Đang tải... (xem toàn văn)
bài tập lớn về tấm vỏ mỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...............................................................................................................................................................
Page 1 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG Bài 1: Tấm chữ nhật cạnh 2a x 3a đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền K = αD/a 4 chịu tải trọng phân bố đều q 0 vuông góc mặt trung bình của tấm. Bằng phương pháp sai phân hữu hạn với bước chia đều ∆, hãy tính gần đúng độ võng và mô men uốn tại điểm K1,2 theo sơ đồ G như sau: (∆ = a). Hệ số nền α = 16. Ta tiến hành lập lưới sai phân và đánh số thứ tự như hình vẽ: ===================================================================== K1 K2 K1 K2 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x y 17 18 19 20 21 22 Page 2 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== Phương trình vi phân độ võng tấm trên nền đàn hồi như sau: ∇ 4 w + D k w = D q 0 Với K = α 4 a D thay vào phương trình trên ta được: ∇ 4 w + 4 a α w = D q 0 Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K 1 là: 20W k1 – 8(W 2 + W K2 + W 5 + W 8 ) + 2(W 1 + W 3 + W 9 + W 7 ) + W 11 + W 6 + W 13 + W 15 + +a 4 4 a α W K1 = D aq 4 0 (1) Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K 2 là: 20W k2 – 8(W k1 + W 3 + W 6 + W 9 ) + 2(W 2 + W 4 + W 8 + W 10 ) + W 5 + W 12 + W 14 + W 16 + +a 4 4 a α W k2 = D aq 4 0 (2) Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K 1 là: 20W 2 – 8(W 3 + W K1 + W 1 + W 11 ) + 2(W 5 + W 12 + W K2 + W 19 ) + W 17 + W 21 + W 8 + W 4 + +a 4 4 a α W 2 = D aq 4 0 (3) Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 2 là: 20W 3 – 8(W K2 + W 2 + W 4 + W 12 ) + 2(W 6 + W 11 + W 20 + W K1 ) + W 1 + W 9 + W 22 + W 18 + +a 4 4 a α W 3 = D aq 4 0 (4) Điều kiện biên: Tại biên ngàm: W k2 = W 14 ; W 4 = W 6 = W 10 = W 20 = 0; Tại các biên khớp: W k1 = -W 13 = - W 15 ; W k2 = -W 16 ; W 1 = W 5 = W 7 = W 8 = W 9 = W 19 = 0; Thay các điều kiện biên này vào các phương trình (1) và (2), thay α=16 ta được: Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K 1 34W k1 - 8W k2 - 8W 2 + 2W 3 + W 11 = D aq 4 0 . (1*) ===================================================================== Page 3 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm K 2 - 8W k1 + 36W k2 + 2W 2 – 8W 3 + W 12 = D aq 4 0 . (2*) Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 2 -8W k1 + 2W k2 + 35W 2 - 8W 3 - 8W 11 + 2 W 12 + W 17 = D aq 4 0 . (3*) Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 3 2W k1 - 8W k2 - 8W 2 + 37W 3 + 2W 11 - 8W 12 + W 18 = D aq 4 0 . (4*) Thêm phương trình từ điều kiện biên tự do: = ∂∂ ∂ −+ ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 0 y W )2( x W Q 0 y W x W M 2 3 3 3 2 2 2 2 x x td x µ µ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) =−−+++−−+−+− =+−++− =−−+++−−+−+− =+−++− ⇒ 0WWWWW2W22WW2W2W 0WW2WWW2W 0WWWWW2W22WW2W2W 0WW2WWW2W 6K12011K2129K21218 234K2312 5K21912K1118K11117 123K1211 µ µ µ µ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =−−−+−+−− =+++− =−−−+−+−− =+++− ⇒ 0W2W2W32W32W 0WWW12W 0W2W2W32W32W 0WWW12W K111K21218 2K2312 K212K11117 3K1211 µµµµ µµ µµµµ µµ Sau khi thay thế các điều kiện biên ta thu được hệ 8 phương trình chứa hai ẩn số W k1 và W k2 như sau: 34W k1 - 8W k2 - 8W 2 + 2W 3 + W 11 = D aq 4 0 . (a) - 8W k1 + 36W k2 + 2W 2 – 8W 3 + W 12 = D aq 4 0 . (b) -8W k1 + 2W k2 + 35W 2 - 8W 3 - 8W 11 + 2 W 12 + W 17 = D aq 4 0 . (c) 2W k1 - 8W k2 - 8W 2 + 37W 3 + 2W 11 - 8W 12 + W 18 = D aq 4 0 . (d) ( ) 0WWW12W 1132K1 =+++− µµ (e) ===================================================================== Page 4 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== ( ) 0WW12WW 1232K2 =++−+ µµ (f) ( ) ( ) ( ) ( ) 0WW2W32W2W32 171211K2K1 =+−+−−−−− µµµµ (g) ( ) ( ) ( ) ( ) 0WW32W2W32W2 181211K2K1 =+−−−+−+−− µµµµ (h) Sử dụng chương trình Mathematica 5.0 để giải hệ phương trình trên ta thu được kết quả: m={{34,-8,-8,2,1,0,0,0},{-8,36,2,-8,0,1,0,0},{1,0,(-2-2*n),n,1,0,0,0}, {0,1,n,(-2-2*n),0,1,0,0},{(6-2*n),(-2+n),0,0,(-6+2*n),(2-n),1,0}, {(-2+n),(6-2*n),0,0,(2-n),(-6+2*n),0,1},{-8,2,35,-8,-8,2,1,0},{2,-8,-8,37,2,-8,0,1}}; m. {Wk1,Wk2,W2,W3,W11,W12,W17,W18}=={q*a^4/d,q*a^4/d,0,0,0,0,q*a^4/d,q*a^4/d}; Solve[%,{Wk1,Wk2,W2,W3,W11,W12,W17,W18}]; Simplify[%] W17 a 4 82320 257316 n 164305 n 2 41208 n 3 16011 n 4 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 , W18 a 4 66832 162820 n 118435 n 2 43344 n 3 15651 n 4 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 , W11 a 4 64425 43606 n 32390 n 2 13446 n 3 405 n 4 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 , Wk1 a 4 44813 19841 n 10826 n 2 2445 n 3 405 n 4 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 , Wk2 a 4 42031 18533 n 10374 n 2 2331 n 3 387 n 4 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 , W2 a 4 54619 17302 n 12625 n 2 798 n 3 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 , W3 a 4 50869 16638 n 12653 n 2 786 n 3 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 , W12 a 4 59707 32376 n 30906 n 2 13440 n 3 387 n 4 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 ===================================================================== Page 5 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== d a^2 a 4 n 54619 17302n 12625n 2 798 n 3 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224n 3 11079n 4 a 4 42031 18533n 10374n 2 2331n 3 387n 4 q d 916605 377584 n 241788 n 2 46224n 3 11079n 4 2 a 4 1 n 44813 19841n 10826n 2 2445n 3 405 n 4 q d 916605 377584 n 241788n 2 46224n 3 11079n 4 ; Simplify[%] a 2 47595 13858 n 33658 n 2 6468 n 3 4515 n 4 810 n 5 q 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 d a^2 a 4 42031 18533n 10374n 2 2331n 3 387 n 4 q d 916605 377584n 241788n 2 46224n 3 11079n 4 2 1 n a 4 44813 19841n 10826n 2 2445 n 3 405 n 4 q d 916605 377584n 241788n 2 46224n 3 11079n 4 n a 4 50869 16638n 12653n 2 786 n 3 q d 916605 377584n 241788n 2 46224n 3 11079n 4 ; Simplify[%] a 2 47595 17608 n 34322 n 2 6440 n 3 4527 n 4 810 n 5 q 916605 377584 n 241788 n 2 46224 n 3 11079 n 4 Vậy : Kết quả độ võng tại điểm K1 là: W K1 = 4 4 3 2 0 4 3 2 q 405 2445 10826 19841 44813 . 11079 46224 241788 377584 916605 a D µ µ µ µ µ µ µ µ + − − + + − − + Kết quả độ võng tại điểm K2 là: W K2 = 4 4 3 2 0 4 3 2 q 387 2331 10374 18533 42031 . 11079 46224 241788 377584 916605 a D µ µ µ µ µ µ µ µ + − − + + − − + - Tính Mômen tại điểm K1: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 5 8 1 2 2 1 2 2 2 . 2 2 . 2 1 K x K K K K K D D M W W W W W W W W W a a µ µ µ = − + + − + = − + + 5 4 3 2 1 2 0 4 3 2 810 4515 6468 33658 13858 47595 . 11079 46224 241788 377584 916605 K x M q a µ µ µ µ µ µ µ µ µ + − − + + = − + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 8 1 2 5 1 2 2 1 2 2 2 . 2 2 . 2 1 K y K K K K K D D M W W W W W W W W W a a µ µ = − + + − + = − + + 5 4 3 2 1 2 0 4 3 2 810 4515 6468 33658 13858 47595 . 11079 46224 241788 377584 916605 K y M q a µ µ µ µ µ µ µ µ µ + − − + + = − + − − + - Tính Mômen tại điểm K2: ===================================================================== Page 6 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 1 9 2 3 1 2 3 2 2 . 2 2 . 2 1 K x K K K K K D D M W W W W W W W W W a a µ µ µ = − + + − + = − + + 5 4 3 2 2 2 0 4 3 2 810 4527 6440 34322 17608 47595 . 11079 46224 241788 377584 916605 K x M q a µ µ µ µ µ µ µ µ µ + − − + + = − + − − + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 2 1 9 2 3 1 2 3 2 2 . 2 2 . 2 1 K y K K K K K D D M W W W W W W W W W a a µ µ µ = − + + − + = − + + 5 4 3 2 2 2 0 4 3 2 810 4527 6440 34322 17608 47595 . 11079 46224 241788 377584 916605 K y M q a µ µ µ µ µ µ µ µ µ + − − + + = − + − − + ===================================================================== Page 7 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== Bài 2: Vỏ cầu thoải có mặt bằng hình chữ nhật kích thước 5a x 9a liên kết khớp tựa chịu tải trọng pháp tuyến với mặt trung bình trong trường hợp lực tập trung hoán vị đặt tại điểm 6. Yêu cầu: 1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép. 2. Tính chuyển vị W max . 1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép: Phương trình hàm độ võng đối với vỏ cầu thoải bán kính R có dạng như sau: ∇ 4 w + 4λ 4 w = D q (1) Trong đó 4 22 2 4 )1(12 Rh µ λ − = Nghiệm của (1) được chọn dưới dạng chuỗi như sau: a yn a xm AyxW m n mn 5 sin 9 sin),( 1 1 ππ ∑∑ ∞ = ∞ = = (2) Trong đó A mn là hệ số của chuỗi (m, n = 1, 2, 3, ). Thế (2) vào (1), sau khi rút gọn ta được: + ∑∑ ∞ = ∞ = a yn a xm a n a m A n mn m 5 sin 9 sin 59 1 2 22 1 ππππ ∑∑ ∞ = ∞ = + 11 4 5 sin 9 sin4 n mn m a yn a xm A ππ λ = D q ===================================================================== a a X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 P 29 30 31 32 Page 8 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== ⇔ + + ∑∑ ∞ = ∞ = a yn a xm a n a m DA n mn m 5 sin 9 sin4 59 1 4 2 22 1 ππ λ ππ = q (3) Phân tích hàm q(x,y) dưới dạng chuỗi kép Fourier trong miền 0 ≤ x ≤ 9a; 0 ≤ y ≤ 5a. a yn a xm Cyxq m n mn 5 sin 9 sin),( 1 1 ππ ∑∑ ∞ = ∞ = = (4) Ở đây: dxdy a yn a xm yxq aa C aa mn ∫∫ = 5 0 9 0 5 sin 9 sin),( 5.9 4 ππ Do tải trọng tập trung q đặt tại điểm 6 nên x 0 = 6a, y 0 = a. Vậy: dxdy a an a am dydx q aa C aa mn ∫∫ = 5 0 00 9 0 5 sin 9 6 sin 5.9 4 ππ ⇔ = 5 sin 9 6 sin 5.9 4 ππ nm aa q C mn Thay C mn vừa tìm được ở trên vào (4) ta được: a yn a xmnm aa q yxq m n 5 sin 9 sin 5 sin 9 6 sin 5.9 4 ),( 1 1 ππππ ∑∑ ∞ = ∞ = = (5) Từ (3) và (5) tiến hành cân bằng hệ số ta có: = + + 5 sin 9 6 sin 5.9 4 4 59 4 2 22 ππ λ ππ nm aa q a n a m DA mn ⇒ + + ×= 4 2 22 4 59 5 sin 9 6 sin 5.9 4 λ ππ ππ a n a m D nm aa q A mn Vậy hàm độ võng cần tìm là: a yn a xm a n a m Da nm q yxW m n 5 sin 9 sin 4 59 45 5 sin 9 6 sin4 ),( 1 1 4 2 22 2 ππ λ ππ ππ ∑∑ ∞ = ∞ = + + = 2. Tính chuyển vị W max . Khi đó: ===================================================================== Page 9 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== 2 2 2 1 1 2 4 6 4 sin sin 9 5 ( , ) sin sin 9 5 45. . . 4 9 5 m n m n q m x n y W x y a a m n a D a a π π π π π π λ ∞ ∞ = = = + + ÷ ÷ ∑∑ Sử dụng chương trình Mathematica ta tính được độ võng, ta nhận thấy sự lặp lại của các số hạng trong chuỗi số.Dễ dàng, nhận thấy chuỗi đạt giá trị độ võng lớn nhất khi sin 1 9 m x a π = , sin 1 5 m y a π = đạt khi x=9a/2, y=5a/2 Ta có hàm độ võng như sau: 2 2 2 1 1 2 4 6 4 sin sin sin sin 9 5 2 2 ( , ) 45. . . 4 9 5 m n m n mx ny q W x y m n a D a a π π π π λ ∞ ∞ = = = + + ÷ ÷ ∑∑ Sử dụng phần mềm tính toán Mathematica ta thu được W max như sau ( ) 2 4 3 5 5 2 ax = 106 4 4 2025 Wm C π λ − + + , trong đó C là một số vô cùng bé ===================================================================== Page 10 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== Phụ lục tính toán bằng Mathematica: A=Sin[6*m*Pi/9]*Sin[n*Pi/5]; B=Sin[m*Pi*x/9/a]*Sin[n*Pi*y/5/a]; m^2*Pi^2/81/a^2+n^2*Pi^2/25/a^2+4*L^4 4 L 4 m 2 2 81 a 2 n 2 2 25 a 2 A*B/Out[5] Sin 2 m 3 Sin n 5 Sin m x 9a Sin n y 5a 4 L 4 m 2 2 81a 2 n 2 2 25a 2 Sum[Out[6],{m,1,1},{n,1,1}] 3 2 5 5 Sin x 9a Sin y 5a 4 4 L 4 106 2 2025a 2 Sum[Out[6],{m,1,2},{n,1,2}] 3 2 5 5 Sin x 9a Sin y 5a 4 4 L 4 106 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin 2 x 9a Sin y 5a 4 4 L 4 181 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin x 9a Sin 2 y 5a 4 4 L 4 349 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin 2 x 9a Sin 2 y 5a 4 4 L 4 424 2 2025a 2 Sum[Out[6],{m,1,3},{n,1,3}] 3 2 5 5 Sin x 9a Sin y 5a 4 4 L 4 106 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin 2 x 9a Sin y 5a 4 4 L 4 181 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin x 9a Sin 2 y 5a 4 4 L 4 349 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin 2 x 9a Sin 2 y 5a 4 4 L 4 424 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin x 9a Sin 3 y 5a 4 4 L 4 754 2 2025a 2 3 2 5 5 Sin 2 x 9a Sin 3 y 5a 4 4 L 4 829 2 2025a 2 Sum[Out[6],{m,1,4},{n,1,4}] ===================================================================== [...]... BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== 3 2 5 5 5 5 Sin 4 4 L4 3 2 5 5 5 5 Sin 5 5 5 5 Sin Sin 4 4 L4 Sin 2 x 9a Sin ... ===================================================================== Page 11 of 12 BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG BÙI TIẾN THANH - LỚP CAO HỌC XD08 ========================================================== 3 2 5 4 4 L4 5 2 106 2025 Sum[Out[20],{m,1,3},{n,1,3}] 3 2 5 4 4 L4 3 2 5 2 106