2 Bài toán vận tải suy biến và cách khắc phục
2.3 Bài toán nhiễu
Dưới góc độ lý thuyết, việc xây dựng một lược đồ đảm bảo khắc phục được hiện tượng xoay vòng cho bài toán vận tải là rất đáng quan tâm. Một lược đồ sớm nhất như thế để ngăn ngừa hiện tượng xoay vòng trong bài toán vận tải dựa trên việc nhiễu các số liệu đầu vào một cách đơn giản. Nếu có ai = 0(bj = 0) thì ta có thể loại bỏ khỏi bài toán hàng i (cột j) và các biến trong hàng (cột) này, vì thế ta có thể giả thiết mọi ai và bj
dương. Có thể khắc phục hiện tượng suy biến trong bài toán vận tải bằng cách xét lớp bài toán nhiễu:
Z = m X i=1 n X j=1 cijxij → min
với điều kiện
n P j=1 xij = ai, i = 1, ..., m−1, n P j=1 xmj = am +nε, m P i=1 xij = bj +ε, j = 1, ..., n, xij ≥ 0, i = 1, ..., m;j = 1, ..., n. (2.1)
trong đóεlà số dương đủ nhỏ (trong các phương trình (2.1) có một phương trình là thừa và có thể loại bỏ). Vẫn như trước đây ta giả thiết
a1 +a2 +...+am = b1 +b2 +...+bn(tổng cung bằng tổng cầu).
Vì thế bài toán (2.1) vẫn có tổng cung bằng tổng cầu (cân bằng thu phát). Giả sử để bắt đầu thuật toán ta tìm một phương án cực biên theo phương pháp min cước, phương pháp Góc Tây - Bắc hoặc theo một cách nào đó sao cho các biến cơ sở trong phương án đó tương ứng với một tập hợp ô của bảng vận tải gồm đúng m+n−1 ô và không chứa chu trình
Dễ dàng thấy rằng có thể nhận được phương án cực biên ban đầu của bài toán vận tải bằng cách áp dụng qui tắc tam giác với điều kiện bổ sung: chỉ chọn biến xmj(j = 1, ..., n) làm biến cơ sở khi mọi hàng i 6= m đã phát hết hàng (bị xóa). Định lý sau cho thấy tính chất đẹp của bài toán nhiễu.
Định lí 2.1. Mọi phương án cực biên của bài toán nhiễu đều không suy biến đối với mọi 0< ε < ε0 với ε0 > 0 nào đó.
Chứng minh.
Xét một bảng thu hẹp bất kỳ trong quá trình xây dựng phương án cực biên ban đầu của bài toán nhiễu theo qui tắc tam giác. Giả sử p là hệ số của ε ở lượng cung của một hàng bất kỳ (trừ hàng m, vì hàng này sẽ được xét sau cùng) và q là hệ số của ε ở lượng cầu của một cột bất kỳ trong bảng thu hẹp. Trước hết ta chỉ ra rằng p = 0 hoặc p < 0 và q > 0. Thật vậy hệ số của ε ở lượng cung của hàng bất kỳ (khác hàng m) trong bảng ban đầu hay bảng thu hẹp hoặc bằng 0 hoặc bằng số âm, vì theo Hệ quả 1.1 lượng cung này bằng tổng riêng khác rỗng của các ai (không kể
am +nε) trừ tổng riêng (có thể rỗng) của các bj +ε. Tương tự hệ số của
ε ở lượng cầu của cột bất kỳ trong bảng ban đầu hay bảng thu hẹp luôn dương, vì theo Hệ quả 1.1 lượng cầu này bằng tổng riêng khác rỗng của các bj +ε trừ tổng riêng (có thể rỗng) của các ai (không kể am +nε).
Tiếp theo ta chỉ ra rằng phương án cực biên ban đầu là không suy biến đối với mọi ε dương đủ nhỏ. Muốn vậy ta sẽ chứng tỏ rằng ở giai đoạn bất
kỳ của quá trình gán giá trị cho các biến cơ sở theo qui tắc tam giác, nếu hệ số của ε ở lượng cung của hàng mà bằng 0 thì lượng cung đó phải là một số dương và nếu hệ số của ε ở lượng cầu của cột mà bằng 0 thì lượng cầu dó phải là một số không âm. Thật vậy ban đầu mọi ai và bj đều là những số dương, tuy nhiên để chứng minh theo qui nạp ta chỉ cần mọi ai dương và mọi bj không âm. Giả thiết qui nạp rằng điều này đúng cho bảng thu hẹp nào đó của quá trình xây dựng phương án cực biên ban đầu theo qui tắc tam giác, tức là a0i = α −pε (với α > 0 và p ≥ 0) và b0j = β +qε
(với β ≥ 0 và q > 0). Nếu chọn xij làm biến cơ sở thì giá trị của nó bằng
xij = min [(α−pε) (β +qε)]
Nếu α ≤ β thì lượng cung của hàng i được thỏa mãn (do 0 < α −
pε < β + qε với mọi ε dương đủ nhỏ) và lượng cầu mới của cột j bằng
(β −α) + (p+q)ε, trong đó β−α ≥ 0 và p+q > 0. Trái lại nếu β < α
thì với mọi ε dương đủ nhỏ (sao cho β+qε < α−pε), lượng cầu của cột j
được thỏa mãn và lượng cung mới của hàng i bằng (α −β)−(p+q)ε với
(α−β) > 0 và (p+ q) > 0. Trong cả hai trường hợp hợp đều có xij > 0
với mọi 0< ε < ε0 với ε0 > 0 nào đó.
Bây giờ ta chỉ ra rằng phương án cực biên ở vòng lặp k bất kỳ trong phương pháp thế vị là không suy biến với mọi ε dương đủ nhỏ. Ở lúc bắt đầu vòng lặp, ta chọn biến đưa vào cơ sở và sau đó chọn biến đưa ra khỏi cơ sở. Ta sẽ thấy rằng cách chọn biến đưa ra khỏi cơ sở là duy nhất với
0 < ε < εk. Ta đã thấy rằng cơ sở (tạo nên bằng cách áp dụng qui tắc tam giác với hàng m được chọn ở giai đoạn cuối cùng) có dạng tam giác. Từ đó ta có thể tìm giá trị các biến cơ sở nhờ dùng qui tắc tam giác để nhận được phương án cực biên. Như vậy giá trị của các biến cơ sở mới có dạng γ + δε. Bằng lập luận như trước đây, có thể thấy hoặc γ > 0 và δ
tùy ý, hoặc γ = 0 và δ > 0. Do đó phương án cực biên mới không suy biến với mọi 0 < ε < εk. Tóm lại, với mọi ε dương đủ nhỏ, giá trị hàm mục tiêu z tương ứng với phương án cực biên sẽ giảm thực sự sau mỗi vòng lặp. Có thể chỉ ra rằng không có phương án cực biên nào suy biến khi 0 < ε < 1/n. Vì vậy, không có phương án cực biên nào bị lặp lại và
do bài toán chỉ có một số hữu hạn phương án cực biên nên thuật toán sẽ phải dừng sau hữu hạn vòng lặp.