Đề bài và lời giải một số dạng bài tập của môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán về chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau của hình vẽ thông qua chứng minh các hình tam giác bằng nhau, sử dụng các tính chất hình học để chứng minh ...
Trang 1A
B
E
P
B MỘT SÓ BÀI TOÁN MINH HỌA
Bài toán 1
Cho tam giác đều ABC có APlà phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ tia
Px sao cho góc CPx bằng góc BAC, tia này cắt AC tại E Chứng minh rằng PB=PE
1 Phân tích, tìm cách giải
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi
đến chứng minh được PB=PE Sau đây chỉ nêu
ra một cách
Ta phải chứng minh PB=PE nhưng PB= AB
2 (theo gt) nên ta đi chứng minh cho
AB
Muốn chứng minh được (a) ta phải chứng minh được PE ∕ ∕ AB và PB=PC
Ta có PB=PC (gt) và CPE=^^ CBA=^ B AC=60 ° ⇨ đpcm
2 Lời giải (tóm tắt):
CPE=CBA=BAC =60° (gt)
PB=PC (gt) }
PE là đường trung bình ∆ABC
⇨ PE = AB2 = PB
3 Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Hãy thay điều kiện “tam giác đều ABC” bằng “tam giác cân ABC (cân
ở A)” và thiết lập bài toán tương tự như bài toán 1 Ta có bài toán khác
Bài toán 1.1
Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có AP là phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ tia Px sao cho góc CPx bằng góc BAC, tia này cắt AC tại E Chứng minh rằng PB = PE
GT
AB= AC=BC
^
BAP=^ CAP
^
CPx=^ BAC =60 °
Trang 2gt{AB=ACBAP= CAP CPx= BAC
kl: PB = PE
Xét 3 trường hợp: BAC < 90° ; BAC = 90° ; BAC > 90°
a Với BAC < 90°
Xét ∆ABC và ∆PCE có:
C chungCPE=BAC (gt) ⇨ CBA = PEC = BCA
⇨ ∆PEC cân ⇨ PC = PE ⇨ PB = PE
b Với BAC = 90o
∆ cân ABC đã cho trở thành ∆ vuông cân đỉnh A, khi đó E ≡ A Bạn đọc dễ dàng nhận ra PB = PE
c Với BAC > 90o
Chứng minh tương tự như (a) ⇨ PB = PE
Nhận xét 2: Hãy thay điều kiện “tam giác cân ABC” ở bài toán 1.1 bằng “tam giác thường ABC” và thiết lập bài toán tương tự Ta có bài toán tổng quát hơn
Bài toán 1.2
Cho tam giác ABC có AP là phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ tia Px sao cho góc CPx bằng góc BAC, tia này cắt AC ở E Chứng minh rằng PB = PE Xét 3 trường hợp: BAC < 90° ; BAC = 90° ; BAC > 90°
a Với BAC < 90O
Vẽ PH vuông góc AB và PK vuông góc AC ⇨ PH = PK
Trang 3BAC= CPE (gt) BAC+ BPE=180° BAC+ HPK=180° } ⇨ BPE = HPK
⇨ BPH = EPK ⇨ ∆BPH = ∆EPK (g.c.g) ⇨ PB = PE
b Với BAC = 90O : Chứng minh như câu (a)
c Với BAC > 90O : Chứng minh như câu (a)
Trang 4Bài toán 2
Cho hình vuông ABCD, dựng ra phía ngoài hình vuông ABCD đã cho các hình vuông ABEF, ADGH Chứng minh rằng AC = HF
Gt {ABCD làhình vuông ABEF làhình vuông
ADGH làhình vuông
Kl: AC =HF
1 Phân tích, tìm lời giải
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi đến chứng minh được AC = HF Sau đây chỉ xin nêu ra một cách
- Muốn chứng minh AC = HF ta chứng minh ∆ ABC=∆ HAF
- Muốn chứng minh ∆ ABC=∆ HAF ta chứng minh:
^ABC= ^ HAF; AF = AB; AH = BC
Ta có
^
ABC=^ HAF (¿)
AF= AB(¿)
AH =BC(¿) }⟹ điều phải chứng minh.
2 Lời giải tóm tắt
Xét ∆ ABC=∆ HAF có:
^
ABC=^ HAF (¿)
AF= AB(¿)
AH =BC(¿) }⟹ ∆ ABC=∆ HAF ⟹ AC = HF
3 Khai thác bài toán
Nhận xét 1: hãy thay “hình vuông ABCD” bằng “hình chữ nhật ABCD” Khi đó AC
có bằng HF nữa không? Ta có bài toán khác tương tự
Bài toán 2.1
Cho hình chữ nhật ABCD, dựng ra phía ngoài hình chữ nhật ABCD đã cho các hình vuông ABEF,ABGH Chứng minh rằng AC = HF
Gt {ABCD là hìnhchữ nhật ABEF làhình vuông
ADGH làhình vuông
Kl: AC = HF
Ta dễ dàng nhận ra việc chứng minh bài toán 2.1 giống như cách chứng minh ở bài toán 2 Ta
có AC = HF
Nhận xét 2: hãy thay “hình chữ nhật ABCD” ở bài toán 2.1 bằng “hình thoi ABCD” và thiết
lập bài toán tương tự Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không? Ta có bài toán tương tự
Trang 5Bài toán 2.2
Cho hình thoi ABCD, dựng ra phía ngoài hình thoi ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH So sánh AC và HF
Gt {ABEF làhình vuông ABCD là hìnhthoi ADGH làhình vuông
Kl: so sánh AC và HF
Từ kết quả của bài toán 2 và bài toán 2.1 gợi cho ta tiếp tục xét ∆ ABC=∆ HAF.
Dễ dàng nhận ra AB = AF; AH =AD = BC Như vậy, chỉ cần so sánh góc ^HAFvà góc ^ ABC
Ta có:
^
HAF + ^ BAD= 180O (vì ^FAB= ^ HAD= 90O)
^ABC + ^ BAD= 180O (tính chất hình thoi)
^
HAF= ^ ABC ⟹ ∆ ABC=∆ HAF (c.g.c)
⟹ AC = HF
Nhận xét 3: hãy thay “hình thoi ABCD” ở bài toán 2.2 bằng “hình bình hành ABCD” và thiết
lập bài toán tương tự Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không? Ta có bài toán tương tự
Bài toán 2.3
Cho hình bình hành ABCD, dựng ra phía ngoài hình bình hành ABCD đã cho các hình vuông ABEF, ADGH So sánh đoạn thẳng AC và HF
Gt {ABCD là hìnhbìnhhành ABEF là hình vuông
ADGH là hìnhvuông
Kl: so sánh AC và HF
Nhận xét 4: hãy thay “hình bình hành ABCD” ở bài toán 2.3 bằng “hình tứ giác lồi ABCD”
và thiết lập bài toán tương tự Khi đó đoạn thẳng AC có bằng HF nữa không? Ta có bài toán tương tự
Bài toán 2.4
Trang 6Cho hình tứ giác lồi ABCD, dựng ra phía ngoài hình tứ giác lồi ABCD đã cho các hình vuông ABEF và ADGH So sánh hai đoạn thẳng AC và HF Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để có được AC = HF
Gt {ABEF làhình vuông ABCD làtứ giáclồi ADGH làhình vuông
Kl: {Tìm điềukiện của ABCD để AC=HF Sánh AC và HF
- Dễ dàng nhận ra ∆ ABC không bằng ∆ AHF nên HF ≠ AC.
- Điều kiện của tứ giác lồi ABCD: nếu tứ giác lồi ABCD là một trong các hình hình: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông với cách thiết lập bài toán như đã nói ở trên thì ta chứng mình được AC = HF
Bài toán 1
Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hang, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E trên các đoạn thẳng
BA và CA sao cho BD = CE Gọi M, N là trung điểm của BC và DE, đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q Chứng minh rằng góc MPQ bằng góc MQC
Gt {A , B , C không thẳng hàng BD=CE
MB=MC ; ND=NE
Kl: ^MPB= ^ MQC
1 Phân tích, tìm cách giải
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi đến chứng minh được : ^MPB= ^ MQC , sau
đây chỉ xin nêu ra một trong số nhiều cách đó Gọi O là trung điểm của DC
- Muốn chứng minh : ^MPB=^ MQCta chứng minh : ^ QPA=^ MQC (a)
- Muốn chứng minh được (a) ta chứng minh : ^MQC= ^ MNOvà ^ QPA= ^ NMO (b)
- Muốn chứng minh được (b) ta chứng minh: ON // QC và OM // AB (c)
- Muốn chứng minh được (c) ta chứng minh : OD = OC và ND = NE (d)
OD = OC và MB = MC
Ta có: OD = OC (theo cách đặt vấn đề ở trên)
MB = MC (gt) và ND = NE (gt)
2 Lời giải tóm tắt
Gọi O là trung điểm DC
OD=OC
ND=NE}⟹ ON // AC ⟹ ^ ONM= ^ MQC(đồng vị)
OD=OC
MB=MC}⟹ OM // AB ⟹ ^ OMN= ^ QPA(đồng vị)
Trang 7Mà ON // ¿ EC
2 và OM // =
BD
2 Nhưng EC = BD (gt)
⟹ OM = ON ⟹ ^ ONM= ^ OMN ⟹ ^ MQC= ^ QPA= ^ MPB
3 Khai thác bài toán
Nhận xét 1: Thay đổi điều kiện của bài toán, chẳng hạn chuyển điều kiện ^ MPB=
^
MQCở kết luận thành giả thiết và điều kiện BD = CE ở giả thiết thành kết luận, các
điều kiện khác giữ nguyên và thiết lập bài toán tương tự Ta có bài toán khác
Bài toán 1.1
Cho 3 điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Hai điểm D, E theo thứ tự trên các đoạn thẳng AB và AC Gọi M, N là trung điểm BC và DE Một đường thẳng qua MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q sao cho ^MPB= ^ MQC So sánh độ dài hai đoạn thẳng
BD và CE
Gt {A , B , C không thẳng hàng ^MPB=^ MQC
MB=MC ; ND=NE
Kl: So sánh BD và CE
Vận dụng kết quả ở bài toán 1 Ta dễ dàng chứng minh được BD = CE Thật vậy: gọi O là trung điểm DC
OD=OC
ND=NE}⟹ ON // AC ⟹ ^ MNO= ^ MQC
OD=OC
MB=MC}⟹ OM // DB ⟹ ^ NMO= ^ MPB
Nhưng ^MQC= ^ MPB ⟹ ^ MNO= ^ NMO⟹ ON = OM ⟹ BD = CE.
Vậy hai đoạn thẳng BD và CE bằng nhau
Nhận xét 2: Góc ^ BAC là góc ngoài của tam giác QAP cân tại A.
⟹ ^ DAC= 2 ^ MQC ⟹ 12 ^DAC= ^ MQC
⟹ Phân giác góc ^ BACsong song với đường thẳng MN Ta có bài toán khác.
Bài toán 1.2
Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự các điểm D và E trên các đoạn thẳng
BA và CA sao cho BD = CE Gọi M, N là trung điểm BC và DE Đường thẳng MN lần lượt cắt AB và AC tại P và Q Chứng minh rằng MN song song với đường phân giác góc ^BAC
Trang 8Dựa vào kết quả đã chứng minh ở bài toán 1 và sau đó dựa vào nhận xét 2 sẽ chứng minh được MN song song với đường phân giác ^BAC.
Nhận xét 3: có thể phát biểu bài toán 1 dưới một dạng khác.
Bài toán 1.3
Cho tư giác lồi BDEC có 2 cạnh đối BD = CE Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và
DE Đường thẳng qua M theo thứ tự cắt BD và CE tại P và Q Gọi A là giao điểm của BD và
CE Chứng minh rằng A nằm trên đường trung trực của PQ
Nhận xét 4: cũng có thể phát biểu bài toán 1 dưới hình thức khác
Bài toán 1.4
Cho góc ^xAy , trên tia Ax lần lượt lấy hai điểm D và B, trên tia Ay lần lượt lấy hai điểm E và
C (D và E lần lượt nằm giữa AB và AC) sao cho BD = CE Gọi M, N là trung điểm của BC và
DE Đường thẳng qua M, N cắt BD, CE tại P và Q Chứng minh rằng PAQ là tam giác cân tại A
Với điều kiện nào của ^xAy thì PAQ là tam giác đều Chúng ta dễ dàng chứng minh được PAQ
là tam giác cân nếu ^xAy= 1200
⟹ PAQ là tam giác đều.
Trang 9N
Q
M D
P K T
1 2
Bài toán 2
Cho D là trung điểm của đoạn thẳng AM Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ nửa đường tròn đường kính AM và nửa đường tròn đường kính AD Tiếp tuyến tại D của đường tròn cắt nửa đường tròn lớn tại C và các tiếp tuyến tại C và A của đường tròn lớn cắt nhau tại B Nối P bất kỳ trên cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đường tròn nhỏ tại K
Chứng minh rằng AP là phân giác của góc BAK
GT
DA=DM
CD vuông góc với AD tại D
BA vuông góc với AD tại A
CB vuông góc với CD tại C
P thuộc cung AC
KL A là phân giác của ^BAK
1 Phân tích, tìm cách giải
Cách 1:
Muốn chứng minh AP là phân giác của góc
BAK ta chứng minh ^BAK= ^KAP
- Muốn chứng minh ^BAK= ^KAP ,ta chứng
minh cung AP bằng cung PQ
- Muốn chứng minh cung AP bằng cung PQ, ta chứng minh DP ⊥ AQ tại K + DP ⊥ AQ tại K vì ^AKDchắn nửa đường tròn đường kính AD
Lời giải ( tóm tắt)
^AKD= 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, đường kính AD )
Vậy DP ⊥ AQ tại K nên cung AP bằng cung PQ
Từ đó suy ra ^BAK= ^KAP (cùng chắn hai cung bằng nhau )
Cách 2:
Muốn chứng minh ^BAK= ^KAP, ta tạo ra hai tam giác có 2 góc này Từ P hạ đường PN
⊥AB và đi chứng minh cho tam giác vuông NAP bằng tam giác vuông KAP
Muốn chứng minh △ NAP=△ KAP, ta chứng minh, chẳng hạn ^NPA=^PAD và có AP là cạnh huyền
Muốn chứng minh ^NPA=^KPA, ta chứng minh, chẳng hạn ^NPA=^PAD và ^PAD=^KPA
^NPA=^PAD vì ( PN // DA – 2 góc so le trong )
Trang 10 ^PAD=^KPA ( vì 2 góc đáy của tam giác cân ADP )
Lời giải ( tóm tắt )
DA = DP ( cùng bán kính ) => △ ADP cân => ^PAD=^APDmà ^NPA=^PAD (PN // DA – góc so le trong )
Vậy ^NPA=^KPA
△ PNA=△ PKAvì có AP là cạnh huyền chung và ^NPA=^KPA
Do đó, ta có ^NAP=^KAP
Cách 3 :
Ta chứng minh cho hai góc NAP và KAP cùng bằng hai góc bằng nhau
Nối A với P cắt đường tròn đường kính AD tại T Nối D với T ta nhanh chóng phát hiện ra: ^D1=^D2 Vì ADP là tam giác cân ở D mà DT vuông góc với đáy AP Đồng thời
ta lại có ^KAP=^D1= ^D2
Ta cần chứng minh ^D1= ^D2 = ^NAP=> đpcm
Lời giải ( tóm tắt )
△ ADPcân ở D mà DT ⊥ AP => ^D1= ^D2
Mà ^D1= ^KAP( chắn cung TK )
^D2= ^NAP( 2 góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc )
Vậy ^NAP=^KAP( bài toán đã được chứng minh )
Cách 4:
Ta tìm cách chứng minh góc NAP và KAP cùng bằng một góc nào đó, chẳng hạn cùng bằng góc ^D1
Trên hình vẽ, ta thấy ngay ^D1= ^KAP( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung TK của nửa đường tròn đường kính AD )
Góc NAP là góc giữa tiếp tuyến và một dây, góc NAP chắn chung AP, mà cung AP có góc tương ứng ở tâm là ^AOP, ta lại có ^D1= 12^ADP Từ đó so sánh được ^NAPvới góc ^D1
=> đpcm
Lời giải ( tóm tắt )
^
D1= ^KAP( cùng chắn cung TK )
Trang 11O H
có ^D1= 12^ADP = ^NAP ( góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm tương ứng )
Vậy ^KAP= ^NAP=> AP là phân giác của góc NAK
2 Khai thác bài toán
Sau khi giải được bài toán 2, bạn đọc nhìn lại lời giải bài toán 2 có thể suy ra các bài toán mới tương tư như bài đã cho, bằng cách phát biểu nó dưới một dạng khác và có lời giải gần như lời giải đã tìm được, chẳng hạn ta có các bài toán tương tự sau :
Bài toán 2.1
Trong hình vuông ABCD vẽ nửa đường tròn đường kính là cạnh AD và vẽ cung AC
mà tâm là D Nối D với điểm P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD ở K Chứng minh rằng PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB
( Đây chính là đề toán số 5 trong kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 1970-1971)
Việc giải bài toán này hoàn toàn tương tự như cách ta đã làm ở trên Khi đã chứng minh được ^KAP= ^NAP=> AP là phân giác của góc NAK => P cách đều 2 cạnh của góc NAK có nghĩa là PK bằng khoảng cách từ P đến cạnh AB
Bài toán 2.2
Trong hình vuông ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính là cạnh AD và vẽ cung AC
mà tâm là D cùng trên nửa mặt phẳng bờ AD Nối D với P bất kỳ trên cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD ở K Kẻ PN vuông góc với AB Chứng minh tam giác AKN cân tại A
Việc giải bài toán này hoàn toàn tương tự như cách đã giải ở bài toán 1 Ở đây việc chứng minh góc NAP bằng góc KAP được thay bằng việc chứng minh AN = AK
Bài toán
Cho tam giác ABCvuông góc ở A có AB< ACnội tiếp trong đường tròn tâm O vẽ đường cao AH và bán kính OA Chứng minh rằng OAH =^B−^^ C
GT
^
BAC=90 °
A , B , C ∈ (O)
AH ⊥ BC
KL OAH =^B−^^ C
1.
Trang 122 Phân tích, tìm cách giải
Với giả thiết đã cho, có nhiều cách để đi đến chứng minh cho OAH =^B−^^ C Sau đây chỉ xin nêu
ra một cách:
Ta dễ dàng phát hiện ngay ^B=^ OAB (vì OA=OB cùng bán kính)
+ Muốn chứng minh OAH =^B−^^ C Ta phải chứng minh được OAH =^^ OAB−^ C.
+ Muốn chứng minh OAH =^^ OAB−^ C ta chứng minh ^BAH =^ C.
Ta có ^BAH =^ C(vì hai góc cùng phụ với ^B) đpcm.
3 Lời giải (tóm tắt)Type equation here
^
BAH =^ C(hai góc cùng phụ với ^B)
Ta có OAH =^^ OAB−^ BAH Nhưng ^BAH =^ C và OAB=^B^
Nên OAH =^B−^^ C đpcm.
4 Khai thác bài toán
5 Nhận xét 1: Với ^BAC=90 ° cùng với giả thiết của bài toán ta đã chứng minh được
^
OAH =^B−^ C Hãy xét bài toán trong trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn ^A<90°, thiết lập bài toán tương tự Ta được bài toán khác.