2 Bài toán vận tải suy biến và cách khắc phục
2.4 Cách khắc phục xoay vòng
Định lý 2.1 cho thấy để tránh gặp xoay vòng khi giải bài toán vận tải, thay cho bài toán ban đầu, ta lập và giải bài toán nhiễu (2.1) với ε xem như một số dương đủ nhỏ. Quá trình giải bài toán nhiễu có thể tóm tắt như sau.
Ở vòng lặp k = 0,1, ... giả sử ta đã có phương án cực biên xk =
xkij
m×n với xkij = γij + δijε , trong đó γij > 0 và δij tùy ý hoặc γij = 0
và δij > 0 (bỏ qua chỉ số vòng lặp k). Ký hiệu Gk là tập ô chọn (gồm đúng
m+n−1 ô và không chứa chu trình) tương ứng với xk, nghĩa là hệ véctơ
{Aij : (i;j) ∈ Gk} độc lập tuyến tính.
Nếuxk chưa tối ưu thì ta chọn ô điều chỉnh bất kỳ(r;s)sao cho∆rs > 0
(với ∆ij = ui + vj −cij là ước lượng của biến xij và không phụ thuộc ε). Lập chu trình K tạo nên bởi ô (r;s) với các ô thuộc Gk (chẳng hạn bằng cách loại dần các ô treo của Gk ∪ {(r; s)}). Phân hoạch tập K thành hai tập con rời nhau K1 (tập ô lẻ) và K2 (tập ô chẵn) với qui ước (r;s) ∈ K2.
Xác định ô loại (p;q) theo công thức:
xkpq = min{xkij = γij +δij : (i, j) ∈ 22} = h
với chú ý là nếu a1 = γ1 + δ1ε, a2 = γ2 + δ2ε thì a1 < a2 khi và chỉ khi
γ1 < γ2 hoặc γ1 = γ2 và δ1 < δ2 (với mọi ε đủ nhỏ). Ô (p;q) sẽ được xác định duy nhất.
Xây dựng phương án cực biên mới theo công thức:
xkij+1 = xkij +h khi (i;j) ∈ K1, xkij −h khi (i;j) ∈ K2, xkij khi (i, j) ∈/ K. và tập ô chọn tương ứng Gk+1 = (Gk\{(p,q)})∪ {(r,s)}. Gán k := k+ 1 và thực hiện vòng lặp k mới.
Qui tắc thực tiễn. Do hiện tượng xoay vòng trong bài toán vận tải rất hiếm khi xảy ra nên trong thực tiễn giải bài toán ta có thể áp dụng qui tắc đơn giản sau đây để tránh gặp xoay vòng, gọi là qui tắc ước lượng dương lớn nhất luôn chọn biến có ước lượng dương lớn nhất để đưa vào cơ sở (nếu có nhiều biến như thế thì chọn biến có chỉ số i, sau đó j nhỏ nhất) và chọn đưa ra khỏi cơ sở biến có giá trị nhỏ nhất (có thể= 0) trong các ô chẵn của chu trình tạo nên bởi ô điều chỉnh với các ô chọn đang có (nếu có nhiều biến như thế thì chọn biến có chỉ số i, sau đó j nhỏ nhất). Mục tiếp theo sẽ đưa ra một số ví dụ minh họa cho các phương pháp tránh xoay vòng đã mô tả.