Đang tải... (xem toàn văn)
Đề bài và lời giải một số dạng bài tập của môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán về chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau của hình vẽ thông qua chứng minh các hình tam giác bằng nhau, sử dụng các tính chất hình học để chứng minh ...
B MỘT SĨ BÀI TỐN MINH HỌA Bài tốn Cho tam giác có phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ chứa , vẽ tia cho góc góc , tia cắt Chứng minh GT A KL Phân tích, tìm cách giải Với giả thiết cho, có nhiều cách để đến chứng minh Sau nêu cách Ta phải chứng minh (theo gt) nên ta chứng minh cho (a) Muốn chứng minh (a) ta phải chứng minh Ta có (gt) ⇨ đpcm Lời giải (tóm tắt): (gt) (gt) } E B P C PE đường trung bình ∆ABC ⇨ PE = AB2 = PB Khai thác toán Nhận xét 1: Hãy thay điều kiện “tam giác ABC” “tam giác cân ABC (cân A)” thiết lập toán tương tự tốn Ta có tốn khác Bài toán 1.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có AP phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, vẽ tia Px cho góc CPx góc BAC, tia cắt AC E Chứng minh PB = PE gt{AB=AC BAP= CAP CPx= BAC kl: PB = PE Xét trường hợp: BAC < 90° ; BAC = 90° ; BAC > 90° a Với BAC < 90° Xét ∆ABC ∆PCE có: C chung CPE=BAC (gt) ⇨ CBA = PEC = BCA ⇨ ∆PEC cân ⇨ PC = PE ⇨ PB = PE b Với BAC = 90 ∆ cân ABC cho trở thành ∆ vng cân đỉnh A, E ≡ A Bạn đọc dễ dàng nhận PB = PE c Với BAC > 90 Chứng minh tương tự (a) ⇨ PB = PE Nhận xét 2: Hãy thay điều kiện “tam giác cân ABC” toán 1.1 “tam giác thường ABC” thiết lập tốn tương tự Ta có tốn tổng qt Bài tốn 1.2 Cho tam giác ABC có AP phân giác Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A, vẽ tia Px cho góc CPx góc BAC, tia cắt AC E Chứng minh PB = PE Xét trường hợp: BAC < 90° ; BAC = 90° ; BAC > 90° a Với BAC < 90 Vẽ PH vng góc AB PK vng góc AC ⇨ PH = PK o o O BAC= CPE (gt) BAC+ BPE=180° BPE = HPK ⇨ BPH = EPK ⇨ ∆BPH = ∆EPK (g.c.g) ⇨ PB = PE BAC+ HPK=180° } ⇨ b Với BAC = 90 : Chứng minh câu (a) c Với BAC > 90 : Chứng minh câu (a) O O Bài tốn Cho hình vng ABCD, dựng phía ngồi hình vng ABCD cho hình vng ABEF, ADGH Chứng minh AC = HF Gt Kl: AC =HF Phân tích, tìm lời giải Với giả thiết cho, có nhiều cách để đến chứng minh AC = HF Sau xin nêu cách - Muốn chứng minh AC = HF ta chứng minh - Muốn chứng minh ta chứng minh: = ; AF = AB; AH = BC Ta có điều phải chứng minh Lời giải tóm tắt Xét có: AC = HF Khai thác toán Nhận xét 1: thay “hình vng ABCD” “hình chữ nhật ABCD” Khi AC có HF khơng? Ta có tốn khác tương tự Bài tốn 2.1 Cho hình chữ nhật ABCD, dựng phía ngồi hình chữ nhật ABCD cho hình vng ABEF,ABGH Chứng minh AC = HF Gt Kl: AC = HF Ta dễ dàng nhận việc chứng minh toán 2.1 giống cách chứng minh tốn Ta có AC = HF Nhận xét 2: thay “hình chữ nhật ABCD” tốn 2.1 “hình thoi ABCD” thiết lập tốn tương tự Khi đoạn thẳng AC có HF khơng? Ta có tốn tương tự Bài tốn 2.2 Cho hình thoi ABCD, dựng phía ngồi hình thoi ABCD cho hình vng ABEF ADGH So sánh AC HF Gt Kl: so sánh AC HF Từ kết toán toán 2.1 gợi cho ta tiếp tục xét Dễ dàng nhận AB = AF; AH =AD = BC Như vậy, cần so sánh góc góc Ta có: + = 180O (vì = = 90O) + = 180O (tính chất hình thoi) = (c.g.c) AC = HF Nhận xét 3: thay “hình thoi ABCD” tốn 2.2 “hình bình hành ABCD” thiết lập tốn tương tự Khi đoạn thẳng AC có HF khơng? Ta có tốn tương tự Bài tốn 2.3 Cho hình bình hành ABCD, dựng phía ngồi hình bình hành ABCD cho hình vng ABEF, ADGH So sánh đoạn thẳng AC HF Gt Kl: so sánh AC HF Nhận xét 4: thay “hình bình hành ABCD” tốn 2.3 “hình tứ giác lồi ABCD” thiết lập toán tương tự Khi đoạn thẳng AC có HF khơng? Ta có tốn tương tự Bài tốn 2.4 Cho hình tứ giác lồi ABCD, dựng phía ngồi hình tứ giác lồi ABCD cho hình vng ABEF ADGH So sánh hai đoạn thẳng AC HF Tìm điều kiện tứ giác ABCD để có AC = HF Gt Kl: - Dễ dàng nhận không nên HF ≠ AC - Điều kiện tứ giác lồi ABCD: tứ giác lồi ABCD hình hình: hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng với cách thiết lập tốn nói ta chứng AC = HF Bài toán Cho điểm A, B, C không thẳng hang, ta lấy theo thứ tự điểm D E đoạn thẳng BA CA cho BD = CE Gọi M, N trung điểm BC DE, đường thẳng qua MN cắt AB AC P Q Chứng minh góc MPQ góc MQC Gt Kl: = Phân tích, tìm cách giải Với giả thiết cho, có nhiều cách để đến chứng minh : = sau xin nêu số nhiều cách Gọi O trung điểm DC - Muốn chứng minh : ta chứng minh : (a) - Muốn chứng minh (a) ta chứng minh : = = (b) - Muốn chứng minh (b) ta chứng minh: ON // QC OM // AB (c) - Muốn chứng minh (c) ta chứng minh : OD = OC ND = NE (d) OD = OC MB = MC Ta có: OD = OC (theo cách đặt vấn đề trên) MB = MC (gt) ND = NE (gt) Lời giải tóm tắt Gọi O trung điểm DC ON // AC ⟹ = (đồng vị) // AB = (đồng vị) Mà ON // OM // = Nhưng EC = BD (gt) OM = ON = = = Khai thác toán Nhận xét 1: Thay đổi điều kiện toán, chẳng hạn chuyển điều kiện = kết luận thành giả thiết điều kiện BD = CE giả thiết thành kết luận, điều kiện khác giữ nguyên thiết lập tốn tương tự Ta có tốn khác Bài toán 1.1 Cho điểm A, B, C cố định không thẳng hàng Hai điểm D, E theo thứ tự đoạn thẳng AB AC Gọi M, N trung điểm BC DE Một đường thẳng qua MN cắt AB AC P Q cho = So sánh độ dài hai đoạn thẳng BD CE Gt Kl: So sánh BD CE Vận dụng kết toán Ta dễ dàng chứng minh BD = CE Thật vậy: gọi O trung điểm DC ON // AC ⟹ = // DB = Nhưng = = ON = OM BD = CE Vậy hai đoạn thẳng BD CE Nhận xét 2: Góc góc ngồi tam giác QAP cân A =2 = Phân giác góc song song với đường thẳng MN Ta có toán khác Bài toán 1.2 Cho điểm A, B, C không thẳng hàng, ta lấy theo thứ tự điểm D E đoạn thẳng BA CA cho BD = CE Gọi M, N trung điểm BC DE Đường thẳng MN cắt AB AC P Q Chứng minh MN song song với đường phân giác góc Dựa vào kết chứng minh toán sau dựa vào nhận xét chứng minh MN song song với đường phân giác Nhận xét 3: phát biểu tốn dạng khác Bài toán 1.3 Cho tư giác lồi BDEC có cạnh đối BD = CE Gọi M N trung điểm BC DE Đường thẳng qua M theo thứ tự cắt BD CE P Q Gọi A giao điểm BD CE Chứng minh A nằm đường trung trực PQ Nhận xét 4: phát biểu tốn hình thức khác Bài tốn 1.4 Cho góc , tia Ax lấy hai điểm D B, tia Ay lấy hai điểm E C (D E nằm AB AC) cho BD = CE Gọi M, N trung điểm BC DE Đường thẳng qua M, N cắt BD, CE P Q Chứng minh PAQ tam giác cân A Với điều kiện PAQ tam giác Chúng ta dễ dàng chứng minh PAQ tam giác cân = 1200 PAQ tam giác Bài toán Cho D trung điểm đoạn thẳng AM Trên nửa mặt phẳng bờ AB ta vẽ nửa đường tròn đường kính AM nửa đường tròn đường kính AD Tiếp tuyến D đường tròn cắt nửa đường tròn lớn C tiếp tuyến C A đường tròn lớn cắt B Nối P cung nhỏ AC với điểm D cắt nửa đường tròn nhỏ K Chứng minh AP phân giác góc BAK KL GT B Phân tích, tìm cách giải Muốn chứng minh AP phân giác góc BAK ta chứng minh = - C P N T Cách 1: - A phân giác Q K A D M Muốn chứng minh = ta chứng minh cung AP cung PQ Muốn chứng minh cung AP cung PQ, ta chứng minh DP AQ K + DP AQ K chắn nửa đường tròn đường kính AD Lời giải ( tóm tắt) = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, đường kính AD ) Vậy DP AQ K nên cung AP cung PQ Từ suy = (cùng chắn hai cung ) Cách 2: Muốn chứng minh = , ta tạo hai tam giác có góc Từ P hạ đường PNAB chứng minh cho tam giác vuông NAP tam giác vuông KAP Muốn chứng minh , ta chứng minh, chẳng hạn = có AP cạnh huyền Muốn chứng minh =, ta chứng minh, chẳng hạn = = = ( PN // DA – góc so le ) = ( góc đáy tam giác cân ADP ) Lời giải ( tóm tắt ) DA = DP ( bán kính ) => cân => =mà = (PN // DA – góc so le ) Vậy = có AP cạnh huyền chung = Do đó, ta có = Cách : Ta chứng minh cho hai góc NAP KAP hai góc Nối A với P cắt đường tròn đường kính AD T Nối D với T ta nhanh chóng phát ra: 1=2 Vì ADP tam giác cân D mà DT vng góc với đáy AP Đồng thời ta lại có =1= Ta cần chứng minh 1= = => đpcm Lời giải ( tóm tắt ) cân D mà DT AP => 1= Mà 1= ( chắn cung TK ) = ( góc nhọn có cạnh tương ứng vng góc ) Vậy =( toán chứng minh ) Cách 4: Ta tìm cách chứng minh góc NAP KAP góc đó, chẳng hạn góc Trên hình vẽ, ta thấy 1= ( góc nội tiếp chắn cung TK nửa đường tròn đường kính AD ) Góc NAP góc tiếp tuyến dây, góc NAP chắn chung AP, mà cung AP có góc tương ứng tâm , ta lại có 1= Từ so sánh với góc => đpcm Lời giải ( tóm tắt ) = ( chắn cung TK ) có 1= = ( góc nội tiếp nửa góc tâm tương ứng ) Vậy = => AP phân giác góc NAK Khai thác tốn Sau giải tốn 2, bạn đọc nhìn lại lời giải tốn suy toán tương tư cho, cách phát biểu dạng khác có lời giải gần lời giải tìm được, chẳng hạn ta có tốn tương tự sau : Bài tốn 2.1 Trong hình vng ABCD vẽ nửa đường tròn đường kính cạnh AD vẽ cung AC mà tâm D Nối D với điểm P cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD K Chứng minh PK khoảng cách từ P đến cạnh AB ( Đây đề tốn số kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 19701971) Việc giải tốn hồn tồn tương tự cách ta làm Khi chứng minh = => AP phân giác góc NAK => P cách cạnh góc NAK có nghĩa PK khoảng cách từ P đến cạnh AB Bài toán 2.2 Trong hình vng ABCD, vẽ nửa đường tròn đường kính cạnh AD vẽ cung AC mà tâm D nửa mặt phẳng bờ AD Nối D với P cung AC, DP cắt nửa đường tròn đường kính AD K Kẻ PN vng góc với AB Chứng minh tam giác AKN cân A Việc giải tốn hồn tồn tương tự cách giải toán Ở việc chứng minh góc NAP góc KAP thay việc chứng minh AN = AK Bài toán Cho tam giác vng góc A có nội tiếp đường tròn tâm vẽ đường cao bán kính Chứng minh KL A GT B H O C Phân tích, tìm cách giải Với giả thiết cho, có nhiều cách để đến chứng minh cho Sau xin nêu cách: Ta dễ dàng phát (vì bán kính) + Muốn chứng minh Ta phải chứng minh + Muốn chứng minh ta chứng minh Ta có (vì hai góc phụ với ) đpcm Lời giải (tóm tắt) (hai góc phụ với ) Ta có Nhưng Nên đpcm Khai thác toán Nhận xét 1: Với với giả thiết toán ta chứng minh Hãy xét toán trường hợp tổng quát hơn, chẳng hạn , thiết lập toán tương tự Ta toán khác ... 2. 1 giống cách chứng minh tốn Ta có AC = HF Nhận xét 2: thay hình chữ nhật ABCD” tốn 2. 1 hình thoi ABCD” thiết lập tốn tương tự Khi đoạn thẳng AC có HF khơng? Ta có tốn tương tự Bài tốn 2. 2... chất hình thoi) = (c.g.c) AC = HF Nhận xét 3: thay hình thoi ABCD” tốn 2. 2 hình bình hành ABCD” thiết lập tốn tương tự Khi đoạn thẳng AC có HF khơng? Ta có tốn tương tự Bài tốn 2. 3 Cho hình. .. Nhận xét 1: thay hình vng ABCD” hình chữ nhật ABCD” Khi AC có HF khơng? Ta có tốn khác tương tự Bài tốn 2. 1 Cho hình chữ nhật ABCD, dựng phía ngồi hình chữ nhật ABCD cho hình vng ABEF,ABGH