Độ tăng của đa thức trên tập đại số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu THÁI NGUYÊN - 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014 Xác nhận của thầy HD Người viết Luận văn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Nguyễn Thị Lan i Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS. TSKH. Nguyễn Quang Diệu (Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 1). Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Lan ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Mở đầu 1 1 Kiến thức liên quan 2 1.1 Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Định nghĩa hàm C - khả vi . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Điều kiện Cauchy - Rieman . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình một biến . . 6 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Hàm C - tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Hàm C - khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình nhiều biến . 11 1.3 Tập giải tích và tập đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 Tập giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 Tập đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Định lý Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Định lý Remmert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Định lý Sadullaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Độ tăng của đa thức trên tập đại số 21 2.1 Định lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iii 2.3 Độ tăng của đa thức trên các hàm song chính quy . . . . . . 27 2.4 Định lý cơ bản đối với đường cong đại số . . . . . . . . . . . 28 2.5 Trường hợp siêu mặt đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận chung 38 Tài liệu tham khảo 39 iv Mở đầu Tập đại số phức là không điểm chung của một họ các đa thức trong C n . Việc nghiên cứu tập đại số phức là một trong những vấn đề quan trọng trong hình học đại số và giải tích phức nhiều biến. Mục đích của tác giả là nghiên cứu cấu trúc của không gian các đa thức trên tập đại số thỏa mãn các điều kiện về độ tăng tại vô hạn. Ngoài ra, tác giả cũng đưa ra những ví dụ minh họa cho các kêt quả chính. Đề tài của luận văn là Độ tăng của đa thức trên tập đại số. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức có liên quan như hàm chỉnh hình, tập đại số, tập giải tich, và một vài định lý quan trọng. Chương 2 trình bày các định lý cơ bản về độ tăng đại số trên các tập đại số. Do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp nên nội dung của luận văn mang tính chất sắp xếp một cách hệ thống các kiến thức có liên quan và trình bày lại kết quả của bài báo The growth of regular functions on algebraic sets của tác giả A. STREBONSKI ( Kraków). 1 Chương 1 Kiến thức liên quan Trong Chương 1, chúng ta đã nhắc lại các kết quả quan trọng của hàm chỉnh hình một biến phức, nhiều biến phức, các định nghĩa, định lý quan trọng, những kiến thức trong chương này là cơ sở cho các vấn đề được nghiên cứu trong chương sau. Nội dung chương này chủ yếu dựa trên các nguồn tài liệu [1], [2]. 1.1 Hàm chỉnh hình một biến Hàm của hai biến thực có thể xem như hàm của một biến phức. Điều này cùng với cấu trúc đại số của C dẫn ta đến một lớp hàm hết sức quan trọng, đó là lớp hàm C - khả vi. 1.1.1 Định nghĩa hàm C - khả vi Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f xác định trong miền D ⊂ C. Xét giới hạn lim ∆z→∞ f(∆z + z) − f(z) ∆z , z, ∆z ∈ D. Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của f tại z, kí hiệu là f  (z) hay df dz (z). Như vậy f  (z) = lim ∆z→∞ f(∆z + z) − f(z) ∆z . (1.1) Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C - khả vi tại z. 1.1.2 Điều kiện Cauchy - Rieman Định nghĩa 1.2. (Hàm R 2 - khả vi) 2 Giả sử f(z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định trong miền D ⊂ C. Hàm f được gọi là R 2 - khả vi tại z = x + iy nếu các hàm u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y) (theo nghĩa đã biết trong giải tích thực). Điều kiện Cauchy - Rieman Để hàm số f C - khả vi tại z = x + iy ∈ D thì điều kiện cần và đủ là hàm R 2 - khả vi tại z và điều kiện Cauchy - Rieman sau được thỏa mãn ∂u ∂x (x, y) = ∂v ∂y (x, y) ∂u ∂y (x, y) = − ∂v ∂x (x, y) Chứng minh. Điều kiện cần Giả sử f C - khả vi tại z = x + iy ∈ D. Khi đó tồn tại giới hạn f  (z) = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z , ∆z = ∆x + i∆y. Vì giới hạn này tồn tại không phụ thuộc vào cách tiến đến 0 của ∆ nên nếu chọn ∆z = ∆x, ta có f  (x) = lim ∆z→0 u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y) ∆x = lim ∆z→0 u(x + ∆x, y) − u(x, y) ∆x + i lim ∆z→0 v(x + ∆x, y) − v(x, y) ∆x tức là u và v có đạo hàm riêng theo x tại (x, y) và f  (z) = ∂u ∂x (x, y) + i ∂v ∂x (x, y). (1.2) Tương tự, bằng cách chọn ∆z = i∆y ta có f  (z) = −i ∂u ∂y (x, y) + ∂v ∂y (x, y). (1.3) So sánh (1.2) và (1.3) ta nhận được ∂u ∂x (x, y) = ∂v ∂y (x, y) ∂u ∂y (x, y) = − ∂v ∂x (x, y) Ta còn phải chứng tỏ u(x, y) và v(x, y) khả vi tại (x, y). 3 Vì f C - khả vi tại z nên ∆f = f(z + ∆z) − f(z) = f  (z)∆z + 0(∆z) với 0(∆z) là vô cùng bé bậc cao hơn ∆z, tức là lim ∆z→0 0(∆z) ∆z = 0. Rõ ràng ∆f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y. Theo (1.2) ta có ∆u + i∆v =  ∂u ∂x + i ∂v ∂x  (∆x + i∆y) + i0(∆z). Từ đó ∆u = ∂u ∂x ∆x − ∂v ∂x ∆y + 0(∆z) = ∂u ∂x ∆x + ∂u ∂y ∆y + 0(|∆z|) ∆v = ∂v ∂x ∆x + ∂u ∂x ∆y + 0(∆z) = ∂v ∂x ∆x + ∂v ∂y ∆y + 0(|∆z|) Điều đó có nghĩa là u và v khả vi tại (x, y). Điều kiện đủ Vì u và v khả vi tại (x, y) nên ∆u = ∂u ∂x ∆x + ∂u ∂y ∆y + 0   ∆x 2 + ∆y 2  ∆v = ∂v ∂x ∆x + ∂v ∂y ∆y + 0   ∆x 2 + ∆y 2  Theo điều kiện Cauchy - Rieman, hai đẳng thức này có thể viết thành ∆u = ∂u ∂x ∆x − ∂v ∂x∆y + 0(|∆z|) ∆v = ∂v ∂x ∆x + ∂v ∂y ∆y + 0(|∆z|) 4 [...]... 1.3, A là tập các nghiệm chung của các hàm chính tắc ΦI φIJ (z )(z )J = |J|≤k là các hàm chỉnh hình trong Cn và là các đa thức trên z Vì A ⊂ D nên theo công thức Vieta tổng quát ta có |φIJ (z )| ≤ C(1 + |z |)ks , ∀z ∈ C1 p Theo định lý Liouville, ta có các hàm chỉnh hình φIJ cũng là các đa thức Do đó ΦI là các đa thức trên z và A là một tập đại số 20 Chương 2 Độ tăng của đa thức trên tập đại số Trong... Độ tăng của đa thức trên tập đại số Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về độ tăng của đa thức trên các tập đại số Nội dung chương này chủ yếu dựa trên nguồn tài liệu [6] Cho V ⊂ CN là một tập đại số có chiều dương Kí hiệu C[V ] là tập các hàm mà f : V → C là hạn chế trên V của một đa thức F ∈ C[X1 , , XN ], tồn tại hai số không âm A, B thoả mãn |f (z)| ≤ A(1 + |z|)B | ∀z ∈ V, trong đó... Mặt khác, bất kỳ lân cận của L trong Pn chứa phần bù của các tập dạng B∪K Định lý 1.12 (Định lý Liouville)[2, tr 291] Giả sử f là một hàm chỉnh hình trên Cn và với mọi z ∈ Cn , C, N là các hằng số, |f (z)| < C(1 + |z|)N Khi đó f là một đa thức của z có bậc cao nhất N Ta có thể phát biểu kết quả quan trọng sau đây của Sadullaev về một điều kiện của tập đại số 19 Định lý 1.13 Một tập giải tích có chiều... ≡ 0 1.3 Tập giải tích và tập đại số 1.3.1 Tập giải tích Định nghĩa 1.7 Cho Ω là một tập mở trong Cn Một tập A ⊂ Ω được gọi là một tập giải tích nếu với mỗi a ∈ Ω tồn tại một lân cận U a và các hàm chỉnh hình {fα }α∈A trong lân cận này sao cho A ∩ U = {z ∈ U : fα (z) = 0 ∀α ∈ A} Ví dụ 1.3 Mỗi trục tọa độ {zi = 0} là một tập giải tích của Cn Theo một đinh lý cơ bản của hàm biến phức, với mọi tập giải... với mọi tập giải tích A ⊂ Ω, họ A như trên có thể chọn bao gồm hữu hạn hàm chỉnh hình Định nghĩa 1.8 1 Điểm a của một tập giải tích A trên không gian phức C được gọi là chính quy nếu nó có một lân cận U a trong Cn sao cho A ∩ U là một đa tạp con phức của Cn Tập các điểm chính quy của tập giải tích A kí hiệu là reg A Chiều của đa tạp con phức này là chiều của tập giải tích A tại điểm chính quy a, và... được gọi là điểm kỳ dị của A 13 Định nghĩa 1.9 Chiều của tập giải tích Cho A là một tập giải tích trên Cn 1 Chiều của tập A tại một điểm a ∈ A tùy ý là số z→a dima A = lim z∈regA dimz A 2 Chiều của A là số dimA = max dimz A = max dimz A z∈A z∈regA Để thuận tiện, tại các điểm a ∈ A, ta đặt dimA A = −1 Nhận xét 1.6 Trong một lân cận của mỗi điểm chính quy thuộc A, chiều của A là hằng số Đặt A(p) = {z ∈... |h(x)| ≤ A(1 + |x|)r/p Do đó B(V, h) = r/p 2.4 Định lý cơ bản đối với đường cong đại số Giả sử V ⊂ Cn ⊂ Pn là một tập đại số affine, V là tập đóng xạ ảnh và H∞ = Pn \Cn Với các tập con giải tích W, Z của một lân cận mở của a ∈ Pn , đặt i(W.Z, a) là bội tương giao của W và Z tại a.[4] Định lý 2.3 Giả sử V ⊂ Cn là tập đại số có chiều thuần nhất 1 Giả sử V ∩ H∞ = {a1 , , ar } và với i = 1, , r, V = Ai,1... tích là một tập giải tích 2 Hợp hữu hạn của các tập giải tích là một tập giải tích Chứng minh Giả sử U ⊂ C Các tập Aj được định nghĩa là tập các hàm chỉnh hình {fjk }N Thế thì k=1 (∪m Aj ) ∪ U 1 là tập các nghiệm chung của tất cả các hàm có dạng m fjkj , 1 ≤ kj ≤ Nj j=1 14 3 φ : X → Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức Thế thì nghịch ảnh của một tập giải tích bất kỳ A ⊂ Y là một tập giải... một phủ giải tích của D ở trên miền W = {|w| < r, |t| < 1 + } ⊂ Cn+1 16 Vì det(∂F/∂(z, t)) = det(∂ft /∂z) nên tập tới hạn σ của phủ này là {(w, t) : |t| < 1 + , w ∈ σt }, trong đó σt là tập giải tích tới hạn của phủ ft : {|ft (z)| < r} ∩ D → {|w| < r} Mỗi điểm (w, t) ∈ σ giống với số các nghịch ảnh trên D qua F và bằng k Do đó, cố định t, |t| < 1 + , với |w| < r thì số các nghịch ảnh của w ∈ σt trong... Bezout) Cho p = (p1 , , pn ) là một hệ các đa thức thuần nhất trong hệ tọa độ thuần nhất trong Pn với tập hữu hạn có các nghiệm chung trong Pn Thế thì số các nghiệm ( tính cả bội ) là bằng với tích các bậc của các đa thức n µa (p) = deg pj (1.7) j=1 p(a)=0 Chứng minh : Sau một phép biến đổi tọa độ thích hợp trong Pn , ta có thể giả sử rằng tấy cả các nghiệm của hệ p nằm trong Cn bằng pn \{z0 = 0} Khi . tài của luận văn là Độ tăng của đa thức trên tập đại số. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 nhắc lại một số kiến thức có liên quan như hàm chỉnh hình, tập đại số, tập. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI. khảo 39 iv Mở đầu Tập đại số phức là không điểm chung của một họ các đa thức trong C n . Việc nghiên cứu tập đại số phức là một trong những vấn đề quan trọng trong hình học đại số và giải tích