Bài tiểu luận hình học sơ cấp

b Chứng minh rằng N thuộc nửa đường tròn cố định... Ý tưởng Gọi M là trung điểm DE, I là trung điểm của Suy ra KL cắt DE tại trung điểm M hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau t

LỚP TOÁN VB2-K2

Bài 1 : Cho điểm M thay đổi trên nửa đường tròn đường kính AB Trên BM lấy điểm N sao cho BN

= AM

a) Xác định phép quay biến A, M lần lượt thành B, N

b) Chứng minh rằng N thuộc nửa đường tròn cố định

b) Gọi O’ là ảnh của O qua phép quay

, 2

, 3

M

Bài 2 : Cho tam giác đều ABC và điểm M nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Chứng minh rằng :MA = MB + MC

Do tính bảo toàn khoảng cách của phép quay, ta có MB = IA

Mặt khác : IM = MC (do  CMI đều )

Suy ra : AM = AI +IM = MB + MC ( đpcm)

 Nhận xét : ta có thể mở rộng tính chất trên như sau:

Cho tam giác đều ABC và điểm M bất kì thuộcBAC , khi đó ta có :

MB MC   MA

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 3: Cho tam giác ABC và vẽ phía ngoài các tam giác đều BCA1, CAB1, ABC1 có tâm lần lượt là

A’, B’, C’ Chứng minh rằng tam giác A’B’C’đều

A1

B1

Suy ra tam giác đều

Kết hợp với (1) ta được:

Do:

; 6

K

A'

B' C'

A1

B1

Suy ra:

Xét phép quay

; 6

Kết hợp với (3), ta được:

Do:

; 6

Kết hợp với (2) và (4) ta được:

Từ (5) và (6) suyra:

Cách 3:

B1

C1

A B

Bài 4: Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF đều Gọi I là trung điểm BC

và H là tâm tam giác ABE Xác định dạng của tam giác HIF

Bài 5: Dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và ACE lần lượt vuông cân tại B và C M

là trung điểm DE Xác định dạng của tam giác BMC

Gọi D’ là điểm dối xứng của D qua B, E’ là điểm đối xứng của E qua C

 (Vì MC là đường trung bình của ∆EE’D)

Vậy ∆ BMC vuông cân tại M

2 ; 2

Bài 6: Dựng trên cạnh AB, BC, CD, DA và ở bên ngoài tứ giác ABCD những hình vuông có tâm lần

lượt là O O O O1, 2, 3, 4 Gọi I,J,K,H lần lượt là trung điểm các đoạn AC,BD, O O1 3,O O2 4 Chứng minh rằng: a)O O1 3 O O2 4 và O O1 3O O2 4

b)Tứ giác IJKH là hình vuông

I

A

B

C D

; 2

J

Q 

Nên O IO1 2 vuông cân tại I

Tương tự ta có O IO4 3 vuông cân tại I

Xét phép quay

; 2

Ta suy ra:  KHJ vuông cân tại J (2)

Từ (1), (2), ta suy ra IJKH là hình vuông (đpcm)

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại C Một đường thẳng song song với AB cắt các cạnh CA, CB

lần lượt tại D và E Các đường vuông góc với AE hạ từ C và D lần lượt cắt AB tại H và K Chứng minh K là trung điểm của đoạn BH

Giải

Ta có:

Tam giác ABC cân tại C

Mà: DE song songvới AB

Suy ra: CD = CE

Lấy F là đối xứngc ủa D qua C

Nên: CE = CD = CF

Xét phép quay

; 2

Mà:

Suy ra: Ba đường thẳng BF, DH, CK song song nhau

Mà: CD = CF

Suy ra: HK = HB

Điều này chứng tỏ K là trung điểm của đoạn HB

Bài 8: Cho đường tròn (O;R) Xét các hình vuông ABCD có A,B thuộc (O) Hãy tìm độ dài cạnh hình

vuông sao cho OD lớn nhất

Giải

 Nhận xét: với cùng một vị trí của A,B nếu D và O nằm cùng phía với AB thì sẽ có độ dài OD

nhỏ hơn nếu O và D nằm khác phía với AB Do đó, để tìm độ dài cạnh hình vuông ABCD sao cho OD lớn nhất thì ta chỉ cần xét trường hợp O, D nằm khác phía với AB

Cách 1:

Xét phép quay

; 2

2 2

MA MB MC MB MN ND BD

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: M N ,  BD

Cách xác định vị trí điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán:

Do bốn điểm B, M, N, D thẳng hàng nên:

232

32

 Ghi chú: Làm tương tự cho các đỉnh B và C, ta cũng có được kết quả như trên

Bài 10: Dựng về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác ABI và ACK lần lượt vuông cân tại I và K

Dựng hình bình hành IBCM và điểm N là đối xứng của I qua A Chứng minh tam giác MNK vuông cân

 Ý tưởng: ta cố gắng ép 1 phép quay

, 2

Suy ra:

(1) (2) Mặc khác:

Suy ra:

(3)

Ta lại có:

Suy ra: 1

(4)

Từ (1),(2),(3) và (4) suy ra:

` Vậy: ( ) Điều này chứng tỏ tam giác KMN vuông cân tại K

BR BP BP

BC  BC  BC

R'' Q'

Xét phép quay Q A, 45 0 Trong phép quay này , ta có :

'''

Bài 2 :Trong mặt phẳng tọa độ điểm A(a,b) cố định (a>0,b>0) Đường thẳngdi động quanh

A cắt trục hoành Ox tại M vàtrục tung Oy tại N Đường thẳng q qua M và // đường y=x cắt Oy tại M’; còn đường thẳng qua N và // đường y=-x cắt Ox tại N’ Chứng minh rằng M’N’ luôn

đi qua một điểm cố định

Gọi l1 là đường thẳng qua M và song song với y = x

Như thế M’N’ luôn đi qua điểm cố địnht A’ Dễ thấy tọa độ của A’ là A’(b,- a)

 Nhận xét : Cách giải này rõ ràng ngắn gọn hơn nhìu so với cách giải bằng đại số

' '

N N





Bài 3 : Cho đường tròn tâm O nội tiếp trong tam giác ABC Chứng minh rằng

sin AOA  sin B OB  sin C OC  0

6 4 2

2 4 6 8 10

Giải

Gọi I, J , K tương ứng là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp các cạnh AB, BC , CA

Theo tính chất của hai tiếp tuyến phát xuất từ một điểm, ta cóAO  IK

Tứ giác AIOK nội tiếp trong đường tròn đường kính OA Đường tròn này cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác AIK, vì thế theo định lý hàm số sin trong tam giác này, ta có:

Suy ra sin AOA  sin B OB  sin C OC  0

Nhận xét theo định lí hàm số sin suy ra :

K

I

J

0

a OA b OB c OC   

Vậy O là tâm tỉ cự của ba đỉnh A, B, C theo bộ số (a,b,c)



Suy ra quỹ tích điểm I thuộc vào ảnh của BC qua 1

O O 2

Qua J vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt (O’) tại 2 điểm lần lượt là M M1, sao

cho M’ và A’ nằm cùng 1 phía bờ BC

T



Giới hạn:

Khi M chạy trên (O) thì J chạy trên đoạn thẳng BC

Do đó, điểm I thuộc B’C’ là ảnh của BC qua 1

O O 2

T



Bài 3:

Cho hình vuông ABCD E là điểm trong hình vuông sao cho  CDE cân tại

Giải:

Lấy F ở ngoài hình vuông ABCD sao cho  FCD đều

Cho  ABC Gọi Bx và Cy lần lượt là các tia đối của các tia BA và CA D

và E là các điểm chuyển động lần lượt trên hai tia Bx và Cy sao cho BD = CE

Tim quỹ tích trung điểm M của DE

Giải:

Cách 1

Ý tưởng:Dự đoán qua vẽ

nào để biến BD thành CE,

nên ta thử đưa hai tia Bx và Cy thành hai tia cùng góc xem có xuất hiện phép

đối xứng trục hay không

Suy ra CF = BD =CE do đó  CFE cân tại C

Gọi N là trung điểm EF Suy ra N thuộc phân giác Ct của yCz

T (Mt’ // Ct và qua M)

Cách 2

Ý tưởng

Gọi M là trung điểm

DE, I là trung điểm của

Suy ra KL cắt DE tại trung điểm M

(hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Do đó: M là trung điểm

Mặt khácIKL cân tại I (IK = IL ) nên IM là đường phân giác của góc KIL

Nhận thấy KIL   BAC không đổi tại I nên IM cố định

Do đó M thuộc tia phân giác cố định tại Ik của góc uIv không đổi

Phần đảo

Lấy điểm M bất kì trên tia Ik Vẽ đường thẳng vuông góc với IM tại I

Cắt Iu, Iv lần lượt tại K, L

Từ K, L vẽ các đường thẳng song song với BC cắt AB, AC tại D, E

Ta có BIKD, CILE là hình bình hành

Do đó DK // BI, DK = BI và EL // CI, EL = CI

Mà BI = CI nên DK // EL ; DK = EL

 DKEL là hình bình hành

Mặt khác IKL cân (IM là phân giác và là đường cao)

 M là trung điểm KL suy ra I là trung điểm DE

Giới hạn

Khi D    B E C thì M I

Khi D chạy xa vô tận trên tia Bx thì M chạy xa vô tận trên tia Ik

Vậy M chuyển động trên tia Ik

Mà BD = IK; CE = ILIK = IL  BD = CE

Có AH; AA'; HH' cùng vuông góc ED nên A; A'; H; H' thẳng hàng

Vậy AH; DM; EN đồng quy (đpcm)

Bài 6:

Cho đường tròn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay

Đổi AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q Tìm quỹ tích trực tâm

MPQ

 và  NPQ

Giải

Bài 9: Chứng minh rằng một tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn khi và chỉ khi các đường thẳng mà mỗi đường đi qua trung điểm một đoạn và vuông góc với cạnh đối diện của tứ giác đồng qui

Do đó: d 1 ; d 2 ; d 3 ; d 4 đồng quy  d d1  ; ; ; 2 d3 d4 đồng quy

Giả sửd d1  ; ; ; 2 d3  d4 đồng quy tại O

Khi đó ta có OA = OB = OC = OD nên tứ giác ABCD nội tiếp

- Các trường hợp còn lại, bài toán có một nghiệm

Bài 12: Cho  ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp Đường tròn (IBC) chắn trên hai đường thẳng AB và AC hai dây cung Chứng minh rằng hai dây nào có độ dài bằng nhau

Giải

Cách 1:

Ý tưởng: Ta chứng minh N,C lần lượt là hai

điểm đối xứng của B và M qua trục đối xứng

DI (với D là tâm IBC)

AMI  CNI (góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

MAI  CAI (AI là phân giác)

Suy ra  MIA   CIA

Suy ra  AEI = AOI 

AE = AO (1)

*Chứng minh BE = ON:

Xét hai tam giác vuông EIB và OIN có

IE = IO (I là tâm đường tròn nối tiếp

ABC IBD  BAI   BAI  ABI (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra BID  BAI  ABI hay A, I, D thẳng hàng

*Ý tưởng: sử dụng trục đối xứng AID

Chứng minh A, I, D thẳng hàng: (tương tự như cách 3)

Nhận xét AID là trục đối xứng của (IBC) và chia (IBC) làm hai nửa đường tròn C 1

(chứa B và M) và C 2 (chứa C và N) đối xứng nhau

Do AID là phân giác củaBACnên ABM và ANC đối xứng nhau qua AID

Giải:

Trên tia đối của CB

lấy điểm A’ sao cho

Lấy E, F tùy ý lần lượt

trên AB, AC

Lấy D 1 , D 2 sao cho : D 1 =Đ AB (D), D 2 =Đ AC (D) (*)

Khi đó , ta có chu vi DEF là : P DEF = DE + DF + EF

= D 2 E + D 1 F +EF

Suy ra : P DEF nhỏ nhất D 1 , E, F, D 2 thẳng hàng

Suy ra: E, F lần lượt là giao điểm của D 1 D 2 với AB, AC

Với điểm D cố định trên BC ta xác định được điểm E và F thỏa bài toán như trên

Do đó, để thỏa yêu cầu bài toán ta chỉ cần xét vị trí của D để chu vi tam giácc DEF

Ta cần chứng minh d A H( , )2 ( ,d O BC) hay AH  2 OA0, trong đó d là ký hiệu khoảng cách và

0

A là trung điểm cạnh BC Nhưng cả hai đoạn thẳng AH OA , 0 đều vuông góc

với BC, hơn nữa lại cùng hướng Bởi vậy, ta nghĩ đến sử dụng vectơ và bài toán trở thành chứng minh

' 0

H đối xứng với trực tâm H của ∆ABC qua cạnh BC thuộc vào đường tròn ngoại tiếp tam giác đó, nên các đường tròn (ABC) tâm O và đường tròn (HBC) tâm '

O đối xứng nhau qua BC

thì bằng nhau (có cùng bán kính) Do đó, chúng lại còn tương ứng với nhau trong phép tịnh tiến T v( )theo vectơ '

'

ACBA và A2'  A2  A1 ; suy ra BAA'cân ở B và do đó ABC từ đó ta được AB=AC và ABC

 cân tại A

k A k A

( , ) ( , )

2

( ) (( ))

Gọi R là bán kính đường tròn (O)

Gọi M là trung điểm BC

2

, 3

, 2

2 ,

Bài 3 :

Cho tam giác ABC M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB S là

điểm thay đổi trên đường tròn (ABC) Gọi I, J, K lần lượt là điểm đối xứng

2

1( ; )

2

V G  V S ( ;2)

1 ( ; )

2

V G  V S ( ;2)

Nhận xét: Bằng việc chọn các phép vị tự như trên ta cũng có thể chứng minh

chiều đảo của định lý Menelaus

Vì MB NC PA . . 1

MC NA PB  nên MB NC 1

MC NA 

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng d

M là một điểm thay đổi trên d Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MN và MP đến đường tròn (O) AN và AP lần lượt cắt (O’) tại N’ và P’ Chứng minh N’P’ đi qua điểm cố định

Giải :

+Nếu MP  TA thì A   P P '

Bài 6 :

Chứng minh rằng trong một tam giác ba trung điểm của ba cạnh, ba chân đường cao và ba trung điểm của ba đoạn nối từ đỉnh đến trực tâm nằm trên một đường tròn (đường tròn Euler)

(theo giả thiết)

Kéo dài AH,BH,CH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại H ,1'

' 1

 M1 là trung điểm của '

1

HM Suy ra 1 1' 1

( ; ) 2

( ; ) 2

V

H (đpcm)

Cách 2:

Gọi (O), (O’) lần lượt là 2 đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC và G G G1 2 3

Khi đó theo cách chứng minh đường

thẳng Euler bài 10a ta có

Mặt khác giả sử (O’) cắt AH tại A1

Cần chứng minh A1 là trung điểm của AH.

Xét phép vị tự tâm H tỉ số 1

2biến O thành O’ Mà tỉ số vị tự đúng bằng tỉ số bán kính của (O’) và (O) nên 1  

, 2

hay A1 là trung điểm của AH

Kéo dài AH cắt (O) tại A2 khi đó: 1 2

Suy ra 1 1 2

( ; ) 2

Cho tam giác ABC Dựng hình vuông có hai đỉnh liên tiếp nằm trên một

cạnh BC còn hai đỉnh kia lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC

-Trên đoạn AB lấy điểm M’ bất kỳ

-Dựng đường thẳng qua M’ vuông góc với BC tại Q’

-Dựng đường tròn tâm (Q’;M’Q’) cắt tia Q’C tại P’

-Dựng N’ đối xứng với Q’ qua M’P’

 Cách dựng :

-Trên đoạn AB lấy điểm M’ bất kỳ

-Qua M’ dựng đường thẳng song song với BC cắt AC tại N’

-Dựng hình vuông M N P Q ' ' ' ' nằm trên nửa mặt phẳng bờ M N ' '

Mà P nằm trên BC nên MNPQ là hình vuông cần dựng

Bài 8:

Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt hai đường tròn tại P,Q Tìm quỹ tích những điểm M thoả:

là trung điểm của AM và AM’ Chứng minh rằng :

a) Trung điểm I của PP’ thuộc một đường tròn cố định

b) Trung điểm J của MM’ thuộc một đường tròn cố định

Giải :

a) Do P là trung điểm của dây AM không qua tâm O nên OP⊥AM

Do P’ là trung điểm của dây AM’ không qua tâm O’ nên OP’⊥AM’ Suy ra 𝑂𝑃 ∥ 𝑂′𝑃′ nên 𝑃𝑃′𝑂′𝑂 là hình thang

Gọi K là trung điểm của OO’

Khi đó KI là đường trung bình của hình thang PP’O’O nên 𝐾𝐼 ∥ 𝑂𝑃 Suy ra 𝐾𝐼 ⊥ 𝑀𝑀′

Vậy I thuộc đường tròn đường kính AK cố định

b) Ta có J, P, P’ lần lượt là trung điểm 𝑀𝑀′, 𝐴𝑀, 𝐴𝑀′ nên

a) Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB

Do G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có :

Do các đường trung trực của ∆ABC chính là các đường cao của

∆ A1B1C1 nên O chính là trực tâm của ∆ A1B1C1

Bài tập thêm

Bài 1:

Cho hai đường tròn (𝑂1), (𝑂2) ngoài nhau và không bằng nhau Một đường tròn 𝑂 thay đổi tiếp xúc ngoài với 𝑂1 và 𝑂2 Gọi các tiếp điểm tương ứng là 𝐴 và 𝐵 Chứng minh rằng đường thẳng 𝐴𝐵 luôn đi qua một điểm cố định Nếu thay giả thiết “tiếp xúc ngoài” bằng “tiếp xúc trong” thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Giải :

 Do (𝑂) tiếp xúc ngoài với 𝑂1 và 𝑂2 tại 𝐴, 𝐵

⟹ 𝐴 là tâm vị tự trong của 𝑂 và 𝑂1

𝐵 là tâm vị tự trong của (𝑂) và 𝑂2

Gọi 𝑆 là tâm vị tự ngoài của 𝑂1 và 𝑂2

𝑂1 |

𝑉

𝑆, 𝑅2 𝑅1

𝑂2 Suy ra 𝐴, 𝐵, 𝑆 thẳng hàng

Vậy 𝐴𝐵 luôn đi qua 𝑆 cố định

 Nếu thay giả thiết “tiếp xúc ngoài” bằng “tiếp xúc trong” thì

𝐴 là tâm vị tự ngoài của 𝑂 và 𝑂1

𝐵 là tâm vị tự ngoài của 𝑂 và 𝑂2

Gọi 𝑆 là tâm vị tự trong của 𝑂1 và 𝑂2

Chứng minh tương tự 𝐴𝐵 luôn đi qua 𝑆 cố định

Bài 2 :

Cho ba đường tròn 𝑂1 , 𝑂1 , 𝑂3 đôi một tiếp xúc ngoài với nhau, 𝐴 là tiếp điểm của 𝑂1 và 𝑂2 ; 𝐵 là tiếp điểm của 𝑂2 và 𝑂3 ; 𝐶 là tiếp điểm của 𝑂1 và 𝑂3 Đường thẳng 𝐴𝐵 cắt 𝑂3 tại điểm thứ hai 𝐵′ , đường

thẳng 𝐴𝐶 cắt 𝑂3 tại điểm thứ hai 𝐶′ Chứng minh 𝐵′𝐶′ là đường kính của

𝑂3

Giải :

Vì 𝐵 là tâm vị tự trong của 𝑂2 và 𝑂3

⟹ 𝑂2𝐴//𝑂3𝐵′

Vì 𝐶 là tâm vị tự trong của 𝑂1 và 𝑂3

Ta có: EL là đường trung bình của tam giác BDO1 nên EL//DO1

Do O1 là trọng tâm ∆ABC nên nó là trung điểm của EK

Gọi M là trung điểm của KL

Suy ra MO1 là đường trung bình của

Cho đường tròn (O) và điểm A cố định nằm ngoài (O) Điểm M di động trên

(O) Dựng ∆MNP sao cho MA là đường cao và 𝐴𝑀 , 𝐴𝑁 =𝜋

2

a) Chứng minh N thuộc đường tròn cố định

b) Chứng minh trọng tâm G của ∆MNP thuộc đường tròn cố định

𝑀

Mà 𝑀 ∈ 𝑂 cố định và 𝐴 cố định

Suy ra 𝑁 ∈ 𝑉

𝐴, 3

3

∘ 𝑄 𝐴,𝜋 2

Gọi M là trung điểm của BC, K là trung điểm của OO’

= 360° − 2 𝑂𝐴𝐵 + 𝑂′𝐴𝐶 = 360° − 2.90° = 180°

Suy ra OB // O’C và KM là đường trung bình của hình thang OO’CB

' 2

' , 2

Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của ∆ABC

Do (O1) tiếp xúc với tia AB và AC nên O1 thuộc IA

Tương tự : IB, IC lần lượt chứa O2 , O3

Giải :

Vì 2 đường tròn cắt nhau có bán kính khác nhau nên tồn tại S là tâm vị tự ngoài của 2 đường tròn