bài tập lớn về tấm vỏ mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................................................................................................
Trang 1BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG
Bài 1: Tấm chữ nhật cạnh 2a x 3a đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền K = αD/a4 chịu tải trọng phân bố đều q0 vuông góc mặt trung bình của tấm Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều ∆, hãy tính gần đúng độ võng và mô men uốn tại điểm K1,2 theo sơ đồ G
như sau: (∆ = a) Hệ số nền α = 16.
Ta tiến hành lập lưới sai phân và đánh số thứ tự như hình vẽ:
6 5
x
y
Trang 2Phương trình vi phân độ võng tấm trên nền đàn hồi như sau:
∇4w +
D
k
w =
D
q0
Với K = α 4
a
D
thay vào phương trình trên ta được:
∇4w + 4
a
α
w =
D
q0
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K1 là:
20Wk1 – 8(W2 + WK2 + W5 + W8) + 2(W1 + W3 + W9 + W7) + W11 + W6 + W13 + W15 + +a4
4
a α
WK1 =
D
a
0 (1)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K2 là:
20Wk2 – 8(Wk1 + W3 + W6 + W9) + 2(W2 + W4 + W8 + W10) + W5 + W12 + W14 + W16 + +a4
4
a α
Wk2 =
D
a
0 (2)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K1 là:
20W2 – 8(W3 + WK1 + W1 + W11) + 2(W5 + W12 + WK2 + W19) + W17 + W21 + W8 + W4 + +a4
4
a α
W2 =
D
a
0 (3)
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 2 là:
20W3 – 8(WK2 + W2 + W4 + W12) + 2(W6 + W11 + W20 + WK1) + W1 + W9 + W22 + W18 + +a4
4
a α
W3 =
D
a
0 (4)
Điều kiện biên:
Tại biên ngàm:
Wk2 = W14; W4 = W6 = W10 = W20 = 0;
Tại các biên khớp:
Wk1 = -W13 = - W15; W k2 = -W16 ; W1 = W5 = W7 = W8 = W9 = W19 = 0;
Thay các điều kiện biên này vào các phương trình (1) và (2), thay α=16 ta được:
Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K1
34W - 8W - 8W + 2W + W = q0a4 (1*)
Trang 3BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
========================================================== Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K2
- 8Wk1 + 36Wk2 + 2W2– 8W3 + W12=
D
a
0 (2*) Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 2
-8Wk1 + 2Wk2 + 35W2 - 8W3 - 8W11 + 2 W12 + W17 =
D
a
0 (3*) Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 3
2Wk1 - 8Wk2 - 8W2 + 37W3 + 2W11 - 8W12 + W18 =
D
a
0 (4*) Thêm phương trình từ điều kiện biên tự do:
=
∂
∂
∂
− +
∂
∂
=
=
∂
∂ +
∂
∂
=
0 y
W ) 2 ( x
W
Q
0 y
W x
W
M
2
3 3
3
2
2 2
2
x
x
td
µ
=
−
− + + +
−
− +
− +
−
= +
− +
+
−
=
−
− + + +
−
− +
− +
−
= +
− +
+
−
⇒
0 W W W W W 2 W 2 2
W W 2 W
2
W
0 W W 2 W W
W
2
W
0 W W W W W 2 W 2 2
W W 2 W
2
W
0 W W 2 W W
W
2
W
6 K1 20 11 K2 12
9 K2 12
18
2 3 4
K2 3 12
5 K2 19 12 K1 11
8 K1 11
17
1 2 3 K1
2 11
µ µ
µ µ
=
−
−
− +
− +
−
−
= +
+ +
−
=
−
−
− +
− +
−
−
= +
+ +
−
⇒
0 W 2
W 2
W 3
2 W 3
2
W
0 W W
W 1
2
W
0 W 2
W 2
W 3
2 W 3
2
W
0 W W
W 1
2
W
K1 11
K2 12
18
2 K2
3 12
K2 12
K1 11
17
3 K1
2 11
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
Sau khi thay thế các điều kiện biên ta thu được hệ 8 phương trình chứa hai ẩn số Wk1 và Wk2
như sau:
34Wk1 - 8Wk2 - 8W2 + 2W3 + W11 =
D
a
0 (a)
- 8Wk1 + 36Wk2 + 2W2 – 8W3 + W12=
D
a
-8Wk1 + 2Wk2 + 35W2 - 8W3 - 8W11 + 2 W12 + W17 =
D
a
2Wk1 - 8Wk2 - 8W2 + 37W3 + 2W11 - 8W12 + W18 =
D
a
2
Trang 4( 1 ) W W 0 2
W
( 3 ) W ( 2 ) W 2 ( 3 ) W ( 2 ) W W 0
( 2 − ) WK1+ 2 ( 3 − ) WK2 + ( 2 − ) W11− 2 ( 3 − ) W12+ W18 = 0
Sử dụng chương trình Mathematica 5.0 để giải hệ phương trình trên ta thu được kết quả:
m={{34,-8,-8,2,1,0,0,0},{-8,36,2,-8,0,1,0,0},{1,0,(-2-2*n),n,1,0,0,0},
{0,1,n,(-2-2*n),0,1,0,0},{(6-2*n),(-2+n),0,0,(-6+2*n),(2-n),1,0},
{(-2+n),(6-2*n),0,0,(2-n),(-6+2*n),0,1},{-8,2,35,-8,-8,2,1,0},{2,-8,-8,37,2,-8,0,1}};
m.
{Wk1,Wk2,W2,W3,W11,W12,W17,W18}=={q*a^4/d,q*a^4/d,0,0,0,0,q*a^4/d,q*a^4/d}; Solve[%,{Wk1,Wk2,W2,W3,W11,W12,W17,W18}];
Simplify[%]
Trang 5BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
Simplify[%]
Simplify[%]
Vậy :
Kết quả độ võng tại điểm K1 là:
WK1 =
0
.
a D
Kết quả độ võng tại điểm K2 là:
WK2 =
0
.
a D
- Tính Mômen tại điểm K1:
1
K
.
K
x
= −
1
K
.
K
y
= −
- Tính Mômen tại điểm K2:
Trang 6( )
2
K
.
K
x
= −
2
K
.
K
y
= −
Trang 7BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
Bài 2: Vỏ cầu thoải có mặt bằng hình chữ nhật kích thước 5a x 9a liên kết khớp tựa chịu
tải trọng pháp tuyến với mặt trung bình trong trường hợp lực tập trung hoán vị đặt tại điểm
6.
Yêu cầu: 1 Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép
2 Tính chuyển vị Wmax
1 Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép:
Phương trình hàm độ võng đối với vỏ cầu thoải bán kính R có dạng như sau:
∇4w + 4λ4w =
D
q
(1)
Trong đó 4
2 2
2
4
) 1 ( 12
R h
µ
Nghiệm của (1) được chọn dưới dạng chuỗi như sau:
a
y n a
x m A
y x W
m n
mn
5
sin 9 sin )
, (
1 1
π π
∑∑∞
=
∞
=
Trong đó Amn là hệ số của chuỗi (m, n = 1, 2, 3, )
Thế (2) vào (1), sau khi rút gọn ta được:
+
∑
∑ ∞
=
∞
= a
y n a
x m a
n a
m
A
n
mn
2 2 2
1
π π
π
=
∞
=
+
1 1
4
5
sin 9 sin 4
n
mn
y n a
x m
D q
a a
X
Y
32
Trang 8⇔
+
+
∑
∑ ∞
=
∞
y n a
x m a
n a
m DA
n
mn
4
2 2 2
1
π π
λ π
π
= q (3)
Phân tích hàm q(x,y) dưới dạng chuỗi kép Fourier trong miền 0 ≤ x ≤ 9a; 0 ≤ y ≤ 5a
a
y n a
x m C
y x q
m n mnsin 9 sin 5 )
, (
1 1
π π
∑∑∞
=
∞
=
a
y n a
x m y
x q a a C
a a
0
9
0 ( , ) sin 9 sin 5 5
9
Do tải trọng tập trung q đặt tại điểm 6 nên x0 = 6a, y0 = a Vậy:
a
a n a
a m dy
dx
q a
a
C
a a
0 0 0
9
6 sin 5
.
9
=
5
sin 9
6 sin 5
.
9
a a
q
Cmn
Thay Cmn vừa tìm được ở trên vào (4) ta được:
a
y n a
x m n
m a
a
q y
x
q
m n 9 sin 5 sin 9 sin 5
6 sin 5 9
4 )
,
(
1 1
π π
π π
∑∑∞
=
∞
=
Từ (3) và (5) tiến hành cân bằng hệ số ta có:
=
+
+
5
sin 9
6 sin 5 9
4 4
5 9
4
2 2 2
π π
λ π
a a
q a
n a
m
DAmn
⇒
+
+
×
=
4
2 2 2
4 5
9
5
sin 9
6 sin 5
.
9
4
λ π
π
π π
a
n a
m D
n m
a
a
q
Amn
Vậy hàm độ võng cần tìm là:
a
y n a
x m a
n a
m D a
n m
q y
x
W
4 5
9 45
5
sin 9
6 sin 4 )
,
(
1 1
4
2 2 2
2
π π
λ π
π
π π
∑∑∞
=
∞
=
+
+
=
2 Tính chuyển vị Wmax
Khi đó:
Trang 9BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
2
1 1
6
m n
W x y
a D
∞ ∞
= =
=
∑∑
Sử dụng chương trình Mathematica ta tính được độ võng, ta nhận thấy sự lặp lại của các số hạng trong chuỗi số.Dễ dàng, nhận thấy chuỗi đạt giá trị độ võng lớn nhất khi
9
m x
a
5
m y a
π = đạt khi x=9a/2, y=5a/2
Ta có hàm độ võng như sau:
2
1 1
6
( , )
m n
q
W x y
a D
∞ ∞
= =
=
+ +
∑∑
Sử dụng phần mềm tính toán Mathematica ta thu được Wmax như sau
2 4
3
2
ax =
106
2025
−
+
, trong đó C là một số vô cùng bé
Trang 10Phụ lục tính toán bằng Mathematica:
A=Sin[6*m*Pi/9]*Sin[n*Pi/5];
B=Sin[m*Pi*x/9/a]*Sin[n*Pi*y/5/a];
m^2*Pi^2/81/a^2+n^2*Pi^2/25/a^2+4*L^4
4 L4 m22
81 a2 n22
25 a2
A*B/Out[5]
Sin2 m
4 L4 m22
25a2
Sum[Out[6],{m,1,1},{n,1,1}]
3
44 L4 1062
Sum[Out[6],{m,1,2},{n,1,2}]
3
44 L4 1062
44 L4 1812
3
44 L4 3492
44 L4 4242
Sum[Out[6],{m,1,3},{n,1,3}]
3
44 L4 1062
44 L4 1812
3
44 L4 3492
44 L4 4242
3
44 L4 7542
44 L4 8292
Sum[Out[6],{m,1,4},{n,1,4}]
Trang 11BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08
==========================================================
3
44 L4 1062
44 L4 1812
3
44 L4 4812
44 L4 3492
3
44 L4 4242
44 L4 7242
3
44 L4 7542
44 L4 8292
3
44 L4 11292
44 L4 13212
3
44 L4 13962
44 L4 16962
Sau khi thay x=9a/2, y=5a/2, ta có
A=Sin[6*m*Pi/9]*Sin[n*Pi/5];
B=Sin[m*Pi/2]*Sin[n*Pi/2];
m^2*Pi^2/81+n^2*Pi^2/25+4*L^4
4 L4 m22
81
n22 25
A*B/Out[19]
Sinm
4 L4 m22
25
Sum[Out[20],{m,1,1},{n,1,1}]
3
44 L4 1062
Sum[Out[20],{m,1,2},{n,1,2}]
Trang 12 3
44 L4 1062
Sum[Out[20],{m,1,3},{n,1,3}]
3
44 L4 1062
2025 3
44 L4 7542
Sum[Out[20],{m,1,4},{n,1,4}]
3
44 L4 1062
2025 3
44 L4 7542