bài tập lớn lí thuyết ngẫu nhiên dành cho Thac sỹ xây dựng . tài liệu chuẩn...................................................................................................................................................................................................
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI KHOA ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC
BÀI TẬP LỚN
LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : TS NGUYỄN NGỌC CỪ
LỚP : XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Trang 2BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
PHẦN I
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 1: Gieo xúc xắc liên tiếp n lần, tìm xác suất để tổng số chấm xuất hiện ở n lần gieo chia hết cho 6.
GiảiHai lần gieo xúc xắc, A : chia hết cho 6
Số trường hợp có thể có khi lấy ra 5 vé là: C5 252
A = {xạ thủ bắn trúng đích ở phát thứ 4 mới trúng đích}
Các biến cố này độc lập với nhau
Do vậy A=B1B2B3B4
)()
()
()
Trang 3BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
0.0117180,25.0,75
0,25.0,25
)
A
Bài 4: A và B chơi một trò chơi như sau: A gieo đồng thời 2 xúc xắc Nếu tổng bằng
7 hoặc 11, A thắng cuộc, nếu tổng bằng 2,3 hoặc 12, A thua cuộc Các trường hợp còn lại, A lặp lại trò chơi đến khi có người thắng người thua Tìm xác xuất để A thắng?
GiảiGọi B1 là biến cố có tổng bằng 7 hoặc 11
B2 là biến cố có tổng bằng 2,3 hoặc 12
B3 là biến cố có tổng bằng các trường hợp còn lại
A là biến cố A thắng cuộc
Khi đó B1, B2, B3 lập thành hệ đầy đủ các biến cố
Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có:
P(A) = P(B1).P(A|B1) + P(B2).P(A|B2) + P(B3).P(A|B3)
(với 0 < x, y ≤ 3) chính là tỷ lệ giữa diện tích S1, phần
giới hạn bởi y = x, xy = 2, y = 3 , x = 0 và diện tích
XY
Trang 4BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 6: Các hộp được đánh số từ 1,2…N và hộp mang số k chứa k bi đỏ, N-k bi trắng (k = 1…N) Chọn ngẫu nhiên một hộp và từ hộp này chọn một viên bi Tìm xác suất được bi đỏ?
GiảiBiến cố để chọn được hộp thứ k là Ak, các biến cố này độc lập nhau:
N A
P K =
Xác suất để chọn được bi đỏ:
2 2
2 2 2
1 3
2 1
)
21(
21
)
N N
N P P
P B B
B B P
B
N N
N N
N N k N
B
12
12
1)
1(2
11
N N
N
k A
P A B P B
P
12
11)
()/()
(
Bài 7: Một học sinh làm bài thi gồm 4 câu hỏi Xác suất giải đúng mỗi câu trong ba câu hỏi đầu là 0,75, giải đúng câu hỏi cuối là 0,4 Tìm luật phân bố câu giải đúng, tính kỳ vọng, phương sai của nó?
GiảiGọi biến cố làm đúng số lượng i câu là xi: X= {xi}
Biến cố làm đúng câu i là yi có xác suất tương ứng là:
25,075
,
3 2
p
6.04
( 0
p
0.309375)
(
0.090625)
(2 2
1 1
x p p
0.16875)
(
0.421875)
(4 4
3 3
x p p
Vì X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nên luật phân bố cho dưới dạng bảng
X x0 = 0 x1 = 1 x2 = 2 x3 =3 x4 = 4
Pi 0.009375 0.090625 0.309375 0.421875 0.16875
Trang 5BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
;0
0
;
2)(
x
x x
a) Xét Y = e X
Có Y’ = eX với X∈I =[0,π/2] hàm Y’ không đổi dấu trong khoảng I
Tìm hàm ngược của Y = e x và đạo hàm của hàm ngược đó:
212)
1
π π
e y y
e y
Z’= Cos(X) ta thấy Z’ cũng không đổi dấu trong khoảng [0,π/2]
Hàm ngược của Z : ϕ−1(X)= ArcsinX; có đạo hàm là ϕ− 1(X)'= 2
1
21
12)
1
; 0
1 0
Trang 6BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 9: X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân bố đều trên đoạn [0,1] Xác định hàm mật độ của X + Y và 2X+Y Tính kỳ vọng và phương sai của chúng?
12 12+ =6
Gọi r(z) là hàm mật độ của Z = 2X + Y
Trang 7BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
(
)
R = < = + <
Trang 8BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
8
)2(8
02
82
2
2
) (
Z neu Z
Z neu
421
02
42
1'
Z neu Z
Z neu
Z R
r z Z
Bài 11: Giả sử X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố mũ với tham
số λ Hãy tính hàm mật độ của |X-Y| ?
Giải
X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ với tham số λ
Vậy hàm mật độ của X, Y lần lượt là:
nêu x > 0( )
0 nêu x 0
x e
0 nêu y 0
y e
Trang 9BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 12: Hàm mật độ đồng thời của X và Y có dạng:
;0
)4,0()4,0(),(
;cossin)
,
(
ππ
ππ
y x y x C y
4
22
12
11
cossin
π π
C C
y x C
sin)
(
π
y C
ydx x
12)
dxdy y x h
2
),
0
2 / 0
cossin12
2
π
ydxdy x
x
= − ∫/4 x y x dx
0
2 / 0sin.sin12
4 /
33
22
212
Sin
x Sin
28
212
= 0,3608
Trang 10BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
+
=
)1,0()1,0(),(
;0
)1,0()1,0(),(
;11
12)
,
(
2 2
x y
x
x y
x y xy x y
x
h
(a) Tính EX, EY và tìm P(X+Y<1)?
(b) X và Y độc lập không? Tính cov(X,Y) và hệ số tương quan ρXY ?
=
=
=
++
=
=
=
1 0
2
1 0
2
63211
2),()
,()
(
63211
2)
,()
,()
(
y y dx
y x h dy y x h y
g
x x dy
y x h dy y x h x
( dx x
xf EY = ∫1 =
7)
( dy y yg
2 2
22
511
2)
,()
dxdy y x h Y
0
1 0
2
(11
12
dxdy y xy x xy
=
1
0
2 3 4
89811
EX = ∫∞
∞
−
dx x
xf( ) = ∫1 + +
0
)3
12
(11
dx x
yg )( = ∫1 + +
0
)3
12
(11
dy y
733
Trang 11BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
156,0257403630
25736302573634)
()
(
),
y x Cov
2
1),(
y x e y
1)
,
) ( 2 2
dy e
dx dxdy
y x h
x
y x
Bài 15: Các trạng thái Mưa, Nắng, Tuyết lập thành một xích Markov với ma trận chuyển π
Tìm phân bố xác suất giới hạn trên tập các trạng thái Mưa, Nắng, Tuyết?
Hãy tìm ma trận chuyển xác suất Πn sau n bước Nếu π0 =
2
;5
1
;5
2
là phân bố xác suất ban đầu của các trạng thái mưa, nắng, tuyết Tìm xác suất sau 2 ngày của các trạng thái mưa, nắng, tuyết?
Nếu hôm nay trời nắng, trạng thái nào (M, N, T) của ngày kia có nhiều khả năng xảy ra nhất?
Nếu hôm nay trời mưa, trung bình phải đợi bao lâu để có nắng?
Giải
* Tìm phân bố xác suất giới hạn trên tập các trạng thái Mưa, Nắng, Tuyết?
Gọi véctơ xác suất giới hạn trên tập các trạng thái (Mưa, Nắng, Tuyết) là: X = (x1,
Trang 12BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Xác suất giới hạn trên tập các trạng thái (Mưa, Nắng, Tuyết) là:
* Tìm ma trận chuyển xác suất Πn sau n bước?
Giải phương trình đặc trưng:
λλ
Các vectơ riêng tương ứng: u1 = (1,1,1); u2 = (1,-2,1); u3 = (-1, 0, 1);
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−+
−++
=
+
+ +
+
− +
+
+ +
n
n
n n
n n
n
n
n n
n n
n
n
n n
n n
n
1
1 1
1 1
1
1
1 1
2.3
)1(33
12
.3
)1(3
12
.3
)1(331
2.3
)1(3
12
.3
)1(3
12
.3
)1(31
2.3
)1(33
12
.3
)1(3
12
.3
)1(331
* Tìm phân bố xác suất sau 2 ngày của các trạng thái mưa, nắng, tuyết?
Trang 13BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Ma trận chuyển xác suất Π2:
Π2 =
1/ 2 1/ 4 1/ 41/ 4 1/ 2 1/ 41/ 4 1/ 4 1/ 2
2
;5
1
;5
* Nếu hôm nay trời mưa, trung bình phải đợi bao lâu để có nắng?
Cho nắng là một trạng thái hút, tìm số bước để hệ thống rơi vào trạng thái hút
010
02/12/1
T N M
Trang 14BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 16: Xét Xích Markov hút có ma trận chuyển
Xác định xác suất chuyển Πn , xác suất giới hạn và thời gian trung bình để hệ
thống chuyển từ trạng thái 3 sang trạng thái hút?
* Tìm phân bố xác suất giới hạn trên tập các trạng thái 1, 2, 3?
Gọi véctơ xác suất giới hạn trên tập các trạng thái 1,2,3 là: X = (x1, x2, x3) x1,x2,x3
là nghiệm của hệ phương trình: X× ∏= X
Trang 15BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Xác suất giới hạn trên tập các trạng thái 1, 2, 3 là: X =(1 0 0)
* Tính thời gian trung bình để hệ thống dịch chuyển từ trạng thái 3 sang trạng thái hút?
Trang 16BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Phần II THỐNG KÊ TOÁN VÀ HỒI QUY BỘI
Bài 1: Giả thiết trọng lượng của các gói đường là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn là σ = 0,05 Chọn ngẫu nhiên ra 30 gói đường và tính trọng lượng trung bình của chúng X =0,98
Tìm khoảng tin cậy cho trọng lượng trung bình của các gói đường với độ tin cậy 95%
GiảiTrung bình mẫu: X =0,98 Độ lệch chuẩn: σ =0,05
Mức ý nghĩa: α = 1 − 0 95 = 0 05
(0.05,0.05,30) 0.01789194130
90.962108051
0.0178919498
,01
Tìm khoảng tin cậy với độ tin cậy 98% cho kỳ vọng của của đại lượng ngẫu nhiên đó?
Phân vị student mức α với n-1 = 19 bậc tự do: t0.02 =TINV(0.02,19)=2.539483
Độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu cụ thể: S*=STDEV(A1:A20)=1.042306
0.59186920
1.0423062.539483
3.3151310.591869
907,30.591869
907
,
Trang 17BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 3 : Mẫu có phân bố chuẩn
X 6.9
7.2-7.8
8.4
7.8- 9
8.4- 9.6
9.0- 10.2
(a) Tìm khoảng tin cậy
Trung bình mẫu: X =AVERAGE(C3:C42)=7.935 với số lượng mẫu n=40
Độ lệch chuẩn: σ = 1
Mức ý nghĩa: α = 1 − 0 94 = 0 06
0.29738)
(0.06,1,40CONFIDENCE
Khoảng tin cậy:9.935−0.29738<m<9.935+0.29738↔7.63762<m<8.23238
(b) Nếu phương sai chưa biết, cũng độ tin cậy 94% tìm khoảng tin cậy cho EX?
Trường hợp phương sai chưa biết thì áp dụng
n
S t X m n
S t
X − α *< < + α *
Phân vị student mức α với 40-1 = 39 bậc tự do: t0.06 =TINV(0.06,39)=1.937106
Độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu cụ thể: S*=STDEV(A1:A20)=0.880428
0.26966140
0.880428937106
Khoảng tin cậy là: 7.935−0.26966<m<7.935+0.26966↔7.665339<m<8.204661
Bài 4: Trước bầu cử một cuộc thăm dò dư luận qua 500 cử tri cho thấy số người ủng hộ ứng viên A là 245 Tìm khoảng tin cậy cho tỉ lệ phiếu bầu cho ứng viên A với độ tin cậy 9 0 %
Giải
Do số liệu lớn có thể coi mẫu có phân bố chuẩn và phương sai là chưa biết
(Nhập số liệu trên vào Exel ví dụ từ A1 đến A20 )
Tần suất bầu cho ứng viên A là p* = 245 / 500 = 0.49
Mức ý nghĩa: α = 1-0.9=0.1
-1.28155.1)
.0500
1.28155-
*)1
Trang 18BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 5: Sở giáo dục tỉnh nọ báo cáo: Tỉ lệ học sinh tốt nghiệp phổ thông trung học của tỉnh là 88% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 học sinh, trong số đó có 340 em đỗ tốt nghiệp Với mức ý nghĩa 5% hãy kiểm định báo cáo của họ có cao không?
GiảiGiả thiết: p≥ p0 =0.88
Giả sử họ báo cáo như vậy là cao: chọn đối thiết K: p< p0 ta kiểm định giả thiết H ở
*0 0
p
p p n
Vậy bác bỏ giả thiết H, báo cáo như vậy là cao
Bài 6: Lượng xăng tiêu thụ của một loại xe máy
(100Km) là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với
độ lệch chuẩn σ = 0,3 Bảng sau cho biết lượng xăng
xăng tiêu thụ (100Km) của 12 xe Hãy kiểm định giả
thiết lượng xăng tiêu thụ H: m≥ 1,9 với giả thiết đối là
K: m<1,9 Mức ý nghĩa α =0,05
GiảiH: m≥ 1,9 với giả thiết đối là K: m<1,9 trong đó m0 = 1,9
3.0
9.1695.1
Vậy bác bỏ giả thiết H
Bài 7: Mẫu ngẫu nhiên X có phân bố chuẩn cho trong bài tập 2, kiểm định giả thiết H: Giá trị trung bình của đại lượng ngẫu nhiên đó là 4,4 với giá thiết đối K: m ≠ 4,4 Cho mức ý nghĩa kiểm định α=0.04
GiảiTheo bài 2 trung bình mẫu: X =AVERAGE(A1:A20)=3.907
1.042306A20)
:STDEV(A1
Trang 19BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
2.2047 2.11527
20 042306 1
4 4 907 3
Vậy chấp nhận giả thiết H
Bài 8: Đo chiều cao của giống cây 2 tuổi, kết quả cho
dưới bảng sau Với mức ý nghĩa α = 0.04 hãy kiểm
định giả thiết chiều cao của loại cây đó có phân bố
chuẩn
GiảiGọi xi là chiều cao trung bình của cây thuộc nhóm i với
số lượng cây là ni ta có bảng tính toán sau
np n
i x n n m
120
1203412034
120
1)(
1
2 2
=
m x
x n n
r i i i
Trang 20BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
,1)m,0.25,NORMDIST(x
)()
np
np n
Thứ 4
Thứ 5
Thứ 6
Thứ 7
Số HS
Kiểm định giả thiết: các ngày nghỉ của học sinh phân bố đều vào các ngày trong
tuần, mức ý nghĩa kiểm định là 5%
2 2
140085
6
14006
1400706
14006
1400656
14006
140080'
np
np n
Q
Bác bỏ giả thiết H, số học sinh nghỉ học không phải phân bố đều các ngày trong tuần
Trang 21BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 10: Nghiên cứu quan hệ giữa huyết áp (HA) và trọng lượng (TL) cơ thể trẻ em lứa tuổi 14, người ta phân trọng lượng ra hai loại:
A 1 : Nhóm người có trọng lượng ≤ 50kg; A 2 : Nhóm người có trọng lượng > 50kg Phân huyết áp thành 4 loại:
χ
34487.11
n
bác bỏ H;
Vậy: Huyết áp và trọng lượng của trẻ em tuổi 14 không có liên quan gì đến nhau
Bài 11: Các số liệu cho ở bảng sau nhằm phân tích hiệu quả của việc đầu tư quảng cáo (X) Dự báo doanh thu của một công ty (Y) trong thời gian 6 tháng.
Hệ số tương quan X, Y là rxy = CORREL(X,Y) = 0.983465
Đường thẳng hồi quy y=ax+βvà a, b là ước lượng bất kỳ α,β dùng phương phápbình phương bé nhất tìm đường hồi quy y=ax+b = ( )x x
S
S r y X
Y −+
22;
)(y
13;
)(
x
9.814955;
Y))(Y,SQRT(COVARS
5.887841;
X))(X,SQRT(COVAR
Average
S X
887841
5
814955
9983465
0
=
−+
Trang 22BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Bài 12: Bảng sau cho số liệu quan sát về kết quả học tập của học sinh Giả thiết mô hình hồi quy giữa chúng Y =α +β1x1+β2x2+β3x3+ε
Trong đó:
Y là điểm trung bình chung của học sinh cuối năm thứ nhất.
x 1 là điểm thi tốt nghiệp phổ thông trung học của học sinh.
x 2 là điểm thi tuyển vào đại học của học sinh.
x 3 : là điểm thi môn toán kỳ I của học sinh.
a) Viết mặt phẳng hồi quy theo x 1 , x 2 , x 3
b) Tính hệ số xác định và sai số chuẩn
hồi qui
c) Tính hệ số tương quan bội và hệ số
tương quan riêng giữa điểm trung
bình chung năm thứ nhất và điểm
bảng sau:
Nhấn tổ hợp phím Ctrl+Shift+Enter ta sẽ có bảng sau:
0.680520 0.050663 0.051614 1.3301940.058030 0.039310 0.014877 0.882626
Trang 23BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
a) Phương trình mặt phẳng hồi quy:
y = -1,330194 + 0,051614x 1 + 0,050663x 2 + 0,68052x 3
b) Tính hệ số xác định và sai số chuẩn của hồi quy:
Sai số chuẩn của hồi quy: Se = 0.250623
c) Hệ số tương quan bội: R = 0.975608
Hệ số tương quan riêng giữa điểm trung bình chung cuối năm thứ nhất và điểm thi tốt nghiệp PTTH của học sinh:
Trong đó:
i là hàng trong ma trận Covarian chạy từ 0 đến 3
j là cột trong ma trận Covarian chạy từ 0 đến 3
C(i,j) là ma trận phần phụ đại số xoá hàng i cột j của C
C(i,i) là ma trận phần phụ đại số xoá hàng i cột i của C
C(j,j) là ma trận phần phụ đại số xoá hàng j cột j của C
Hệ số tương quan riêng giữa (Y,x1) = ς(0,1)
Dùng lệnh MMULT để tính định thức ta tìm được: det(c01) = 3.935935
c00 - Ma trận xóa đi hàng 0, cột 0 của C20.808594 3.361328 1.0937503.361328 3.686523 1.1093751.093750 1.109375 1.500000
Trang 24BÀI TẬP LỚN MÔN: LÝ THUYẾT QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN
Dùng lệnh MMULT để tính định thức ta tìm được: det(c00) = 76.256840
c11 - Ma trận xóa đi hàng 1, cột 1 của C
Dùng lệnh MMULT để tính định thức ta tìm được: det(c11) = 0.405674
Thay các giá trị tìm được vào công thức: ς(0,1) = 0.707652
d) Tính khoảng tin cậy cho β2 với độ tin cậy 90%
y = 9.102497
