Bài tiểu luận hình học cao cấp

Tọa độ vectơ trong một cơ sở: 1.1 Định nghĩa: Một cơ sở của không gian vectơ được gọi là cơ sở được sắp nếu ta chú ý đến thứ tự của các vectơ cơ sở.. Với mọi điểm M thuộc A và mọi vect

KHOA TOÁN - TIN

L Ớ P TOÁN VB2- K2

§0 KHÔNG GIAN VECTƠ

I VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN:

1. Định nghĩa : AB


 là một đoạn thẳng cố định hướng

2 Hai vectơ bằng nhau : có cùng hướng và cùng độ dài

3 Hai vectơ đối nhau: ngược hướng và cùng độ dài

a, b, c đồng phẳng ∃m n, ∈R c: =ma+nb

9 Phân tích một vectơ theo một vectơ không đồng phẳng:

Với a,b,c không đồng phẳng và vectơ e ,có duy nhất x1,x2,x3:

13

II TỌA ĐỘ VECTƠ TRONG CƠ SỞ - CÔNG THỨC ĐỔI TỌA ĐỘ

1 Tọa độ vectơ trong một cơ sở:

1.1 Định nghĩa: Một cơ sở của không gian vectơ được gọi là cơ sở được sắp nếu ta chú ý

đến thứ tự của các vectơ cơ sở Ta dùng ký hiệu B=( ,α α1 2, ,αn)để chỉ cơ sở được sắp, còn

1 2

{ , , , }n

B= α α α là cơ sở không được sắp Ta gọi cơ sở không được sắp là một tập cơ sở

Do đó, B=( ,α α1 2, ,αn)và B' ( , , ,= α α2 1 αn)là hai cơ sở khác nhau Rõ ràng hai cơ sở được sắp B và B’ nói trên đều thuộc vào môt tập cơ sở Ứng với một tập cơ sở gồm n phần tử

ta sẽ có n! cơ sở được sắp

Cho V là không gian vectơ n chiều B=( ,α α1 2, ,αn)là một cơ sở của V khi đó, x viết

được duy nhất dưới dạng: x=a1 1α +a2α2+ +a nα αn, i∈ 

Bộ số ( , , , )a a1 2 a n được xác định một cách duy nhất và được gọi là tọa độ của x trong cơ

s ở B

Để chỉ tọa độ của x trong cơ sở B, ta ký hiệu: x/ ( ) ( , , , )B = a a1 2 a n Hoặc [ ]

1 2 /( )B

n

a a x

1.2 Ví dụ:

Xét không gian 2[ ]x gồm các đa thức bậc nhỏ hơn bằng 2 Xét hệ vector

2

1 1; 2 ; 3

u = u =x u = x , khi đó với mọi vector u = 2

ax +bx+ thuộc c 2[ ]x thì tọa độ của u đối

với cơ sở B=( , , )u u u3 2 1 là [ ]u B =( , , )a b c

1.3 Tính chất:

Nếu

1 2 /( )

[ ] B

n

x x x

[ ] B

n

y y y

1.4 Ví dụ:

Trong 3cho hệ 3 vectơ B={u1=(1,1,0);u2 =(1, 0,1);u3=(0,1,1)}

a) Chứng minh rằng B là một cơ sở của 3

b) Tìm tọa độ của các vectơ e1(1,0, 0); (0,1, 0); e2 e3 =(0,0,1); u=(3, 4,5)trong cơ sở B

Giải:

Vì B là hệ gồm 3 vectơ trong không gian hữu hạn chiều 3, nên để chứng minh B là cơ sở

của 3 ta chỉ cần chứng minh B là hệ độc lập tuyến tính

Để chứng minh điều này ta có thể xây dựng ma trận A có các dòng là các vectơ u u u1, ,2 3, sau đó chứng minh rankA = 3 hay detA≠0

e

e u

2 Đổi cơ sở, ma trận đổi cơ sở, công thức đổi tọa độ:

Giả sử trong không gian vectơ V, ngoài cơ sở B={ , , , }e e1 2 e n còn có một cơ sở khác là

2.1 Định lý: Cho V là một không gian vectơ n chiều trên trường K và A, B, B’ là các cơ sở

được sắp của V Khi đó, ta có các điều khẳng định sau:

a) Ma trận đổi cơ sở từ A sang A là I n

b) ( : C A→B') ( := C A→B C B)( : →B') c) (C A: →B) (= C B: →A)−1

2.2 Công thức đổi tọa độ:

Cho không gian vectơ V, gọi B và B’ là hai cơ sở được sắp của V Giả sử x V∈ và tọa độ

của x đối với cơ sở B và B’ lần lượt là: x[ ]B =( , , , )x x1 2 x n và ' ' ' '

n

i ij j j

1 2 3

x x x

2 3

543321

x x

x x

x x x

x x

3) Gọi tọa độ của v trong cơ sở chính tắc V là ( , , )x x x1 2 3 ta có

1 2 3

1 1 0 1

1 0 1 2

0 1 1 3

x x x

345

x x x

VD2 Trong 3cho 2 cơ sở B( ,α α α1 2, )3 và B'( ,β β β1 2, )3 như sau:

(1,1,1); ( 1, 2,1); (1,3, 2)(1,0,1); (1,1, 0); (0,1,1)

1 Tìm ma trận chuyển từ cơ sở B sang cơ sở B’

2.Viết công thức tính tọa độ của vectơ x trong cơ sở B theo tọa độ của x trong cơ sở B’

Để tìm , ,a b c ta phải giải các phương trình vectơ (1), (2), (3) i i i

Phương trình (1) tương đương với hệ:

1. Tìm ma trận đổi cơ sở từ B sang B’

2. Tìm ma trận đổi cơ sở từ B’ sang B

n n

§1 KHÔNG GIAN VÀ HÌNH HỌC AFIN

I KHÔNG GIAN AFIN

1 Định nghĩa

Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là 1 không gian

vectơ trên trường K và cho ánh xạ f A A: × →V được kí hiệu là f M( , N)=MN =MN



với các điểm M N, thuộc A và vectơ MN



thuộc V

Bộ 3 ( ,f, V)A gọi là không gian afin nếu 2 tiêu đề sau đây được thỏa mãn:

i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u

Khi đó ta nói rằng không gian afin ( ,f, V)A liên kết không gian vectơ V trên trường

Kvà được goi tắt là không gian afin A trên trường K Không gian vectơ liên kết V còn được

kí hiệu là A , được gọi là nền của không gian afin A

Nếu V là vectơ không gian thực nghĩa thì là K=Rta nói A là một không gian afin thực Nếu Vlà vectơ không gian phức nghĩa là K=Cta nói A là một không gian afin phức Trong giáo trình này ta nói chủ yếu về không gian afin thực

Không gian afin A gọi là n chiều nếu dim V =n và được kí hiệu dim A n= hay n

b) Cho V là một không gian vectơ Ta dùng V làm tập hợp A Khi đó vectơ của V

được gọi là các điểm của A Với 2 vectơ a

được hoàn toàn xác định)

Rõ ràng với ánh xạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiêu đề i) và ii) nên V trở thành không gian afin liên kết với V

c) Cho tập hợp n

R trong đó mỗi phần tử của nó là bội số thực có thứ tự mà ta sẽ gọi

là những điểm mà không gian vectơ n

V mà mỗi vectơ x



của nó sẽ ứng với một bội số thực

(x x1, , ,2 x n)với x i∈ Ánh xạ f được xác định như sau: với 2 điểm R A=( , , ,a )a a1 2 … n và

R là một không gian afin n - chiều

3 Một số tính chất đơn giản của không giang afin

a) Với mọi điểm M∈A thì MM =0

 

Thật vậy, theo tiêu đề ii) ta có MN+MM =MN

b) Chú ý Trong định nghĩa trên điểm A0 không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm

i

A khác Thật vậy người ta có thể chứng minh rằng nếu các vectơ A A A A0 1, 0 2, ,A A0 m













độc lập tuyến tính thì đối với một I nào đó hệ m vectơ A A A A i 0, i 1, ,A A i i−1,A A i i+1, ,A A i m






















, cũng độc lập tuyến tính Phần chứng minh này dành cho bạn độc

c) Định lí Trong không gian afin n chiều n

A luôn luôn có những hệ m điểm độc lập với

0 ≤m n≤ + , mọi hệ điểm nhiều hơn 1 n+ điểm đều không độc lập 1

Giả sử n

V là không gian vectơ liên kết với không gian afin n

A và { }e i là một cơ sở nào

đó của V Vì n V không rỗng nên trong n A ta có thể chọn một điểm n A nào đó Sau đó ta 0

chọn các điểm A sao cho i A A 0 i =e i




với 1, 2, i = n Rõ ràng hệ 1n + điểm A A0, , ,1… A nlà độc lập Ngoài ra nếu ta lấy m bất kỳ của hệ đó thì ta được hệ m điểm độc lập với

Cho không gian afin n chiều n

A liên kết với không gian vectơ V Một tập hợp có thứ tự n

gồm n+ điểm độc lập 1 {E E E0, ,1 2, E n}của n

A được gọi là một mục tiêu afin của n

A Điểm

0

E gọi là gốc của mục tiêu, các đỉnh E gọi là các đỉnh thứ i của mục tiêu i

Ta kí hiệu mục tiêu afin nói trên là {E , E }0 i với 1, 2, , i = n

Chú ý nếu trong không gian vectơ liên kết V của n A nta lấy các vectơ e i =E E0 i







với

1, 2, ,

i = n thì { }e i là một cơ sở của n

V và cơ sở này được gọi là nền cùa mục tiêu

{E E Rõ ràng là môt mục tiêu afin chỉ có một cơ sở nền duy nhất, nhưng ngược lại với 0, i}

một cơ sở { }e i của V ncó thể là nền của nhiều mục tiêu khác nhau trong A Nếu ta chọn O n

là gốc của mục tiêu afin ứng với cơ sở nền { }e i khi đó ta có thể kí hiệu mục tiêu afin tương ứng đó là{ }O e; i



với 1, 2, , i = n

2 Tọa độ afin của một điểm

Trong không gian afin n chiềuA cho mục tiêu afin n {O e; i}

Rõ ràng là ứng với mỗi điễm cho trước, đối với một mục tiêu afin xác định nào đó, ta có

một tọa độ afin xác định và ngược lại với mỗi bộ phận n phần tử có thứ tự của trường K là

được chọn làm tọa độ afin của một điểm X thì điểm X hoàn toàn được xác định Theo định nghĩa trên đối với mục tiêu afin {E O, }E i điểm E0 có tọa độ afin là (0,0, ,0… ) còn các điểm

Ecó tọa độ afin là (0, ,0,1,0, ,0… … ) trong đó số 1 nằm ở vị trí thứ i , còn các số khác đều

3 Đổi mục tiêu afin

Trong không gian afinΑ cho 2 mục tiêu afin {n E O, }E và i { ' '}

Rõ ràng C là ma trận không suy biến vì det C≠ 0

Ta chú ý rằng nếu cho trước mục tiêu {E E0, i} và mục tiêu { ' '}

0, i

E E thì ma trận C hoàn toàn xác định được Ngược lại nếu cho trước ma trận chuyển C và tọa độ một điểm '

Bây giờ giả sử X là một điểm nào đó của không gian afin A và lần lượt có tọa độ n

đối với mục tiêu {E E0, i} và { ' '}

0, i

E E là ( , , , )x x1 2 x n và ' ' '

1 2

( , , , )x x x n Ta hãy tìm liên hệ giữa các tọa độ ( )x và 1 ( )x1' nói trên của cùng một điểm X đối với hai mục tiêu khác

PHẦN III BÀI TẬP

Dạng 1: Chứng minh bộ ba (Α, ,ϕ ν) là một không gian afin

Phương Pháp:

Bộ 3 (A,f ,V) gọi là không gian afin nếu 2 tiêu đề sau đây được thỏa mãn:

i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u

Thử nghiệm 2 tiên đề trong không gian afin

.(i) Cho (M M1, 2)∈Avà ( , )v v1 2 ∈ thì có duy nhất để V ϕ1(M N1, 1)=v1

,ϕ2(M2,N2)=v2

 Như vậy có duy nhất ( ,N N1 2)∈A để ϕ((M M1, 2),( ,N N1 2)) ( , )= v v1 2

Dạng 2: Trong không gian afin A , chứng minh một tập hợp cho trước n {E0, ,E n}là mục tiêu afin

(1, 0, 0, ,0)(1,1, 0, ,0)

(1,1,1, ,1)

n

e e











là hai mục tiêu của afin A3

Dạng 3: Bài toán tìm tọa độ afin của các điểm

Phương Pháp:

Lấy không gian afin A n, nền V n

Lấy (Ε0, ,… Εn) là mục tiêu của n

A Tọa độ của điểm M viết dạng:

0 1 0 1 n 0 n

E M = x E E + +x E E

Vậy tọa độ của M x( 1, ,x n)

Ví dụ Trong không gian afin A cho m3 ột hình hộp ABCDA B C D có ' ' ' '

Ta biết rằng tọa độ của điểm X trong không gian afin A3

đối với mục tiêu afin {E0, ,E E E1 2, 3} chính là tọa của

(1,1, 0)(1, 0,1)(1,1,1)

B D C

=

=

=Gọi M N P Q R S theo thứ tự là tâm của các mặt bên: , , , , ,

Dạng 4: Bài toán đổi mục tiêu

Trong không gian afin Α , đổi mục tiêu từ n (Ο, ,e e1 2)

, , ,1

n n

1

n n

n

x x

'

n

x x

n

a a

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Afin A2cho hình bình hành ABCD có các đường chéo cắt nhau tại

O Tìm công thức đổi mục tiêu khi mục tiêu cũ là{A B D; , }và mục tiêu mới là {O B C; , }

1 1,

2 2

A B C O

2 2

O  

 

 

• Tọa độ điểm O:

AO



=1



=1

2 AB



+1

x x

x x

1212

Bài tập 1: Trong mặt phẳng Afin cho tam giác ABC có trọng tâm G Tìm công thức đổi mục

tiêu khi chọn mục tiêu cũ là {A B C, , }và mục tiêu mới là {G B C, , } Áp dụng công thức đổi mục tiêu hãy tìm toạ độ của trung điểm các cạnh BC CA AB của tam giác ABC , ,

1 1( , )

1 2 ' '

1 2

' 1 ' 2

1,02

20

là một mục tiêu afin Viết công thức đổi tọa

độ từ mục tiêu đã cho sang mục tiêu mới

(1, 0, 0, ,0)(1,1, 0, ,0)

(1,1,1, ,1)

n

e e

Thay các giá trị này vào công thức đầu tiên, được kết quả cần tìm

Bài tập 4: Cho hình bình hành ABCD trong mặt phẳng với mục tiêu afin {A B D; , }đối với mục tiêu này giả sử cho điểm M có tọa độ là (α β, ) Hãy tính tọa độ của điểm M đối với các mục tiêu sau:

A B D C CB CD

Vậy điểm M có tọa độ đối với mục tiêu afin {C B D; , }là M =(1−α,1−β)

b Tọa độ của điểm M đối với các mục tiêu {B C A; , }

A B D C BC BA

Vậy M =( ,1β −α)đối với mục tiêu {B C A; , }

c Tọa độ của điểm M đối với các mục tiêu {D C A; , }

A B D C DC DA

'' 1

Bài tập 5 Trong không gian afin 2 chiều A2trên trường số thực R cho mục tiêu {O;e , e (I)1 2}

 

và {O ′;e , e

1 ′2}(II)

Đối với mục tiêu (I) ba điểm P, Q, R có tọa độ là P=( )2,1 ,Q=( )1,1 ,R=(1, 1− )

Đối với mục tiêu (II) chúng ta có tọa độ P=(6, 2 ,− ) Q=(4, 1 ,− ) R=(2, 3− )

Hãy viết công thức đổi mục tiêu từ (I) sang (II)

sang mục tiêu (III)

Kí hiệu [ ] [ ]P I, P II tương ứng là các ma trận cột tọa độ của P đối với mục tiêu (I) và (II)

Ta có công thức đổi mục tiêu từ mục tiêu (I) sang mục tiêu (III) là:

=

=

∑ nên ta suy ra λ0 = 0Vậy ta đã chứng minh được λ0 =λ1= =λm = , ta cần chứng minh rằng hệ 0 m+ điểm 1

λ

=

=

∑ và λ1=λ2= =λm = 0

Bài 2 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 4 điểmA A A A1, 2, ,3 4thuộc một mặt phẳng afin

là với một điểm P tùy ý ta có:

3 2

Ta suy ra 4 điểm A A A ,1, 2, 3 A thuộc cùng một mặt phẳng 4

Bài 3 Trong mặt phẳng afin cho mục tiêu R={O e e; ,1 2}

là M =(x' , '1 x2)=(11,14)

Bài 4: Cho không gian véc tơ n chiều V trên trường K, và không gian con m chiều W của V,

m < n Gọi p: V → V/W là phép chiếu chính tắc lên không gian thương

a) Đặt Φ là tập hợp tất cả ánh xạ tuyến tính : / Wϕ V →V sao cho p q Id = Chứng minh rằng V =W⊕ϕ( / W)V và ánh xạ F:ϕ →( / W)V là một song ánh từ Φ lên tập các không gian véc tơ con bù tuyến tính của W trong V

b) Đặt A=Hom V( / W, )V và xem A là không gian Afin chính tắc xây dựng không gian véc

tơ Hom V( / W, )V chứng minh rằng Φ là các phẳng của A Tìm các phương Φ



của Φ và số chiều của Φ

Lời giải

a) Đặt p: V → V/W là phép chiếu chính tắc, Kerp = W, Im p =V/W

b) Xét ϕ0∈ Φ ={ϕ∈Hom V( / W), | pV ϕ=idV/W} thì ϕ= Φ

Thật vậy, đồng nhất V/W với Z, coi :p V →V / W là hình chiếu chính tắc lên thành phần thứ hai của tổng trực tiếp V =W⊕Z thì cần chứng minh tồn tại duy nhất :Z V p p, id Z, Im Z

Bài 5 Cho không gian afin trên trường K, không gian con m n

W ⊂V Hai điểm ,

MN∈W



a) Chứng minh rằng quan hệ M N tương đương vừa định nghĩa là một quan hệ tương đương ,theo nghĩa thuyết tập hợp (tức quan hệ ấy có tính tự ứng, đối xứng, bắc cầu)

tương đương của điểm M là [ ]M và :ϕ A A× →V n/Wcho bởi quy tắc :

Từ đó suy ra quan hệ đã cho là một quan hệ tương đương trên A

Trước hết cần phải chứng minh rằng định nghĩa ϕ không phụ thuộc cách chọn đại diện của lớp tương đương của điểm M

Gỉa sử M1 cũng là một đại diện của lớp [M], còn N1 cũng là một đại diện của lớp [N] Khi





































Điều này chứng tỏ MN v M N à 1 1



gọi là một không gian afin

m− chiều nếu hai tiên đề sau được thỏa mãn:

( )i Với mọi điểm M ∈ và mọi vα ∈α




có duy nhất điểm N ∈ sao cho MNα =v

 

(hay (M N, ) v

Bài 7 Trong không gian afin n

A cho mặt phẳng αvà mặt phẳng β Cho điểm P∈ và điểm α

Q∈β Nêu tất cả các vị trí tương đối có thể xảy ra giữa αvà βvà chỉ ra điều kiện cần và đủ đối với mỗi trường hợp

Lời giải:

Biện luận vị trí tương đối giữa αvà βtheo α∩β và α∩β




: a) α ≡β ⇒α
≡β
 Cần và đủ là PQ∈ +α β





và α≡β




b) α∩β ≠ ∅ , α∩β =0




(⇒α∩βlà một đường thẳng) cần và đủ là PQ∈ +α β





, dim(α∩β) 1=




d)α∩β ≠ ∅ , α∩β =0

(nói αvàβchéo nhau c ấp 0) Cần và đủ là PQ∉ +α β





, 0




f)α∩β ≠ ∅ , α ≡β

đó ta nói αvà βsong song v ới nhau





Tồn tại N ∈A

và 'N ∈A'sao cho φ (M, N) u, φ' (M', N') u'= =

Bài 11: Cho (A, φ, A
) là không gian afin, α
là một không gian vectơ con của A
 Hai điểm

M, N A∈ gọi là tương đương nếu M, N α∈

hay

0

0 1

Bài 13 Chứng minh rằng nếu M M0, 1, ,M là hệ m + 1 điểm độc lập thì điều kiện cần và đủ m

để hệ m + 2 điểm M M0, 1, ,M m,M m+1không độc lập với O tùy ý ta có

§ 1.KHÔNG GIAN AFIN

1 Định nghĩa

Cho tập hợp A khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian

vectơ trên trường K và cho ánh xạ:

Bộ ba (A, f, V) gọi là không gian afin nếu hai tiên đề sau đây được thỏa mãn:

i) Với mọi điểm M thuộc A và mọi vectơ u

, được gọi là nền của không gian afin A

Nếu V là không gian vectơ thực nghĩa là K = R ta nói rằng A là một không gian afin

thực Nếu V là không gian vectơ phức nghĩa là K = C ta nói rằng A là một không gian afin

Ví dụ về không gian afin:

1) Không gian Euclide hai chiều E 2 và ba chiều E 3 là những không gian afin theo thứ

tự liên kết với các không gian vectơ hai chiều V2 và ba chiều V3 với định nghĩa vectơ, phép cộng vectơ, phép nhân vectơ với 1 số thực Khi đó rõ ràng ánh xạ f thỏa mãn hai tiên đề i) và ii) nói trên

2) Cho V là một không gian vectơ Ta dùng V làm tập hợp A Khi đó các vectơ của V

được gọi là các điểm của A Với hai vectơ ,a b

được hoàn toàn xác định)

Rõ ràng ánh xạ f được xác định như trên thỏa mãn hai tiên đề i) và ii) nên V trở thành không gian afin liên kết với V