B= N (chứng minh ở cách 1)

Suy ra EIB  OIN (cạnh huyền – cạnh góc vng)

BE = ON (2)

Từ (1) và (2), ta có: AB = AN

*Chứng minh BM = NC:

Ta có: AB.AM = AN.AC (tứ giác BMCN nội tiếp) Mà AB = AN nên AM = AC

Mặt khác: BM = AM - AB; NC = AC – AN. Suy ra BM = NC (đpcm)

Cách 3:

Ý tưởng : Ta chứng minh trực tiếp MB = NC

Kẻ DGBM DH, NC G, BM H, NC. *Chứng minh A, I, D thẳng hàng: Ta có : BID  IBD (1) Mặt khác 180 - 2 2 BDC ABC IBD DBC IBC         

(do BDC cân tại D và BI là phân giác ABC) Mà 180 - 2 o BDC BIC          Suy ra : 180 - - 90 - 90 - 2 2 o ABC ACB o o

BIC   BAC  BAI

ABC

IBD  BAI   BAI  ABI (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra BID  BAI  ABI hay A, I, D thẳng hàng.

*Chứng minh AH = AG:

Xét hai tam giác vuông AGD và ADH

AD là cạnh chung

GAD  HAD

Suy ra AGD  ADH

 AG = AH Mà AB = AN Mà AB = AN Nên BG = NH

*Chứng minh MB = NC:

Do DGBM DH, NC

Suy ra G, H lần lượt là trung điểm của MB, NC Nên MB = 2BG, NC = 2NH

Mà BG = NH (c/m trên) Vậy MB = NC (đpcm).

Cách 4:

*Ý tưởng: sử dụng trục đối xứng AID.

Chứng minh A, I, D thẳng hàng: (tương tự như cách 3)

Nhận xét AID là trục đối xứng của (IBC) và chia (IBC) làm hai nửa đường tròn C1 (chứa B và M) và C2 (chứa C và N) đối xứng nhau.

Do AID là phân giác củaBACnên ABM và ANC đối xứng nhau qua AID.

Mà 1 2 , ( ) , ( ) B M ABM C C N ANC C     nên BM = CN Bài 13: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Cho tam giác ABC. Trên đường phân giác ngoài của góc C lấy D khác C. Chứng minh rằng:

Giải:

Trên tia đối của CB lấy điểm A’ sao cho CA=CA’.

Tam giác cân ACA’ có CD là phân giác nên là đường trung trực của AA’. Xét : ' CD D C C D D A A

Áp dụng tính chất phép đối xứng trục, ta có: CA=CA’; DA =DA’.

DA + DB > CA + CB (đpcm)

Bài 14:

Cho ABC có các góc nhọn. Lấy các điểm D; E; F lần lượt năm trên BC;CA; AB. Tìm vị trí của

D; E; F để chu vi DEF nhỏ nhất. Giải:

Phân tích:

Để đơn giản bài toán, ta cho D cố định trên BC. Lấy E, F tùy ý lần lượt trên AB, AC.

Lấy D1, D2 sao cho : D1 =ĐAB(D), D2 =ĐAC(D) (*) Khi đó , ta có chu vi DEF là : PDEF = DE + DF + EF. = D2E + D1F +EF.

Suy ra : PDEF nhỏ nhất D1, E, F, D2 thẳng hàng.

Suy ra: E, F lần lượt là giao điểm của D1D2 với AB, AC.

Với điểm D cố định trên BC ta xác định được điểm E và F thỏa bài tốn như trên. Do đó, để thỏa u cầu bài tốn ta chỉ cần xét vị trí của D để chu vi tam giácc DEF nhỏ nhất.

Xét D AD1 2 , ta có:

AD1 = AD = AD2 (do (*) )

1 2 2

D AD  BAC cố định Từ định lý sin trong D AD1 2

Mục lục