Khắc phục hiện tượng suy biến trong bài toán vận tải

Trong bài toánnày hàm mục tiêu là tuyến tính nghĩa là chi phí vận chuyển tỉ lê thuận vớilượng hàng vận chuyển và các ràng buộc của bài toán có dạng đặc biệt.Nhờ khai thác cấu trúc đặc bi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH XUÂN BÁCH

KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG SUY BIẾN

TRONG BÀI TOÁN VẬN TẢI

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:GS.TS TRẦN VŨ THIỆU

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

Mục lục

1.1 Bài toán và tính chất 4

1.2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu 9

1.2.1 Phương pháp min cước 9

1.2.2 Phương pháp góc tây bắc 11

1.3 Tiêu chuẩn tối ưu 13

1.4 Thuật toán thế vị 14

1.5 Ví dụ minh họa 17

2 Bài toán vận tải suy biến và cách khắc phục 20 2.1 Thế nào là suy biến 20

2.2 Ví dụ xoay vòng 22

2.3 Bài toán nhiễu 29

2.4 Cách khắc phục xoay vòng 32

2.5 Ví dụ minh họa tránh xoay vòng 33

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn

và giúp đỡ của GS.TS Trần Vũ Thiệu (Viện Hàn lâm Khoa học và Côngnghệ Việt Nam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa 5 (2011 − 2013)

đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếusót Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy, cô vàbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hải Phòng, tháng 01 năm 2013.Người viết Luận văn

Trịnh Xuân Bách

Mở đầu

Tối ưu hoá (Optimization) là một môn toán học ứng dụng đã và đangđược nghiên cứu, giảng dạy và học tập ở rất nhiều trường đại học, caođẳng trong nước cho sinh viên các ngành toán học, tin học, kinh tế và kĩthuật Trong các bài toán tối ưu thì quan trọng nhất và đáng chú ý nhất

là các bài toán tối ưu tuyến tính Qui hoạch tuyến tính là bài toán tối

ưu đơn giản nhất, được ứng dụng rộng rãi nhất trong nhiều lĩnh vực khácnhau của kinh tế, đời sống và quốc phòng Chính vì vậy đây cũng là bàitoán được nghiên cứu đầy đủ và hoàn chỉnh nhất, cả về mặt lí thuyết vàtính toán, cũng đã có nhiều sách và giáo trình viết về vấn đề này, ở đâytôi xin trình bày một phần nhỏ của bài toán tối ưu

Bài toán vận tải (Transportation Problem) của qui hoạch tuyến tính làbài toán tối ưu được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn Trong bài toánnày hàm mục tiêu là tuyến tính (nghĩa là chi phí vận chuyển tỉ lê thuận vớilượng hàng vận chuyển) và các ràng buộc của bài toán có dạng đặc biệt.Nhờ khai thác cấu trúc đặc biệt này, người ta đã đề ra các phương phápriêng, hiệu quả hơn hẳn so với việc áp dụng phương pháp đơn hình tổngquát vào bài toán Đáng chú ý là phương pháp thế vị (xem [1]), phươngpháp qui không chọn ô (xem [2] ), phương pháp thu hẹp chính tắc,

Mô hình toán học của bài toán vận tải có dạng một bài toán qui hoạchtuyến tính chính tắc:

mincTx : Ax = b, x ≥ 0

vớiA ∈ Rm×n, b ∈Rm, c ∈ Rncho trước Ta thường giả thiếtrank (A) =

m và m ≤ n Với bài toán này, các phương án cực biên (còn gọi là lời giải

cơ sở) thường hay "suy biến", tức là có số thành phần dương nhỏ hơn

m Suy biến có thể dẫn đến hiện tượng xoay vòng, khi giải bài toán theothuật toán đơn hình, hậu quả là quá trình giải không thể kết thúc Đểtránh gặp xoay vòng, người ta đã đề ra nhiều biện pháp khắc phục khácnhau Chẳng hạn, khi giải qui hoạch tuyến tính theo thuật toán đơn hìnhngười ta thường áp dụng qui tắc từ vựng, qui tắc Wolfe, qui tắc Bland hayqui tắc cột phụ Srishna, (xem[3]).

Bài toán vận tải tuyến tính có dạng một qui hoạch tuyến tính chínhtắc, vì thế nó cũng thường gặp hiện tượng suy biến và do đó nguy cơ xoayvòng cũng có thể xảy ra, khi giải bài toán theo qui luật thế vị Mặc dùthực tế giải bài toán cho thấy xoay vòng trong bài toán vận tải rất hiếmkhi xảy ra Tuy nhiên, về lý thuyết nghiên cứu hiện tượng xoay vòng vàtìm cách khắc phục nó là một việc làm cần thiết và có ích Đối với bàitoán vận tải vấn đề khắc phục suy biến và xoay vòng đơn giản hơn nhiều

so với bài toán qui hoạch tuyến tính tổng quát

Luận văn này nhằm mục đích tìm hiểu và giới thiệu nội dung và phươngpháp giải bài toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính: nêu mô hình vàcác tính chất cơ bản của bài toán, giới thiệu thuật toán thế vị giải bàitoán Vấn đề đối ngẫu và quan hệ đối ngẫu trong bài toán vận tải cũngđược đề cập tới Luận văn còn đề cập tới bài toán vận tải suy biến, hiệntượng xoay vòng và phương pháp khắc phục xoay vòng trong bài toán vậntải Luận văn bao gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận và danh mục tàiliệu tham khảo:

Chương 1 với tiêu đề "Bài toán vận tải tuyến tính" trình bày nội dung

và các tính chất cơ bản của bài toán vận tải tuyến tính Tiếp đó, đề cậptới phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu của bài toán Sau đó,trình bày cơ sở lý luận và nội dung thuật toán thế vị (một biến thể củathuật toán đơn hình) giải bài toán vận tải Cuối chương, nêu ra ví dụ số

để minh họa cho thuật toán giải đã trình bày

Chương 2 với tiêu đề "Bài toán vận tải suy biến và cách khắc phục"trình bày bài toán vận tải suy biến và ví dụ dẫn đến xoay vòng trong bàitoán vận tải Sau đó, để khắc phục xoay vòng ta xét bài toán nhiễu, tức làbài toán với số liệu đầu vào thay đổi đôi chút so với các số liệu ban đầu

Chứng minh mọi phương án cực biên trong bài toán nhiễu đều không suybiến, do đó không xảy ra hiện tượng xoay vòng khi giải nó theo thuật toánthế vị.

Chương 1

Bài toán vận tải tuyến tính

Chương này đề cập tới bài toán vận tải tuyến tính (chi phí vận chuyển tỉ

lệ thuận với lượng hàng vận chuyển), đó là dạng bài toán qui hoạch tuyếntính đơn giản nhất và được ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tiễn Phầnđầu của chương trình bày nội dung và các tính chất cơ bản của bài toán.Tiếp đó đề cập tới phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu của bàitoán Sau đó trình bày cơ sở lý luận và nội dung thuật toán thế vị (mộtbiến thể của thuật toán đơn hình) giải bài toán vận tải Cuối chương nêu

ví dụ số minh họa cho thuật toán giải Nội dung của chương được thamkhảo chủ yếu từ các tài liệu [1], [2] và [3]

Ký hiệu xij là lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j

Khi đó mô hình toán học của bài toán vận tải có dạng như sau:

cijxij → min (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) (1.1)

với các điều kiện

xij = bj, j = 1, 2, , n (mọi điểm thu nhận đủ hàng), (1.3)

xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (lượng hàng vận chuyển không âm)

(1.4)

Ở đây, m là số kho chứa hàng (điểm phát),

n là số nơi tiêu thụ hàng (điểm thu),

ai là lượng hàng có (cung) ở điểm phát i (i = 1, 2, , m),

bj là lượng hàng cần (cầu) ở điểm thu j (j = 1, 2, n),

cij là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j,

xij biểu thị lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i tới điểm thu j

Điều kiện cần và đủ để bài toán (1.1)-(1.4) giải được là phải có điềukiện cân bằng thu phát, nghĩa là tổng cung bằng tổng cầu:

α1 + a2 + + am = b1 + b2 + + bn (1.5)Bài toán vận tải (1.1)-(1.4) là một dạng đặc biệt của qui hoạch tuyếntính Để thấy rõ điều này ta sắp xếp các biến số theo thứ tự

x11, x12, , x1n, x21, x22, , x2n, , xm1, xm2, , xmn

và viết lại hệ ràng buộc chính (1.2)-(1.3) dưới dạng hệ m + n phương trình

của m × n biến số xij như sau:

Ta gọi Aij là véctơ cột của ma trận A tương ứng với biến xij Dễ thấyvéctơ này có hai thành phần bằng 1 tại dòng thứ i và dòng thứ m + j, còncác thành phần khác bằng 0

Véctơ x thỏa mãn (1.2)-(1.4) gọi là một phương án của bài toán vậntải Một phương án đạt cực tiểu (1.1) gọi là phương án tối ưu hay lời giải.Phương án x là phương án cực biên khi và chỉ khi các véctơ cột Aij của

ma trận A tương ứng với các xij > 0 là độc lập tuyến tính Sau đây ta sẽgiả thiết điều kiện cân bằng thu phát (1.5)

Do bài toán vận tải có m + n ràng buộc chính, nên ta nghĩ rằng mỗiphương án cực biên cũng có m + n thành phần dương, nhưng thực tế nóchỉ có nhiều nhất m + n − 1 thành phần dương, vì trong số các ràng buộcnày có một ràng buộc là thừa (có thể bỏ đi mà không làm ảnh hưởng tớilời giải của bài toán) Một phương án cực biên của bài toán gọi là khôngsuy biến nếu số phần tử của tập hợp G = {(j; j) : xij > 0}bằngm+n−1,gọi là suy biến nếu số phần tử của tập hợp G nhỏ hơn m + n − 1

Với điều kiện (1.5) bài toán vận tải (1.1)-(1.4) có các tính chất sau đây:

1 Bài toán luôn có phương án và tập hợp các phương án của bài toán

hàng tương ứng với một trạm phát, mỗi cột tương ứng với một trạm thu.

Số ghi ở đầu mỗi hàng là lượng cung, số ghi ở đầu mỗi cột là lượng cầu.Chi phí vận chuyển cij ghi ở góc trên bên trái của ô (i; j), lượng hàng vậnchuyển xij sẽ ghi ở góc dưới bên phải của ô Ô (i; j) biểu thị tuyến đườngvận chuyển từ trạm phát i đến trạm thu j (Đặt cij = ∞ nếu không thểchuyển hàng từ i đến j)

Định nghĩa 1.1 Ta gọi dây chuyền là tập hợp các ô có dạng

Ví dụ 1.1 Chu trình

Hình 1.2:

Ta có một số định lý và hệ quả quan trọng sau

Định lí 1.1 Hệ véctơ Aij của bài toán vận tải là độc lập tuyến tính khi

và chỉ khi các ô tương ứng với các véctơ này không tạo thành chu trình

Hệ quả 1.1 Ma trận x = (xij)m×n là phương án cực biên của bài toán

vận tải khi và chỉ khi tập hợp ô (i; j) mà xij > 0 không chứa chu trình

Định lí 1.2 Giả sử T là một tập hợp gồm m + n − 1 ô của bảng vận tải,

không tạo thành chu trình Khi đó, mỗi ô (p; q) /∈ T sẽ tạo với các ô thuộc

T một chu trình duy nhất

1.2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu

Để giải bài toán vận tải (1.1)-(1.4) với điều kiện (1.5) theo phương phápthế vị, trước hết ta cần biết một phương án cực biên không suy biến của

bài toán Có nhiều cách để tìm một phương án như thế Sau đây là hai

phương pháp thông dụng và có hiệu quả nhất, thường được sử dụng để

tìm phương án cực biên ban đầu cho bài toán vận tải thỏa mãn điều kiện

cân bằng thu phát

1.2.1 Phương pháp min cước

Trong bảng vận tải (Bảng 1.1), ta chọn ô(p; q)sao chocpq = min {cij : ∀(i; j)}.Nếu cực tiểu đạt tại nhiều ô thì ta chọn một ô bất kỳ trong số các ô đó

Sau đó phân phối hàng nhiều nhất có thể theo tuyến p → q, nghĩa là đặt

xpq = min {ap, bq}

Trừ lượng hàng vừa phát vào khả năng thu, phát của hàng p và cột q.Tiếp đó, ta xóa hàng p nếu điểm phát p đã hết hàng, hoặc cột q nếu điểm

thu q đã nhận đủ hàng Khi cả hàng, cột đều hết và đủ hàng thì chỉ xóa

hàng hoặc cột, không xóa đồng thời cả hai Trong bảng còn lại, ta lại tìm

ô có cước phí nhỏ nhất và phân phối tối đa lượng hàng còn lại vào ô này

(lượng này có thể bằng 0) Phương án x thu được có đúng m + n − 1 ô

đã phân hàng, nó là một phương án cực biên vì các ô đã chọn không tạo

thành chu trình

Ví dụ 1.2 Tìm phương án cực biên của bài toán vận tải

Bài toán: "Cần vận chuyển xi măng từ 3 kho K1, K2, K3 tới 4 côngtrường xây dựng T1, T2, T3, T4 Cho biết lượng xi măng có ở mỗi kho,lượng xi măng cần ở mỗi công trường va giá cước vận chuyển (ngàn đồng)một tấn xi măng từ mỗi kho tới mỗi công trường như sau:

Bảng 1.2

Vấn đề là tìm kế hoạch vận chuyển xi măng từ các kho tới các côngtrường sao cho mọi kho phát hết lượng xi măng có, mọi công trường nhận

đủ lượng xi măng cần và tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất?"

Cước phí nhỏ nhất trong bảng là15đạt tại hai ô(2; 1)và(2; 4) Ta chọn

ô thứ nhất và phân vào ô này lượng hàng x21 = min {200, 130} = 130.Cột 1 đã nhận đủ hàng nên bị loại (không phân hàng vào ô đó nữa) Hàng

2 chỉ còn lại lượng phát a02 = 200 − 130 = 70

Trong bảng còn lại (ba cột cuối), ta chọn ô (2; 4) có cước phí nhỏnhất (bằng 15) và phân vào ô này lượng hàng x24 = min {70, 140} = 70.Lúc này hàng 2 đã hết hàng nên bị loại Cột 4 còn thiếu lượng hàng

b04 = 140 − 70 = 70

Trong bảng còn lại (ba cột cuối hàng 1 và 3), ta chọn ô có cước phí nhỏnhất (bằng18) và phân vào ô này lượng hàngx12 = min {170, 160} = 160.Cột 2 đã nhận đủ hàng nên bị loại Hàng 1 còn lại lượng phát a01 =

170 − 160 = 10

Tiếp đó, ta phân vào ô (1; 3) lượng hàng x13 = min {10, 120} = 10.Đến đây hàng 1 cũng hết hàng, chỉ có hàng 3 là còn hàng Cuối cùng, taphân vào hai ô cuối của hàng này lượng hàng x13 = 120 − 10 = 110 và

x34 = 180 − 110 = 70 Đến đây mọi hàng (cột) đã phát hết (nhận đủ)hàng, ta đặt xij = 0 đối với mọi ô (i, j) còn lại

Kết quả ta nhận được phương án cực biên cho ở bảng (1.2) Giá trịhàm mục tiêu tương ứng bằng 12950 Sau này ta sẽ thấy giá trị cực tiểu

x11 = min {a1, b1}

Có một trong ba khả năng sau có thể xảy ra:

• If x11 = a1 < b1

Then (điểm phát 1 đã hết hàng, điểm thu 1 còn cần b1 − a1 đơn

vị hàng) Xóa hàng thứ nhất của bảng T ta thu được bảng T0 gồm

(m − 1) hàng và n cột với lượng phát, thu tương ứng:

• If x11 = b1 = a1

Then (điểm phát 1 đã hết hàng, điểm thu 1 đã thỏa mãn nhu cầu )

Ta quy ước chỉ xóa cột thứ nhất của bảng T ta thu được bảng T0

gồm m hàng và (n − 1) cột với lượng phát, thu tương ứng:

a01 = 0 a01 = ai i = 2, 3, , m,

b0j = bj, j = 2, 3, , n;

Đối với bảng T0, ta lại thực hiện thủ tục chuyển hàng như đã áp dụngđối với bảng T: Bắt đầu từ ô ở góc tây bắc của bảng T0, xác định khốilượng vận chuyển lớn nhất có thể (khối lượng hàng có thể bằng 0) từ điểmphát đến điểm thu tương ứng, tức điền lượng hàng vận chuyển lớn nhất cóthể vào ô này Cứ tiếp tục phân phối hàng như vậy cho đến khi mọi hàng(cột) đã phát hết (nhận đủ) hàng Khi đó ta sẽ nhận được phương án cựcbiên gồm m + n − 1 ô được chọn, không tạo thành chu trình Những ô

(i; j) không được phân phối hàng có xij = 0

Ví dụ 1.3 Xét bài toán vận tải với véctơ lượng phát a, lượng thu b và

ma trận chi phí C như sau

được ghi vào góc dưới bên phải mỗi ô tương ứng(các thành phần bằng 0

bỏ qua không ghi) Trình tự phân phối hàng theo chiều mũi tên (đườngnét đứt) Ta thấy rằng, phương án x0 này chính là phương án cực biên củabài toán

Nhận xét 1.1 Theo phương pháp góc tây bắc, sau mỗi lần phân phốihàng, ta sẽ xóa đi được 1 hàng (hoặc 1 cột) của bảng Do đó, đúng sau

m + n − 1 lần phân phối thủ tục trên phải kết thúc (do ở lần cuối ta xóa

được cả hàng lẫn cột) và phương án xây dựng theo phương pháp góc tâybắc sẽ có không quá m + n − 1 thành phần dương.

1.3 Tiêu chuẩn tối ưu

Đối ngẫu của bài toán vận tải ban đầu (bài toán (1.1)-(1.4)) là

Để đơn giản việc trình bày, giả sử rằng bài toán vận tải ban đầu làkhông suy biến, tức các phương án cực biên của nó đều không suy biến.Cách nhận biết và khắc phục khi gặp phương án cực biên suy biến sẽ đượctrình bày chi tiết trong phần bên dưới đây

Cho phương ánx0 Như thường lệ, kí hiệuG x0
= (i; j) ∈ T |x0ij > 0 Sau đây là điều kiện cần và đủ để phương án x = (x0ij) là phương án tốiưu

Định lí 1.3 Phương án x0 = (x0ij) của bài toán vận tải là phương án tối

ưu khi và chỉ khi tồn tại các số ui, i = 1, , m và vj, j = 1, , n thỏa mãnđồng thời

ui+ vj ≤ cij, ∀(i; j) ∈ T (1.10)

.ui+ vj = cij, ∀(i; j) ∈ G(x0) (1.11)Giả sử x0 là phương án cực biên không suy biến Ta có các véctơ



Aij| (i; j) ∈ G(x0) độc lập tuyến tính và G(x0) = m + n − 1 Do

đó hệ (1.11) tương ứng

ui + vj = cij, (i; j) ∈ G(x0)

có m + n − 1 phương trình độc lập tuyến tính với nhau và m + n biến

ui, i = 1, , m, và vj, j = 1, , n Do đó để giải hệ này, có thể cho một

biến giá trị tùy ý (thông thường cho u1 = 0) và các ẩn còn lại được xácđịnh duy nhất bằng phương pháp thế Như vậy, mỗi phương án cực biênkhông suy biến x0 = (x0ij) tương ứng với một bộ số ui, i = 1, , m và

vj, j = 1, , n (sai khác một hằng số) thỏa mãn (1.11) Ta gọi các số

ui, vj này là các thế vị Các đại lượng ∆ := ui + vj − cij được gọi là cácước lượng Khi đó, điều kiện (1.10) được viết lại là

∆ij ≤ 0, ∀(i; j) ∈ T

Định lý sau đây cho ta biết dấu hiệu nhận biết phương án cực biênkhông suy biến x0 chưa phải tối ưu và từ đó chuyển sang một phương áncực biên x1 mà tại đó giá trị hàm mục tiêu tốt hơn tại x0

Định lí 1.4 Giả sử x0 là phương án cực biên không suy biến của bài toánvận tải và ui, i = 1, , m, và vj, j = 1, , n là bộ các thế vị tương ứngcủa nó

Nếu tồn tại ô(ik; jk) /∈ G(x0)sao cho ∆ikik > 0 (1.12)thì x0 không là phương án tối ưu và từ x0 ta chuyển đến được một phương

thành phần dương, với giả thiết đã biết trước một phương án cực biên.Thuật toán thế vị

Bước khởi tạo: Dùng phương pháp min cước (hay phương pháp góc tâybắc) tìm phương án cực biên không suy biến x0 = (x0ij) Tập ô chọn tương

ứng vớix0 là G x0
= (i; j) ∈ T |x0ij > 0 gồm đúng (m + n − 1) ô không

chứa chu trình và Đặt chỉ số vòng lặp k = 1

Bước 1:Xác định các thế vị: ui, i = 1, , m, và vj, j = 1, , n tươngứng với xk−1 bằng cách giải hệ phương trình dạng tam giác (1.11):

u1 = 0, ui + vj = cij, ∀(i; j) ∈ G(xk−1)

Bước 2:Tính các ước lượng: ∆ij = ui + vj − cij, ∀(i; j) /∈ G(xk−1).(Để ý là ta luôn có ∆ij = ui + vj − cij = 0, ∀(i; j) ∈ G(xk−1) ) Điềnước lượng ∆ij với (i; j) /∈ G(xk−1) vào góc bên phải của ô (i; j)

Bước 3: Kiểm tra tối ưu:

If ∆ij ≤ 0, ∀(i; j) /∈ G(xk−1).Then dừng thuật toán (x0 là phương án tối ưu theo Định lý(1.3))

Else Chuyển bước 4

Bước 4: Điều chỉnh phương án (nếu cần)4a) Xác định ô điều chỉnh(is; js)với∆r;s = max∆ij > 0|∀(i; j) /∈ G(xk−1) 4b) Tìm chu trình duy nhất K trong tập G(x0) ∪ (r; s)

4c) Chia các ô thuộc K thành ô lẻ K1 và ô chẵn K2 với qui ước

(r; s) ∈ K1

4d) Xác định lượng điều chỉnh h = minnxk−1ij : (i; j) ∈ K2o = xk−1pq

4e) Xây dựng phương án cực biên mới xk với

4f) Gán k := k + 1, quay lại bước 1 để thực hiện vòng lặp k mới

Định lí 1.5 Nếu bài toán vận tải không suy biến thì thuật toán thế vị là

hữu hạn, tức là sau hữu hạn bước ta sẽ nhận được phương án tối ưu

Mệnh đề 1.1 Nếu các lượng phát ai, i = 1, , m và các lượng thu bj

, j = 1, , n đều là các số nguyên thì bài toán vận tải ban đầu sẽ có nghiệmtối ưu với các thành phần đều nguyên

Chú ý 1.1 Trong trường hợp bài toán vận tải suy biến, có hai dấu hiệu

để nhận biết:

• Lượng điều chỉnh h = 0 (bước 4d) Khi đó ta vẫn thực hiện thuậttoán một cách bình thường, nghĩa là ô điều chỉnh(r; s) sẽ trở thành ôchọn của phương án cực biên mớixk và xkrs = 0 còn ô(p; q) ∈ K2 ứngvới xk−1pq = 0 sẽ trở thành ô loại đối với phương án xk Tuy nhiên, kếtquả điều chỉnh không làm thay đổi phương án cực biên(xk− 1 = xk)

mà chỉ làm thay đổi tập véctơ cơ sở của phương án đó

• Lượng điều chỉnh h đạt tại nhiều ô khác nhau thuộc K2 Khi đó ta

sẽ loại một trong những ô này theo qui tắc ngẫu nhiên

Chú ý 1.2 (Dấu hiệu bài toán có phương án tối ưu duy nhất và khôngduy nhất)

• Nếu phương án cực biên không suy biến x0 thỏa mãn tiêu chuẩn

∆ij = ui + vj − cij < 0, ∀(i; j) /∈ G(x0)

thì đó là phương án tối ưu duy nhất của bài toán vận tải

• Ngược lại, nếu phương án cực biên không suy biếnx0 là phương án tối

ưu và tồn tại ô (r; s) /∈ G(x0) có ∆rs = 0 thì x0 không phải phương

án tối ưu duy nhất của bài toán vận tải Tương tự thuật toán đơnhình giải bài toán quy hoạch tuyến tính, muốn tìm một phương áncực biên tối ưu khác x0, ta chọn (r; s) làm ô điều chỉnh và thực hiệntiếp một số bước lặp theo thuật toán thế vị

Sau đây là một số ví dụ minh họa cho thuật toán thế vị

4b) Chu trình điều chỉnh gồm 4 ô K = {(2; 4), (1; 4), (1; 1), (2; 1)}

4c) Các ô lẻ K1 = {(2; 4), (1; 1)} và các ô chẵn K2 = {(1; 4), (1; 1)}.4d) Lượng điều chỉnh h = minx014 = 160, x021 = 110 = x021 = 110

Ô điều chỉnh (p, q) = (2, 1).4e) Phương án cực biên mới:

h = minx132 = 130, x123 = 70, x114 = 50 = x114 = 50

Ô điều chỉnh (p;0q) = (1; 4).4e) Phương án cực biên mới:

án cực biên của bài toán đều không suy biến, vì thế trong quá trình giảibài toán theo thuật toán thế vị ta không gặp xoay vòng và thuật toán kếtthúc sau một số hữu hạn bước lặp Nội dung của chương được tham khảochủ yếu từ các tài liệu [3], [4] và [5].

2.1 Thế nào là suy biến

Để hiểu rõ khái niệm suy biến, ta hãy xét một ví dụ đơn giản

Ví dụ 2.1 Tìm phương án cực biên ban đầu của bài toán vận tải 4 × 4

với véctơ cung a, véctơ cầu b và ma trận cước phí C cho dưới đây

... bj

, j = 1, , n số ngun tốn vận tải ban đầu có nghiệmtối ưu với thành phần nguyên

Chú ý 1.1 Trong trường hợp toán vận tải suy biến, có hai dấu hiệu

để nhận biết:... tiêu tốt x0

Định lí 1.4 Giả sử x0 phương án cực biên không suy biến toánvận tải ui, i = 1, , m, vj, j = 1, , n vị tương ứngcủa

Nếu tồn... [3], [4] [5].

2.1 Thế suy biến< /h3>

Để hiểu rõ khái niệm suy biến, ta xét ví dụ đơn giản

Ví dụ 2.1 Tìm phương án cực biên ban đầu tốn vận tải ×

với véctơ cung a, véctơ