Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)

Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)Độ tăng của đa thức trên tập đại số ( Luận án tiến sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu THÁI NGUYÊN - 2014 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2014 Xác nhận thầy HD Người viết Luận văn GS.TSKH Nguyễn Quang Diệu Nguyễn Thị Lan i Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình GS TSKH Nguyễn Quang Diệu (Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 1) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Lan ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iv Mở đầu 1 Kiến thức liên quan 1.1 1.2 1.3 Hàm chỉnh hình biến 1.1.1 Định nghĩa hàm C - khả vi 1.1.2 Điều kiện Cauchy - Rieman 1.1.3 Hàm chỉnh hình biến 1.1.4 Các tính chất hàm chỉnh hình biến Hàm chỉnh hình nhiều biến 1.2.1 Hàm C - tuyến tính 1.2.2 Hàm C - khả vi 1.2.3 Hàm chỉnh hình nhiều biến 10 1.2.4 Các tính chất hàm chỉnh hình nhiều biến 11 Tập giải tích tập đại số 13 1.3.1 Tập giải tích 13 1.3.2 Tập đại số 15 1.4 Định lý Bezout 16 1.5 Định lý Remmert 19 1.6 Định lý Sadullaev 19 Độ tăng đa thức tập đại số 21 2.1 Định lý 21 2.2 Ví dụ 25 iii 2.3 Độ tăng đa thức hàm song quy 27 2.4 Định lý đường cong đại số 28 2.5 Trường hợp siêu mặt đại số 32 Kết luận chung 38 Tài liệu tham khảo 39 iv Mở đầu Tập đại số phức không điểm chung họ đa thức Cn Việc nghiên cứu tập đại số phức vấn đề quan trọng hình học đại số giải tích phức nhiều biến Mục đích tác giả nghiên cứu cấu trúc không gian đa thức tập đại số thỏa mãn điều kiện độ tăng vơ hạn Ngồi ra, tác giả đưa ví dụ minh họa cho kêt Đề tài luận văn Độ tăng đa thức tập đại số Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương nhắc lại số kiến thức có liên quan hàm chỉnh hình, tập đại số, tập giải tich, vài định lý quan trọng Chương trình bày định lý độ tăng đại số tập đại số Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp nên nội dung luận văn mang tính chất xếp cách hệ thống kiến thức có liên quan trình bày lại kết báo The growth of regular functions on algebraic sets tác giả A STREBONSKI ( Kraków) Chương Kiến thức liên quan Trong Chương 1, nhắc lại kết quan trọng hàm chỉnh hình biến phức, nhiều biến phức, định nghĩa, định lý quan trọng, kiến thức chương sở cho vấn đề nghiên cứu chương sau Nội dung chương chủ yếu dựa nguồn tài liệu [1], [2] 1.1 Hàm chỉnh hình biến Hàm hai biến thực xem hàm biến phức Điều với cấu trúc đại số C dẫn ta đến lớp hàm quan trọng, lớp hàm C - khả vi 1.1.1 Định nghĩa hàm C - khả vi Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định miền D ⊂ C Xét giới hạn f (∆z + z) − f (z) , z, ∆z ∈ D ∆z→∞ ∆z lim Nếu điểm z giới hạn tồn gọi đạo hàm phức f df z , kí hiệu f (z) hay (z) dz Như f (∆z + z) − f (z) ∆z→∞ ∆z f (z) = lim (1.1) Hàm f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C - khả vi z 1.1.2 Điều kiện Cauchy - Rieman Định nghĩa 1.2 (Hàm R2 - khả vi) Giả sử f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = x + iy xác định miền D ⊂ C Hàm f gọi R2 - khả vi z = x + iy hàm u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) (theo nghĩa biết giải tích thực) Điều kiện Cauchy - Rieman Để hàm số f C - khả vi z = x + iy ∈ D điều kiện cần đủ hàm R2 - khả vi z điều kiện Cauchy - Rieman sau thỏa mãn ∂u ∂v (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂u ∂v (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x Chứng minh Điều kiện cần Giả sử f C - khả vi z = x + iy ∈ D Khi tồn giới hạn f (z + ∆z) − f (z) , ∆z = ∆x + i∆y ∆z→0 ∆z f (z) = lim Vì giới hạn tồn không phụ thuộc vào cách tiến đến ∆ nên chọn ∆z = ∆x, ta có u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, y) ∆z→0 ∆x u(x + ∆x, y) − u(x, y) v(x + ∆x, y) − v(x, y) = lim + i lim ∆z→0 ∆z→0 ∆x ∆x f (x) = lim tức u v có đạo hàm riêng theo x (x, y) f (z) = ∂v ∂u (x, y) + i (x, y) ∂x ∂x (1.2) Tương tự, cách chọn ∆z = i∆y ta có f (z) = −i ∂u ∂v (x, y) + (x, y) ∂y ∂y So sánh (1.2) (1.3) ta nhận ∂u ∂v (x, y) = (x, y) ∂x ∂y ∂u ∂v (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x Ta phải chứng tỏ u(x, y) v(x, y) khả vi (x, y) (1.3) Vì f C - khả vi z nên ∆f = f (z + ∆z) − f (z) = f (z)∆z + 0(∆z) với 0(∆z) vô bé bậc cao ∆z , tức 0(∆z) = ∆z→0 ∆z lim Rõ ràng ∆f = ∆u + i∆v, ∆z = ∆x + i∆y Theo (1.2) ta có ∆u + i∆v = ∂u ∂v +i (∆x + i∆y) + i0(∆z) ∂x ∂x Từ ∂u ∂v ∆x − ∆y + 0(∆z) = ∂x ∂x ∂u ∂v ∆x + ∆y + 0(∆z) = ∆v = ∂x ∂x ∆u = ∂u ∂u ∆x + ∆y + 0(|∆z|) ∂x ∂y ∂v ∂v ∆x + ∆y + 0(|∆z|) ∂x ∂y Điều có nghĩa u v khả vi (x, y) Điều kiện đủ Vì u v khả vi (x, y) nên ∂u ∆x + ∂x ∂v ∆v = ∆x + ∂x ∆u = ∂u ∆y + ∂y ∂v ∆y + ∂y ∆x2 + ∆y ∆x2 + ∆y Theo điều kiện Cauchy - Rieman, hai đẳng thức viết thành ∂u ∂v ∆x − + 0(|∆z|) ∂x ∂x∆y ∂v ∂v ∆x + ∆y + 0(|∆z|) ∆v = ∂x ∂y ∆u = ... cứu cấu trúc không gian đa thức tập đại số thỏa mãn điều kiện độ tăng vơ hạn Ngồi ra, tác giả đưa ví dụ minh họa cho kêt Đề tài luận văn Độ tăng đa thức tập đại số Nội dung luận văn trình bày hai...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LAN ĐỘ TĂNG CỦA ĐA THỨC TRÊN TẬP ĐẠI SỐ Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng... Chương nhắc lại số kiến thức có liên quan hàm chỉnh hình, tập đại số, tập giải tich, vài định lý quan trọng Chương trình bày định lý độ tăng đại số tập đại số Do vấn đề đề cập luận văn tương đối