Suy ra EIB OIN (cạnh huyền – cạnh góc vng)
BE = ON (2)
Từ (1) và (2), ta có: AB = AN
*Chứng minh BM = NC:
Ta có: AB.AM = AN.AC (tứ giác BMCN nội tiếp) Mà AB = AN nên AM = AC
Mặt khác: BM = AM - AB; NC = AC – AN. Suy ra BM = NC (đpcm)
Cách 3:
Ý tưởng : Ta chứng minh trực tiếp MB = NC
Kẻ DGBM DH, NC G, BM H, NC. *Chứng minh A, I, D thẳng hàng: Ta có : BID IBD (1) Mặt khác 180 - 2 2 BDC ABC IBD DBC IBC
(do BDC cân tại D và BI là phân giác ABC) Mà 180 - 2 o BDC BIC Suy ra : 180 - - 90 - 90 - 2 2 o ABC ACB o o
BIC BAC BAI
2
ABC
IBD BAI BAI ABI (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra BID BAI ABI hay A, I, D thẳng hàng.
*Chứng minh AH = AG:
Xét hai tam giác vuông AGD và ADH
AD là cạnh chung
GAD HAD
Suy ra AGD ADH
AG = AH Mà AB = AN Mà AB = AN Nên BG = NH
*Chứng minh MB = NC:
Do DGBM DH, NC
Suy ra G, H lần lượt là trung điểm của MB, NC Nên MB = 2BG, NC = 2NH
Mà BG = NH (c/m trên) Vậy MB = NC (đpcm).
Cách 4:
*Ý tưởng: sử dụng trục đối xứng AID.
Chứng minh A, I, D thẳng hàng: (tương tự như cách 3)
Nhận xét AID là trục đối xứng của (IBC) và chia (IBC) làm hai nửa đường tròn C1 (chứa B và M) và C2 (chứa C và N) đối xứng nhau.
Do AID là phân giác củaBACnên ABM và ANC đối xứng nhau qua AID.
Mà 1 2 , ( ) , ( ) B M ABM C C N ANC C nên BM = CN Bài 13:
Cho tam giác ABC. Trên đường phân giác ngoài của góc C lấy D khác C. Chứng minh rằng:
Giải:
Trên tia đối của CB lấy điểm A’ sao cho CA=CA’.
Tam giác cân ACA’ có CD là phân giác nên là đường trung trực của AA’. Xét : ' CD D C C D D A A
Áp dụng tính chất phép đối xứng trục, ta có: CA=CA’; DA =DA’.
DA + DB > CA + CB (đpcm)
Bài 14:
Cho ABC có các góc nhọn. Lấy các điểm D; E; F lần lượt năm trên BC;CA; AB. Tìm vị trí của
D; E; F để chu vi DEF nhỏ nhất. Giải:
Phân tích:
Để đơn giản bài toán, ta cho D cố định trên BC. Lấy E, F tùy ý lần lượt trên AB, AC.
Lấy D1, D2 sao cho : D1 =ĐAB(D), D2 =ĐAC(D) (*) Khi đó , ta có chu vi DEF là : PDEF = DE + DF + EF. = D2E + D1F +EF.
Suy ra : PDEF nhỏ nhất D1, E, F, D2 thẳng hàng.
Suy ra: E, F lần lượt là giao điểm của D1D2 với AB, AC.
Với điểm D cố định trên BC ta xác định được điểm E và F thỏa bài tốn như trên. Do đó, để thỏa u cầu bài tốn ta chỉ cần xét vị trí của D để chu vi tam giácc DEF nhỏ nhất.
Xét D AD1 2 , ta có:
AD1 = AD = AD2 (do (*) )
1 2 2
D AD BAC cố định Từ định lý sin trong D AD1 2