SKKN: Dùng tọa độ để giải bài toán hình không gian lớp 12

Hình học không gian là một môn học tương đối khó có tính hệ thống tương đối chặt chẽ, logic và trừu tượng. Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán cho phù hợp với trình độ học sinh ở trường THPT Trần Quốc Đại. Các bài toán hình học không gian khá phức tạp đòi hỏi người học phải có tư duy tốt. Một số bài toán tính khoảng cách, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian nếu giải theo phương pháp thông thường sẽ khá phức tạp và tốn nhiều thời gian. Với những bài toán đó thì phương pháp tọa độ cho ta lời giải nhanh chóng, dễ dàng hơn nhiều. Giải pháp chúng tôi đưa ra là vận dụng phương pháp tọa độ để giái một số bài toán hình học không gian sẽ đơn giản hơn so với cách giải thông thường. Tuy nhiên phương pháp này chỉ tối ưu đối với 1 số bài toán nào đó chứ không phải lúc nào cũng áp dụng.

MỤC LỤC

MỤC LỤC Trang 1 DANH MỤC VIẾT TẮT Trang 1

Đề tài Trang 2 1/ Tóm tắt Trang 3 2/ Giới thiệu Trang 3 3/ Phương pháp Trang 4 3.1 Khách thể nghiên cứu Trang 4 3.2 Thiết kế nghiên cứu Trang 4 3.3 Qui trình nghiên cứu Trang 4 3.4 Đo lường và thu thập dữ liệu Trang 5 4/ Phân tích dữ liệu và bàn luận Trang 5 5/ Kết luận và khuyến nghị Trang 6 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 8 PHỤ LỤC Trang 9 Phụ lục 1 : Giáo án chủ đề Trang 9 Phụ lục 2 : Các đề kiểm tra Trang 13 Phụ lục 3 : Bảng điểm Trang 17

DANH MỤC VIẾT TẮT

1 Tóm tắt:

Hình học không gian là một môn học tương đối khó có tính hệ thống tương đối chặt chẽ, logic và trừu tượng Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh độc lập suy nghĩ để giải bài toán cho phù hợp với trình độ học sinh ở trường THPT Trần Quốc Đại Các bài toán hình học không gian khá phức tạp đòi hỏi người học phải có tư duy tốt Một số bài toán tính khoảng cách, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian nếu giải theo phương pháp thông thường sẽ khá phức tạp và tốn nhiều thời gian Với những bài toán đó thì phương pháp tọa độ cho ta lời giải nhanh chóng, dễ dàng hơn nhiều Giải pháp chúng tôi đưa ra là vận dụng phương pháp tọa độ để giái một số bài toán hình học không gian sẽ đơn giản hơn so với cách giải thông thường Tuy nhiên phương pháp này chỉ tối ưu đối với 1 số bài toán nào đó chứ không phải lúc nào cũng áp dụng

Nghiên cứu được tiến hành trên hai lớp tương đương về trình độ học tập: lớp 12c2 và 12c3 của trường THPT Trần Quốc Đại Lớp 12c3 là lớp thực nghiệm được

áp dụng phương pháp trên Kết quả cho thấy tác động đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kết quả học tập của học sinh: lớp thực nghiệm đã đạt kết quả học tập cao hơn so với lớp đối chứng Điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm có giá trị trung bình là 5,54; điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp đối chứng là 4,96 Kết quả kiểm chứng t-test

lớp đối chứng Điều đó chứng minh rằng việc vận dụng phương pháp tọa độ để giái một số bài toán hình học không gian làm nâng cao kết quả học tập của học sinh lớp

12 trường THPT Trần Quốc Đại

2 Giới thiệu:

Dạy học toán là một trong những vấn đề trọng tâm của chương trình giảng dạy trong nhà trường Đối với học sinh thì hình thức chủ yếu của hoạt động toán học nhằm thực hiện tốt chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng trí tuệ và chức năng kiểm tra Đối với giáo viên dạy học toán là một trong những vấn đề quan trọng của quá trình dạy học, giáo viên không dừng lại ở mức độ hướng dẫn học sinh trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và có căn cứ chính xác

mà phải biết hướng dẫn học sinh thực hành bài tập theo hướng tìm tòi, nghiên cứu lời giải

Giải pháp thay thế: Trong trường THPT Trần Quốc Đại việc học môn toán

hình học ở lớp 12 của các em học sinh tương đối khó khi gặp những bài toán về hình học không gian như tính khoảng cách, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc những bài toán đó trừu tượng nếu áp dụng cách giải thông thường sẽ rất khó nhưng nếu đưa

về phương pháp tọa độ để giải thì bài toán sẽ đơn giản hơn nhiều

Vấn đề nghiên cứu: dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không

gian: như tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Giải thuyết nghiên cứu: có áp dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình

học không gian: như tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc cho học sinh 12 trường THPT Trần Quốc Đại ?

3 Phương pháp:

3.1 Khách thể nghiên cứu:

Chọn 2 lớp 12c2, 12c3 năm học 2012 - 2013 của trường THPT Trần Quốc Đại,

2 lớp được chọn có trình độ tương đối đồng đều

3.2 Thiết kế:

Chọn hai lớp nguyên vẹn: lớp 12c2 là nhóm thực nghiệm và 12c3 là nhóm đối chứng Chúng tôi dùng bài kiểm tra 1 tiết môn Hình học 12 chương I làm bài kiểm tra trước tác động Kết quả kiểm tra cho thấy ĐTB của hai nhóm có sự khác nhau, do

đó chúng tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm

số trung bình của 2 nhóm trước khi tác động

Kết quả:

Bảng 1 Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương

p = 0,135 > 0,05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm TN và ĐC là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương

Sử dụng thiết kế 2: Kiểm tra trước và sau tác động đối với các nhóm tương đương (được mô tả ở bảng 1):

Bảng 2 Thiết kế nghiên cứu

Kiểm tra sau tác động

Thực

Dùng phương pháp tọa độ để giải

3.3 Qui trình nghiên cứu:

a) Chuẩn bị bài của giáo viên:

- Ở lớp đối chứng: thiết kế bài học không sử dụng phương pháp quy trình chuẩn bị bài bình thường

- Ở lớp thực nghiệm: thiết kế bài học có sử dụng phương pháp dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình học không gian Sưu tầm, lựa chọn thông tin tại các website baigiangdientubachkim.com, tvtlbachkim.com, giaovien.net

b) Tiến hành dạy thực nghiệm:

Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan Cụ thể áp dụng vào các tiết chủ đề tự chọn:

Bảng 3 Thời gian thực nghiệm

Thứ 4 ngày

Thứ sáu ngày

Luyện tập chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

3.4 Đo lường và thu thập dữ liệu:

Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết môn toán Hình học 12 chương I

Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra 1 tiết sau khi học xong các bài tập về chủ đề tự chọn trong chương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12

* Tiến hành kiểm tra và chấm bài

Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên, chúng tôi tiến hành bài kiểm tra 1 tiết (nội dung trình bài ở phần phụ lục)

Sau đó giáo viên tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng

4 Phân tích dữ liệu và bàn luận:

Bảng 3 So sánh ĐTB bài kiểm tra sau tác động

Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương đương Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả P = 0,00003, cho thấy: sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao hơn ĐTB nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động

Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD = 5,54 4,96 0,86

0,67



mức độ ảnh hưởng của dạy học bằng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian đến học tập của nhóm thực nghiệm là lớn

Giả thuyết của đề tài “dùng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian” đã được kiểm chứng

4.2

4.4

4.6

4.8

5 5.2

5.4

5.6

Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm

Hình 1 Biểu đồ so sánh ĐTB trước tác động và sau tác động của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng

* Bàn luận:

Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC= 5,54, kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 4,96 Độ chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 0,88; Điều đó cho thấy ĐTB của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có ĐTB cao hơn lớp đối chứng

Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 0,86 Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là lớn

Phép kiểm chứng T- test ĐTB sau tác động của hai lớp là p = 0.00003 < 0.001 Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động

5 Kết luận và khuyến nghị:

* Kết luận:

Việc áp dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian giúp cho học sinh giải một số bài toán về khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc đơn giản hơn

rất nhiều so với phương pháp giải thông thường nâng cao hiệu quả học tập của học sinh ở trường

Phương pháp này không quá khó đối với học sinh trung bình yếu nên các em

áp dụng đơn giản mau chóng hơn rất nhiều so với phương pháp thông thường chủ yếu là dạy cho các em cách chọn hệ trục sao cho phù hợp để bài toán trở nên đơn giản hơn

Hướng dẫn học sinh giải toán cần có phương pháp phù hợp với từng đối tượng học sinh Vì thực tế dạy toán là dạy hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là hình thức chủ yếu Do vậy, ngay từ khâu phân tích đề, dựng hình, định hướng cách giải cần gợi mở, hướng dẫn cho các em cách suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề đang đặt ra, nhằm từng bước nâng cao ý thức suy nghĩ độc lập, sáng tạo của các em

* Khuyến nghị:

- Việc vận dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán hình không gian chỉ áp dụng để giải số bài toán có mối liên hệ vuông góc Phương pháp này còn có thể áp dụng để giải các bài toán về góc, về thể tích,…

- Đối với giáo viên: cần tìm tòi, học hỏi kinh nghiệm ở các đồng nghiệp để tìm

ra những cách giải hay đơn giản, ngắn gọn phù hợp với trình độ học sinh nhiều hơn nữa tạo nên hứng thú, say mê học môn hình không gian cho các em

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Hình học 11 (Nhà xuất bản giáo dục)

2/ Bài tập hình học 11 (Nhà xuất bản giáo dục)

3/ Hình học 11 (Sách giáo viên) (Nhà xuất bản giáo dục)

4/ Hình học 12 Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)

5/ Bài tập hình học 12 Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên)

6/ Hình học 12 (Sách giáo viên) Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)

7/ Các trang Website: Violet.vn, Mathvn.com, Hocmai.vn

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: Giáo án chủ đề

1 Mục tiêu:

1.1 Về kiến thức: giới thiệu cho học sinh cách dùng phương pháp tọa độ để

chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

1.2 Về kỹ năng: rèn luyện cho học sinh cách giải bài toán hình không gian chứng

minh hai mặt phẳng vuông góc bằng phương pháp tọa độ

1.3 Về thái độ: rèn cho học sinh thái độ học tập tích cực, tạo cho học sinh sự say

mê hứng thú học môn hình không gian

2 Trọng tâm: chứng minh hai mặt phẳng vuông góc bằng phương pháp tọa độ.

3 Chuẩn bị:

- Giáo viên: tài liệu, hình minh họa

- Học sinh: tìm hiểu cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc/

4 Tiến trình:

4.1 Ổn định tổ chức và kiểm diện: ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.

4.2 Kiểm tra miệng:

- Gọi 1 học sinh nêu cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

4.3 Bài mới:

Hoạt động của GV và HS Nội dung

Hoạt động 1:

- GV: gọi HS nêu cách chứng

minh hai mặt phẳng vuông góc

đã học ở lớp 11 và lớp 12

- HS:

+ Ở lớp 11: hai mặt phẳng vuông

góc nếu trong mặt phẳng này

chứa đường thẳng vuông góc

mặt phẳng kia

+ Ở lớp 12: hai mặt phẳng vuông

góc nếu tích vô hướng của hai

VTPT bằng 0

Hoạt động 2:

Áp dụng vào việc giải toán

- GV: nêu đề bài

- GV: hướng dẫn HS chọn hệ

trục Oxyz

- HS: chọn hệ trục Oxyz có gốc

ID, IC; tia Oz song song và cùng

I Lý thuyết:

Ta có : Ox Oy Oz, , vuông góc từng đôi một

Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ

II Áp dụng:

Cho tam giác đều ABC có cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I

2

mp(ABC) Chứng minh rằng:

z

N M B

S

x D

A

I

C

chiều với tia DS Khi đó:

3 ;0;0

2

a

D 

, C0; ;0a2 

 

2

a

B 

2

a

A 



S 

a/ - GV: hướng dẫn HS lập

phương trình tổng quát của 2 mặt

phẳng (SAB) và (SAC)

- Tìm VTPT của 2 mặt phẳng

trên

- Tính tích vô hướng của 2

VTPT

- HS:

+ Phương trình mp (SAB) là:

a

+ Phương trình mp (SAC) là:

a

+ Tính n n 1 2

+ Kết luận

b/ - GV: chia 4 nhóm thực hiện

giải câu b

- HS: đại diện mỗi nhóm lên

trình bày bài giải của nhóm

- GV: nhận xét, sửa sai

Ta có SA cắt Iz tại trung điểm M của SA

6 0;0;

2

a

M 



2

a

A 

2

a

B 

  , M0;0;a26

a

n

a



2

a

A 

 , 6

0;0;

2

a

M 

nên có phương trình theo đoạn

a

n

a

 



Ta có : n n  1 2 0

b/ * mp(SAB) có:

+ BC 0; ;0a  a(0;1;0)

 

+ Nên có VTPT: n 3  6;0; 3

* Mp(SAD) trùng với mp(xOz) nên có VTPT:

 

n 

* Ta có: n n  3 4 0 Vậy (SBC)(SAD)

4.4 Câu hỏi và bài tập củng cố:

- Nêu cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc đã học

- Nêu cách lập phương trình mặt phẳng

- Nêu cách tính tích có hướng của hai vectơ

4.5 Hướng dẫn học sinh tự học:

- So sánh cách giải giữa chứng minh thông thường và chứng minh bằng phương pháp tọa độ?

- Nắm cách chứng minh hai mặt phẳng bằng phương pháp tọa độ để vận dụng vào giải toán

Ngày soạn: Tuần:

1 Mục tiêu:

1.1 Về kiến thức: giới thiệu cho học sinh công thức tính khoảng cách từ 1 điểm

đến một mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng song song để giải toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ

1.2 Về kỹ năng: rèn luyện cho học sinh cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến một

mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng song song để giải toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ

1.3 Về thái độ: rèn cho học sinh thái độ học tập tích cực, tạo cho học sinh sự say

mê hứng thú học môn hình không gian

2 Trọng tâm: tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng song

song

3 Chuẩn bị:

- Giáo viên: tài liệu, hình minh họa

- Học sinh: công thức về khoảng cách đã học trong bài phương trình mặt phẳng

4 Tiến trình:

4.1 Ổn định tổ chức và kiểm diện: ổn định lớp, kiểm tra sĩ số.

4.2 Kiểm tra miệng:

- Câu 1: cách lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

- Câu 2: tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, giữa 2 mặt phẳng song song

4.3 Bài mới:

Hoạt động của giáo viên và học sinh Nội dung

Hoạt động 1:

- GV: gọi học sinh nêu công thức tính

khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt

phẳng, giữa 2 mặt phẳng song song

- HS:

+ Trong không gian Oxyz khoảng

cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp( )

:Ax By Cz D    0 được tính theo

công thức:

( ;( )) Ax By Cz D

d M

+ (( );( ))d   d M( ;( )), M( )

Hoạt động 2:

- GV: áp dụng vào giải bài 1

- GV: hướng dẫn học sinh chọn hệ

trục Oxyz

- GV: gọi học sinh lập phương trình

I Lý thuyết:

gian Ta có : Ox Oy Oz, , vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ

1 Tính khoảng cách từ một điểm M đến

mp( ) :

2 Tính khoảng cách giữa hai mặt phăng song song mp( ) và ( ) :

Khoảng cách giữa 2 mắt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

II Áp dụng:

1 Cho tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau; AB = 3; AC = AD= 4 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD)

- HS: lập phương trình mặt phẳng

(BCD)

+ Cách 1: lập phương trình mp(BCD)

theo đoạn chắn

+ Cách 2: tìm 1 điểm B, C, D và 1

   



phương trình mp(BCD)

- Áp dụng công thức khoảng cách để

tính khoảng cách từ điểm A đến

mp(BCD)

Hoạt động 3:

- GV: hướng dẫn học sinh dựng hình

và cách chọn hệ trục Oxyz

,,,,,D Ox; C  Oy và B  Oz

 A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)

 Phương trình đoạn chắn của (BCD) là:

1

4 43 

x y z

 3x + 3y + 4z – 12 = 0 Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) là:

6 34 17

3.0 3.0 4.0 12

d A BCD     

có cạnh bằng a Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB D' ') và ( 'C BD)

- HS:

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac

(0;0;0)

O A ; A'(0;0; )a

( ;0;0)

B a ; B a'( ;0; )a

( ; ;0)

C a a ; C a a a'( ; ; )

(0; ;0)

D a ; D'(0; ; )a a

- HS: lập phương trình tổng quát

của hai mặt phẳng:(AB D' '),

( 'C BD)

- GV: cho HS nhận xét về vị trí tương

đối của 1 mặt phẳng trên

n  AB AD a a a

z

O

B

y C

x D A

B’

A B

C D

D’

A’

C’

x

y

z