skkn dùng đường tròn lượng giác giải sóng cơ

Trong đề tài này, tôi mạnh dạn sử dụng đường tròn lượng giác để giải các bài toán phần sóng cơ, vì nhận thấy rằng các tài liệu hiện có trên thị trường mà các giáo viên dùng đường tròn lư

Trong các đề luyện thi đại học cũng như trong các đề thi chính thức tuyển sinh vào đại học và cao đẳng các năm vừa qua, mà đặc biệt là từ năm 2010 trở lại đây, đề thi có rất nhiều câu khó và “độc” Với những câu này thì thường có nhiều cách giải Tuy nhiên, cách giải hay, nhanh

và cho đáp án chính xác nhất thường được các giáo viên vật lí sử dụng là dùng đường tròn lượng giác để giải nhanh các bài toán như: Dao động cơ, Sóng cơ, Điện xoay chiều và mạch dao động Trong đề tài này, tôi mạnh dạn sử dụng đường tròn lượng giác để giải các bài toán phần sóng cơ,

vì nhận thấy rằng các tài liệu hiện có trên thị trường mà các giáo viên dùng đường tròn lượng giác để giải thì rất ít, đặc biệt là những sách viết cách đây vài ba năm thì không hề có

Trong đề tài này, tôi cố gắng tuyển chọn những câu khó và hay thuộc chương sóng cơ thường có trong các đề luyện thi đại học cũng như thi tuyển sinh vào ĐH và CĐ được giải bằng phương pháp đường tròn lượng giác Với mong muốn cung cấp đến đồng nghiệp và HS một hệ thống bài tập chương sóng cơ dùng để luyện thi ĐH và CĐ cho các em HS

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

Một phương trình sóng cơ học được biểu diễn theo hàm sin hoặc cosin theo thời gian là một phương trình dao động điều hòa Vì vậy, các tính chất của sóng cơ học cũng tương tự như một vật dao động điều hòa Vì vậy, cơ sở cho việc sử dụng đường tròn lượng giác để giải các bài toán sóng cơ vẫn tương tự như giải bài toán dao động điều hòa bằng đường tròn lượng giác

- Một vật dao động điều hòa dạng x =Acos(ωt+φ) (cm)

được biểu diễn bằng một véctơ quay trên đường tròn lượng giác

+ Vẽ một vòng tròn có bán kính bằng biên độ A

+ Vẽ trục Ox nằm ngang có tâm đường tròn gốc O

+ Vẽ véctơ OMuuuurcó độ lớn bằng biên độ A và hợp với trục Ox góc ϕ là pha ban đầu.

Quy ước:

- Chiều quay véctơ là chiều ngược chiều kim đồng hồ

- Khi vật chuyển động phía trên trục Ox thì đó là chiều âm

- Khi vật chuyển động phía dưới trục Ox thì đó là chiều dương

- Tâm đường tròn là vị trí cân bằng của vật

Trên vòng tròn lượng giác có bốn điểm đặc biệt:

+ A: Vị trí biên dương xmax = + A và có góc ϕ =0 rad

+ B: vị trí cân bằng theo chiều âm và có rad

2

π

ϕ =

+ C: vị trí biên âm và có ϕ = πrad

+ D: vị trí cân bằng theo chiều dương và có rad

2

−π

ϕ =

* Một số tính chất của đường tròn lượng giác:

+ Tốc độ quay của chất điểm M trên đường tròn bằng

+ Thời gian để chất điểm M quay hết một vòng (3600) là một chu kỳ T

+ Góc mà bán kính nối vật chuyển động quét được trong quá trình vật chuyển động tròn đều: ∆ϕ = ω.∆t

- Như vậy, có thể dung một hệ trục tọa độ là có thể

biết cả ba đại lượng x, v a bằng cách hạ hình chiếu của M

xuống các trục tương ứng

II CƠ SỞ THỰC TIỄN

Trong các đề thi tuyển sinh vào cao đẳng và đại học hàng năm, luôn có những câu hỏi thuộc chương sóng cơ yêu cầu học sinh tính toán phức tạp, nếu giải bằng phương pháp truyền

thống thì mất nhiều thời gian Do đó, việc xây dựng phương pháp mới để giải nhanh bài toán sóng cơ là rất cần thiết cho học sinh, giúp các em có thể đạt điểm cao trong kì thi tuyển sinh vào cao đẳng và đại học.

Trên thị trường sách tham khảo, chưa có một quyển sách nào viết về chuyên đề dùng đường tròn lượng giác để giải các bài toán sóng cơ Các bài tập được các tác giả viết còn rời rạc, chưa có hệ thống cụ thể để giúp học sinh có thể nghiên cứu đầy đủ và chuyên sâu Điều này làm cho các em còn lúng túng, thiếu tự tin trong việc giải bài tập thuộc dạng khó ở chương sóng cơ

Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện thi đại học, tôi nhận thấy việc sử dụng đường tròn lượng giác để giải một số bài toán sóng cơ giúp học sinh tiếp thu nhanh hơn và dễ hiểu hơn, việc giải bài toán mất ít thời gian hơn Xuất phát từ đó, tôi mạnh dạn viết chuyên đề này nhằm trao đổi với quý đồng nghiệp và cung cấp một hệ thống bài tập đến học sinh đang ôn thi vào các trường cao đẳng và đại học

III CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN LƯỢNG GIÁC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CHƯƠNG SÓNG CƠ HỌC – VẬT LÍ 12

CHỦ ĐỂ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ SÓNG CƠ HỌC

1 Ứng dụng 1: Tìm biên độ, li độ của sóng

A Phương pháp giải

- Vẽ vòng tròn có bán kính bằng biên độ sóng A, trục nằm ngang biểu diễn li độ sóng

- Xác định vị trí nguồn sóng O ban đầu và ở thời điểm ∆ t trên vòng tròn lượng giác

Bài 1 (Đề kiểm tra học kì 1- Năm 2012-2013 - Sở GD và ĐT Bình Thuận): Một sóng cơ lan

truyền từ nguồn O dọc theo một đường thẳng với biên độ không đổi, ở thời điểm t = 0, điểm O đi

qua vị trí cân bằng theo chiều dương Ở thời điểm t bằng 1

2chu kì, tại một điểm M cách O một

khoảng bằng 1

4bước sóng có li độ bằng 5cm Biên độ của sóng là:

A 5 cm B 5 2 cm C 5 3 cm D 10cm

Hướng dẫn giải

- Tại thời điểm t = 0, nguồn O có vị trí như hình vẽ

- Tại thời điểm

Vậy, điểm M ở vị trí biên dương→x M = =A 5cm→ chọn đáp án A

Nhận xét: với bài toán dạng này, ta cũng có thể giải theo cách khác là viết phương trình sóng tại

M , sau đó dựa vào điều kiện ban đầu để tìm kết quả

Bài 2 ( Đề thi tốt nghiệp – năm 2013): Cho một sợi dây đàn hồi, thẳng dài Đầu O của sợi dây

dao động với phương trình u = 4cos 20 π t cm Tốc độ truyền sóng trên dây là 0,8m/s Li độ của điểm M trên dây cách O 20cm theo phương truyền sóng tại thời điểm 0,35s là:

Bài 3 (Đề thi ĐH – năm 2012): Hai điểm M, N cùng nằm trên một hướng truyền sóng và cách

nhau một phần ba bước sóng Biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền Tại một thời điểm, khi li độ dao động của phần tử tại M là 3 cm thì li độ dao động của phần tử tại N là -3 cm Biên

độ sóng bằng

u

O O’

Bài 4 (Đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 2- 2013): Một nguồn sóng cơ truyền dọc theo đường

thẳng, nguồn dao động với phương trình uN = a cos ω t cm Một điểm M trên phương truyền

sóng cách nguồn một khoảng

3

x = λ, tại thời điểm

2

T

t = có li độ uM = 2 cm Coi biên độ sóng không đổi trong quá trình truyền đi, biên độ sóng là:

Hướng dẫn giải

- Từ phương trình sóng uN = a cos ω t cm →tại thời điểm t

= 0 nguồn ở biên dương

Bài 5 (Đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 1- năm 2013): Một sóng cơ lan truyền trên một sợi dây

với chu kì T, biên độ A Ở thời điểm t1, li độ của các phần tử tại A và C tương ứng là -4,8mm và +4,8mm; phần tử B tại trung điểm BC đang ở vị trí cân bằng Ở thời điểm t2, li độ của các phần

tử tại A và C là +5,5mm thì phần tử B cách vị trí cân bằng là:

A 10,3mm B 11,1mm C 5,15mm D 7,3mm

Hướng dẫn giải

u 3

-3

u

N 2

M1

M2

- Tại thời điểm t1 các vị trí A, B, C như hình 1, vậy khoảng cách AC= 4,8.2=9,6 mm

- Tại thời điểm t2 các vị trí A, B, C như hình 2

- Do A và C có cùng li độ 5,5 mm nên OH = 5,5 mm

Ta có H là trung điểm AC nên AH= 0,5.AC= 4,8mm

Vậy xB = OB a = = OH2+ AH2 = 5,52+ 4,82 = 7,3mm Chọn đáp án D

Bài 6 (Đề thi thử chuyên Hà Tĩnh lần 2- năm 2012): Hai điểm M và N cùng nằm trên một

phương truyền sóng cách nhau

3

λ, sóng có biên độ A, chu kì T Sóng truyền từ N đến M Giả sử tại thời điểm t1 có uM = + 4 cmvà uN = − 4 cm Biên độ sóng là:

- Sóng truyền từ N đến M nên M, N có vị trí như hình

- Từ vòng tròn lượng giác, ta suy ra:

Bài 7: Nguồn sóng ở O dao động với tần số 10Hz, dao động truyền đi với vận tốc 0,4m/s theo

phương Oy; trên phương này có hai điểm P và Q với PQ = 15cm Biên độ sóng bằng a = 1cm và không thay đổi khi lan truyền Nếu tại thời điểm t nào đó P có li độ 1cm thì li độ tại Q là:

- Bước sóng: 40

4 10

v

cm f

- Độ lệch pha giữa P và Q: 15

3,75 4

Bài 8: Một sóng cơ được truyền theo phương Ox với vận tốc v=20cm/s Giả sử khi truyền đi,

biên độ không đổi Tại O dao động có dạng uo=4.cos(

6t

π

2

-π

) (cm) Tại thời điểm t1 li độ của

điểm O là u=2 3 cm và đang giảm Li độ tại điểm O tại thời điểm t2 = t1 + 3s và li độ của điểm

M cách O một đoạn d =40 cm ở thời điểm t1là:

12

v

cm f

Bài 9 (Đề thi thử chuyên Sư phạm Hà Nội – lần 6 – 2013): Trên một sợi dây đàn hồi đang có

sóng truyền Xét hai điểm A, B cách nhau một phần tư bước sóng Tại thời điểm t, phần tử sợi dây tại A có li độ 0,5mm và đang giảm; phần tử sợi dây tại B có li độ 0,866mm và đang tăng Coi biên độ sóng không đổi Biên độ và chiều truyền sóng này là:

A

3 2u 0,5

2 2

4 2

Bài 10 (Trích đề thi thử chuyên ĐHSP Hà Nội – lần 4 năm 2013): Một sóng hình sin có biên

độ A truyền theo phương Ox từ nguồn O với chu kì T, bước sóng λ Gọi M, N là hai điểm trên

Ox, ở cùng một phía so với O sao cho OM – ON = 5λ/3 Các phần tử môi trường tại M, N đang dao động Tại thời điểm t1, phần tử môi trường tại M có li độ dao động bằng 0,5A và đang tăng Tại thời điểm t2 = t1 + 1,75T phần tử môi trường tại N có li độ dao động bằng:

x = và v >0 nên M có vị trí như hình và N đang ở biên âm

- Ở thời điểm t2, góc mà N quay được là:

- Vẽ vòng tròn có bán kính bằng biên độ sóng A, trục nằm ngang biểu diễn li độ sóng

- Xác định độ lệch pha giữa hai điểm trên phương truyền sóng: ϕ 2 d π

N (t1)

M (t1)

- Xác định góc quét trong thời gian ∆ = − t t2 t1: ∆ = ∆ = ϕ ω t ω ( t2 − t1)

- Phân tích góc quét thành ϕ = n3.2 π + n4π + ∆ ϕ''

- Xác định vị trí tại thời điểm t2 trên đường tròn lượng giác

- Chiếu xuống trục Ou hoặc Ou’ để tìm li độ u hoặc vận tốc v

Chú ý: Nếu xác định vận tốc ở thời điểm trước đó thì ta quay cùng chiều kim đồng hồ, còn nếu

xác định vận tốc ở thời điểm sau thì ta quay ngược chiều kim đồng hồ

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ 25cm/s Phương trình sóng tại

nguồn là u = 3cosπt(cm).Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm M cách O một khoảng 25cm tại thời điểm t = 2,5s là:

A 25cm/s B 3πcm/s C 0 D -3πcm/s

Hướng dẫn giải

50 0,5

v

cm f

Bài 3 (Đề thi ĐH – Năm 2013): Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây theo chiều

dương của trục Ox Hình vẽ mô tả hình dạng của sợi

dây tại thời điểm t1 (đường nét đứt) và t2 = t1 + 0,3

(s) (đường liền nét) Tại thời điểm t2, vận tốc của

điểm N trên đây là :

Bài 4 (Đề thi thử chuyên ĐH Vinh - lần 3 năm 2013: Một sóng hình sin lan truyền theo

phương Ox với biên độ không đổi A = 4 mm Hai điểm gần nhau nhất trên cùng phương truyền sóng mà có cùng độ lệch khỏi vị trí cân bằng là 2 mm, nhưng có vận tốc ngược hướng nhau thì cách nhau 4 cm Tỉ số giữa tốc độ dao động cực đại của một phần tử với tốc độ truyền sóng là

Hướng dẫn giải

- Hai điểm có độ lệch khỏi vị trí cân bằng là 2mm và có vận

tốc ngược nhau Vậy độ lệch pha là: 2

3

π ϕ

N (t2)

74

π

O (t1)

34

- 4

Bài 5 (Đề thi thử chuyên ĐH Vinh - lần 4 năm 2013: Một sóng cơ lan truyền trên một sợi dây

dài Ở thời điểm t0, tốc độ của các phần tử tại B và C đều bằng vo, phần tử tại trung điểm D của

BC đang ở vị trí biên Ở thời điểm t1 vận tốc của các phần tử tại B và C có giá trị đều bằng vo thì phần tử ở D lúc đó đang có tốc độ bằng

A 2vo B 2vo C vo D 0

Hướng dẫn giải

- Do B và C cùng tốc độ nên chúng phải có cùng li độ (hoặc li

độ đối xứng nhau) D là trung điểm BC và ban đầu D ở biên

- Sau một thời gian B, C lại cùng tốc độ v0 →B, C đối xứng nhau

qua biên và vuông pha với nhau

- Từ hình vẽ, ta thấy D ở vị trí cân bằng nên có vận tốc cực đại

trên dây là 2,4 m/s, tần số sóng là 20 Hz, biên độ sóng là 4 mm Hai điểm M và N trên dây cách nhau 37 cm Sóng truyền từ M tới N Tại thời điểm t, sóng tại M có li độ –2 mm và đang đi về vị trí cân bằng, Vận tốc sóng tại N ở thời điểm (t0 = t - 1,1125)s là

A - 8π 3 cm/s B 80π 3 mm/s C 8 cm/s D 16π cm/s

Hướng dẫn giải

12 20

v

cm f

Bài 7: Sóng truyền theo phương ngang trên một sợi dây dài với tần số 10Hz Điểm M trên dây

tại một thời điểm đang ở vị trí cao nhất và tại thời điểm đó điểm N cách M 5cm đang đi qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ và đi lên Coi biên độ sóng không đổi khi truyền Biết khoảng cách

MN nhỏ hơn bước sóng của sóng trên dây Chọn đáp án đúng cho tốc độ truyền sóng và chiều truyền sóng

A 60cm/s, truyền từ M đến N B 3m/s, truyền từ N đến M

C 60cm/s, từ N đến M D 30cm/s, từ M đến N

Hướng dẫn giải

- Điểm M ở vị trí cao nhất tức là ở biên dương

- Điểm N qua vị trí có li độ bằng nửa biên độ nên M,N có

vị trí như hĩnh vẽ

* Vậy bài toán có hai trường hợp xảy ra như sau:

Trường hợp 1: sóng truyền từ M đến N nghĩa là M sớm pha hơn N.

30 3

Bài 8: Một sóng cơ vó bước sóng λ, tần số f và biên độ A không đổi, lan truyền trên một đường

thẳng từ điểm M đến điểm N cách M một đoạn 11

3

λ Tại thời điểm t, tốc độ dao động của điểm

M là f A π 3và M đang đi về vị trí cân bằng thì lúc đó tốc độ dao động của điểm N sẽ là:

A 2 πfa B πfa C 0 D 3 πfa

M.NN

f A π = và đang đi về vị trí cân bằng thì có hai trường hợp xảy ra:

∆ = giữa hai điểm trên dây

- Dựa vào độ lệch pha ∆ ϕ xác định vị trí điểm bài toán cho trên đường tròn

- Sử dụng các tính chất lượng giác, mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao động điều hòa đã biết để tìm biên độ sóng dừng

+ Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm M, N dao động cùng pha, cùng biên độ a 2 là:

Bài 1: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định, B là một bụng sóng, biên độ dao

động tại bụng là A Điểm M cách B một đoạn bằng một phần ba bước sóng Biên độ sóng tại M là:

Bài 2: Trên một sợi dây đàn hồi đang có sóng dừng ổn định, N là một nút sóng, biên độ dao

động tại bụng là A Điểm M cách N một đoạn bằng

3

λ Biên độ dao động tại M là:

Bài 3: Một sóng dừng trên một đoạn dây có bước sóng bằng 30cm và biên độ dao động của một

phần tử cách một nút sóng một đoạn 5cm có giá trị là 9mm Biên độ A của bụng sóng là:

23π

Bài 4: Một sợi dây đàn hồi căng ngang, có sóng dừng ổn định Trên dây A là một nút, B là điểm

bụng gần A nhất, AB = 14 cm Biên độ tại bụng là 2A C là một điểm trên dây trong khoảng AB,

AC = 14/3 cm Biên độ dao động tại điểm C là:

6

π

22

B

A Bụng

M

Nút N

ΒO

4

π

Bài 6 (Đề thi thử đại học chuyên ĐH Vinh - lần 2 năm 2013): M, N, P, là 3 điểm liên tiếp

nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ dao động 2 2cm, dao động tại P ngược pha với dao động tại M và MN = NP Biên độ dao động tại điểm bụng sóng là

A 2 2 cm B 3 2 cm C 4cm D 4 2cm

Hướng dẫn giải

- M, N, P là ba điểm liên tiếp nhau có cùng biên độ, có

MN = NP và dao động tại P ngược pha với dao động tại M Vậy

- Gọi C là bụng gần nút B nhất và M, N là hai điểm có

biên độ dao động bằng một nửa biên độ dao động cực đại 9

(biên độ dao động của điểm C)

Độ lệch pha biên độ giữa M và N là:

MN MN

Bài 8 (Đề thi thử đại học Triệu Sơn 2- lần 3 năm 2014): Một sợi dây đàn hồi dài 2,4 m, căng

ngang, hai đầu cố định Trên dây đang có sóng dừng với 8 bụng sóng Biên độ bụng sóng là 4

mm Gọi A và B là hai điểm trên dây cách nhau 20 cm Biên độ của hai điểm A và B hơn kém nhau một lượng lớn nhất bằng

- Từ hình vẽ, ta thấy biên độ của hai điểm A, B hơn

kém nhau một lượng lớn nhất khi A là nút, tức biên độ

sóng tại A bằng 0 Khi đó biên độ của B là:

- Vẽ vòng tròn có vị trí nút sóng là tại tâm đường tròn, vị trí bụng tại biên

- Tìm bước sóng λ từ điều kiện bài toán

- Tính độ lệch pha biên độ: ϕ 2 d π

λ

∆ = giữa hai điểm trên dây

- Dựa vào độ lệch pha ∆ ϕ xác định vị trí điểm bài toán cho trên đường tròn

- Dựa vào điều kiện của bài toán để xác định chu kì T hoặc tần số f