4 Độ dài đuơi của dãy số 2,
4.3Dãy “suy giảm”: tiền tố làm giảm đuơi
Gọi S0 là một dãy bất kỳ các số 2 và 3 cĩ độ dài n, với độ dài đuơi τ(§0) =i. Cĩ vẻ như đáng tin cậy rằng nếu n lớn, thì đặt tiền tố cho S0 bằng một số 2 hoặc 3 sẽ khơng thay đổi τ(S0), nghĩa là τ(2S0) = τ(3S0) = τ(S0). Nhưng liệu điều này thực sự làm giảm độ dài đuơi? Chọn một tính từ mà khơng chính thức được sử dụng trong tốn học, ta sẽ gọi S0 là suy giảm nếu hoặc
τ(2S0) <τ(S0)hay τ(3S0) <τ(S0), và hai lần suy giảm nếu cả τ(2S0) <τ(S0)
và τ(3S0) <τ(S0). Cĩ vẻ đáng ngạc nhiên rằng một số dãy suy giảm cĩ chiều dài lên tới tận 34. Một vài ví dụ đầu được liệt kê trong Bảng 4.4, và số dãy suy giảm cĩ độ dài từ 1 tới 34 được liệt kê được cho trong Bảng 4.5. Ví dụ, nếu
S0=32323 thìS0(e) =323232332, vàτ(S0) =4. Nhưng nếu ta đặt tiền tố cho S0
bằng một số 2, khi đĩ dãy xuất phát là 2S0=232323, mở rộng thành 2 3 2 3 2 3 3 2, do đĩ τ(2S0) =2, và S0 là suy giảm.
22 333 32323 323232 2323232 3232323 22322232 23222322 23223223 33233233 223222322 223222323 232223222 332332332 2232223222 2232223223 2232223232 2322232223 2322322322 2332332332 3322332233 3323323323 22322232223 22322232232 22322232322 22322322232 22322322322 22323222322
Bảng 4.4: 28 dãy suy giảm đầu tiên (A216730).
0 1 1 0 1 1 2 4 4 8
14 11 18 30 26 24 40 35 58 69
48 84 158 67 139 287 215 242 490 323 624 919 516 1072
Bảng 4.5: Số dãy suy giảm cĩ độ dài từ 1 đến 34 .
Tuy nhiên, cho đến độ dài 34 khơng tồn tại dãy hai lần suy giảm. Giả thuyết 4.1. Dãy suy giảm hai lần khơng tồn tại.
Nếu giả thuyết này là đúng, suy ra ta luơn cĩ thể đặt tiền tố một dãy xuất phát S0 bằng một trong {2,3} mà khơng làm giảm độ dài đuơi. Điều này giải thích nhận xét đưa ra trong §2.2 về hành vi của Ω(n) giữa các điểm nhảy. Nĩ cũng suy ra được rằng Ω(n+1) ⩾ Ω(n) với mọi n, điều mà ta vẫn chưa biết cho đến hiện tại.