Khắc phục hiện tượng suy biến trong bài toán vận tải

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRỊNH XUÂN BÁCH KHẮC PHỤC HIỆN TƯỢNG SUY BIẾN TRONG BÀI TOÁN VẬN TẢI Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS TRẦN VŨ THIỆU THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Bài toán vận tải tuyến tính 1.1 Bài tốn tính chất 1.2 Phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu 1.2.1 Phương pháp cước 1.2.2 Phương pháp góc tây bắc 11 1.3 Tiêu chuẩn tối ưu 13 1.4 Thuật toán vị 14 1.5 Ví dụ minh họa 17 Bài toán vận tải suy biến cách khắc phục 20 2.1 Thế suy biến 20 2.2 Ví dụ xoay vịng 22 2.3 Bài toán nhiễu 29 2.4 Cách khắc phục xoay vòng 32 2.5 Ví dụ minh họa tránh xoay vịng 33 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ GS.TS Trần Vũ Thiệu (Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa (2011 − 2013) mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 01 năm 2013 Người viết Luận văn Trịnh Xuân Bách 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Tối ưu hố (Optimization) mơn tốn học ứng dụng nghiên cứu, giảng dạy học tập nhiều trường đại học, cao đẳng nước cho sinh viên ngành toán học, tin học, kinh tế kĩ thuật Trong toán tối ưu quan trọng đáng ý tốn tối ưu tuyến tính Qui hoạch tuyến tính tốn tối ưu đơn giản nhất, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, đời sống quốc phịng Chính tốn nghiên cứu đầy đủ hoàn chỉnh nhất, mặt lí thuyết tính tốn, có nhiều sách giáo trình viết vấn đề này, tơi xin trình bày phần nhỏ toán tối ưu Bài toán vận tải (Transportation Problem) qui hoạch tuyến tính tốn tối ưu ứng dụng rộng rãi thực tiễn Trong toán hàm mục tiêu tuyến tính (nghĩa chi phí vận chuyển tỉ lê thuận với lượng hàng vận chuyển) ràng buộc tốn có dạng đặc biệt Nhờ khai thác cấu trúc đặc biệt này, người ta đề phương pháp riêng, hiệu hẳn so với việc áp dụng phương pháp đơn hình tổng qt vào tốn Đáng ý phương pháp vị (xem [1]), phương pháp qui không chọn ô (xem [2] ), phương pháp thu hẹp tắc, Mơ hình tốn học tốn vận tải có dạng tốn qui hoạch tuyến tính tắc: cT x : Ax = b, x ≥ với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm , c ∈ Rn cho trước Ta thường giả thiết rank (A) = m m ≤ n Với tốn này, phương án cực biên (cịn gọi lời giải sở) thường hay "suy biến", tức có số thành phần dương nhỏ 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn m Suy biến dẫn đến tượng xoay vịng, giải tốn theo thuật tốn đơn hình, hậu q trình giải khơng thể kết thúc Để tránh gặp xoay vòng, người ta đề nhiều biện pháp khắc phục khác Chẳng hạn, giải qui hoạch tuyến tính theo thuật tốn đơn hình người ta thường áp dụng qui tắc từ vựng, qui tắc Wolfe, qui tắc Bland hay qui tắc cột phụ Srishna, (xem[3]) Bài toán vận tải tuyến tính có dạng qui hoạch tuyến tính tắc, thường gặp tượng suy biến nguy xoay vịng xảy ra, giải toán theo qui luật vị Mặc dù thực tế giải toán cho thấy xoay vịng tốn vận tải xảy Tuy nhiên, lý thuyết nghiên cứu tượng xoay vịng tìm cách khắc phục việc làm cần thiết có ích Đối với toán vận tải vấn đề khắc phục suy biến xoay vòng đơn giản nhiều so với tốn qui hoạch tuyến tính tổng qt Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu giới thiệu nội dung phương pháp giải toán vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính: nêu mơ hình tính chất toán, giới thiệu thuật toán vị giải toán Vấn đề đối ngẫu quan hệ đối ngẫu toán vận tải đề cập tới Luận văn đề cập tới tốn vận tải suy biến, tượng xoay vịng phương pháp khắc phục xoay vịng tốn vận tải Luận văn bao gồm lời nói đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo: Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải tuyến tính" trình bày nội dung tính chất tốn vận tải tuyến tính Tiếp đó, đề cập tới phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu tốn Sau đó, trình bày sở lý luận nội dung thuật toán vị (một biến thể thuật tốn đơn hình) giải tốn vận tải Cuối chương, nêu ví dụ số để minh họa cho thuật tốn giải trình bày Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải suy biến cách khắc phục" trình bày tốn vận tải suy biến ví dụ dẫn đến xoay vịng tốn vận tải Sau đó, để khắc phục xoay vịng ta xét tốn nhiễu, tức tốn với số liệu đầu vào thay đổi đơi chút so với số liệu ban đầu 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh phương án cực biên tốn nhiễu khơng suy biến, khơng xảy tượng xoay vịng giải theo thuật tốn vị 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài tốn vận tải tuyến tính Chương đề cập tới tốn vận tải tuyến tính (chi phí vận chuyển tỉ lệ thuận với lượng hàng vận chuyển), dạng tốn qui hoạch tuyến tính đơn giản ứng dụng rộng rãi thực tiễn Phần đầu chương trình bày nội dung tính chất tốn Tiếp đề cập tới phương pháp tìm phương án cực biên ban đầu tốn Sau trình bày sở lý luận nội dung thuật toán vị (một biến thể thuật tốn đơn hình) giải tốn vận tải Cuối chương nêu ví dụ số minh họa cho thuật toán giải Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2] [3] 1.1 Bài tốn tính chất Bài tốn vận tải có nội dung sau: Giả sử có m kho chứa loại hàng (xi măng chẳng hạn) K1 , , Km (gọi điểm phát), kho i = 1, , m có > đơn vị hàng Cần vận chuyển số hàng tới n hộ tiêu thụ H1 , , Hn (gọi điểm thu), hộ j = 1, , n cần bj > đơn vị hàng Cước phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát Ki tới điểm thu Hj cij ≥ Vấn đề đặt cần vận chuyển từ điểm phát tới điểm thu đơn vị hàng cho thỏa mãn nhu cầu điểm thu tổng chi phí vận chuyển toàn số hàng nhỏ nhất? Ký hiệu xij lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát i tới điểm thu j 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khi mơ hình tốn học tốn vận tải có dạng sau: m n cij xij → f (x) = (cực tiểu tổng chi phí vận chuyển) (1.1) i=1 j=1 với điều kiện n xij = , i = 1, 2, , m (mọi điểm phát giao hết hàng), (1.2) xij = bj , j = 1, 2, , n (1.3) j=1 m (mọi điểm thu nhận đủ hàng), i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m, j = 1, , n (lượng hàng vận chuyển không âm) (1.4) Ở đây, m số kho chứa hàng (điểm phát), n số nơi tiêu thụ hàng (điểm thu), lượng hàng có (cung) điểm phát i (i = 1, 2, , m), bj lượng hàng cần (cầu) điểm thu j (j = 1, 2, n), cij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j, xij biểu thị lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i tới điểm thu j Điều kiện cần đủ để toán (1.1)-(1.4) giải phải có điều kiện cân thu phát, nghĩa tổng cung tổng cầu: α1 + a2 + + am = b1 + b2 + + bn (1.5) Bài toán vận tải (1.1)-(1.4) dạng đặc biệt qui hoạch tuyến tính Để thấy rõ điều ta xếp biến số theo thứ tự x11 , x12 , , x1n , x21 , x22 , , x2n , , xm1 , xm2 , , xmn viết lại hệ ràng buộc (1.2)-(1.3) dạng hệ m + n phương trình 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn m × n biến số xij sau:   x11 + + x1n   x21 + + x2n       x11   x12      x1n = a1 = a2 xm1 + + xmn = am +x21 +x11 = b1 +x22 = b2 +x21 + xmn = bn Ký hiệu A ma trận hệ số hệ phương trình (m + n hàng m × n cột ), x = (x11 , , x1n , x21 , , x2n , , xm1 , , xmn )T -véctơ cột m×n thành phần, c = (c11 , , c1n , x21 , , c2n , , cm1 , , cmn )T -véctơ cột m × n thành phần, b = (a1 , a2 , , am , b1 , b2 , , bn )T -véctơ cột vế phải (m + n thành phần) Bài toán vận tải (1.1)-(1.4) viết lại thành tốn qui hoạch tuyến tính dạng tắc: f = c, x → min, (1.6) Ax = b, x ≥ (1.7) Ta gọi Aij véctơ cột ma trận A tương ứng với biến xij Dễ thấy véctơ có hai thành phần dòng thứ i dòng thứ m + j , thành phần khác Véctơ x thỏa mãn (1.2)-(1.4) gọi phương án toán vận tải Một phương án đạt cực tiểu (1.1) gọi phương án tối ưu hay lời giải Phương án x phương án cực biên véctơ cột Aij ma trận A tương ứng với xij > độc lập tuyến tính Sau ta giả thiết điều kiện cân thu phát (1.5) Do tốn vận tải có m + n ràng buộc chính, nên ta nghĩ phương án cực biên có m + n thành phần dương, thực tế có nhiều m + n − thành phần dương, số ràng buộc có ràng buộc thừa (có thể bỏ mà khơng làm ảnh hưởng tới lời giải toán) Một phương án cực biên tốn gọi khơng suy biến số phần tử tập hợp G = {(j; j) : xij > 0} m+n−1, gọi suy biến số phần tử tập hợp G nhỏ m + n − 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với điều kiện (1.5) tốn vận tải (1.1)-(1.4) có tính chất sau đây: Bài tốn ln có phương án tập hợp phương án toán giới nội Một ràng buộc (1.2)-(1.3) thừa hạng hệ ràng buộc m + n − Nếu lượng cung cầu , bj số nguyên tốn có lời giải ngun Có thể dùng phương pháp qui hoạch tuyến tính để giải toán vận tải Tuy nhiên toán có dạng đặc biệt nên người ta đề nhiều thuật toán giải hiệu Một số thuật tốn vị Thuật tốn ta xem xét phần sau Thông thường giải toán vận tải ta ghi lại liệu toán dạng bảng chữ nhật, gọi bảng vận tải (Bảng 1.1) Bảng 1.1 Bảng vận tải Hình 1.1: Trong c = (c11 , , c1n , x21 , , c2n , , cm1 , , cmn )T véctơ hệ số mục tiêu toán vận tải Bảng gồm m hàng (i = 1, 2, , m) n cột j = (1, 2, , n) Chỗ giao hàng i, cột j kí hiệu (i; j) Mỗi 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Bước  x11               −6 0 −4      10   12   ,∆ =  ,x =   = x0 =        0  −2 0   0       −4 Bước Phương án x11 chưa tối ưu cịn ∆12 = ∆32 = ∆43 = > 0, ∆13 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (1; 2), h = Ô loại (p; q) = (1; 4) Phương án cực biên x12 = x0 (ghi trên) Đến ta gặp xoay vịng 2.3 Bài tốn nhiễu Dưới góc độ lý thuyết, việc xây dựng lược đồ đảm bảo khắc phục tượng xoay vòng cho toán vận tải đáng quan tâm Một lược đồ sớm để ngăn ngừa tượng xoay vịng tốn vận tải dựa việc nhiễu số liệu đầu vào cách đơn giản Nếu có = 0(bj = 0) ta loại bỏ khỏi tốn hàng i (cột j ) biến hàng (cột) này, ta giả thiết bj dương Có thể khắc phục tượng suy biến toán vận tải cách xét lớp toán nhiễu: m n cij xij → Z= i=1 j=1 với điều kiện n xij = , i = 1, , m − 1, j=1 n xmj = am + nε, j=1 (2.1) m xij = bj + ε, j = 1, , n, i=1 xij ≥ 0, i = 1, , m; j = 1, , n 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 ε số dương đủ nhỏ (trong phương trình (2.1) có phương trình thừa loại bỏ) Vẫn trước ta giả thiết a1 + a2 + + am = b1 + b2 + + bn (tổng cung tổng cầu) Vì tốn (2.1) có tổng cung tổng cầu (cân thu phát) Giả sử để bắt đầu thuật tốn ta tìm phương án cực biên theo phương pháp cước, phương pháp Góc Tây - Bắc theo cách cho biến sở phương án tương ứng với tập hợp bảng vận tải gồm m + n − ô không chứa chu trình Dễ dàng thấy nhận phương án cực biên ban đầu toán vận tải cách áp dụng qui tắc tam giác với điều kiện bổ sung: chọn biến xmj (j = 1, , n) làm biến sở hàng i = m phát hết hàng (bị xóa) Định lý sau cho thấy tính chất đẹp tốn nhiễu Định lí 2.1 Mọi phương án cực biên tốn nhiễu khơng suy biến < ε < ε0 với ε0 > Chứng minh Xét bảng thu hẹp trình xây dựng phương án cực biên ban đầu toán nhiễu theo qui tắc tam giác Giả sử p hệ số ε lượng cung hàng (trừ hàng m, hàng xét sau cùng) q hệ số ε lượng cầu cột bảng thu hẹp Trước hết ta p = p < q > Thật hệ số ε lượng cung hàng (khác hàng m) bảng ban đầu hay bảng thu hẹp hoặc số âm, theo Hệ 1.1 lượng cung tổng riêng khác rỗng (không kể am + nε) trừ tổng riêng (có thể rỗng) bj + ε Tương tự hệ số ε lượng cầu cột bảng ban đầu hay bảng thu hẹp ln dương, theo Hệ 1.1 lượng cầu tổng riêng khác rỗng bj + ε trừ tổng riêng (có thể rỗng) (không kể am + nε) Tiếp theo ta phương án cực biên ban đầu không suy biến ε dương đủ nhỏ Muốn ta chứng tỏ giai đoạn bất 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 31 kỳ trình gán giá trị cho biến sở theo qui tắc tam giác, hệ số ε lượng cung hàng mà lượng cung phải số dương hệ số ε lượng cầu cột mà lượng cầu dó phải số không âm Thật ban đầu bj số dương, nhiên để chứng minh theo qui nạp ta cần dương bj không âm Giả thiết qui nạp điều cho bảng thu hẹp q trình xây dựng phương án cực biên ban đầu theo qui tắc tam giác, tức = α − pε (với α > p ≥ 0) bj = β + qε (với β ≥ q > 0) Nếu chọn xij làm biến sở giá trị xij = [(α − pε) (β + qε)] Nếu α ≤ β lượng cung hàng i thỏa mãn (do < α − pε < β + qε với ε dương đủ nhỏ) lượng cầu cột j (β − α) + (p + q) ε, β − α ≥ p + q > Trái lại β < α với ε dương đủ nhỏ (sao cho β + qε < α − pε), lượng cầu cột j thỏa mãn lượng cung hàng i (α − β) − (p + q) ε với (α − β) > (p + q) > Trong hai trường hợp hợp có xij > với < ε < ε0 với ε0 > Bây ta phương án cực biên vòng lặp k phương pháp vị không suy biến với ε dương đủ nhỏ Ở lúc bắt đầu vòng lặp, ta chọn biến đưa vào sở sau chọn biến đưa khỏi sở Ta thấy cách chọn biến đưa khỏi sở với < ε < εk Ta thấy sở (tạo nên cách áp dụng qui tắc tam giác với hàng m chọn giai đoạn cuối cùng) có dạng tam giác Từ ta tìm giá trị biến sở nhờ dùng qui tắc tam giác để nhận phương án cực biên Như giá trị biến sở có dạng γ + δε Bằng lập luận trước đây, thấy γ > δ tùy ý, γ = δ > Do phương án cực biên khơng suy biến với < ε < εk Tóm lại, với ε dương đủ nhỏ, giá trị hàm mục tiêu z tương ứng với phương án cực biên giảm thực sau vịng lặp Có thể khơng có phương án cực biên suy biến < ε < 1/n Vì vậy, khơng có phương án cực biên bị lặp lại 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 tốn có số hữu hạn phương án cực biên nên thuật toán phải dừng sau hữu hạn vòng lặp 2.4 Cách khắc phục xoay vòng Định lý 2.1 cho thấy để tránh gặp xoay vịng giải tốn vận tải, thay cho toán ban đầu, ta lập giải toán nhiễu (2.1) với ε xem số dương đủ nhỏ Q trình giải tốn nhiễu tóm tắt sau Ở vịng lặp k = 0, 1, giả sử ta có phương án cực biên xk = xk m×n với xk = γij + δij ε , γij > δij tùy ý γij = ij ij δij > (bỏ qua số vòng lặp k ) Ký hiệu Gk tập ô chọn (gồm m + n − ô không chứa chu trình) tương ứng với xk , nghĩa hệ véctơ {Aij : (i; j) ∈ Gk } độc lập tuyến tính Nếu xk chưa tối ưu ta chọn điều chỉnh (r; s) cho ∆rs > (với ∆ij = ui + vj − cij ước lượng biến xij không phụ thuộc ε) Lập chu trình K tạo nên (r; s) với ô thuộc Gk (chẳng hạn cách loại dần ô treo Gk ∪ {(r; s)}) Phân hoạch tập K thành hai tập rời K1 (tập ô lẻ) K2 (tập ô chẵn) với qui ước (r; s) ∈ K2 Xác định ô loại (p; q) theo công thức: xk = min{xk = γij + δij : (i, j) ∈ 22 } = h pq ij với ý a1 = γ1 + δ1 ε, a2 = γ2 + δ2 ε a1 < a2 γ1 < γ2 γ1 = γ2 δ1 < δ2 (với ε đủ nhỏ) Ô (p; q) xác định Xây dựng phương án cực biên theo công thức:  k  xij + h (i; j) ∈ K1 , k+1 xij = xk − h (i; j) ∈ K2 ,  ij k xij (i, j) ∈ K / tập ô chọn tương ứng Gk+1 = (Gk \{(p, q)}) ∪ {(r, s)} Gán k := k + thực vòng lặp k 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Qui tắc thực tiễn Do tượng xoay vịng tốn vận tải xảy nên thực tiễn giải tốn ta áp dụng qui tắc đơn giản sau để tránh gặp xoay vòng, gọi qui tắc ước lượng dương lớn chọn biến có ước lượng dương lớn để đưa vào sở (nếu có nhiều biến chọn biến có số i, sau j nhỏ nhất) chọn đưa khỏi sở biến có giá trị nhỏ (có thể = 0) chẵn chu trình tạo nên điều chỉnh với chọn có (nếu có nhiều biến chọn biến có số i, sau j nhỏ nhất) Mục đưa số ví dụ minh họa cho phương pháp tránh xoay vịng mơ tả 2.5 Ví dụ minh họa tránh xoay vịng Ví dụ 2.3 Dùng phương pháp nhiễu giải tốn vận tải cho Ví dụ 2.1 Giải: Nhiễu véctơ cung a thành aε = (1; 1; 1; + 4ε)T nhiễu véctơ cầu b thành bε = (1 + ε; + ε; + ε; + ε)T (với ε > đủ nhỏ) Ma trận chi phí C = cij ghi Phương án cực biên ban đầu x0 = x0 lập theo phương pháp Góc Tây-Bắc, chọn ij (1; 1), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (3; 3), (4; 3), (4; 4): ghi giá trị biến sở, biến sở có giá trị (ơ có dấu ".") với f (x0 ) = 20+9ε   9   5 8    C=   6 9   Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x0 : u0 = ( −3 −4 −6 )T , v = ( 8 12 )T 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Bước     ε 1−ε  x0 =    2ε − 2ε  3ε 1+ε  −2 −1       0 −2     ,∆ =        −2 0 −1     −4 0 Bước Phương án x0 chưa tối ưu ∆14 = > 0, ∆24 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (1; 4), h = − 2ε Ô loại (p, q) = (3; 3) Phương án cực biên x1 với f (x1 ) = 17 + 15ε < f (x0 ) tập ô chọn mới: G = {(1; 1), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 3), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x1 : u1 = ( −3 −4 −3 )T , v = ( 8 )T Bước  2ε − 2ε   1−ε ε   x =   1+ε   −2 −4       0 −2 −6     ,∆ =        −2 −3 −4     −1 0 3ε Bước Phương án x1 chưa tối ưu cịn ∆41 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (4; 1), h = 2ε Ô loại (p; q) = (1; 1) Phương án cực biên x2 với f (x2 ) = 17 + 9ε < f (x1 ) tập ô chọn mới: G = {(1; 4), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (4; 1), (4; 3), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x2 : u2 = ( 0 −1 −3 )T , v = ( 5 )T Bước    −3 −5 −4       1−ε ε   0 −2        , ∆2 =  x2 =         −2 0 −1      −4 0 2ε + ε ε 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Bước Phương án x2 chưa tối ưu cịn ∆24 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (2; 4), h = ε Ô loại (p, q) = (4; 4) Phương án cực biên x3 với f (x3 ) = 17 + 8ε < f (x2 ) tập ô chọn mới: G = {(1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 4), (3; 2), (4; 1), (4; 3)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x3 : u3 = ( −1 −2 −4 )T , v = ( 6 )T Bước    −2 −4 −3       − 2ε ε  ε −2      ,∆ =   x3 =         −2 0 −2      3ε 1+ε −4 −1 Bước Phương án x3 tối ưu ∆ij ≤ Vậy xopt = x3 fopt = 17(ε = 0) Cách giải dùng qui tắc "ước lượng dương lớn nhất" Dưới cách giải theo phương pháp vị nêu Chương (không dùng phương pháp nhiễu) Trong ví dụ này, véctơ cung a = (1; 1; 1; 1)T , véctơ cầu b = (1; 1; 1; 1)T ma trận chi phí C = cij ghi Phương án cực biên ban đầu x0 = x0 lập theo phương pháp Góc Tây - Bắc, ô chọn ij (1; 1), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (3; 3), (4; 3) (4; 4) ghi giá trị biến sở, biến sở có giá trị (ơ có dấu ".") với f (x0 ) = 20   9   5 8    C =   6 9   Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x0 : u0 = ( −3 −4 −6 )T , v = ( 8 12 )T 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 Bước    −2 −1      0   0 −2      ,∆ =   x0 =         −2 0 −1      −4 0 Bước Phương án x0 chưa tối ưu cịn ∆14 = > 0, ∆24 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (1; 4), h = Ô loại (p, q) = (1; 1) Phương án cực biên x1 với f (x1 ) = 17 < f (x0 ) = 20 tập ô chọn mới: G = {(1; 4), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (3; 3), (4; 3), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x1 : u1 = ( 0 −1 −3 )T , v = ( 5 )T Bước    −3 −5 −4      1   0 −2      ,∆ =   x1 =         −2 0 −1      0 −4 0 Bước Phương án x1 chưa tối ưu cịn ∆24 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (2; 4), h = Ô loại (p; q) = (2; 2) Phương án cực biên x2 với f (x2 ) = 17 = f (x1 ) tập ô chọn mới: G = {(1; 4), (2; 1), (2; 4), (3; 2), (3; 3), (4; 3), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x2 : u2 = ( −1 −1 −3 )T , v = ( )T Bước    −2 −5 −4      1 0  −1 −3      ,∆ =   x2 =         −1 0 −1      1 −4 0 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Bước Phương án x2 chưa tối ưu cịn ∆41 = > Bước Ơ điều chỉnh (r; s) = (4; 1), h = Ô loại (p, q) = (4; 4) Phương án cực biên x3 với f (x3 ) = 17 = f (x2 ) tập ô chọn mới: G = {(1; 4), (2; 1), (2; 4), (3; 2), (3; 3), (4; 1), (4; 3)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x3 : u3 = ( −1 −2 −4 )T , v = ( 6 )T Bước    −2 −4 −3      1 0  0 −2      ,∆ =   x3 =        −2   −2     −4 −1 Bước Phương án x3 tối ưu ∆ij ≤ Vậy xopt = x3 fopt = 17 Ví dụ sau cho thấy giải ví dụ xoay vịng 2.2 sau vịng lặp Ví dụ 2.4 Dùng phương pháp nhiễu giải tốn vận tải cho Ví dụ 2.2 Giải Bài tốn có n = Nhiễu véctơ cung aε = (1; 1; 1; + 4ε)T nhiễu véctơ cầu b thành bε = (1 + ε; + ε; + ε; + ε)T (với ε > đủ nhỏ) Ma trận chi phí C = cij ghi Phương án cực biên ban đầu x0 = x0 lập theo phương pháp Góc Tây-Bắc, chọn ij (1; 1), (2; 1), (2; 2), (3; 2), (3; 3), (4; 3), (4; 4): ghi giá trị biến sở, biến sở có giá trị (ơ có dấu ".") với f (x0 ) = 38 + 50ε   5 11    9 15     C =    7 11 13    13 13 13 17 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x0 : u0 = ( 6 )T , v = ( )T Bước     ε 1−ε  x0 =    2ε − 2ε  3ε 1+ε  −4 −2       ,∆ =      0   −2 −4         Bước Phương án x0 chưa tối ưu cịn ∆23 = ∆31 = ∆34 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (2; 3), h = − 2ε Ô loại (p, q) = (3; 3) Phương án cực biên x1 với f (x1 ) = 36 + 54ε < f (x0 ) tập ô chọn mới: G = {(1; 1), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 2), (4; 3), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x1 : u1 = ( 6 10 )T , v = ( 3 )T Bước    ε ε − 2ε   x1 =     3ε 1+ε   −4 −2 −4      0 0 −2         , ∆ =  −2           −2 0 Bước Phương án x1 chưa tối ưu cịn ∆31 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (3; 1), h = ε Ô loại (p; q) = (2; 1) Phương án cực biên x2 với f (x2 ) = 17 + 9ε < f (x1 ) tập ô chọn mới: G = {(1; 1), (2; 2), (2; 3), 3; 1), (3; 2), (4; 3), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x2 : u2 = ( 4 )T , v = ( 3 )T 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Bước    2ε − 2ε   x2 =  ε − ε    3ε 1+ε   −2 −2       −2 0 −2        ,∆ =  0 −2           −2 −2 0 Bước Phương án x3 tối ưu ∆ij ≤ Vậy xopt = x2 fopt = 36(ε = 0) Cách giải dùng qui tắc "ước lượng dương lớn nhất." Dưới cách giải theo phương pháp vị nêu Chương (khơng dùng phương pháp nhiễu) Trong ví dụ này, véctơ cung a = (1; 1; 1; 1)T , véctơ cầu b = (1; 1; 1; 1)T ma trận chi phí C = cij ghi Phương án cực biên ban đầu x0 = x0 lập theo phương pháp Góc Tây - Bắc, chọn ij (1; 1), (1; 2), (2; 2), (2; 3), (3; 3), (3; 4) (4; 4) : ghi giá trị biến sở, biến ngồi sở có giá trị (ơ có dấu ".") với f (x0 ) = 38  11    9 15  C =   7 11 13  13 13 13 17        Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x0 : u0 = ( )T , v = ( )T Bước 2.Các ước lượng ∆ij     x0 =     = ui + vj − cij ghi ma trận ∆0    0 −2      −4 0 −4      , ∆0 =      0  0     −2 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Bước Phương án x0 chưa tối ưu cịn ∆13 = ∆32 = ∆43 = > par Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (1; 3), h = Ô loại (p, q) = (1; 2) Phương án cực biên x1 (ghi bên dưới) với f (x1 ) = 38 tập ô chọn mới: G = {(1; 1), (1; 3), (2; 2), (2; 3), (3; 3), (3; 4), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x1 : u1 = ( 10 )T , v = ( 3 )T Bước Các ước lượng ∆ij     x =    = ui + vj − cij ghi ma trận ∆1    −2 −4      −2 0 −4     ,∆ =        2 0     0 Bước Phương án x1 chưa tối ưu cịn ∆31 = ∆32 = ∆43 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (3; 1), h = Ô loại (p; q) = (1; 1) Phương án cực biên x2 (ghi bảng bên dưới) với f (x2 ) = 36 tập ô chọn mới: G = {(1; 3), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 3), (3; 4), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x2 : u2 = ( 10 )T , v = ( )T Bước Các ước lượng ∆ij     x =  1 0  = ui + vj − cij ghi ma trận ∆2    −2 −2 −4      −4 0 −4     ,∆ =        0     −2 Bước Phương án x2 chưa tối ưu cịn ∆32 = ∆43 = > Bước Ô điều chỉnh (r; s) = (3; 2), h = Ô loại (p, q) = (3; 3) 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Phương án cực biên x3 (ghi bảng bên dưới) với f (x3 ) = 36 tập ô chọn mới: G = {(1; 3), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (4; 4)} Vòng lặp Bước Thế vị ứng với x3 : u3 = ( 4 )T , v = ( 3 )T Bước Các ước lượng ∆ij = ui + vj − cij ghi    −2          −2  ,∆ =  x =   1 0  0 −2    −2 −2 ma trận ∆3  −2  −2       Bước Phương án x3 tối ưu ∆ij ≤ Vậy xopt = x3 fopt = 36 Tóm lại, chương đề cập tới tượng xoay vòng toán vận tải nguyên nhân dẫn đến xoay vịng tượng thối hố phương án cực biên tốn Vì thế, mặt lý thuyết để tránh gặp xoay vòng ta giải tốn nhiễu, tức tốn với liệu đầu vào thay đổi đơi chút so với liệu ban đầu Mọi phương án cực biên tốn nhiễu khơng suy biến, khơng thể xảy xoay vịng Tuy nhiên, thực tiễn giải toán vận tải gặp xoay vịng, để tránh gặp xoay vịng ta áp dụng qui tắc "Ước lượng dương lớn nhất", tức ln chọn biến có ước lượng dương lớn để đưa vào sở (nếu có nhiều biến chọn biến có số i, sau j nhỏ nhất) chọn đưa khỏi sở biến có giá trị nhỏ (có thể 0) chẵn chu trình tạo nên điều chỉnh với chọn có (nếu có nhiều biến chọn biến có số i, sau j nhỏ nhất) 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Kết luận Bài toán vận tải tuyến tính dạng tốn quen thuộc lý thuyết qui hoạch tuyến tính toán ứng dụng rộng rãi thực tiễn Trong tốn vận tải tuyến tính thường gặp tương suy biến nguy xoay vịng xảy Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau: • Mơ hình tính chất tốn vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính, tốn đối ngẫu toán vận tải quan hệ đói ngẫu, tiêu chuẩn tối ưu nghiệm thuật tốn vị giải tốn vận tải • Bài tốn vận tải suy biến, tượng xoay vịng cách khắc phục xoay vịng Đối với tốn vận tải vấn đề khắc phục suy biến xoay vòng đơn giản nhiều so với toán qui hoạch tuyến tính tổng qt Có thể xem luận văn bước tìm hiểu tốn vận tải tuyến tính, thuật tốn vị giải tốn, tượng xoay vịng tốn vận tải cách khắc phục Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu nội dung, thuật toán giải ý nghĩa thực tế nhiều toán tối ưu khác lý thuyết qui hoạch toán học tương lai 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim, Giáo trình phương pháp tối ưu - Lý thuyết thuật toán, Nxb Bách khoa, Hà Nội, 2008 [2] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tính, Nxb ĐHQG Hà Nội, 2004 Tiếng Anh [3] G B Dantzig and M N Thapa Linear Programming: Introduction Springer, 1997 [4] G B Dantzig and M N Thapa Linear Programming: Theory and Exten-sions Springer, 2003 [5] H A Eiselt, C L Sandblom Linear Programming and its Applications Springer, 2007 [6] R J Vanderbei, Linearr Programming - Foundations and Extensions 3rd edition Springer, 2008 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Chương với tiêu đề "Bài toán vận tải suy biến cách khắc phục" trình bày tốn vận tải suy biến ví dụ dẫn đến xoay vịng tốn vận tải Sau đó, để khắc phục xoay vịng ta xét toán nhiễu, tức toán với số liệu... vận tải với hàm mục tiêu tuyến tính, tốn đối ngẫu tốn vận tải quan hệ đói ngẫu, tiêu chuẩn tối ưu nghiệm thuật toán vị giải tốn vận tải • Bài tốn vận tải suy biến, tượng xoay vòng cách khắc phục. .. khắc phục Chương đề cập tới tốn vận tải suy biến Giải thích tượng suy biến nêu ví dụ xoay vịng tốn vận tải Bằng cách xây dựng tốn nhiễu thích hợp chứng minh phương án cực biên tốn khơng suy biến,