Bài tiểu luận hình học cao cấp

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - TIN Bài tiểu luận HÌNH HỌC CAO CẤP LỚP TOÁN VB2-K2 §0 KHÔNG GIAN VECTƠ I VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN: Định nghĩa : AB đoạn thẳng cố định hướng Hai vectơ : có hướng độ dài Hai vectơ đối nhau: ngược hướng độ dài Cộng vectơ:ta có ∀A, B, C ta có : AC = AB + AC Nếu ABCD hình bình hành : AB = AD + AC • Tính chất: a+b =b+a ; ( a + b ) + c = a + (b + c ) a+0 = 0+a = a ( ) a + −a = Trừ vectơ: OB − OA = AB Tích số thực với vectơ : b = k a ⇔ | b | = k| a | a , b hướng k ≥ a , b ngược hướng k < a phương b ⇔ ∃k ∈ » : b = k a • Tính chất : ( ) m a + b = ma + mb; ( m + n ) a = ma + na m ( na ) = ( mn ) a = a −1a = −a Tích vô hướng : ( ) a.b = a b cos a, b Vectơ đồng phẳng: vectơ đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Đạt Ma Trung a , b , c đồng phẳng ∃m, n ∈ R : c = ma + nb Phân tích vectơ theo vectơ không đồng phẳng: Với a , b , c không đồng phẳng vectơ e ,có x1,x2,x3: e = x1 a + x2 b + x3 c 10 Định lý: với M trung điểm AB G trọng tâm ABC , O tùy ý : MA + MB = GA + GB + GC = 2CM = CA + CB OG = OA + OB + OC ( ) G trọng tâm tứ giác,tứ diện ABCD ⇔ OG = OA + OB + OC + OD ( ) II TỌA ĐỘ VECTƠ TRONG CƠ SỞ - CÔNG THỨC ĐỔI TỌA ĐỘ Tọa độ vectơ sở: 1.1 Định nghĩa: Một sở không gian vectơ gọi sở ta ý đến thứ tự vectơ sở Ta dùng ký hiệu B = (α1 , α , , α n ) để sở sắp, B = {α1 , α , , α n } sở không Ta gọi sở không tập sở Do đó, B = (α1 , α , , α n ) B ' = (α , α1 , , α n ) hai sở khác Rõ ràng hai sở B B’ nói thuộc vào môt tập sở Ứng với tập sở gồm n phần tử ta có n! sở Cho V không gian vectơ n chiều B = (α1 , α , , α n ) sở V đó, x viết dạng: x = a1α1 + a2α + + anα n , α i ∈ » Bộ số (a1 , a2 , , an ) xác định cách gọi tọa độ x sở B Để tọa độ x sở B, ta ký hiệu: x / ( B) = (a1 , a2 , , an ) Hoặc [ x ]/( B ) Đạt Ma Trung  a1  a  =  2      an  1.2 Ví dụ: Xét không gian » [ x ] gồm đa thức bậc nhỏ Xét hệ vector u1 = 1; u2 = x; u3 = x , với vector u = ax + bx + c thuộc » [ x ] tọa độ u sở B = (u3 , u2 , u1 ) [u ]B = (a, b, c) 1.3 Tính chất: Nếu [ x]/( B )  x1   y1  x  y  2  [ y ]/( B ) =   =          xn   yn  Thì i) x = y ⇔ xi = yi , ∀i = 1, n ; ii) ( x + y ) /( B ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) ; iii) λ x/[ B ] = (λ x1 , λ x2 , , λ xn ) 1.4 Ví dụ: Trong » cho hệ vectơ B = {u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1)} a) Chứng minh B sở » b) Tìm tọa độ vectơ e1 (1, 0, 0); e2 (0,1, 0); e3 = (0, 0,1); u = (3, 4, 5) sở B Giải: Vì B hệ gồm vectơ không gian hữu hạn chiều » , nên để chứng minh B sở » ta cần chứng minh B hệ độc lập tuyến tính Để chứng minh điều ta xây dựng ma trận A có dòng vectơ u1 , u2 , u3 , sau chứng minh rankA = hay det A ≠ 1 Ta có, det A = 1 = −2 ≠ 1 Vậy hệ vectơ u1 , u2 , u3 hệ độc lập tuyến tính nên sở » b) Xét vectơ tùy ý a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ » , giả sử a[ B ] = ( x1 , x2 , x3 ) , a = x1u1 + x2u2 + x3u3  a1  1  1  0       ⇔ a2 = x1 + x2 + x3 1           a3    1  1   a1   x1 + x2  ⇔  a2  =  x1 + x3   a3   x2 + x3  Đạt Ma Trung  x1 + x2 = a1  ⇔  x1 + x3 = a2 x + x = a    x1 = (a1 + a2 − a3 )   ⇔  x2 = (a1 − a2 + a3 )    x3 = (− a1 + a2 + a3 )  Vậy với vectơ tùy ý a = (a1 , a2 , a3 ) ∈ » , ta có 1 1  a[ B ] =  (a1 + a2 − a3 ), (a1 − a2 + a3 ), (−a1 + a2 + a3 )  2 2  Lần lượt cho a e1 , e2 , e3 , u ta có tọa độ vectơ e1 , e2 , e3 , u sở B là: 1 1 e1 =  , , −  2 2 1 1 e2 =  , − ,  2 2  1 1 e3 =  − , ,   2 2 u = (1, 2,3) ■ Đổi sở, ma trận đổi sở, công thức đổi tọa độ: Giả sử không gian vectơ V, sở B = {e1 , e2 , , en } có sở khác B ' = {e1' , e2' , , en' } Nếu tọa độ vectơ e'j sở B e'j [ B ] = (c1 j , c2 j , , cnj ), ∀j = 1, n , hay n e'j = ∑ cij ei i =1  c11 c12 c c22 21 Khi đó, đặt C =     cn1 cn ' vectơ e j sở B c1n  c2 n  , mà cột ma trận tọa độ   cnn  Khi đó, C gọi ma trận chuyển sở từ sở B sang sở B’, ký hiệu C : B → B ' hay CB→ B ' Đạt Ma Trung 2.1 Định lý: Cho V không gian vectơ n chiều trường K A, B, B’ sở V Khi đó, ta có điều khẳng định sau: a) Ma trận đổi sở từ A sang A I n b) (C : A → B ') = (C : A → B )(C : B → B ') −1 c) ( C : A → B ) = ( C : B → A ) 2.2 Công thức đổi tọa độ: Cho không gian vectơ V, gọi B B’ hai sở V Giả sử x ∈ V tọa độ x sở B B’ là: x[ B ] = ( x1 , x2 , , xn ) x[' B ] = ( x1' , x2' , , xn' ) n n i =1 j =1 x = ∑ xi ei = ∑ x 'j e'j n Mặt khác, e'j = ∑ cij ei , i =1 n   n  n  n nên x = ∑ x 'j  ∑ cij ei  = ∑  ∑ cij x 'j ei  i =1  i =1  j =1 j =1  Do tính phép biểu thị tuyến tính qua sở B x nên ta có: n xi = ∑ cij x 'j , ∀i = 1, n j =1 Hay, ta viết tường minh sau:  x1 = c11 x1' + c12 x2' + + c1n xn'  ' ' '  x2 = c21 x1 + c22 x2 + + c2 n xn    x = c x ' + c x ' + + c x ' n1 n2 nn n  n Dạng ma trận biểu thức [ x][ B ] = CB → B ' [ x ][ B ']  x1   c11 c12  x  c   =  21 c22        xn   cn1 cn c1n   x1'    c2 n   x2'      cnn   xn'  Đạt Ma Trung 2.3 Các ví dụ: VD1 Trong » , cho sở B với vectơ u1 , u2 , u3 có tọa độ sau: u1 = (1,1, 0); u2 = (1, 0,1); u3 = (0,1,1) Hãy lập ma trận công thức đổi từ sở tắc C sang sở B 1.Tìm tọa độ u = (5, 4, 3) ∈ » sở B 2.Tìm vectơ v ∈ » , biết tọa độ vectơ v sở B v[ B ] = (1, 2, 3) Giải: 1) Ta có sở tắc C » sở gồm vectơ e1 = (1,0,0); e2 = (0,1,0); e3 = (0,0,1) Khi đó: 1  1  0      [u1 ][C ] = 1  ;[u2 ][ C ] =   ;[u3 ][C ] = 1  0  1  1  Do đó, ma trận đổi từ sở tắc C sang sở B là: 1  P = 1   1  ■ 2) Giả sử [u ][ B ]  x1  =  x2  , áp dụng công thức đổi tọa độ vectơ ta có:  x3    1   x1    = 1   x      2    1   x3  5 = x1 + x2  ⇔ 4 = x1 + x3 3 = x + x   x1 =  ⇔  x2 = x =  Vậy [u ][ B ] = (3, 2,1) ■ 3) Gọi tọa độ v sở tắc V ( x1 , x2 , x3 ) ta có  x1  1     x  = 1     2     x3   1     x1 =  Vậy  x2 = hay v= (3, 4, 5) ∈ » ■ x =  Đạt Ma Trung VD2 Trong » cho sở B(α1 , α , α ) B '( β1 , β , β ) sau: α1 = (1,1,1);α = (−1, 2,1);α = (1,3, 2) β1 = (1, 0,1); β = (1,1, 0); β3 = (0,1,1) Tìm ma trận chuyển từ sở B sang sở B’ 2.Viết công thức tính tọa độ vectơ x sở B theo tọa độ x sở B’ Lời Giải: β1 = a1α1 + a2α + a3α (1) Giả sử β = b1α1 + b2α + b3α (2) β3 = c1α1 + c2α + c3α (3) Khi đó, ma trận chuyển sở B sang sở B’ có dạng: CB→ B '  a1 =  a2  a3 b1 b2 b3 c1  c2  c3  Để tìm , bi , ci ta phải giải phương trình vectơ (1), (2), (3) Phương trình (1) tương đương với hệ: I ( a; b ) ABC ⇔ AI = BI = CI = R Phương trình (2) tương đương với hệ: b1 − b2 + b3 =  b1 + 2b2 + 3b3 = b + b + 2b = 1 Phương trình (3) tương đương với hệ c1 − c2 + c3 =  c1 + 2c2 + 3c3 = c + c + 2c = 1 Ta dùng phương pháp Gauss để giải hệ phương trình trên, lập ma trận hệ số mở rộng: 1 −1 1   −1 1    d2 →d − d1   →  −1  d → d3 − d1 1 1   1 1   −1   −1 1   −1 1    d3 → d3 − d   →  1 −1  → 0 1 −1   −1  0 −1 −3  d → d − d3 a3 = −2;  Vậy với hệ (1) ta có a2 = −1 − a3 = 1; a = a − a + =  Đạt Ma Trung b3 = 3;  Hệ (2) ta có b2 = − b3 = −2; b = b − b + = −4 1 c3 = −1;  Hệ (3) ta có c2 = −c3 = 1; c = c − c = 1 Vậy ma trận đổi sở B sang sở B’ là: CB→ B '  −4  =  −2  ■  −2 −1 b) Giả sử [ x][ B ] = ( x1 , x2 , x3 ) [ x][ B '] = ( y1 , y2 , y3 ) Khi đó, công thức tính tọa độ x sở B theo tọa độ x sở B’ là:  x1   −4   y1   x  =  −2   y   2   2  x3   −2 −1  y3   x1 = y1 − y2 + y3  ⇔  x2 = y1 − y2 + y3  x = −2 y + y − y  ■ VD3 Trong » n [ x] cho sở B(u1 , u2 , , un +1 ) B '(v1 , v2 , , ) với u1 = 1, u2 = x, u3 = x , , un +1 = x n v1 = 1, v2 = ( x − a ), v3 = ( x − a )2 , , +1 = ( x − a )n , với a số Tìm ma trận đổi sở từ B sang B’ Tìm ma trận đổi sở từ B’ sang B Giải: a) Ta có vk +1 = ( x − a) k = Ck0 (−a )k + Ck1 (−a ) k −1 x + + Ckk x k = Ck0 (−a ) k u1 + Ck1 (−a ) k −1 u2 + + Ckk uk +1 + 0uk + + + 0un +1 Lần lượt cho k = 0, 1, 2, …, n ta có C B→ B '  C 00     =       C 10 ( − a ) C 11 C k0 ( − a ) k C k1 ( − a ) k −1 C k k Đạt Ma Trung C n0 ( − a ) n   C n1 ( − a ) n −1         C nn  b) Ta có: k uk +1 = x k = [ ( x − a) + a ] = Ck0 a k + Ck1 a k −1 ( x − a ) + + Ckk ( x − a ) k = Ck0 a k v1 + Ck1 a k −1v2 + + Ckk vk +1 + 0vk + + + 0vn +1 Lần lượt cho k giá trị k = 0, 1, …., n ta có C B '→ B C00  0   =    0  C10 a C11 Ck0 a k Ck1 a k −1 Ckk Đạt Ma Trung Cn0 a n   Cn1 a n −1        n  Cn  365 BÀI CÁC SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG KHÔNG GIAN AFIN LÝ THUYẾT Định nghĩa: Trong không gian afin An , siêu mặt bậc hai (s) tập hợp tất điểm X có tọa độ ( x1 , x2 , , xn ) mục tiêu afin{ Eo : E1 } chọn thỏa phương trình bậc hai xi có dạng: n n i , j =1 i =1 ∑ aij xi x j + 2∑ xi + a0 (1) Trong hệ số aij , , a0 số thực, aij không đồng thời không aij = a ji Dạng ma trận phương trình siêu mặt bậc hai: Phương trình siêu mặt bậc hai (s) viết dạng ma trận sau: 0 [ x ] A [ x ] + [ a ] [ x ] + a0 = Trong A=[ aij ] ma trận đối xứng, vuông, cấp n nên A= A0 Định lí: Qua phép biến đổi afin, siêu mặt bậc hai biến thành siêu mặt bậc hai Giao siêu mặt bậc hai với đường thẳng Trong An cho siêu mặt bậc hai (s) đường thẳng (d): (S): [ x ] * A [ x ] + [ a ] * [ x ] + a0 = (d): [ x ] = [b] + [ c ] t Các giao điểm (s)∩(d) có tọa độ thỏa mã n phương trình sau: [c ] * A [c ] t + Pt + Q = Trong P = [b ] * A [ c ] + [ a ] * [ c ] Q = [b ] * A [b ] + [ a ][b ] + a0 Đạt Ma Trung 366 - Nếu [ c ] * A [ c ] #0: đường thẳng (d) cắt siêu mặt bậc hai (s) hai điểm phân biệt, tiếp xúc không cắt (s) - Nếu [ c ] * A [ c ] =0 p#0 đường thẳng (d) cắt (s) điểm - Nếu [ c ] * A [ c ] =0 p=0,Q#0 đường thẳng (d) không cắt (s) - Nếu [ c ] * A [ c ] =0 p=0,Q=0, toàn (d)⊂(s) Tâm siêu mặt bậc hai A, Định nghĩa: Tâm siêu mặt bậc hai (s) điểm mà ta chọn điểm làm gốc mục tiêu phương trình (s) có dạng: n ∑a xx ij i j + a0 = với A =  aij  i , j =1 ⇔ [ x ] * A [ x ] + a0 = B, Định lí: Trong không gian afin An với mục tiêu chọn, cho siêu mặt bậc hai (s) phương trình: [ x ] * A [ x ] + [ a ] * [ x ] + a0 = Điều kiện cần đủ để (s) có tâm det A #0 Nếu det A=0 (s) tâm có vô số tâm Tọa độ tâm siêu bậc hai (s) nghiệm phương trình tổng quát gồm n phương trình có dạng: A[ x] + [ a ] = Với A =  aij  [ a ] ma trận cột tọa độ có phương trình (s) Điểm kì dị siêu mặt bậc hai: a, Định nghĩa: điểm I điểm kì dị siêu mặt bậc hai (s) I thuộc (s) I đồng thời tâm (s) b, Cách tìm: Điểm kì dị (s) có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình: [ x ] * A [ x ] + [a ] * [ x ] + a0 = A[ x] + [ a ] = Phương tiệm cận đường tiệm cận siêu mặt bậc hai a, Định nghĩa: cho siêu mặt bậc hai (s) có phương trình: [ x ] * A [ x ] + [a ] * [ x ] + a0 = Khi vecto c ≠ o có tọa độ c = ( c1 , c2 , cn ) gọi phương tiệm cận siêu mặt bậc hai (s) n [ c ] * A [ c ] = ⇔ ∑ aij ci c j = i , j =1 Người ta gọi phương tiệm cận siêu mặt bậc hai phương vô tận siêu mặt bậc hai Đường thẳng d qua tâm (s) gọi đường tiệm cận (s) phương phương tiệm cận không cắt (s) Đạt Ma Trung 367 B, Siêu phẳng kính liên hợp với phương c: Định lí: Cho hai điểm M1, M2 thay đổi siêu mặt bậc hai (s) cho đường thẳng M1M2 có phương không đổi c #0 mà phương tiệm cận Khi tập hợp trung điểm đoạn thẳng M1M2 nằm siêu phẳng kính (s) liên hợp với phương c Ngược lại phương c gọi phương liên hợp với siêu phẳng kính Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai An Định lí: cách chọn mục tiêu tọa độ thích hợp, siêu mặt bậc hai (s) không gian afin An có phương trình thuộc ba dạng sau: r ( I ) : ∑∈i X i2 = 1,∈ j = ±1,1 ≤ r ≤ n i =1 r ( II ) : ∑∈i X i2 = 0,∈ j = ±1,1 ≤ r ≤ n i =1 r ( III ) : ∑∈i X i2 = 1,∈ j = ±1,1 ≤ r ≤ n − i =1 Ba dạng gọi phương trình chuẩn tắc siêu mặt bậc hai không gian afin An Sự phân loại afin siêu mặt bậc hai a, Định nghĩa: hai siêu mặt bậc hai An gọi loại phương trình chuẩn tắc chúng có dạng, với giá trị k r b Định lí: Hai siêu mặt bậc hai tương đương afin chúng thuộc loại Sự phân loại gọi phân loại afin c Thí dụ: - Trong mặt phẳng afin A2 , dựa vào phương trình chuẩn tắc đường bậc hai, ta có loại đường bậc hai khác - Trong không gian afin A3 , dựa vào phương trình chuẩn tắc mặt bậc hai, ta có 17 loại mặt bậc hai khác BÀI TẬP Bài 1.59 Trong không gian afin A4, với mục tiêu cho trước, xét vị trí tương đối đường thẳng (d) qua hai điểm A(0,0,3,-3), B(0,0,11,-11) siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: Đạt Ma Trung 368 x12 + x22 − x1 x2 − x1 x3 + x2 x4 + x3 + x4 = Giải: Đường thẳng (d) có vectơ phương AB = (0, 0,8, −8) Ta lấy vectơ v = (0,0,1, −1) làm vectơ phương đường thẳng (d) Do đường thẳng (d) có phương trình tham số là:  x1       x1 =         x2  =   + t   ⇔  x2 =   x3       x3 = + t        x4 = −3 − t  x4   −3   −1 Muốn tìm giao diểm ( d ) ∩ ( S ) ta giải phương trình sau cách thay giá trị x1, x2, x3, x4 vào phương trình (S): (3 + t ) + ( −3 − t ) = ⇒ nghiệm với t Vậy đường thẳng ( d ) ⊂ ( S ) Bài 1.60: Trong A2 với mục tiêu chọn, cho đường bậc hai có phương trình: x12 − x1 x2 + x22 − x1 + x2 − = (S) Tìm phương tiệm cận đường bậc hai cho Tìm tâm đường bậc hai a) b) Giải: a) Tìm phương tiệm cận: Gọi c = (c1 , c2 ) ≠ phương tiệm cận đường bậc hai (S) Khi ta có: c12 − 3c1c2 + 2c22 = 0(1) (Nếu c2 = c1 = ⇒ c = , giả sử c2 ≠ ) c  c  (1) ⇔   −   + =  c2   c2   c1  c =1 ⇔  c1 c =   c = (1,1) ⇔ c = (2,1) Vậy (S) có phương tiệm cận c = (1,1) c = (2,1) Đạt Ma Trung 369 b) Tìm tâm: Từ phương trình mặt bậc (S) ta có ma trận hệ số:   A= −   3 −   5 −  [a ] =         Gọi I ( x1 , x2 ) tâm đường bậc hai (S)  x1   nghiệm phương trình:  x2  Khi ma trận x =  A[ x] + [a ] =   ⇔  −  3 −   5  x1   −    + =   x         x1 − x2 − = ⇔ − x + x + =   x = −14 ⇔  x2 = −11 Vậy I (−14, −11) tâm đường bậc hai (S) Bài 1.61: Tìm giao siêu mặt bậc hai với m-phẳng An Giải: Vì m-phẳng Am không gian Afin m chiều nên ta chọn hệ m + điểm độc lập {E0 , Ei } (i = 1, m) mục tiêu m-phẳng Ta bổ sung vào hệ m + điểm độc lập { E0 , Ei } (i = 1, m) điểm Ei (i = m + 1, n) để tạo thành hệ n + điểm độc lập không gian An để tạo thành mục tiêu {E0 , Ei } (i = 1, n) không gian An Khi ∀M ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Am ta có Đạt Ma Trung 370 n m i =1 i =1 E0 M = ∑ xi E0 Ei = ∑ xi E0 Ei n ⇔ ∑ xEE i i =0 i = m +1 ⇔ xm +1 = xm + = = xn = (vì hệ điểm { E0 , Ei } (i = m + 1, n) độc lập) Vậy phương trình tổng quát m-phẳng Am không gian An với mục tiêu là: Am : xm +1 = xm + = = xn = Với mục tiêu trên, siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: n n i , j =1 i =1 ∑ aij xi x j + 2∑ xi + a0 = 0(S ) Giao m-phẳng Am siêu mặt bậc hai (S) nghiệm hệ phương trình: n  n a x x + xi + a0 = ∑  ∑ ij i j i =1 i , j =1  x = x = = x = m+ n  m +1 m  m  ∑ aij xi x j + 2∑ xi + a0 = ⇔ i , j =1 (*) i =1  x = x = = x = m+ n  m +1 • Nếu aij (i, j = 1, m) không đồng thời hệ phương trình (*) phương trình siêu mặt bậc hai không gian Am • Nếu aij = 0(i, j = 1, m) : i Nếu (i = 1, m) không đồng thời thì: m   2∑ xi + a0 = (*) ⇔  i =1  x = x = = x = m+ n  m +1 Là phương trình (m-1)-phẳng ii Nếu = 0(i = 0, m) (*) biểu thị m-phẳng Am Am ⊂ ( S ) iii Nếu = 0(i = 1, m), a0 ≠ (*) vô nghiệm m-phẳng không cắt (S) Bài 1.62: Trong A2 với mục tiêu chọn, cho đường bậc hai có phương trình: 25 x12 + x1 x2 + 13 x22 − 18 x1 − 18 x2 − 27 = Đạt Ma Trung 371 Tìm tâm đường kính liên hợp với phương c(1, −1) Giải: Cho đường bậc hai: 25 x12 + x1 x2 + 13 x22 − 18 x1 − 18 x2 − 27 = 0( S ) Ma trận hệ số:  25   −9  A=  , [a] =    13   −9  Gọi I ( x1 , x2 ) tâm đường bậc hai (S)  x1   nghiệm phương trình:  x2  Khi ma trận [ x] =  A[ x] + [a ] =  25   x1   −9    ⇔   +   =    13   x2   −9    25 x + x − = ⇔  x1 + 13 x2 − =   x1 = ⇔ x =  1 2 Vậy I  ,  tâm mặt bậc hai (S) 3 3 Đường kính liên hợp với phương c(1, −1) mặt bậc hai (S) có phương trình: [c]* ( A[ x] + a ) =   25   x1   −9   ⇔ (1 −1)     +   =   13   x2   −9    25 x1 + x2 −  ⇔ (1 −1)  =0  x1 + 13x2 −  ⇔ 24 x1 − 12 x2 = ⇔ x1 − x2 = Đạt Ma Trung 372 Bài 1.63: Một siêu mặt bậc hai (S) không gian afin An gọi siêu nón bậc hai tìm mục tiêu { E0 , Ei } cho (S) có phương trình: [ x]* A[ x] = rank ( A) = r > Hạng A hạng siêu nón (S) a) b) Chứng tỏ siêu nón hạng r khái niệm afin Chứng minh điểm x ∈ ( S ) đường thằng E0 X nằm hoàn toàn (S) Đường thẳng gọi đường sinh siêu nón (S) c) Chứng minh với siêu nón (S) luôn có m-phẳng P, với < m ≤ n − , nằm (S) cho M ∈ ( S ) phẳng qua P M nằm (S) Ta gọi –phẳng P đỉnh siêu nón (S) Giải: a) Gọi { E0 , Ei } (i = 1, n) mục tiêu afin mà siêu nón (S) có phương trình [ x]* A[ x] = giả sử f phép biến đổi afin mục tiêu { E0 , Ei } cho trước Gọi Ei' = f ( Ei ), i = 1, n Khi điểm M có tọa độ ( x1 , x2 , , xn ) mục tiêu {E0 , Ei } điểm M’=f(M) có tọa độ ( x1 , x2 , , xn ) mục tiêu {E0' , Ei' } Do phương trình S’=f(S) mục tiêu { E0' , Ei' } hoàn toàn giống phương trình (S) mục tiêu { E0 , Ei } Vậy tồn mục tiêu {E0' , Ei' } để phương trình (S’) là: [ x ']* A[ x '] = Vậy (S’) siêu nón có hạng r Do siêu nón hạng r khái niệm afin b) Giả sử điểm X ∈ ( S ) X = ( x10 , x20 , , xn0 ) Khi E0 X = ( x10 , x20 , , xn0 ) ∀Y ∈ E0 X ta có E0Y = k E0 X = (kx10 , kx20 , , kxn0 ) Vậy điểm Y có tọa độ Y = ( kx10 , kx20 , , kxn0 ) Thay tọa độ điểm Y vào phương trình siêu nón (S) ta có: [ kx ]* A[ kx ] = k [ x ]* A[ x] = ⇒ Y ∈ (S ) Vậy Y ∈ ( S ), ∀Y ∈ E0 X , nói cách khác đường thẳng E0 X nằm hoàn toàn (S) gọi đường sinh siêu nón (S) Đạt Ma Trung 373 c) Với siêu nón (S) có phương trình [x]*A[x]=0 với A ma trận hạng r (r>0) Ta nhận thấy siêu nón chứa m-phẳng P có phương trình: A[ x] = Vì hạng ma trận A r nên A[x]=0 phương trình (n-r)-phẳng (m = n − r ) Lấy điểm M tùy ý (S) Nếu M ∈ P nói ta có điều phải chứng minh Nếu M ∉ P , gọi Q (n-r+1)-phẳng chứa P M Ta cần chứng minh Q ⊂ (S ) Gọi { A0 , A1 , , An − r } hệ n-r+1 điểm độc lập P, {M , A0 , A1 , , An− r } hệ nr+2 điểm độc lập Q ∀N ∈ Q ta có: n−r MN = ∑ λi MAi i =0 Gọi [ai ],[ x ],[ y ] ma trận cột tọa độ điểm A,M,N, ta có: n−r [ y ] − [ x ] = ∑ λi ([ai ] − [ x ]) i =0 n−r n−r i =0 i=0 = −∑ λi [ x ] + ∑ λi [ai ] n−r Đặt b = − ∑ λi ta có: i=0 n−r [ y ] = b[ x ] + ∑ λi [ ] i=0 n−r ⇒ A[ y ] = bA[ x ] + ∑ λi A[ ] = bA[ x ] i =0 (Vì Ai ∈ P ⇒ A[ai ] = ) Thay tọa độ N vào phương trình siêu nón (S) ta có: n−r [ y ]* A[ y ] = (b[ x ]* + ∑ λi [ai ]*) Ab[ x ] i =0 n−r = b [ x ]* A[ x ] + b∑ λi [ ]* A[ x ] i =0 Đạt Ma Trung 374 Vì M ∈ ( S ) nên [ x ]* A[ x ] = Ai ∈ P nên A[ai ] = [ai ]* A = Do [ y ]* A[ y ] = 0, ∀N ∈ Q Vậy Q ⊂ ( S ) Bài 1.64: Một siêu mặt bậc hai (S) không gian afin An gọi siêu mặt trụ chọn mục tiêu { E0 , Ei } cho phương trình (S) có dạng: f ( x1 , x2 , , xm ) = 0, m < n (1) Trong f đa thức bậc hai x1 , x2 , , xm a) b) Chứng tỏ siêu mặt trụ khái niệm afin Trong m-phẳng qua điểm E0 , E1 , , Em ta chọn mục tiêu tọa độ {E0 , E1 , , Em } Chứng tỏ giao (S) với m-phẳng nói siêu mặt bậc hai không gian m chiều Am mà phương trình siêu bậc hai phương trình (1) Siêu mặt gọi đáy siêu mặt trụ (S) ta ký hiệu (S’) c) Gọi V n− m không gian vectơ với sở {E0 Ei }, i = m + 1, n Chứng minh điểm M ∈ ( S ) (n-m)-phẳng qua M có phương V n− m nằm (S) Ta gọi (n-m)-phẳng phẳng sinh mặt trụ d) Chứng minh p : An → Am phép chiếu lên Am theo phương V n− m p(S)=(S’) Giải: a) Gọi {E0 , Ei } (i = 1, n) mục tiêu afin mà siêu mặt trụ (S) có phương trình f ( x1 , x2 , , xm ) = 0, m < n giả sử g phép biến đổi afin mục tiêu {E0 , Ei } cho trước Gọi Ei' = g ( Ei ), i = 1, n Khi điểm M có tọa độ ( x1 , x2 , , xn ) mục tiêu {E0 , Ei } điểm M’=f(M) có tọa độ ( x1 , x2 , , xn ) mục tiêu {E0' , Ei' } Do phương trình S’=g(S) mục tiêu {E0' , Ei' } hoàn toàn giống phương trình (S) mục tiêu { E0 , Ei } Vậy tồn mục tiêu {E0' , Ei' } để phương trình (S’) là: f ( x1 , x2 , , xm ) = 0, m < n Vậy (S’) siêu mặt trụ siêu nặt trụ khái niệm afin b) *Gọi (P) m-phẳng có mục tiêu {E0 , E1 , , Em } Đạt Ma Trung 375 * Lấy điểm M ( x1 , x2 , , xn ) ∈ ( P ) ta có: n m i =1 i =1 E0 M = ∑ xi E0 Ei = ∑ xi E0 Ei ⇒ n ∑ xEE i i =0 i = m +1 ⇒ xi = 0, i = m + 1, n (Vì hệ điểm {E0 , Ei }, i = m + 1, n độc lập) Do phương trình tổng quát (P) là: xm +1 = xm + = = xn = (n-m phương trình) * Hệ phương trình tọa độ giao điểm m-phẳng (P) siêu mặt trụ (S) là:  f ( x1 , x2 , , xm ) = (*)   xm +1 = xm+ = = xn = Đây phương trình siêu mặt bậc hai không gian m chiều Am mà phương trình cùa f ( x1 , x2 , , xm ) = c) *Gọi M điểm nằm (S) *Gọi (P) (n-m)-phẳng qua M có phương V n− m Lấy điểm N ∈ ( P ) , đó: n E0 N = n ∑ x E E =∑x E E i i i = m +1 i i i =1 m ⇒ ∑ xi E0 Ei = i =1 ⇒ xi = 0, ∀i = 1, m ⇒ f ( x1 , x2 , , xm ) = ⇒ N ∈ (S ) Vậy (n-m)-phẳng (P) phẳng sinh siêu mặt trụ (S) d) Ta thấy rằng: ( S ) = {M ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xm ) = 0} ( m < n) ⇒ p ( S ) = { N ( x1 , x2 , , xm , 0, 0, , 0) f ( x1 , x2 , , xm ) = 0} ( m < n) Theo (*) ( S ') = { A( x1 , x2 , , xm , 0, 0, , 0) f ( x1 , x2 , , xm ) = 0} (m < n) Vậy p ( S ) = ( S ') Đạt Ma Trung 376 Bài 1.65: Trong A3 tìm phương trình chuẩn tắc siêu mặt bậc hai (S) có phương trình hệ tọa độ afin cho là: x12 + x22 + x32 + x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 − x1 + x2 + x3 = Giải: Trong A3 siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: ( S ) : x12 + x22 + x32 + x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 − x1 + x2 + x3 = (1) ⇔ x12 + x1 ( x2 + x3 − 1) + ( x2 + x3 − 1) − ( x2 + x3 − 1)2 + x22 + x32 + x2 x3 + x2 + x3 = ⇔ ( x1 + x2 + x3 − 1)2 + x22 + x2 x3 + x2 + x3 − = ⇔ ( x1 + x2 + x3 − 1)2 + x22 + x2 ( x3 + 2) + ( x3 + 2) − ( x3 + 2) + x3 − = ⇔ ( x1 + x2 + x3 − 1)2 + (2 x2 + x3 + 2) − x32 − = 2  x + x + x −   x + x +   x3  ⇔   +  −  −1 = 5      5 Thực phép biến đổi tọa độ (cũng phép biến đổi afin): x1 + x2 + x3 −   X1 =  x2 + x3 +   X2 =   x X3 =    5 X2 − X3 +  x1 = X − 2   5 x2 = X2 − X −1 ⇔ 2   x3 = X   ⇔ [ x] = A[ X ] + [a ] Với     A=     − 5 5   2 5   −  [a ] =  −1  0      − Cuối ta phương trình chuẩn tắc (S) là: Đạt Ma Trung 377 X 12 + X 22 − X 32 − = (hyperboloid tầng) Bài 1.66: Trong A3 , tìm đường sinh thẳng mặt bậc hai: a) ( S1 ) : x2 y + − z = qua điểm M(3,2,1) b) ( S2 ) : x2 y − = z qua điểm N(3,-4,0) 16 Giải: a) Mặt bậc hai: ( S1 ) : x y2 + − z2 = Ta có: xM2 yM2 32 22 + − zM2 = + − 12 = 9 ⇒ M ∈ ( S1 ) Đường thẳng qua M có phương trình tham số:  x = xM + α t  x = + αt   (d1 ) :  y = yM + β t ⇔  y = + β t  z = z +γt  z = 1+ γ t M   Trong c1 (α , β , γ ) vectơ phương đường thẳng (d1 ) Trong trường hợp (d1 ) đường sinh thẳng ( S1 ) , nghĩa (d1 ) nằm hoàn toàn ( S1 ) , ta có: (3 + α t )2 (2 + β t ) + − (1 + γ t ) = 1, ∀t ⇔ t2( α2 + β2 − γ ) + 2t ( α + β − γ ) = 0, ∀t Đạt Ma Trung 378 α β −γ =  + ⇔  α + β −γ =  α β α β  + − ( + ) = ⇔ α β  γ= +   αβ =  ⇔ α β γ = +  α =   γ = β  ⇔   β =  α  γ =  β β  c1 = (0, β , ) = (0, 2,1) ⇔  c = (α , 0, α ) = α (3, 0,1)  3 Vậy ( S1 ) có hai đường sinh thẳng có phương trình tham số là:  x=3  x = + 3t   ' (d1 ) :  y = + 2t (d1 ) :  y =  z = 1+ t  z = 1+ t   b) Mặt bậc hai: (S2 ) : x y2 x2 y2 − = 2z ⇔ − − 2z = 16 16 Ta có: xN2 yN2 32 (−4) − − zN = − − 2.0 = 16 16 ⇒ N ∈ ( S ) Đường thẳng qua N có phương trình tham số: Đạt Ma Trung 379  x = xN + α t  x = + αt   (d ) :  y = y N + β t ⇔  y = −4 + β t  z = z +γt  z = γt N   Trong c2 (α , β , γ ) vectơ phương đường thẳng (d ) Trong trường hợp (d ) đường sinh thẳng ( S ) , nghĩa (d ) nằm hoàn toàn ( S ) , ta có: (3 + α t )2 (−4 + β t ) − − 2γ t = 0, ∀t 16 ⇔ t2( α2 − β2 16 ) + 2t ( α + β − γ ) = 0, ∀t  α2 β2  − 16 = ⇔ α + β − γ =  α β α β ( − )( + ) = ⇔ α β  γ= +   3β  α =   γ =β  ⇔    α = − 3β     γ = 3β β β   c2 = ( , β , ) = (3, 4, 2) ⇔ c = (− 3β , β , 0) = β (−3, 4, 0)  4 Vậy ( S ) có hai đường sinh thẳng có phương trình tham số là:  x = + 3t  x = − 3t   ' (d ) :  y = −4 + 4t (d ) :  y = −4 + 4t  z = 2t  z=0   Đạt Ma Trung [...]... cần và đủ là PQ ∈ α + β , dim(α ∩ β ) = 1 d) α ∩ β ≠ ∅ , α ∩ β = 0 (nói α và β chéo nhau cấp 0) Cần và đủ là PQ ∉ α + β , α ∩β =0 e) α ∩ β ≠ ∅ , dim(α ∩ β ) = 1 (nói α và β chéo nhau cấp 1) Cần và đủ là PQ ∉ α + β , dim(α ∩ β ) = 1 f) α ∩ β ≠ ∅ , α ≡ β (nói α và β chéo nhau cấp 2) Cần và đủ là PQ ∉ α + β , α ≡ β Bài 8 Trong An cho hai siêu phẳng α và β chứng minh rằng với α ∩ β = ∅ thì α = β Khi đó... ' x = 1− y ' ⇔  y = 1− x ' x ' = 1− y ⇔  y ' = 1− x D (0,1) 1 1 G( , ) 3 3 2 −1 GB = ( , ) 3 3 −1 2 GC = ( , ) 3 3 Đạt Ma Trung 23 Cách 2: Nhận xét: Áp dụng qui tắc hình bình hành và tính chất trọng tâm hình tam giác để giải bài toán Lời giải: Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của BC , AB, AC Xác định toạ độ của G , B, C , GB, GC , M , N , P trong mục tiêu cũ { A, B, C} G là trọng tâm của... V n 2 Các thí dụ a) Không gian Ơclit hai chiều E 2 và ba chiều E 3 đã học ở trường phổ thông trung học là những không gian afin theo thứ tự liên kết với các không gian vectơ (tự do) hai chiều V 2 và ba chiều V 3 với định nghĩa vectơ, phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với một số thực đã trình bày trong sách giáo khoa phổ thông trung học Khi đó rõ ràng ánh xạ f thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nói trên b)... P0 ; u1 , u2 , u3 , Q0 ; v1 , v2 , v3 là hai mục tiêu của afin A3 Dạng 3: Bài toán tìm tọa độ afin của các điểm Phương Pháp: Lấy không gian afin An , nền V n Lấy ( Ε0 ,… , Ε n ) là mục tiêu của An Tọa độ của điểm M viết dạng: E0 M = x1 E0 E1 + + xn E0 En Vậy tọa độ của M ( x1 , , xn ) Ví dụ Trong không gian afin A3 cho một hình hộp ABCDA' B 'C ' D ' có AA' / / BB ' / / CC ' / / DD ' , ta chọn muc... ≡ B, E3 ≡ D Hãy tìm tọa độ afin của các đỉnh còn lại và tọa độ tâm của các mặt bên hình hộp Lời giải: Nhận xét: Ta biết rằng tọa độ của điểm X trong không gian afin A3 đối với mục tiêu afin {E0 , E1 , E2 , E3 } chính là tọa của vectơ E0 X đối với cơ sở tương ứng của mục tiêu đó {E E , E E , E E } 0 1 0 2 0 3 Nhìn hình vẽ ta có : AA = 0 AA' + 0 AB + 0 AD ⇒ A = (0, 0, 0) AA' = 1AA' + 0 AB + 0 AD ⇒ A'...10 §1 KHÔNG GIAN VÀ HÌNH HỌC AFIN I KHÔNG GIAN AFIN 1 Định nghĩa Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là 1 không gian vectơ trên trường K và cho ánh xạ f : A × A → V được kí hiệu là f ( M , N) =... 3b2 + b0 (5) Từ (1), (3), (5), ta có 1 2 a1 = −a2 = ; a0 = − 3 3 (2), (4), (6), ta có 1 2 2 b1 = ; b 2 = ; b 0 = − 3 3 3 (4) (6) Thay các giá trị này vào công thức đầu tiên, được kết quả cần tìm Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD trong mặt phẳng với mục tiêu afin { A; B, D} đối với mục tiêu này giả sử cho điểm M có tọa độ là (α , β ) Hãy tính tọa độ của điểm M đối với các mục tiêu sau: a) {C ; B, D}...   0 −2   1 −1  2  6 [ P ]I =  1  , [ P ]II =  −2      Vào đẳng thức trên suy ra: 1 1 2   x1 = 3 x1′′ − 3 x2′′ − 3   x = 1 x′′ + 2 x′′ + 1  2 3 1 3 2 3 Đạt Ma Trung } 29 BÀI TẬP MỞ RỘNG Bài 1 Chứng minh rằng trong không gian afin An một hệ m + 1 điểm A0 , A1 , , Am là độc lập khi và chỉ khi với mọi điểm o bất kì, từ đẳng thức m ∑ λ OA = 0 i và i m ∑λ i =0 i = 0 ta suy ra λ0 =... của không gian afin cũng được thỏa mãn ( ) Vì dim α = m nên dim α ,ψ , α = m Đạt Ma Trung 34 Bài 7 Trong không gian afin An cho mặt phẳng α và mặt phẳng β Cho điểm P ∈ α và điểm Q ∈ β Nêu tất cả các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa α và β và chỉ ra điều kiện cần và đủ đối với mỗi trường hợp Lời giải: Biện luận vị trí tương đối giữa α và β theo α ∩ β và α ∩ β : a) α ≡ β ⇒ α ≡ β Cần và đủ là PQ ∈... trận chuyển từ Eo' Ei' sang E0 Ei Do đó từ công thức (5) ta có:  x '  = C *−1 [ x ] − C *−1 [ a0 ] (6) Các công thức (5) và (6) gọi là công thức đổi mục tiêu tọa độ Đạt Ma Trung 15 PHẦN III BÀI TẬP A CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh bộ ba ( Α, ϕ ,ν ) là một không gian afin Phương Pháp: Bộ 3 (A,f ,V) gọi là không gian afin nếu 2 tiêu đề sau đây được thỏa mãn: i) Với mọi điểm M thuộc A và ... chéo cấp 0) Cần đủ PQ ∉ α + β , α ∩β =0 e) α ∩ β ≠ ∅ , dim(α ∩ β ) = (nói α β chéo cấp 1) Cần đủ PQ ∉ α + β , dim(α ∩ β ) = f) α ∩ β ≠ ∅ , α ≡ β (nói α β chéo cấp 2) Cần đủ PQ ∉ α + β , α ≡ β Bài. .. kết với không gian vectơ V n Các thí dụ a) Không gian Ơclit hai chiều E ba chiều E học trường phổ thông trung học không gian afin theo thứ tự liên kết với không gian vectơ (tự do) hai chiều V... ] (6) Các công thức (5) (6) gọi công thức đổi mục tiêu tọa độ Đạt Ma Trung 15 PHẦN III BÀI TẬP A CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Dạng 1: Chứng minh ba ( Α, ϕ ,ν ) không gian afin Phương Pháp: Bộ (A,f