Số xoắn của dãy số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phùng Thị Hương SỐ XOẮN CỦA DÃY SỐ NGUN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun, Năm 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phùng Thị Hương SỐ XOẮN CỦA DÃY SỐ NGUN Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. HÀ HUY KHỐI Thái Ngun, Năm 2014 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khối. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Hà Huy Khối, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt q trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cám ơn các thầy cơ giáo trong khoa Tốn - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hồn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cám ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học tốn K6B, đã động viên và giúp đỡ tác giả trong q trình học tập và làm luận văn. Thái Ngun, tháng 4 năm 2014 Tác giả Phùng Thị Hương 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Giả thuyết số xoắn 4 2 Dãy các số 2 và 3 8 2.1 Đi cực đại Ω(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các tính chất của dãy xuất phát đẹp . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Cách xây dựng với n lớn hơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.4 Tính tốn chi tiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Các quy luật khơng thể tránh khỏi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước 15 3.1 Dãy ngun thủy và dãy mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Ba định lý cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.3 Phép đệ quy cho c(n, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.4 Dãy có số xoắn bằng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.5 Giá trị của c(n, k) với k ⩾ √ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.6 Bảng chênh lệch d(n, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.7 Tính tốn c(n, k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Độ dài đi của dãy số 2, 3 33 4.1 Hàm phân phối độ dài đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Mơ hình xác xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Dãy “suy giảm”: tiền tố làm giảm đi . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 Dãy mà số hạng đầu tiên là thiết yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.5 Dãy có tiền tố làm tăng đi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5 Dãy Gijswijt 38 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Giả thuyết tốn về số xoắn (curling number) là một bài tốn mở chưa có lời giải của lý thuyết số. Mặc dầu vậy, đã có nhiều nghiên cứu cho những kết quả ủng hộ tính đúng đắn của giả thuyết này. Luận văn nhằm trình bày một số kết quả rất gần đây về số xoắn, cụ thể là kết quả trong bài báo sau đây: B. Chaffin, J. P. Linderman, N. J. A. Sloane, Allan R. Wilks. On Curling Number of Integer Sequences, Journal of Integer Sequences, Vol. 16 (2013), 236; pp. 1-47. Bố cục của luận văn như sau: Chương 1: Giả thuyết số xoắn Chương 2: Dãy các số 2 và 3 Chương 3: Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước Chương 4: Độ dài đi của dãy số 2 và 3 Chương 5: Dãy Gijswijt 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Giả thuyết số xoắn Cho một dãy khác rỗng hữu hạn S các số ngun, biểu diễn nó bằng S = XY k , trong đó X và Y là dãy các số ngun và Y k là lũy thừa với số mũ lớn nhất mà là đi (hậu tố) của S: số k này gọi là số xoắn của S, ký hiệu là cn(S). X có thể là dãy rỗng ε; có thể có một số cách chọn dãy Y khác nhau, mặc dù dãy Y ngắn nhất để đạt được k là duy nhất (như ta sẽ thấy trong 3.1, là dãy ngun thủy). Ví dụ, nếu S = 0122122122 thì ta có thể viết S = XY 2 , trong đó X = 01221221 và Y = 2, hay ta có thể viết S = XY 3 , trong đó X = 0 và Y = 122. Cách biểu diễn thứ hai sẽ được chọn bởi vì nó có k =3, và vì k =4 khơng thể xảy ra, do đó số xoắn của dãy S là 3. Giả thuyết sau được phát biểu bởi nhóm nghiên cứu của van de Bult : Giả thuyết 1.1. (Giả thuyết số xoắn). Xuất phát từ dãy số ngun ban đầu tùy ý S, thác triển nó bằng cách ghép thêm liên tiếp số xoắn của dãy ở mỗi thời điểm, cuối cùng dãy sẽ đạt tới 1. Nói cách khác, nếu S 0 =S là một dãy khác rỗng hữu hạn các số ngun, và ta định nghĩa S m+1 là chuỗi ghép S m+1 ∶=S m cn(S m ) với m ⩾0, (1.1) thì khi đó giả thuyết phát biểu rằng với một số giá trị t ⩾0 ta sẽ có cn(S t )=1. Giá trị nhỏ nhất của t này được gọi là độ dài đi của S 0 , ký hiệu là τ (S 0 ) (và ta đặt τ (S 0 )=∞ nếu giả thuyết khơng đúng). 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ, giả sử xuất phát với S 0 =2323. Bằng cách chọn X =ε, Y =23, có S 0 = Y 2 , nên cn(S 0 )=2, và do đó ta có S 1 =23232. Bằng cách chọn X =2, Y =32 ta có cn(S 1 )=2, S 2 =232322. Lấy X = 2323, Y =2 ta có cn(S 2 )=2, S 3 =2323222. Một lần nữa lấy X = 2323, Y =2 ta có cn(S 3 ) = 3, S 4 = 23232223. Rủi thay, ta khơng thể viết S 4 =XY k với k >1, do đó cn(S 4 )=1, S 5 =232322231, và ta đã đạt tới 1, như dự đốn trong giả thuyết. Với ví dụ này, τ (S 0 )=4. (nếu ta tiếp tục từ dãy này, nó sẽ hợp thành dãy Gijswijt, như trình bày trong 5.) Một số chứng minh của nhóm van de Bult có thể được rút gọn lại và kết quả mạnh hơn nếu giả thuyết được cho là đúng. Tất cả bằng chứng cho thấy rằng giả thuyết đó đúng, nhưng cho đến nay nó chống lại mọi nỗ lực chứng minh nó. Ta sẽ trình bày về một số nghiên cứu sâu rộng cho trường hợp dãy ban đầu chứa các số 2 và 3 (mặc dù trong trường hợp đặc biệt này giả thuyết vẫn là bài tốn mở). Trong mục 2 ta nghiên cứu bao xa để một dãy bắt đầu bằng n số 2 và 3 có thể được khai triển trước khi tiến đến 1. Gọi chiều dài cực đại này là Ω(n). Tức là, Ω(n) là giá trị cực đại của độ dài đi τ (S 0 ) của tất cả các dãy S 0 các số 2 và 3 có chiều dài n. Ta xác định Ω(n) cho tất cả n ⩽48, và giả sử cho tất cả n ⩽ 80 (Bảng 2.1 và Hình 2.1). Dữ liệu cho thấy một số tính chất mà các dãy khởi đầu đẹp đặc biệt sẽ có các tính chất này (Tính chất P2, P3, P4 trong 2.2). Mặc dù ta vẫn chưa tìm ra cấu trúc đại số cho dãy khởi đầu đẹp, Mục 2.3 miêu tả phương pháp mà đơi khi thành cơng trong việc xây dựng dãy xuất phát với chiều dài lớn hơn. Trong 2.4 miêu tả thuật tốn cho phép ta mở rộng nghiên cứu với chiều dài 80. Cũng khơng nên ngạc nhiên nếu giả thuyết trong trường hợp đặc biệt này hóa ra là một hệ quả được biết đến của mơ hình tất yếu của dãy nhị phân dài - được miêu tả ngắn gọn trong 2.5 Mục 3 được dành cho câu hỏi tổ hợp: số c(n, k) của dãy nhị phân với chiều dài n và số xoắn k là số gì? Đây dường như là một bài tốn vơ cùng khó, và chỉ thành cơng trong việc liên hệ c(n, k) với hai đại lượng bổ trợ: số các dãy ngun thủy p(n, k), và số các dãy ngun thủy và mạnh. Kết quả chính của mục này là cơng thức cho c(n, k) trong Định lý 3.5 và 3.17. Nhờ đó có thể 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tính được số xoắn của tất cả dãy nhị phân có chiều dài n ⩽ 104 Số các dãy nhị phân có số xoắn bằng 1, c(n, 1), là vấn đề vơ cùng thú vị và được trình bày trong 3.2. Hiệu d(n, k)∶=2c(n −1, k)−c(n, k) cho thấy cấu trúc của bảng c(n, k) rõ ràng hơn chính các số c(n, k), và là chủ đề của 3.6. Trong Mục 4, nghiên cứu số t(n, i) cho dãy có chiều dài n và độ dài đi i, trong đó 0 ⩽i ⩽Ω(n). Bằng nghiên cứu trực tiếp, đã xác định t(n, i) cho n ⩽48 , mặc dù khơng dùng bất kỳ phép truy tốn (ngoại trừ cho t(n, 0), tương tự như cho c(n, 1)) . Số hạng trong mỗi hàng của bảng t(n, i) xảy ra theo từng cụm, ít nhất là với n ⩽48. Trong 4.1 và 4.2 nghiên cứu thống kê bảng t(n, i), mặc dù vẫn còn rất xa để tìm được mơ hình giải thích các cụm. Mục 4.3, 4.4, 4.5 thảo luận một số câu hỏi tổ hợp liên quan đến độ dài đi. Nếu dãy xuất phát S 0 đủ dài, có vẻ đáng tin cậy rằng tiền tố của S 0 với 2 hay 3 khơng làm giảm độ dài đi. Nếu một trong các số này làm giảm độ dài đi, ta gọi S 0 là suy giảm (rotten), nếu cả hai tiền tố 2 và 3 làm giảm độ dài đi, chúng ta gọi nó là suy giảm gấp đơi. Dãy suy giảm chắc chắn tồn tại, nhưng cho tới độ dài 34 thì khơng tồn tại dãy suy giảm gấp đơi, và giả định hơn nữa là khơng tồn tại dãy với chiều dài bất kỳ. Nếu giả thuyết này là đúng, nó có thể giải thích một hiện tượng xác định mà quan sát thấy trong 2.2, và nó kéo theo rằng Ω(n +1) ⩾Ω(n) với mọi n, điều mà chưa biết ở thời điểm hiện tại. Trong Mục 5 miêu tả ngắn gọn dãy Gijswijt, là dãy xuất phát cho nghiên cứu này. Ghi chú. Bởi vì dãy xuất phát S có thể là dãy các số ngun bất kỳ, dùng từ “dãy” thích hợp hơn từ “từ” trong một số bảng chữ cái. Tuy nhiên, ta sử dụng một số thuật ngữ (như “tiền tố”, “hậu tố”) từ lý thuyết ngơn ngữ chính thức. Dãy được ký hiệu bằng chữ Latin viết hoa. S k nghĩa là SS⋯S, trong đó S được lặp k lần. Độ dài của S được ký hiệu bằng S. ε ký hiệu dãy rỗng. Tập các dãy được ký hiệu bằng kiểu chữ viết tay (ví dụ C(n, k)) và lực lượng ký hiệu bằng chữ Latin thường tương ứng (ví dụ c(n, k)). Chữ Hy Lạp và các chữ Latin thường khác được dùng để ký hiệu số. Ký tự # ký hiệu lực lượng của một tập. 6 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số xoắn của S ký hiệu bằng cn(S). Với dãy xuất phát S 0 ∶= s 1 s 2 ⋯s n có chiều dài n, trong đó s i là số ngun bất kỳ, định nghĩa S m+1 là phép ghép S m cn(S m ) = s 1 ⋯s n+m+1 với m ⩾ 0. Nếu cn(S t ) = 1 với t ⩾ 0, thì ta gọi giá trị t nhỏ nhất là độ dài đi của S 0 , ký hiệu là τ(S 0 ), và dãy tương ứng S (e) ∶= S t = s 1 ⋯s n+t là mở rộng của S 0 . Nếu khơng tồn tại t như vậy, thì đặt τ(S 0 )=∞, S (e) =S ∞ (và giả thuyết số xoắn sẽ bị sai). 7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... [2 n]p′ (n/2, 1), 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.5) p′ (n/2, 1) là số dãy nhị phân ngun thủy mạnh có độ dài n/2 và số xoắn là 1 Sử dụng 3.5 cho phép n số hạng của dãy c(⋅, 1) có thể thu được từ n/2 số hạng của dãy p′ (⋅, 1) Trong thực tế, điều này hạn chế ta trong khoảng 100 số hạng của dãy c(⋅, 1) Để thu được nhiều số hạng hơn cần thêm một số thuật ngữ (mà sẽ chỉ... hậu tố thực sự của V k có số xoắn k được rút ra từ định lý Fine - Wilf bằng biện luận tương tự như ở trên (ngoại trừ k + 1 được thay bằng k), và số dãy V là p(n/k, l) Định lý được chứng minh ∎ 3.4 Dãy có số xoắn bằng 1 Với mục đích nghiên cứu giả thuyết số xoắn cần đặc biệt quan tâm đến ba cột đầu tiên của bảng c(n, k), bởi vì chúng xác định xác suất một dãy ngẫu nhiên các số 2 và 3 có số xoắn là 1, 2,... bội của k + 1 Các dãy V như vậy là các dãy ngun thủy có độ dài n/(k + 1) với số xoắn l ⩽ k, và thỏa mãn khơng có hậu tố thực sự nào của V k+1 có số xoắn lớn hơn k Nếu l = k, số dãy V như vậy là (theo định nghĩa) p′ (n/(k + 1), k) Mặt khác, nếu 1 ⩽ l ⩽ k − 1, bất kỳ V ∈ P(n/(k + 1), l) sẽ có tính chất là khơng tồn 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tại hậu tố thực sự của. .. bảng số xoắn của tất cả các dãy có độ dài n ⩽ n0 , và từ đó sinh ra bảng c(n, k) với mọi n ⩽ 2n0 , mà khơng phải tính số xoắn của tất cả 22n0 dãy có độ dài 2n0 Ý tưởng bên trong phương pháp tiếp cận này như sau Xét một dãy S có độ dài n với n0 ⩽ n ⩽ 2n0 , và đặt M là hậu tố của nó với độ dài n0 Như phép xấp xỉ đầu tiên, ta đặt cn(S) = cn(M ) = l Phép xấp xỉ này sẽ bị sai nếu với một số hậu tố T của. .. phân có chiều dài n và số xoắn là k Để cho phù hợp với các phần khác, tiếp tục khảo sát dãy các số 2 và 3, mặc dù trong phần này bất kỳ bảng mẫu tự 2 số (ví dụ như {0, 1}) đều làm tốt như nhau 3.1 Dãy ngun thủy và dãy mạnh Một dãy S được gọi là phi ngun thủy (hay tuần hồn) nếu nó bằng T i với T là một dãy và i ⩾ 2 Ngược lại, S được gọi là ngun thủy Bổ đề 3.1 Giả sử S có số xoắn k Khi đó S có thể được... số xoắn bằng 1 thì dãy Y ngắn nhất thỏa mãn S = XY đơn giản là số cuối cùng của S, do đó π = 1 và S ∈ C(n, 1, 1) Tập C(n, 1, π) với π > 1 là tập rỗng Ký hiệu P(n, k) (với 1 ⩽ k ⩽ n) là tập các dãy S ngun thủy thuộc C(n, k), và p(n, k) = #P(n, k) Chú ý rằng C(n, 1) = P(n, 1), bởi vì số xoắn 1 kéo theo tính ngun thủy k Ký hiệu Q(n, k) = ⋃ P(n, i) (với 1 ⩽ k ⩽ n) là tập các dãy ngun thủy có i=1 k số xoắn. .. hậu tố thực sự của V k+1 có số xoắn lớn hơn k (và số dãy hậu tố như vậy là p(n/(k + 1), l)) Điều này được rút ra từ định lý Fine - Wilf (Định lý 3.2) Nếu V k+1 có một hậu tố thực sự dạng U k+1 , thì hai dãy bị trùng lặp trong (k + 1)u số hạng cuối, trong đó u = U , và u < v, trong đó v = V = n/(k + 1) Bởi vì V có số xoắn l < k, k bản sao bên phải của U khơng là một hậu tố của V , và do đó ku > v Suy... đối với một số Z, g, h và g > h, kéo theo g ⩾ 2 và do đó S phải ngun thủy, mâu thuẫn Do đó (k + 1)t < n + t − 1 < 2n, theo như u cầu ∎ Từ đó suy ra S ∈ P(n, k) là mạnh khi và chỉ khi khơng có hậu tố thực sự của S 2 có số xoắn bằng k + 1 Điều này giúp đơn giản hóa việc tính tốn số p(n, k) Một nhận xét thơng thường nhưng hữu ích đó là thêm vào dãy một số khơng làm tăng số xoắn nhiều hơn 1 19 Số hóa bởi... sử có một dãy dài các số 2 và 3 sinh bởi (1.1), và khảo sát phép phân hoạch chính tắc thành các từ Lyndon Có rất ít từ Lyndon có thể (ví dụ, 2222 là bị cấm), nhưng vì kiểu thâm nhập này khơng dẫn đến mâu thuẫn, ta sẽ khơng nói thêm về nó 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 3 Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước Trong phần này nghiên cứu số c(n, k) các dãy nhị phân... tại dãy xuất phát đẹp hơn những dãy xuất phát trong Bảng 2.3 2.3 Cách xây dựng với n lớn hơn Việc xây dựng cấu trúc đại số bất kỳ cho các dãy xuất phát đẹp vẫn chưa thành cơng Tuy nhiên, một cách xây dựng đơn giản cho phép ta thu được chặn dưới của Ω(n) với giá trị n lớn hơn Gọi S0 là một dãy có độ dài n mà đạt được Ω(n), đặt S (e) là mở rộng của nó có độ dài n + Ω(n) Khi đó trong một số trường hợp dãy . của luận văn như sau: Chương 1: Giả thuyết số xoắn Chương 2: Dãy các số 2 và 3 Chương 3: Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước Chương 4: Độ dài đi của dãy số 2 và 3 Chương 5: Dãy Gijswijt 3 Số. thuyết số xoắn Cho một dãy khác rỗng hữu hạn S các số ngun, biểu diễn nó bằng S = XY k , trong đó X và Y là dãy các số ngun và Y k là lũy thừa với số mũ lớn nhất mà là đi (hậu tố) của S: số k này. khơng thể xảy ra, do đó số xoắn của dãy S là 3. Giả thuyết sau được phát biểu bởi nhóm nghiên cứu của van de Bult : Giả thuyết 1.1. (Giả thuyết số xoắn) . Xuất phát từ dãy số ngun ban đầu tùy ý