Lí thuyết tấm vỏ mỏng ( cao Hoc)

sách lí thuyết về tấm vỏ mỏng

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC i CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG ii 1. TẤM CHỊU UỐN: 3 2. LÝ THUYẾT VỎ: 46 CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ SỤNG zyx εεε ,, Biến dạng dài theo các phương x, y và z yx κκ , Độ cong của tấm theo phương trục x và trục y. zxyzxy τττ ,, Ứng suất cắt trên các mặt có véctơ pháp tuyến là x, y và z và có chiều trùng với phương y, z và x zyx σσσ ,, xyyx SSS ,, Ứng suất pháp tuyến theo trục x, y và z γ Biến dạng trượt của tấm ν Hệ số Poisson của vật liệu làm tấm κ Độ cong của tấm τ Ứng suất cắt Π Thế năng κ xy Độ xoắn của tấm A Công ngọai lực a, b Chiều dài các cạnh theo phương x, y của tấm d Độ cứng uốn của tấm E Mô đun đàn hồi F Diện tích tiết diện G Môđun đàn hồi trượt h Bề dày tấm M Mômen trên mỗi đơn vò chiều dài, mômen tổng M x , M y Mômen uốn trên mỗi đơn vò chiều dài theo trục x, y trong mặt phẳng Oxy M xy Mômen xoắn trên mỗi đơn vò chiều dài trong mặt phẳng Oxz N xy Lực trượt trên mỗi đơn vò chiều dài trên mặt phẳng x và có chiều trùng với trục y P Lực tập trung ( ) ,p x y Tải trọng mặt tác dụng lên mặt phẳng Oxy p mn Hệ số chuỗi tải trọng Q x , Q y Lực cắt trên mỗi đơn vò chiều dài trên mặt phẳng Oxy r x , r y Các bán kính cong của tấm trong mặt phẳng Oxz và Oyz U Năng lượng biến dạng u, v Chuyển vò của tấm theo phương x, y w Độ võng của tấm theo phương z x, y, z Tên hệ trục tọa độ 3 1. TẤM CHỊU UỐN: 1.1. Các khái niệm và giả thiết: 1.1.1. Khái niệm tấm: • Tấm là vật thể lăng trụ hoặc hình trụ có chiều cao h nhỏ hơn rất nhiều so với kích thước của 2 phương còn lại. Mặt phẳng cách đều 2 mặt bên trên và dưới của tấm được gọi là mặt trung bình của tấm. Khi chòu uốn mặt trung bình của tấm bò cong đi. Giao tuyến của mặt trung bình và các mặt biên cạnh tấm được gọi là cạnh biên của tấm (hay chu vi tấm). Để tiện nghiên cứu và khảo sát: thường chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, thường mặt phẳng Oxy nằm trong mặt trung bình tấm. Trục z hướng xuống, vò trí của gốc tọa độ O sẽ được chọn tùy thuộc vào hình dạng chu vi tấm và các đặc trưng liên kết của biên tấm sao cho cho phù hợp trong các bài toán cụ thể. a x h z b O y h: chiếu dày tấm • Tấm được sử dụng rộng rãi trong xây dựng: các tấm sàn, panel, tấm lợp nhà công nghiệp, … • Phần lớn tấm dùng trong xây dựng tấm mỏng (tấm theo giả thiết Kirchhoff). + Tấm được gọi là tấm mỏng nếu: 5 1 80 1 ≤≤ b h (trong đó: b là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình) và độ võng 4 max h w ≤ (cũng có thể sử dụng lý thuyết tấm mỏng với 3 1 = b h ) + Trường hợp tấm có 5 1 > b h (hoặc > 3 1 ) thì ta có tấm dày. + Nếu tấm có độ võng max 4 h w > thì cần tính theo lý thuyết tấm có độ võng lớn hay tấm mềm (hay lý thuyết màng). 1.1.2. Các giả thiết khi tính toán tấm: Tấm mỏng được tính toán ứng dụng theo lý thuyết tấm chòu uốn sau đây và dựa trên các giả thiết sau (còn được gọi là giả thiết Kirchhoff). 1) Giả thiết về các đoạn thẳng pháp tuyến : các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình của tấm sẽ còn thẳng và vuông góc với mặt trung bình khi chòu uốn và độ dài của chúng là không đổi. + Từ giả thiết này dễ thấy rằng các góc vuông tạo bởi các phần tử thẳng vuông góc với mặt trung bình (và có phương dọc trục z) với các trục x, y vẫn còn là góc vuông trong quá trình biến dạng, như vậy không có sự trượt trong các mặt phẳng đó. Hay:    = = 0 0 xz yz γ γ (1.1) + Vì độ dài của các đoạn thẳng vuông góc này không thay đổi nên dễ thấy rằng biến dạng dài theo phương z là bằng 0. Hay: 0= z ε (1.2) 4 2) Giả thiết về mặt trung bình : tại mặt trung bình tấm không hề có biến dạng kéo, nén hay trượt. Khi bò uốn mặt trung bình là mặt trung hòa. Từ đó dễ thấy trên mặt trung bình, các chuyển vò: ( ) ( ) 0 0 0 0 0 hay 0 z z u v u v = = = = = = (1.3) 3) Giả thiết về sự tương tác giữa các lớp của tấm : sự tương tác giữa các lớp song song với mặt trung bình có thể bỏ qua. Tức là ứng suất pháp z σ có thể bỏ qua (vì là nhỏ so với x σ và y σ ) 1.2. Chuyển vò và biến dạng trong tấm (Kinematical Relationships): Chúng ta sẽ nghiên cứu tấm chòu tải trọng ngang, tức tải trọng vuông góc với mặt trung bình của tấm. Để xác đònh biến dạng và chuyển vò ta sẽ dựa vào các giả thiết ở 1.1.2: • Theo giả thiết , vì 0= z ε nên theo công thức Cauchy: 0= ∂ ∂ = z w z ε ⇒ độ võng w của tấm không phụ thuộc vào z hay: ( ) yxww ,= . Điều này có nghóa là tất cả các điểm nằm trên cùng đoạn thẳng vuông góc mặt trung bình tấm sẽ có cùng độ võng. • Cũng từ giả thiết , từ điều kiện về biến dạng trượt    = = 0 0 xz yz γ γ , sử dụng công thức Cauchy:        = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 0 0 z u x w y w z v xz yz γ γ ta được:        ∂ ∂ −= ∂ ∂ ∂ ∂ −= ∂ ∂ y w z v x w z u Bằng cách tích phân, biểu thức vừa nhận được theo z, ta có: ( ) ( ) 1 2 , , w u z f x y x w v z f x y y ∂  = − +  ∂   ∂  = − + ∂   (a) Các hàm ( ) yxf , 1 và ( ) yxf , 2 được xác đònh bằng cách sử dụng giả thiết  về tính không biến dạng kéo, nén của mặt trung bình. Theo giả thiết này các chuyển vò 0 0 u vvà của các điểm trên mặt trung bình là bằng 0 nên: ( ) ( )    === === = = 0,| 0,| 200 100 yxfvv yxfuu z z Vậy tóm lại, theo (a) ta có:        ∂ ∂ −= ∂ ∂ −= y w zv x w zu (1.4) Điều này có nghóa là các chuyển vò thành phần của tấm đều biểu diễn được qua hàm độ võng w của mặt trung bình. • Các thành phần biến dạng khác được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức Cauchy: 5          ∂∂ ∂ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ∂ ∂ −= ∂ ∂ = yx w x x v y u y w z y v x w z x u xy y x 2 2 2 2 2 2 γ ε ε (1.5)  Như vậy là cũng như là các chuyển vò thành phần, các thành phần biến dạng cũng được biểu diễn qua hàm độ võng w. 1.3. Ứng suất và nội lực trong tấm (Material law): • Để tìm ứng suất, ta sử dụng công thức đònh luật Hooke (dạng ngược) với chú ý rằng 0= z σ . Dễ dàng có được bằng cách sử dụng (1.5): ( ) ( ) ( )            ∂∂ ∂ + −= + =         ∂ ∂ + ∂ ∂ − −=+ − =         ∂ ∂ + ∂ ∂ − −=+ − = yx w z EE x w y w z EE y w x w z EE xyxy xyy yxx 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 112 11 11 ν γ ν τ ν ν νεε ν σ ν ν νεε ν σ (1.6) • Với yz τ và zx τ , nếu theo đònh luật Hooke và công thức (1.1) thì sẽ bằng 0. Tuy nhiên điều này mâu thuẫn với điều kiện cân bằng và thực ra thì yz τ và zx τ là khác 0. Để tìm chúng, ta sử dụng điều kiện cân bằng: ( ) 3,2,10 ==+ ∂ ∂ iX x i j ij σ Từ phương trình vi phân cân bằng thứ nhất, bỏ qua lực khối, ta thấy: yxz xy xxz ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ τ στ Thay và x xy σ τ trong (1.6) và ta có: w x z E y w x w x z E yx w z E yx w x w z E z xz 2 22 2 2 2 2 2 3 2 3 3 3 2 11 11 ∇ ∂ ∂ − =         ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = ∂∂ ∂ + +         ∂∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ νν ν ν ν τ Tích phân theo biến z, ta có: ( ) ( ) yxfw x Ez xz , 12 1 2 2 2 +∇ ∂ ∂ − = ν τ Hàm ( ) yxf , 1 được xác đònh từ điều kiện mặt trên và mặt dưới tấm không có ứng suất tiếp (vì không có tải song song bề mặt tấm), tức là: ( ) ( ) 2 2 1 2 2 0 , 0 8 1 h xz z Eh w f x y x τ ν =± ∂ = ⇒ ∇ + = ∂ − Suy ra: ( ) ( ) w x Eh yxf 2 2 2 1 18 , ∇ ∂ ∂ − −= ν 6 : vớitự Tương Vậy yz τ ( ) ( )        ∇ ∂ ∂         − − −= ∇ ∂ ∂         − − −= w y z hE w x z hE yz xz 22 2 2 22 2 2 4 12 4 12 ν τ ν τ (1.7) • Sự phân bố theo bề dày h của các thành phần ứng suất vừa tìm có thể thấy qua hình vẽ bên: x σ xz τ τ xy τ yx σ y yz τ y x • Cũng bằng cách khảo sát phương trình vi phân cân bằng thứ 3, dựa vào các điều kiện biên trên và dưới của tấm, người ta viết được biểu thức tính z σ và thấy rõ răøng z σ có cùng bậc với cường độ tài trọng phân bố mặt trên và dưới và là không đáng kể so với x y σ σ và Cụ thể: q (x,y) 1 q (x,y) 2 z h ( ) w zzhE qq z 4 32 2 12 34 12 2 ∇         − − + − = ν σ • Cũng tương tự trong sức bền, hợp lực của các ứng suất phân bố theo bề dày tấm trên 1 đơn vò dài được gọi là các thành phần ứng lực (nội lực) của tấm hay thường gọi là nội lực tấm: 0 1 .1. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =         ∂ ∂ + ∂ ∂ − −== ∫∫ −− h h h h xx zdz y w x wE dzN ν ν σ ( ) 1.dxdF = Tương tự ta cũng có: 0= y N Gọi M x là mômen uốn trên 1 đơn vò dài mặt cắt có pháp tuyến là trục x: ∫∫ −−         ∂ ∂ + ∂ ∂ − −== 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 h h h h xx dzz y w x wE dFzM ν ν σ         ∂ ∂ + ∂ ∂ −= 2 2 2 2 y w x w DM x ν trong đó: ( ) 2 3 112 ν − = Eh D (1.8) được gọi là độ cứng trụ của vì nó là đặc trưng về vật liệu và hình học của tấm chòu uốn. Cũng trên mặt cắt có pháp tuyến x còn có lực cắt Q x : 7 ( ) w x Ddzz h w x E dFQ h h h h xzx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .1. 4 12 ∇ ∂ ∂ −=         −∇ ∂ ∂ − −== ∫∫ −− ν τ Lực trượt (lực tiếp) N xy (là tổng hình chiếu lên phương y của các ứng suất xy τ ) 0 1 2 2 2 2 2 = ∂∂ ∂ + −== ∫∫ −− h h h h xyxy zdz yx wE dFN ν τ Mômen xoắn M xy (do xy τ ) trên mặt cắt này: ( ) yx w DzdFM h h xyxy ∂∂ ∂ −−== ∫ − 2 2 2 1 ντ • Tương tự, trên mặt cắt có pháp tuyến là trục y, ta có các thành phần nội lực phân bố trên 1 đơn vò dài: Mômen uốn:         ∂ ∂ + ∂ ∂ −= 2 2 2 2 x w y w DM y ν Lực cắt: w y DQ y 2 ∇ ∂ ∂ −= Mômen xoắn: ( ) 2 1 yx xy w M D M x y ν ∂ = − − = ∂ ∂ • Vậy ta đã tìm được các thành phần nội lực của tấm khi chòu lực ngang. Hình vẽ bên biểu diễn các giá trò dương của nội lực thành phần. M N M N Q N M M N Q x x x xy y xy xy yx y y • Ngoài ra, như đã biết: khi biến dạng và chuyển vò là nhỏ có thể xem đạo hàm bậc hai của hàm độ võng w là các độ cong của mặt võng. Với hệ trục như hình vẽ thì: 2 2 2 2 1 1 và x y x y w w x r y r κ κ ∂ ∂ − = = − = = ∂ ∂ và độ xoắn: xy xy ryx w κ == ∂∂ ∂ − 1 2 Từ đó, các mômen có thể được biểu diễn qua các độ cong như sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 x x y x y y y x y x xy xy xy M D D r r M D D r r M D D r ν κ νκ ν κ νκ ν ν κ    = + = +   ÷  ÷        = + = +  ÷   ÷      = − = −   Hay ở dạng ma trận: 8                     − − − =           ⇒                         − =           xy y x xy y x xy y x xy y x M M M Eh r r r D M M M ν ν ν κ κ κ ν ν ν 100 01 01 12 1 1 1 100 01 01 3 Các phương trình trên là các phương trình vật lý của tấm. Nó cho biết mối liên hệ giữa nội lực và biến dạng của mặt trung bình. Tóm lại: Từ các phương trình biến dạng (kinematical) và các phương trình ứng xử vật liệu (đònh luật Hooke) ta có các phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa nội lực và biến dạng mặt trung bình như sau: ( )                  ∇ ∂ ∂ −= ∇ ∂ ∂ −= ∂∂ ∂ −−==         ∂ ∂ + ∂ ∂ −=         ∂ ∂ + ∂ ∂ −= w y DQ w x DQ yx w DMM x w y w DM y w x w DM y x xyyx y x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ν ν ν (1.9) Kết hợp (1.6) và (1.7) ta có các biểu thức tính ứng suất qua nội lực: 3 3 3 2 2 12 12 12 3 1 4 2 3 1 4 2 0 x x x y y y xy xy yx xy x xz y yz z M M z z h I M M z z h I M M z z h I Q z h h Q z h h σ σ τ τ τ τ σ  = =     = =     = = =         = −    ÷              = −    ÷          ≈  Cũng có thể thấy rằng, tương tự trong dầm chòu uốn, ứng suất tiếp yzxz ττ , biến thiên theo luật bậc hai và là nhỏ so với ứng suất xy τ . Ngoài ra, ứng suất đạt giá trò lớn nhất tại mặt trung bình: ( ) ( ) max max 3 3 ; 2 2 y x xz yz Q Q h h τ τ = = 9 1.4. Phương trình vi phân chủ đạo của tấm chòu uốn: • Ở trên ta đã thấy rằng: tất cả các thành phần ứng suất hay nội lực, biến dạng của tấm đều được biểu diễn qua hàm độ võng w(x,y) của mặt trung bình. Do vậy trước hết và đầu tiên là cần tìm được hàm độ võng w(x,y). • Khảo sát sự cân bằng của 1 phân tố mặt trung bình có kích thước: dxdy. Đặt các lực lên phân tố (gồm cả ngoại lực và nội lực) như hình vẽ: y x z dy dx dy y Q Q y y ∂ ∂ + dy y M M yx yx ∂ ∂ + dy y M M y y ∂ ∂ + + ∂ ∂ x x M M x dx + ∂ ∂ xy xy M M x dx + ∂ ∂ x x Q Q x dx M x M xy yx M y M Q y Q x p z + Từ phương trình cân bằng (chiếu lên phương trục z). Ta có: 0=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ dxdypdxdy y Q dxdy x Q z y x Hay: 0=+ ∂ ∂ + ∂ ∂ z y x p y Q x Q (a) + Từ phương trình mômen với trục y, bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta có 0 yx x x M M dxdy dxdy Q dxdy x y ∂ ∂ + − = ∂ ∂ Hay: yx x x M M Q x y ∂ ∂ + = ∂ ∂ (b) + Từ phương trình mômen với trục x, tương tự ta có: y yxy Q y M x M = ∂ ∂ + ∂ ∂ (c) Thay (b) , (c) vào (a); loại bỏ lực cắt ta nhận được: 2 2 2 2 2 2 xy y x z M M M p x x y y ∂ ∂ ∂ + + = − ∂ ∂ ∂ ∂ Thay các biểu thức tính yxyx MMM ,, theo hàm độ võng w(x,y) từ (1.9) vào ta có: ( ) z p yx w y w yx w yx w x w D −=       ∂∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂∂ ∂ −+ ∂∂ ∂ + ∂ ∂ − 22 4 4 4 22 4 22 4 4 4 12 ννν Hay: z p y w yx w x w D =       ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ 4 4 22 4 4 4 2 Hay: z pwD =∇ 4 Hay D p w z =∇ 4 (1.10) 10  Phương trình (1.10) là phương trình vi phân của mặt trung bình khi võng. Nó còn được gọi là phương trình vi phân tấm chòu uốn (Phương trình Cofy German). Phương trình (1.10) có dạng vi phân cấp 4. Nó là phương trình vi phân chủ đạo của bài toán tấm mỏng chòu uốn và biểu diễn theo hàm độ võng w của mặt trung bình. • Đôi lúc phương trình vi phân này được biểu diễn ở dạng vi phân cấp 2 bằng cách đưa ra hàm mômen M (moment function) hay còn gọi là hàm mômen tổng (moment sum): wD y w x w D MM M yx 2 2 2 2 2 1 ∇−=         ∂ ∂ + ∂ ∂ −= + + = ν Khi đó các lực cắt sẽ là: x M Q x ∂ ∂ = và y M Q y ∂ ∂ = Và cuối cùng dễ dàng nhận thấy rằng phương trình vi phân cấp 4 được thay thế bằng 2 phương trình vi phân cấp 2: D M y w x w w p y M x M M z −= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ −= ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1.11) 1.5. Các điều kiện biên trên chu vi tấm: Tùy thuộc vào điều kiện liên kết ở mép tấm mà trong thực tế ta thường gặp các điều kiện biên sau: x y O a biên tựa biên nằm trên dầm biên tư do biên ngàm b 1) Cạnh biên ngàm : (fixed or clamped or built in edge) (x=0): khi đó liên kết ngăn cản mọi chuyển dòch thẳng và xoay trong mặt phẳng xz, tức là: Tại x = 0 cần có:      = ∂ ∂ = 0 0 x w w (1.12) 2) Biên tựa cố đònh : (simple support, hinge pinted) (y=0): Trên cạnh này sẽ không có chuyển vò đứng và mômen uốn M y . Hay tại y = 0 có:      =         ∂ ∂ + ∂ ∂ −= = 0 0 2 2 2 2 x w y w DM w y ν (1.13) Hay tại y = 0 có:      = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 0 0 2 2 2 2 x w y w w ν (1.14a) Hay độ cong bằng không, (tại y = 0) có:      = ∂ ∂ ⇒== = 00 1 0 2 2 y w r w y y κ (1.14b) [...]... công thức độ võng (1 .24), cuối cùng ta có: pa 4  2 2 4 2 2  w=  −1 + 2 1 − k − 2β 1 − ρ + ρ − 4k ln ρ − 8β ρ ln ρ  64 D ( 1 −ν ) β 2 + ( 1 +ν ) 1 + 4β 2 ln β 2 r b , β= , k= β trong đó: ρ = a a ( 1 −ν ) + ( 1 + ν ) β 2 ( )( ) ( ) Các momen uốn cũng có thể tìm được từ (1 .22) 1.14 Thế năng toàn phần: Biểu thức thế năng toàn phần của tấm chòu uốn: Π = U-A U là thế năng biến dạng của tấm và U = trong...   ∂x ( ) (1 .38) 35 Ở đây, w, θx và θy xem như các biến độc lập Khi θ x = − ∂w ∂w ,θ y = − thì biểu thức ∂x ∂y trên trở về dạng như tấm mỏng (theo giả thiết của Kirchhoff) 1.17 Tấm bò uốn do tác dụng đồng thời của tải trọng ngang và lực trong mặt phẳng tấm: Như đã biết trong giáo trình lý thuyết đàn hồi, dưới tác dụng của tải trọng song song mặt phẳng tấm, trong tấm chỉ tồn tại các lực màng (các lực... mπ y  mπ x  w ( x, y ) = ∑ m2 cosh α  α m tanh α m cosh a − a sinh a ÷sin a 3 Dπ m =1,3,5,  m  1.9.2 (g) (h) Trường hợp phản xứng f1(x) = –f2(x): ∞ mπ x f1 ( x ) = − f 2 ( x ) = ∑ Em sin (i) a Do tính chất phản xứng, w sẽ là hàm lẻ của y, do đó, trong công thức (f) thì Bm = Cm = 0 Nên: ∞ mπ y mπ y mπ y  mπ x  w = ∑  Am sin + Dm cosh ÷sin a a a  a m =1  Từ điều kiện biên (c), w = 0 tại y... với trường hợp biên tựa thì nhỏ hơn 4 64 D lần) Sử dụng (1 .22), ta có biểu thức momen uốn trong tấm: p  2 2  M r = 16 ( 1 + ν ) a − ( 3 +ν ) r       M = p ( 1 +ν ) a 2 − ( 1 + 3ν ) r 2    θ 16   pa 2 Và momen tại tâm tấm khi khi r=0: M r = M θ = ( 1 +ν ) 16  pa 2 M r = −  8 Và momen uốn trên biên ( ng với r=a) và là momen max:  2 (chỉ gần  M = −ν pa  θ 8  bằng 60% so với Mmax khi...  4 ∞ ∞ (e) Để xác đònh các hệ số Amn, ta tiến hành khai triển hàm tải trọng p ( x, y ) theo dạng chuỗi Fourier kép theo sin, ta có: ∞ ∞ mπx nπy p( x, y ) = ∑∑ p mn sin sin (f) a b m =1 n =1 trong đó: pmn là hệ số chuỗi tải trọng 4 a b mπx nπy p mn = (g) ∫0 ∫0 p( x, y ) sin a sin b dxdy ab Đưa (f) vào phương trình (e), ta nhận được: 2  m2 n2  Dπ Amn  2 + 2  = p mn a b    Sử dụng cả (g), ta... )   ∂y 2 ÷y =− b     2 (b) (c ) (d ) với f1 ( x ) , f 2 ( x ) là momen uốn phân bố trên 2 biên y = ± b 2 Sử dụng nghiệm dạng Levy: (luôn thỏa mãn điều kiện trên x=0, x=a) ∞ mπ x w = ∑ Ym sin a m =1 mπ y mπ y mπ y mπ y mπ y mπ y + Bm cosh + Cm sinh + Dm cosh với: Ym ( y ) = Am sinh a a a a a a 1.9.1 (e) (f) Trường hợp đối xứng f1(x) = f2(x) = f(x): Do bài toán là đối xứng nên Ym phải là hàm chẵn... = 0 (e) r =1 r =1 a  b      a   b   a  b   ( r ≠n) ( r ≠m)   32 4 2  4  4a 2 2a 3m + 3n  ÷ + 2m n  ÷  Cmn + b b     n ∑ 2m C r =1 ( r ≠n) 4 mr + m ∑ r =1 ( r ≠m) 4 4 pa a 2n  ÷ Crn = 4 Dπ 4 b 4 (f) Với 1 vài giá trò của m & n, từ (f) cho ta 1 hệ phương trình đại số tuyến tính để xác đònh các tham số Cmn Ví dụ: nếu chỉ lấy một tham số (m=n=1) thì điều kiện (f)... thỏa mãn phương trình vi phân tấm (1 .10) và các điều kiện biên (a), người ta tìm hàm độ võng trong dạng chuỗi Fourier kép: ∞ ∞ w ( x, y ) = ∑∑ Amn sin m =1 n =1 mπ x nπ y sin a b (c) 15 trong đó: Amn là hệ số của chuỗi m, n ∈ ¥ * ( m, n = 1, 2,3, ) , • Rõ ràng dễ nhận thấy rằng hàm độ võng (c) thỏa mãn các điều kiện biên (a) + Thật vậy, ví dụ trên biên x = a: ∞ ∞ nπy w( x, y ) = ∑∑ Amn sin mπ sin =0... +ν pa 4 Độ võng lớn nhất tại tâm tấm, tức r=0: wmax = 1 + ν 64 D Theo (1 .22), ta có các momen trong tấm:   d 2 w ν dw  p 2 2 M r = −D  2 + ÷ = ( 3 +ν ) a − r r dr  16   dr  a 2  M = − D  1 dw +ν d w  = p  3 + ν a 2 − 1 + 5ν r 2  O ( ) ( )   ÷  θ dr 2  16   r dr  Và các giá trò momen uốn lớn nhất tại tâm tấm, tức r=0: pa 2 y M r ,max = M θ ,max = ( 3 +ν ) 2a 16 Tại biên, tức r=a:... Xét tấm tựa trên 4 cạnh biên và bò uốn cong do momen phân bố dọc các cạnh y = ± b 2 Hàm độ võng w phải thỏa mãn phương trình vi phân tấm: ∇4 w = 0 (a) và các điều kiện biên sau: f2 2 O 2 y a b b x f1 w = 0  + Trên biên x=0 và x=a:  ∂ 2 w  2 =0  ∂x w = 0  2  −D  ∂ w  = f ( x)  2÷ 1   ∂y  y = b y = ±b :  + Trên biên 2 2  2 − D  ∂ w  = f2 ( x )   ∂y 2 ÷y =− b     2 (b) (c ) (d . tấm lợp nhà công nghiệp, … • Phần lớn tấm dùng trong xây dựng tấm mỏng (tấm theo giả thiết Kirchhoff). + Tấm được gọi là tấm mỏng nếu: 5 1 80 1 ≤≤ b h (trong đó: b là kích thước nhỏ nhất của. ≤ (cũng có thể sử dụng lý thuyết tấm mỏng với 3 1 = b h ) + Trường hợp tấm có 5 1 > b h (hoặc > 3 1 ) thì ta có tấm dày. + Nếu tấm có độ võng max 4 h w > thì cần tính theo lý thuyết. cần tính theo lý thuyết tấm có độ võng lớn hay tấm mềm (hay lý thuyết màng). 1.1.2. Các giả thiết khi tính toán tấm: Tấm mỏng được tính toán ứng dụng theo lý thuyết tấm chòu uốn sau đây và