vô nghiệm với mọi x1

+ Tương tự, với mọi x thoả 0 x 1 phương trình vô nghiệm

 Vậy, phương trình đã cho có một nghiệm là x1

 Hàm số f t( )tăng trên đoạn  1 ;2 Ta có f(1)2, (2)f 6

 Phương trình (*) có nghiệm thuộc  1 ;2 khi và chỉ khi :

log mx6x 2log 14x 29x2 0 có 3 nghiệm phân biệt

19 39

2

m

  

IV HIỆU QUẢ

 Đối tượng thực nghiệm là lớp 12B3

 Đối tượng đối chứng là lớp 12B2

1 Thống kê kết quả trước khi học tập tài liệu :

Tóm lại, việc hệ thống lý thuyết và phân loại dạng toán cho học sinh đã đem lại hiệu quả thiết thực Nó giúp cho học sinh nắm vững lại lý thuyết và nhận dạng toán để vận dụng cho phù hợp Để vận dụng tốt, học sinh cần phải suy nghĩ, phân tích để đưa một bài toán lạ về dạng toán quen và giải quyết một cách dễ dàng Tài liệu này được áp dụng cho học sinh khối 12 để ôn tập chuẩn bị thi tốt nghiệp THPT

và thi tuyển sinh vào cao đẳng - đại học

Khi soạn đề tài này, tôi đã chọn lọc các bài tập tiêu biểu làm ví dụ minh hoạ để các em học sinh tham khảo Tôi xin chia sẻ kinh nghiệm cùng với các bạn đồng nghiệp về chuyên đề này Dù có nhiều cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những khiếm khuyết Tôi xin được nghe những ý kiến đóng góp, bổ sung của quý đồng nghiệp để tài liệu được hoàn chỉnh hơn Mọi sự đóng góp, trao đổi xin gửi về địa chỉ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa và sách giáo viên : Giải tích 12 ; Giải Tích 12 nâng cao

2 Bài tập Giải tích 12 (Cơ bản và nâng cao)

3 Hướng dẫn ôn tập thi tốt nghiệp THPT môn Toán các năm học 2008 - 2009 ; 2009

- 2010 ; 2010-2011 ; 2011-2012; 2012-2013 ; 2013-2014

4 Đề và đáp án kỳ thi tốt nghiệp THPT từ năm 2008 đến 2013

5 Đề và đáp án kỳ thi tuyển sinh Đại học từ năm 2002 đến 2013

6 Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề Giải tích 12-Tập 2 - Nguyễn Phú Khánh-NXB Đại học Quốc gia Hà Nội