4 Độ dài đuơi của dãy số 2,
4.4Dãy mà số hạng đầu tiên là thiết yếu
Một thống kê liên quan việc nghiên cứu dãy suy giảm như sau. Nếu một dãy xuất phát S0 cĩ độ dài n được chọn ngẫu nhiên, và cĩ số xoắn bằng k, nghĩa là ta cĩ thể viết S0 =XYk với các dãy X, Y thích hợp. Hỏi xác suất mà cần thiết phải chọn X là dãy rỗng bằng bao nhiêu, nghĩa là chỉ cĩ một biểu diễn như vậy mới quay trở lại điểm bắt đầu của S0 (và do đĩ số hạng đầu tiên là cần thiết cho việc tính tốn số xoắn)? Dãy 2 2 3 2 2 3 là một ví dụ, vì ở đây
k = 2, và X = ε, Y = 223 là biểu diễn duy nhất. Nhưng 233233 thì khơng, vì
k = 2 và cĩ thể chọn X = ε, Y =233 hoặc X = 2332, Y =3, và cách biểu diễn thứ hai tránh việc sử dụng X =ε. Số dãy như vậy cĩ độ dài n với 1⩽ n⩽ 35
được đưa ra trong Bảng 4.6. Nếu n là nguyên tố, số dãy là 2, nhưng giới hạn trên của các số này dường như tăng theo cấp số nhân.
2 2 2 4 2 8 2 10 8 14
2 40 2 40 32 88 2 192 2 324
100 564 2 1356 32 2226 370 4564 2 9656 2 17944 1450 35424 152
Bảng 4.6: Số dãy cĩ độ dài từ 1 đến 35 mà cĩ biểu diễn số xoắn bằng XYk địi hỏi X=ε .
4.5. Dãy cĩ tiền tố làm tăng đuơi
Trái ngược với dãy suy giảm, ta cũng nghiên cứu dãy xuất phát S0 mà hoặc
τ(2S0) >τ(S0)hoặcτ(3S0) >τ(S0). Dãy S0=22322 là một ví dụ, vìτ(S0) =2,
τ(2S0) =3, τ(3S0) =2. Số dãy như vậy cĩ độ dài từ 1 đến 30 được liệt kê trong Bảng 4.7. Cĩ khá nhiều những dãy như vậy so với dãy suy giảm, mặc dù khơng tìm được ví dụ mà cả τ(2S0) >τ(S0) và τ(3S0) >τ(S0) cùng xảy ra.
2 1 2 1 5 3 12 9 19 16
38 20 59 42 104 65 213 111 400 245
765 439 1563 820 3046 1731 5955 3292 12078 6343
Chương 5
Dãy Gijswijt
Nếu bắt đầu bằng dãy S0 =1, và tạo một dãy vơ hạn bằng cách ghép liên tục số xoắn của dãy hiện tại, như trong (1.1), thu được
G∶=112112223112112223211211222311211⋯.
Đây là dãy Gijswijt, phát minh bởi D. Gijswijt năm 2004, được nghiên cứu bởi nhĩm van de Bult .
Lần đầu tiên số 4 xuất hiện trong G là số hạng 220. Cĩ thể tính tốn thực sự vài triệu số hạng mà khơng xuất hiện 5, nhưng trong [2] đã chỉ ra rằng số 5 cuối cùng xuất hiện lần đầu vào số hạng khoảng
101023.
Nhĩm van de Bult cũng chỉ ra rằng G thật ra khơng bị chặn, và phỏng đốn rằng một số ⩾6 xuất hiện lần đầu tiên ở số hạng khoảng
2234
⋰m−1
,
một tháp cĩ độ cao m−1. Các đối số khá phức tạp cĩ thể được đơn giản hĩa đáng kể và mở rộng nếu giả thuyết số xoắn là đúng.
Định lý cuối cùng chỉ ra rằng nếu giả thuyết số xoắn là đúng, bất kỳ dãy bắt đầu S khơng chứa một số 1 cuối cùng sẽ nhúng với G.
Định lý 5.1. Giả sử giả thuyết số xoắn là đúng. Đặt S là một dãy ban đầu khơng chứa số 1, đặt S(e) là mở rộng của nĩ (định nghĩa trong §1), và đặt S(∞)
Chứng minh.Theo định nghĩa, S(e) khơng chứa 1 nhưng ngay lập tức bị ghép bởi 1. Giả sửS(∞)
≠S(e)G, và giả sử chúng khác nhau đầu tiên ở vị trí mà trong
S(∞) là n, trong khi đĩ S(e)G làm<n. Số nnày phải là số xoắn của một phần nào đĩ của S(∞), cụ thể bắt đầu với một hậu tố X của S(e). Đặt S(e) =W X. Thì S(∞)
=W(XT)nn⋯ với tiền tố T của G, trong đĩ G=T(XT)n−1m⋯. Nếu
n=2, m=1, ta cĩG=T XT1⋯. Số xoắn của bản sao đầu tiên của T là số hạng đầu tiên của X, mà khơng phải là 1, nhưng số xoắn của bản sao thứ hai của T
là 1, mâu thuẫn. Mặt khác, nếu n⩾3, G =T XT XT⋯XT m⋯, và dãy ban đầu
T XT X cĩ số xoắn ít nhất 2 và khơng thể được theo sau bởi T (mà bắt đầu bằng 1), lại mâu thuẫn.
∎
Ta vẫn chưa biết nếu định lý cịn đúng nếu S được cho phép chứa một số 1 nhưng khơng kết thúc với 1.
Kết luận
Luận văn đã trình bày về số xoắn của dãy số nguyên. Các kết quả chính của luận văn:
- Giới thiệu về số xoắn và Giả thuyết về số xoắn.
- Trình bày một số kết quả rất gần đây của B. Chaffin, J. P. Linderman, N. J. A. Sloane, Allan R. Wilks.
Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt
[1] Hà Huy Khối, Số học, NXB Giáo dục, 2004. [B] Tài liệu tiếng Anh
[2] B. Chaffin, J. P. Linderman, N. J. A. Sloane, Allan R. Wilks. On Curling Number of Integer Sequences, Journal of Integer Sequences, Vol. 16(2013), 236; pp. 1-47.