Số xoắn của dãy số nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phùng Thị Hương SỐ XOẮN CỦA DÃY SỐ NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun, Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Phùng Thị Hương SỐ XOẮN CỦA DÃY SỐ NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH HÀ HUY KHỐI Thái Ngun, Năm 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Hà Huy Khoái Qua đây, tác giả xin gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS TSKH Hà Huy Khối, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cám ơn thầy cô giáo khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cám ơn đến gia đình bạn lớp Cao học toán K6B, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả Phùng Thị Hương Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mục lục Mở đầu Giả thuyết số xoắn Dãy số 2.1 Đuôi cực đại Ω(n) 2.2 Các tính chất dãy xuất phát đẹp 10 2.3 Cách xây dựng với n lớn 12 2.4 Tính tốn chi tiết 13 2.5 Các quy luật tránh khỏi 14 Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước 15 3.1 Dãy nguyên thủy dãy mạnh 15 3.2 Ba định lý sở 17 3.3 Phép đệ quy cho c(n, k) 20 3.4 3.5 Dãy có số xoắn 21 √ Giá trị c(n, k) với k ⩾ ⌊ n⌋ 28 3.6 Bảng chênh lệch d(n, k) 29 3.7 Tính tốn c(n, k) 31 Độ dài đuôi dãy số 2, 33 4.1 Hàm phân phối độ dài đuôi 33 4.2 Mô hình xác xuất 35 4.3 Dãy “suy giảm”: tiền tố làm giảm đuôi 36 4.4 Dãy mà số hạng thiết yếu 37 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.5 Dãy có tiền tố làm tăng đuôi 37 Dãy Gijswijt 38 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Giả thuyết tốn số xoắn (curling number) toán mở chưa có lời giải lý thuyết số Mặc dầu vậy, có nhiều nghiên cứu cho kết ủng hộ tính đắn giả thuyết Luận văn nhằm trình bày số kết gần số xoắn, cụ thể kết báo sau đây: B Chaffin, J P Linderman, N J A Sloane, Allan R Wilks On Curling Number of Integer Sequences, Journal of Integer Sequences, Vol 16 (2013), 236; pp 1-47 Bố cục luận văn sau: Chương 1: Giả thuyết số xoắn Chương 2: Dãy số Chương 3: Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước Chương 4: Độ dài đuôi dãy số Chương 5: Dãy Gijswijt Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Giả thuyết số xoắn Cho dãy khác rỗng hữu hạn S số nguyên, biểu diễn S = XY k , X Y dãy số nguyên Y k lũy thừa với số mũ lớn mà đuôi (hậu tố) S: số k gọi số xoắn S, ký hiệu cn(S) X dãy rỗng ε; có số cách chọn dãy Y khác nhau, dãy Y ngắn để đạt k (như ta thấy ➜3.1, dãy nguyên thủy) Ví dụ, S = 0122122122 ta viết S = XY , X = 01221221 Y = 2, hay ta viết S = XY , X = Y = 122 Cách biểu diễn thứ hai chọn có k = 3, k = khơng thể xảy ra, số xoắn dãy S Giả thuyết sau phát biểu nhóm nghiên cứu van de Bult : Giả thuyết 1.1 (Giả thuyết số xoắn) Xuất phát từ dãy số nguyên ban đầu tùy ý S, thác triển cách ghép thêm liên tiếp số xoắn dãy thời điểm, cuối dãy đạt tới Nói cách khác, S0 = S dãy khác rỗng hữu hạn số nguyên, ta định nghĩa Sm+1 chuỗi ghép Sm+1 ∶= Sm cn(Sm ) với m ⩾ 0, (1.1) giả thuyết phát biểu với số giá trị t ⩾ ta có cn(St ) = Giá trị nhỏ t gọi độ dài đuôi S0 , ký hiệu τ (S0 ) (và ta đặt τ (S0 ) = ∞ giả thuyết khơng đúng) Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ví dụ, giả sử xuất phát với S0 = 2323 Bằng cách chọn X = ε, Y = 23, có S0 = Y , nên cn(S0 ) = 2, ta có S1 = 23232 Bằng cách chọn X = 2, Y = 32 ta có cn(S1 ) = 2, S2 = 232322 Lấy X = 2323, Y = ta có cn(S2 ) = 2, S3 = 2323222 Một lần lấy X = 2323, Y = ta có cn(S3 ) = 3, S4 = 23232223 Rủi thay, ta viết S4 = XY k với k > 1, cn(S4 ) = 1, S5 = 232322231, ta đạt tới 1, dự đoán giả thuyết Với ví dụ này, τ (S0 ) = (nếu ta tiếp tục từ dãy này, hợp thành dãy Gijswijt, trình bày ➜5.) Một số chứng minh nhóm van de Bult rút gọn lại kết mạnh giả thuyết cho Tất chứng cho thấy giả thuyết đúng, chống lại nỗ lực chứng minh Ta trình bày số nghiên cứu sâu rộng cho trường hợp dãy ban đầu chứa số (mặc dù trường hợp đặc biệt giả thuyết toán mở) Trong mục ta nghiên cứu bao xa để dãy bắt đầu n số khai triển trước tiến đến Gọi chiều dài cực đại Ω(n) Tức là, Ω(n) giá trị cực đại độ dài đuôi τ (S0 ) tất dãy S0 số có chiều dài n Ta xác định Ω(n) cho tất n ⩽ 48, giả sử cho tất n ⩽ 80 (Bảng 2.1 Hình 2.1) Dữ liệu cho thấy số tính chất mà dãy khởi đầu đẹp đặc biệt có tính chất (Tính chất P2, P3, P4 ➜2.2) Mặc dù ta chưa tìm cấu trúc đại số cho dãy khởi đầu đẹp, Mục 2.3 miêu tả phương pháp mà thành công việc xây dựng dãy xuất phát với chiều dài lớn Trong ➜2.4 miêu tả thuật toán cho phép ta mở rộng nghiên cứu với chiều dài 80 Cũng không nên ngạc nhiên giả thuyết trường hợp đặc biệt hóa hệ biết đến mơ hình tất yếu dãy nhị phân dài - miêu tả ngắn gọn ➜2.5 Mục dành cho câu hỏi tổ hợp: số c(n, k) dãy nhị phân với chiều dài n số xoắn k số gì? Đây dường tốn vơ khó, thành công việc liên hệ c(n, k) với hai đại lượng bổ trợ: số dãy nguyên thủy p(n, k), số dãy nguyên thủy mạnh Kết mục cơng thức cho c(n, k) Định lý 3.5 3.17 Nhờ Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tính số xoắn tất dãy nhị phân có chiều dài n ⩽ 104 Số dãy nhị phân có số xoắn 1, c(n, 1), vấn đề vơ thú vị trình bày ➜3.2 Hiệu d(n, k) ∶= 2c(n − 1, k) − c(n, k) cho thấy cấu trúc bảng c(n, k) rõ ràng số c(n, k), chủ đề ➜3.6 Trong Mục 4, nghiên cứu số t(n, i) cho dãy có chiều dài n độ dài i, ⩽ i ⩽ Ω(n) Bằng nghiên cứu trực tiếp, xác định t(n, i) cho n ⩽ 48 , không dùng phép truy toán (ngoại trừ cho t(n, 0), tương tự cho c(n, 1)) Số hạng hàng bảng t(n, i) xảy theo cụm, với n ⩽ 48 Trong ➜4.1 ➜4.2 nghiên cứu thống kê bảng t(n, i), cịn xa để tìm mơ hình giải thích cụm Mục 4.3, 4.4, 4.5 thảo luận số câu hỏi tổ hợp liên quan đến độ dài đuôi Nếu dãy xuất phát S0 đủ dài, đáng tin cậy tiền tố S0 với hay không làm giảm độ dài đuôi Nếu số làm giảm độ dài đuôi, ta gọi S0 suy giảm (rotten), hai tiền tố làm giảm độ dài đi, gọi suy giảm gấp đơi Dãy suy giảm chắn tồn tại, độ dài 34 khơng tồn dãy suy giảm gấp đôi, giả định không tồn dãy với chiều dài Nếu giả thuyết đúng, giải thích tượng xác định mà quan sát thấy ➜2.2, kéo theo Ω(n + 1) ⩾ Ω(n) với n, điều mà chưa biết thời điểm Trong Mục miêu tả ngắn gọn dãy Gijswijt, dãy xuất phát cho nghiên cứu Ghi Bởi dãy xuất phát S dãy số nguyên bất kỳ, dùng từ “dãy” thích hợp từ “từ” số bảng chữ Tuy nhiên, ta sử dụng số thuật ngữ (như “tiền tố”, “hậu tố”) từ lý thuyết ngơn ngữ thức Dãy ký hiệu chữ Latin viết hoa S k nghĩa SS⋯S, S lặp k lần Độ dài S ký hiệu ∣S∣ ε ký hiệu dãy rỗng Tập dãy ký hiệu kiểu chữ viết tay (ví dụ C(n, k)) lực lượng ký hiệu chữ Latin thường tương ứng (ví dụ c(n, k)) Chữ Hy Lạp chữ Latin thường khác dùng để ký hiệu số Ký tự # ký hiệu lực lượng tập Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số xoắn S ký hiệu cn(S) Với dãy xuất phát S0 ∶= s1 s2 ⋯sn có chiều dài n, si số nguyên bất kỳ, định nghĩa Sm+1 phép ghép Sm cn(Sm ) = s1 ⋯sn+m+1 với m ⩾ Nếu cn(St ) = với t ⩾ 0, ta gọi giá trị t nhỏ độ dài đuôi S0 , ký hiệu τ (S0 ), dãy tương ứng S (e) ∶= St = s1 ⋯sn+t mở rộng S0 Nếu khơng tồn t vậy, đặt τ (S0 ) = ∞, S (e) = S∞ (và giả thuyết số xoắn bị sai) Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Hệ 3.14 (i) Với ⩽ i < n/3, ⌊(n+i−1)/2⌋ b(n, i) = a(n, i) − e(m − i, i, n + i − 2m) ∑ (3.9) n=max(2i,1+⌊(n+i)/3⌋) (ii) b(n, i) = với n/3 ⩽ i ⩽ n/2 (3.10) (iii) b(n, i) = a(n, i) − b(i, n − i) với n/2 < i < n (3.11) Chú ý p′ (n/2, 1) = a(n/2, n/2 − 1), phương trình (3.5) từ (3.7) tới (3.11) dùng cách đệ quy để tính c(n, 1), sử dụng thuật toán vét cạn để xác định e(m, i, j) áp dụng cho giá trị m nhỏ (xem ➜3.7) Ta vừa nghiên cứu ngắn gọn khả khái quát hóa phương pháp tiếp cận phần để giải với số xoắn k lớn Các định lý sau thay cho Định lý 3.6 3.7: Định lý 3.15 Giả sử S ∈ P(n, k)/P ′ (n, k), với k > Khi tồn X T với S = X(T X)k S ≻ T Chứng minh Theo Định lý 3.3, S = P Qk+1 với P ≠ ε Nếu (k + 1)∣Q∣ ⩾ n + ∣Q∣ − 1, Định lý 3.2 kéo theo S tuần hồn Do k∣Q∣ < n − 1, k Q nằm thực bên S, cụ thể S = XQk với ∣X∣ < ∣Q∣, X ≠ ε Định nghĩa T Q = T X ta có S = X(T X)k P Qk+1 = SXQk , P Q = P T X = SX S ≻ T ∎ Định lý 3.16 Biểu diễn S = X(T X)k thu Định lý 3.15 Bởi ta khơng sử dụng Định lý 3.16, ta bỏ qua chứng minh định lý Vì S ∈ P(n, k), ta biết S viết thành XY k Y nguyên thủy, theo nhiều cách khác Định lý 3.15 3.16 nói S khơng mạnh, xác số Y có X tương ứng hậu tố Ta không theo đuổi khái quát hóa Định lý 3.10 - 3.12 Hệ 3.13 - 3.14 cho trường hợp 27 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.5 √ Giá trị c(n, k) với k ⩾ ⌊ n⌋ Định lý thứ hai phần đưa biểu diễn cho c(n, k) √ khoảng k ⩾ ⌊ n⌋ mà có liên quan tới hàm tổng riêng q(m, k) Định lý 3.17 Ta có c(n, n) = với n, c(n, n − 1) = với n ⩾ 2, với √ n ⩾ k ⩾ ⌊ n⌋, ⎧ ⎪ n−(k+1)π (2π − 1)q(π, k − 1), ⎪ ⎪ ⎪2 c(n, k, π) = ⎨ ⎪ ⎪ 2n−kπ q(π, k − 1), ⎪ ⎪ ⎩ ⩽ π ⩽ ⌊ kn+1 ⌋, ⌈ nk++11 ⌉ ⩽π⩽ (3.12) ⌊ nk ⌋, ⌊n/k⌋ c(n, k) = ∑ c(n, k, π) π =1 √ √ Chứng minh Ta giả sử n ⩾ k ⩾ ⌊ n⌋ ⩾ Chú ý k ⩾ ⌊ n⌋ tương √ đương với k + > n Ta xét trường hợp n ⩽ π(k + 1) − n ⩾ (k + 1)π cách độc lập Đầu tiên, n ⩽ π(k + 1) − 1, ta có ⌈ n+1 n ⌉ ⩽ π ⩽ ⌊ ⌋ k+1 k Viết lại S = XY k , Y nhỏ có độ dài π Khi n ⩽ π(k +1)−1 kéo theo ∣X∣ < π Theo Bổ đề 3.1, Y ∈ Q(π, k − 1) Tồn 2n−πk cách chọn X q(π, k − 1) cách chọn Y , phát biểu dãy thu XY k ln có số xoắn k Giả sử ngược lại có số xoắn > k, cho có XY k = U V k+1 , với u = ∣U ∣, v = ∣V ∣ Có hai trường hợp Nếu (k +1)v ⩾ kπ, có (k +1)π > ∣S∣ ⩾ (k +1)v, kéo theo π > v Hai cách biểu diễn S có chung hậu tố Y k với độ dài kπ, k ⩾ 2, thỏa mãn kπ ⩾ v + π − (3.13) Theo Định lý 3.2, Y = Z g , V = Z h với g > h, nên g ⩾ 2, Y nguyên thủy, mâu thuẫn Mặt khác, giả sử (k + 1)v < kπ Một lần π > v Vì cn(Y ) < k, kv > π Bây hậu tố chung có độ dài (k + 1)v, bất đẳng thức ta kéo theo (k + 1)v ⩾ v + π − 1, 28 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.14) lần theo Định lý 3.2, Y nguyên thủy, mâu thuẫn Do số dãy S có kiểu 2n−kπ q(π, k − 1), ta phát biểu Thứ hai, n ⩾ (k + 1)π, ta có 1⩽π⩽⌊ n ⌋ k+1 Viết S = XBY k , (3.15) X có độ dài n − (k + 1)π, B có độ dài π, Y ∈ Q(π, k − 1) Hiển nhiên B ≠ Y (B ký hiệu “bộ chặn”, mục đích đảm bảo Y lặp k lần) Có 2n−(k+1)π cách chọn X, 2π − cách chọn B, q(π, k − 1) cách chọn Y Ta √ phát biểu giả thiết k ⩾ ⌊ n⌋ đảm bảo tất cách chọn cho kết dãy có số xoắn k Giả sử ngược lại S (trong (3.15)) U V k+1 , với u = ∣U ∣, v ∣V ∣ Lại chia thành hai trường hợp nhỏ Nếu (k + 1)v ⩾ kπ, có (k + 1)2 > n ⩾ (k + 1)v ⩾ kπ, nên k + > v, k ⩾ v Hai cách biểu diễn khác S có chung hậu tố với độ dài kπ, bất đẳng thức ta kéo theo (3.13) Mặt khác, giả sử (k + 1)v < kπ Lại có kv > π, hậu tố chung thỏa mãn (3.14) Trong hai trường hợp Định lý 3.2 dẫn tới mâu thuẫn Định lý chứng minh ∎ Công thức Định lý 3.17 phủ lượng lớn bảng c(n, k) Tuy nhiên, thêm số công việc chúng mở rộng để áp dụng cho giá trị k nhỏ hơn, dường khơng phương pháp tiếp cận dẫn tới công thức cho c(n, k, π) cho giá trị k nhỏ 3.6 Bảng chênh lệch d(n, k) Trong bảng c(n, k) (Bảng 3.1), nhìn vào chênh lệch hàng hai hàng phía trước nó, ta thu bảng đơn giản nhiều Định nghĩa d(n, k) ∶= 2c(n − 1, k) − c(n, k), 29 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.16) n/k 2 10 10 11 12 20 -2 -2 -2 -2 0 -2 -2 -2 -2 0 0 -2 -6 -2 0 -2 -6 0 0 -2 -10 -2 0 0 0 0 0 -10 -4 -6 -2 0 10 11 12 -2 -2 -2 Bảng 3.6: Bảng chênh lệnh d(n, k) xác định theo (3.16) với n ⩾ 2, ⩽ k ⩽ n − 1, với d(n, n) = −2 Các giá trị ban đầu liệt kê bảng 3.6 Thấy bỏ qua số đầu hàng, hầu hết số cịn lại khơng, ngoại trừ đường chéo cặp số khác khơng Chính xác hơn, dường d(2k, k − 1) = −d(2k, k) = 2, k ⩾ 4, d(3k, k − 1) = −d(3k, k) = 6, k ⩾ 5, d(4k, k − 1) = −d(4k, k) = 12, k ⩾ 6, d(5k, k − 1) = −d(5k, k) = 30, k ⩾ 7, (3.17) tiếp tục Chỉ đường chéo số đường chéo nhìn thấy Bảng 3.6 Tất biểu diễn rút từ Định lý 3.17: √ Định lý 3.18 Trong miền k ⩾ ⌊ n⌋, số hạng khác không bảng d(n, k) d(mk, k − 1) = −d(mk, k) = q(m, m), với m ⩾ 1, k ⩾ m + (3.18) Chứng minh Điều rút dễ dàng từ Định lý 3.17 Ta chứng minh khẳng định thứ hai (3.18) lời giải thích Có d(mk, k) = 2c(mk − 1, k) − c(mk, k) 30 Soá hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.19) Từ (3.12), m−1 c(mk, k) = ∑ c(mk, k, π) + c(mk, k, m), (3.20) π =1 m−1 c(mk − 1, k) = ∑ c(mk − 1, k, π) (3.21) π =1 Mỗi số hạng (3.20) (xem (3.12)) xác hai lần số hạng tương ứng (3.21), c(mk, k, m) = q(m, k) = q(m, m) d(mk, k) = −q(m, m) ∎ Chú ý biểu diễn cho c(n, k) Định lý 3.17 liên quan √ đến hàm tổng quát q(π, k), biểu diễn cho d(n, k) miền k ⩾ ⌊ n⌋ hồn tồn rõ ràng, q(m, m) cho (3.1) Đinh lý 3.5 cho công thức khác cho d(n, k): d(n, k) = [k + 1∣n](p′ ( n n n n , k) + q( , k − 1)) − [k∣n](p′ ( , k − 1) + q( , k − 2)) k+1 k+1 k k (3.22) cụ thể, d(n, 1) = [2∣n]p′ (n/2, 1), d(n, 1) = [3∣n](p′ (n/3, 2) + p(n/3, 1)) − [2∣n]p′ (n/2, 1) (3.23) Biểu diễn dễ kiểm tra cách ý số khác không cột bảng d(n, k), cụ thể 2, 2, 4, 6, 10, 20, số cột bảng p′ (n, k) (Bảng 3.4) Cũng đáng để ý p nguyên tố c(p, k) = 2c(p − 1, k) với k d(p, k) = 3.7 Tính tốn c(n, k) Một bảng chi tiết giá trị ¸(n, k) xây dựng, với hy vọng dẫn đến nhìn sâu sắc bổ sung vào số Đầu tiên, tính tốn trực tiếp, sử dụng nhiều chương trình khác nhiều loại máy tính khác (bao gồm ngày tính tốn máy tính cụm với vi xử lý 64 SPARC), ta tính c(n, k) với n ⩽ 51 31 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Thứ hai, lập bảng e(n, i, j) với n ⩽ 23 Điều đủ cho tính tốn đệ quy (3.5) (3.7) - (3.11) c(n, 1) với n ⩽ 200 Những giá trị gợi ý giả định c(n, 1) = 0.27004339525895354325⋯ n→∞ 2n Từ phương trình (3.5) ta có lim (3.24) c(n, 1) ⩾ 2c(n − 1, 1) − [2∣n]c(n/2, 1), kết hợp giá trị biết c(n, 1) kéo theo c(n, 1) > 0.27 ⋅ 2n với n ⩾ 200 (3.25) Ta bỏ qua phần chứng minh Nhưng ta khơng có giới hạn so sánh cho (c(n, 1) (ngồi 2n ), khơng có chứng minh giới hạn (3.24) tồn Thứ ba, phương pháp tiếp cận khác sử dụng, cho phép lập bảng số xoắn tất dãy có độ dài n ⩽ n0 , từ sinh bảng c(n, k) với n ⩽ 2n0 , mà khơng phải tính số xoắn tất 22n0 dãy có độ dài 2n0 Ý tưởng bên phương pháp tiếp cận sau Xét dãy S có độ dài n với n0 ⩽ n ⩽ 2n0 , đặt M hậu tố với độ dài n0 Như phép xấp xỉ đầu tiên, ta đặt cn(S) = cn(M ) = l Phép xấp xỉ bị sai với số hậu tố T M , xảy trường hợp T l+1 hậu tố S Nếu thế, ta phải tăng cn(S) thêm cho tất S có hậu tố T l+1 Sẽ thêm rắc rối có nhiều T vậy, định lý Fine - Wilf (Định lý 3.2) điều xảy l = Sử dụng phương pháp tiếp cận (với n0 = 32) mở rộng bảng giá trị c(n, k) p(n, k) tới n = 64 Cuối cùng, lập bảng p′ (n, k) với n ⩽ 36 Bảng với 200 số hạng c(n, 1) đủ để tính đệ quy Định lý 3.5 để thu 104 hàng bảng c(n, k) 32 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Độ dài đuôi dãy số 2, 4.1 Hàm phân phối độ dài đuôi Đặt t(n, i) số dãy xuất phát S0 gồm n số mà có độ dài i, i khoảng từ tới Ω(n) Các giá trị khởi đầu liệt kê Bảng 4.1 Vì hàng tăng nhanh theo độ dài (ví dụ Bảng 2.1), ta dừng bảng n = Chú ý vị trí với i = tới 55 (đều khơng) nén lại thành cột Các hàng n = 22 tới 32 liệt kê Bảng 4.2 4.3 Cột giống cột bảng c(n, k), chứa số c(n, 1) mà chủ đề ➜3.4 n/i 2 1 2 1 12 6 20 18 12 40 34 25 74 71 148 139 9-55 56 57 57 0 11 14 1 47 24 28 3 0 95 48 56 6 59 Bảng 4.1: Bảng t(n, i), số dãy số có độ dài i, với ⩽ i ⩽ Ω(n) 33 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 0-8 1133200 1140102 768386 417081 479224 47190 33440 32283 51035 9-17 6388 6096 1031 2074 516 807 67 0 18-26 1 12 0 27-35 0 0 0 0 36-44 0 0 0 16 45-53 24 50 98 198 394 786 1316 2633 5121 54-62 5891 7687 9230 14622 12983 6486 2659 642 1099 63-71 463 299 32 0 0 0 72-80 0 0 0 0 81-89 0 0 0 0 90-98 0 0 0 0 99-107 0 1 16 32 108-116 64 128 256 512 1024 17 17 34 70 117-120 139 282 Bảng 4.2: Hàm phân phối độ dài đuôi t(22, i), ⩽ i ⩽ 120, cho tất dãy xuất phát với độ dài 22 (22 lần có độ dài 120 đạt đến) Lưu ý ba “cụm” 0-8 1159845258 1167273283 786757853 427198253 490970976 48399112 34266983 33065461 52260747 9-17 6585936 6286710 1088875 2157877 553922 848516 69469 519 1038 18-26 836 1547 3092 6184 11843 7303 206 28 57 27-35 99 194 0 21 34 36-44 72 130 198 394 788 1576 3153 6305 12610 45-53 25219 50438 100876 201752 403504 804960 1347868 2695736 5244019 54-62 6034490 7874728 9455010 14977616 13308516 6658834 2742615 676305 1153446 63-71 487704 309650 32814 28 24 48 96 193 385 72-80 770 0 0 0 0 81-89 0 0 10 20 90-98 1 16 32 64 99-107 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 108-116 65536 131072 262144 524288 1048544 18331 18265 36530 73119 117-120 146237 292601 8798 1144 Bảng 4.3: Hàm phân phối độ dài đuôi t(32, i), ⩽ i ⩽ 120, cho tất dãy xuất phát với độ dài 32 Các cụm dày lên Có thể thấy từ Bảng 4.1 - 4.3, giá trị hàng phân phối thành cụm, cụm dày lên n tăng Bảng 4.2 liệt kê giá trị độ dài đuôi độ dài 22, lần độ dài đuôi đạt 120 (chú ý số “1” cuối chứng tỏ dãy xuất phát nhất) Với độ dài 32 (Bảng 4.3), cụm to lên kết thúc 120 Một có độ dài lớn 120 khơng xuất tận độ dài 48, độ dài lớn 131 Lũy 34 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thừa Bảng 4.2 4.3 gợi ý cụm có xu hướng tăng cách đặt tiền tố cho dãy xuất phát đẹp với độ dài ngắn chuỗi ngẫu nhiên số Tuy nhiên, chưa có mơ hình thỏa mãn để giải thích phân phối Giá trị trung bình n hàng, Ω(n) ∑ it(n, i), 2n i=0 với n ⩽ 48, hội tụ tới giá trị khoảng 2,741⋯ Nghĩa là, dãy xuất phát chứa n số chọn cách ngẫu nhiên, trung bình đạt tới sau 2.741⋯ bước Điều trái ngược hẳn với hành vi dãy xuất phát tốt nhất, thấy Bảng 2.1 Tất nhiên giả thuyết số xoắn sai với dãy số 3, giá trị trung bình vơ hạn vượt qua số điểm 4.2 Mơ hình xác xuất (n) Ký hiệu θk ∶= c(n, k)/2n xác suất dãy chọn ngẫu nhiên gồm n số mà có số xoắn k Dữ liệu có sẵn (n ⩽ 200 với k = 1, n ⩽ 104 với k > 1) gợi ý n tăng xác suất hội tụ giá trị θ1 ≈ 0, 270, θ2 ≈ 0, 434, θ3 ≈ 0, 162, ∑ θk ≈ 0, 134 k ⩾4 Khi mở rộng dãy S cách ghép vào số xoắn k = cn(S), trường hợp dãy ghép Sk độc lập với S, ta mơ hình q trình xích Markov hai trạng thái với trạng thái “số xoắn 3” “số xoắn ⩾ 4.” Xác suất nằm trạng thái “2 3” θ2 + θ3 ≈ 0.596⋯ xác suất bỏ qua trạng thái 0, 404⋯ Nếu dãy xuất phát chọn cách ngẫu nhiên từ tất 2n cách có thể, mơ hình kéo theo số lượng bước tối đa trước đạt tới trạng thái “1 hay ⩾ 4” lần khoảng t≈n log ≈ 1, 34n log(1/0.596) Mơ hình Markov hiển nhiên không áp dụng đầu trình ghép, có hiệu dãy mở rộng thời gian 35 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.3 Dãy “suy giảm”: tiền tố làm giảm đuôi Gọi S0 dãy số có độ dài n, với độ dài đuôi τ (➜0 ) = i Có vẻ đáng tin cậy n lớn, đặt tiền tố cho S0 số không thay đổi τ (S0 ), nghĩa τ (2S0 ) = τ (3S0 ) = τ (S0 ) Nhưng liệu điều thực làm giảm độ dài đi? Chọn tính từ mà khơng thức sử dụng toán học, ta gọi S0 suy giảm τ (2S0 ) < τ (S0 ) hay τ (3S0 ) < τ (S0 ), hai lần suy giảm τ (2S0 ) < τ (S0 ) τ (3S0 ) < τ (S0 ) Có vẻ đáng ngạc nhiên số dãy suy giảm có chiều dài lên tới tận 34 Một vài ví dụ đầu liệt kê Bảng 4.4, số dãy suy giảm có độ dài từ tới 34 liệt kê cho Bảng 4.5 Ví dụ, (e) S0 = 32323 S0 = 323232332, τ (S0 ) = Nhưng ta đặt tiền tố cho S0 số 2, dãy xuất phát 2S0 = 232323, mở rộng thành 3 3 2, τ (2S0 ) = 2, S0 suy giảm 22 23222322 2232223222 3323323323 333 23223223 2232223223 22322232223 32323 33233233 2232223232 22322232232 323232 223222322 2322232223 22322232322 2323232 223222323 2322322322 22322322232 3232323 232223222 2332332332 22322322322 22322232 332332332 3322332233 22323222322 Bảng 4.4: 28 dãy suy giảm (A216730) 14 48 624 1 11 18 84 158 919 516 30 26 67 139 1072 24 287 40 215 35 242 58 490 69 323 Bảng 4.5: Số dãy suy giảm có độ dài từ đến 34 Tuy nhiên, độ dài 34 không tồn dãy hai lần suy giảm Giả thuyết 4.1 Dãy suy giảm hai lần không tồn Nếu giả thuyết đúng, suy ta ln đặt tiền tố dãy xuất phát S0 {2, 3} mà khơng làm giảm độ dài Điều giải thích nhận xét đưa ➜2.2 hành vi Ω(n) điểm nhảy Nó suy Ω(n + 1) ⩾ Ω(n) với n, điều mà ta chưa biết 36 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 4.4 Dãy mà số hạng thiết yếu Một thống kê liên quan việc nghiên cứu dãy suy giảm sau Nếu dãy xuất phát S0 có độ dài n chọn ngẫu nhiên, có số xoắn k, nghĩa ta viết S0 = XY k với dãy X, Y thích hợp Hỏi xác suất mà cần thiết phải chọn X dãy rỗng bao nhiêu, nghĩa có biểu diễn quay trở lại điểm bắt đầu S0 (và số hạng cần thiết cho việc tính tốn số xoắn)? Dãy 2 2 ví dụ, k = 2, X = ε, Y = 223 biểu diễn Nhưng 233233 khơng, k = chọn X = ε, Y = 233 X = 2332, Y = 3, cách biểu diễn thứ hai tránh việc sử dụng X = ε Số dãy có độ dài n với ⩽ n ⩽ 35 đưa Bảng 4.6 Nếu n nguyên tố, số dãy 2, giới hạn số dường tăng theo cấp số nhân 2 2 40 100 564 2 17944 1450 40 32 1356 32 35424 152 88 2226 2 370 10 14 192 324 4564 9656 Bảng 4.6: Số dãy có độ dài từ đến 35 mà có biểu diễn số xoắn XY k đòi hỏi X =ε 4.5 Dãy có tiền tố làm tăng Trái ngược với dãy suy giảm, ta nghiên cứu dãy xuất phát S0 mà τ (2S0 ) > τ (S0 ) τ (3S0 ) > τ (S0 ) Dãy S0 = 22322 ví dụ, τ (S0 ) = 2, τ (2S0 ) = 3, τ (3S0 ) = Số dãy có độ dài từ đến 30 liệt kê Bảng 4.7 Có nhiều dãy so với dãy suy giảm, khơng tìm ví dụ mà τ (2S0 ) > τ (S0 ) τ (3S0 ) > τ (S0 ) xảy 38 765 20 439 59 1563 42 820 12 104 65 213 111 3046 1731 5955 3292 19 400 12078 16 245 6343 Bảng 4.7: Số dãy S0 có độ dài từ đến 30 mà τ (2S0 ) > τ (S0 ) τ (3S0 ) > τ (S0 ) 37 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Dãy Gijswijt Nếu bắt đầu dãy S0 = 1, tạo dãy vô hạn cách ghép liên tục số xoắn dãy tại, (1.1), thu G ∶= 112112223112112223211211222311211⋯ Đây dãy Gijswijt, phát minh D Gijswijt năm 2004, nghiên cứu nhóm van de Bult Lần số xuất G số hạng 220 Có thể tính tốn thực vài triệu số hạng mà khơng xuất 5, [2] số cuối xuất lần đầu vào số hạng khoảng 23 1010 Nhóm van de Bult G thật không bị chặn, đoán số ⩾ xuất lần số hạng khoảng m−1 4⋰ 23 , tháp có độ cao m − Các đối số phức tạp đơn giản hóa đáng kể mở rộng giả thuyết số xoắn Định lý cuối giả thuyết số xoắn đúng, dãy bắt đầu S không chứa số cuối nhúng với G Định lý 5.1 Giả sử giả thuyết số xoắn Đặt S dãy ban đầu không chứa số 1, đặt S (e) mở rộng (định nghĩa ➜1), đặt S (∞) mở rộng vơ hạn Khi S (∞) = S (e) G 38 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chứng minh Theo định nghĩa, S (e) không chứa bị ghép Giả sử S (∞) ≠ S (e) G, giả sử chúng khác vị trí mà S (∞) n, S (e) G m < n Số n phải số xoắn phần S (∞) , cụ thể bắt đầu với hậu tố X S (e) Đặt S (e) = W X Thì S (∞) = W (XT )n n⋯ với tiền tố T G, G = T (XT )n−1 m⋯ Nếu n = 2, m = 1, ta có G = T XT 1⋯ Số xoắn T số hạng X, mà 1, số xoắn thứ hai T 1, mâu thuẫn Mặt khác, n ⩾ 3, G = T XT XT ⋯XT m⋯, dãy ban đầu T XT X có số xoắn theo sau T (mà bắt đầu 1), lại mâu thuẫn ∎ Ta chưa biết định lý S cho phép chứa số không kết thúc với 39 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Luận văn trình bày số xoắn dãy số nguyên Các kết luận văn: - Giới thiệu số xoắn Giả thuyết số xoắn - Trình bày số kết gần B Chaffin, J P Linderman, N J A Sloane, Allan R Wilks 40 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái, Số học, NXB Giáo dục, 2004 [B] Tài liệu tiếng Anh [2] B Chaffin, J P Linderman, N J A Sloane, Allan R Wilks On Curling Number of Integer Sequences, Journal of Integer Sequences, Vol 16(2013), 236; pp 1-47 41 Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... thuyết số xoắn Cho dãy khác rỗng hữu hạn S số nguyên, biểu diễn S = XY k , X Y dãy số nguyên Y k lũy thừa với số mũ lớn mà đuôi (hậu tố) S: số k gọi số xoắn S, ký hiệu cn(S) X dãy rỗng ε; có số cách... luận văn sau: Chương 1: Giả thuyết số xoắn Chương 2: Dãy số Chương 3: Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước Chương 4: Độ dài đuôi dãy số Chương 5: Dãy Gijswijt Số hóa Trung tâm Học liệu ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn/... Chương Số dãy nhị phân với số xoắn cho trước Trong phần nghiên cứu số c(n, k) dãy nhị phân có chiều dài n số xoắn k Để cho phù hợp với phần khác, tiếp tục khảo sát dãy số 3, phần bảng mẫu tự số (ví