hệ thức lương trong tam giác

HỆ THỰC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC biquyetthanhcong.net A 1. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: b 1.1. Định lí cosin: c a 2 = b 2 +c 2 -2bc. cosA C b 2 = a 2 + c 2 – 2ac.cosB c 2 = a 2 + b 2 -2ab.cosC M a B Hệ quả: bc acb A 2 cos 222   ac bca B 2 cos 222   ab cba C 2 cos 222   1.2. Định lí sin: R C c B b A a 2 sinsinsin  (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác) 1.3. Định lý đường trung tuyến: 4 22 222 2 acb m a   4 22 222 2 bca m b   4 22 222 2 cba m c   2. CÁC DẠNG BÀI TẬP: biquyetthanhcong.net 2.1. Dạng 1: Tính các yếu tố trong một tam giác Bài 1: Tam giác ABC có <B=60 o ; <C= 45 0 ; BC= a a / Tính độ dài hai cạnh AB, AC b / Chứng minh: cos 75 0 = 4 26  Bài 2: Tam giác ABC có BC =12, CA=13, trung tuyến AM =8 a / Tính diện tích tam giác ABC b / Tính góc B Bài 3: Cho ta giác ABC có độ dài 3 đường trung tuyến bắng 15; 18 ;27 a / Tính diện tích tam giác b / Tính độ dài các cạnh của tam giác 2.2. Dạng 2: Chứng minh hệ thức giửa các yếu tố trong một tam giác Bài 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC đều có R abc cba CBA 222 cotcotcot   Giải : Ta có biquyetthanhcong.net R abc cba R c ab cba R b ac bca R a bc acb C C B B A A 222 222222222 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos cotCcotBcotA          Bài 2: Chứng minh rằng: (b-c) cot A/2 +(c-a) cot B/2 + (a-b) cot C/2 =0 CM: (1) )cos(cos2 2 sin 2 sin4 2 cos 2 sin ) 2 sin 2 cos4( 2 sin 2 cos )sin2sin2( 2 cot)( ABR BABA R BA BA BABA R C C BRAR C ba        Tương tự (3) )cos(cos2 2 cot)( (2) )cos(cos2 2 cot)( CAR B ac BCR A cb   Cộng vế theo vế (1),(2),(3) => đpcm biquyetthanhcong.net Bài 3: Chứng minh rằng: r = 4R .sin A/2 .sin B/2 .sin C/2 CM 2 sin 2 sin 2 sin4 222 2 sinsinsin R ) 22 ( 2 sinsinsin R 22 2 22 2 sinsinsin R2 )(2 sinsinsin 4R 2 sinsinsin2sinsinsin2 pr nCsinAsinBsi2RS 2 22 2 CBA R C Cos B Cos A Cos CBA BA Cos BA Cos C Cos CBA C Cos C Sin BA Cos BA Sin CBA SinCSinBSinAR CBA cba CBAR p CBAR r              2.3. Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác giải bài toán thực tế Bài toán 1: Đo chiều cao Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng ten cao 5 m. Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng ten dưới góc 45 0 và 60 0 so với phương nằm ngang. Tính chiều cao của tòa nhà D C B A biquyetthanhcong.net Bài toán 2: Tính khoảng cách Tính khoảng cách một con tàu ngoài biển tới đất liền 2.4. Nhận dạng tam giác: Dạng 1: Nhận dạng tam giác đều 2 cos 2 cos 2 cossinsinsin CBA CBA  Dạng 2: Nhận dạng tam giác cân C B C B tan tan sin sin 2 2  Dạng 3: Nhận dạng tam giác vuông CB a C c B a sin.sincoscos  Dạng 4: Tìm đặc điểm của tam giác Nhận dạng tam giác ABC nếu các góc của nó tỏa mãn: (1+cotA)(1+cotB)=2 biquyetthanhcong.net BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC cạnh đáy a, cạnh bên b, góc ở đỉnh bằng 0 20 .CMR 233 3abba  Giải Ta có 203030033 003303333033 000000 310sin6)10sin410sin310sin4(2 )30sin10sin4(2) 2 1 10sin4(2)10sin2(a 10sin210802101042022 abbb bbbbb bSinRSinCosRSinRSinRSinAa    Bài 2: CMR diên tích tam giác ABC có thể tính bởi )2sin2sin( 4 1 22 AbBaS  CM Ta có SSinCSinSinSinBCosASinACosBSinBSinA SinACosABSinRSinBCosBASinRAbBa   BA2R)( 2R )2.42.4( 4 1 )2sin2sin( 4 1 2 2 222222 biquyetthanhcong.net Bài 3: Cho ABC có   CBA 24 . CMR a) cba 111  b) 4 5 coscoscos 222  CBA C/M a) Ta có CRBRcb sin2 1 sin2 111  Ta laị có 7 4 , 7 2 , 7 A 24            CB CBA CBA                      7 2 sin 7 4 sin 7 2 sin 7 4 sin 2 1 7 4 sin2 1 7 2 sin2 111 R RR cb a R R 1 7 sin2 1 7 cos 7 sin 7 3 sin2 7 cos 7 3 sin2 2 1       (đpcm) b) 4 5 coscoscos 222  CBA Ta có      2 2cos1 2 2cos1 coscoscos 222 BA CBA C 2 cos   CBA 2 cos2cos2cos 2 1 1    )cos()cos(cos1 BABAC  CBA coscoscos21 7 4 cos 7 2 cos 7 cos21   Đặt 7 4 cos 7 2 cos 7 cos2  T 7 4 cos 7 2 cos 7 2 sin 7 4 cos 7 2 cos 7 cos 7 sin2 7 sin       TT         dpcmCBA v ( 4 5 4 1 1coscoscos 4 1 -T 7 sin 4 1 7 8 sin 4 1 7 4 cos 7 4 sin 2 1 222 Bài 5: Cho ABC có ba cạnh thoả 444 cba  .CMR ABC nhọn và CBA tantansin2 2  C/M G/s a là cạnh lớn nhất trong tam giác ABC. Vì A a A a A a c C b B a c bca cb bca ac bca ac bca CB 222 22 2 2224 2 222222 sin2 sinsin 2 sinsin 2 2b sinBsinC 4 )(a sinBsinC 4 ) 2 )( 2 ( sinBsinC coscos sinBsinC tanBtanC       ==> ABC là tam giác nhọn biquyetthanhcong.net Bài 6: Cho tam giác ABC có 1 c b m m b c . CMR 2cotA= cotB +cotC CM : Theo giả thiết ta có cotcotcot2 sinsin )sin( cot2 sinsin sincot2 cos2cos22)(2 )22(22( 22 22 2 22222 22222222 222 222 2 2 2 2 2 2 CBA CB CB A SinC A SinB A AA bc a AAbcaacba bcabcbac cba bca b c m m b c m m b c c b c b         Bài 7: Cho tam giác ABC CMR 222 222 tanB tanA ) acb bca a    biquyetthanhcong.net CM: Ta có 222 222 222 222 ) 2 )( 2 ( ) 2 )( 2 ( tanB tanA acb bca bc acb R b ac bca R a SinBCosA SinACosB CosB SinB CosA SinA       CotCcotBcotA ) 222 abc cba Rb   CM ở bài 1 dạng 2 CotB2cotCcotA2 ) 222  bcac CM Ta có 222222222222 222222222 2)(2)()( 2 2 2 2 2 2 2 sin cosB 2 sin cosC sin cosA CotB2cotCcotA cabbcacbaacb ac S ac bca ab S ab cba bc S bc acb BCA         Bài 8: CMR: rhhh cba 1111  Giải Ta có: a S hahS aa 2 2 1  , VP rpr cba S cba c S b S a S VT      1 22 2 1 2 1 2 1 Bài 10: Cho tam giác ABC có AA’, BB’ là các trung tuyến. Chứng minh rằng: AA’vuông góc với BB’ )cot(cot2cot BAC  Giải biquyetthanhcong.net Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Vì AA’vuông góc với BB’ )1(' 9 4 ' 9 4 )' 3 2 ()' 3 2 ( 222 222 222 ABAABB ABAABB ABAGBG    Mà AA’, BB’ là các trung tuyến nên 4 22 ' ; 4 22 ' 222 2 222 2 bca BB acb AA     Thay vào (1) ta được: 22222222222 222222 592222) 4 22 ( 9 4 ) 4 22 ( 9 4 cbacbcaacbc bcaacb     Lại có: )cot(cot2 sin.sin )sin(2 sin.sin.sin4 sin8 sin 2 cot 2cos4cos2cos2cos 2 2 222 22222 222 AB BA BA CBAR CR Cab c C cCabcCabsCabcbaC ab cba      Bài 11: Cho tam giác ABC, chứng minh: a) 4 ))(( 2 c bpap  b) 8 ))()(( abc cpbpap  biquyetthanhcong.net c) rR 2 Giải a) b) Áp dụng Bất đẳng thức Cối cho từng cặp:  )1( 2 ))(())((2)()( c bpapbpapbpap   )2( 2 ))(())((2)()( a cpbpcpbpcpbp   )3( 2 ))(())((2)()( b cpapcpapcpap  (1)x(2)x(3) ta có điều phải chứng minh c) Ta có: pabc cpbpapp pabc S R r cpbpapppr R abc S ))()((44 ))()(( 4 2   2 1 8 4 8 ))()(( co  abc abcR rabc cpbpapTa Bài 12: CMR 2 tan 2 tan 2 tan CotCcotcotA 222 3 222 CBA cba B cba            Ta có biquyetthanhcong.net 4 ))(())(( 2 ))((2 2 ))((2 22 ))((2)()( 2 c bpapbpap c bpap bcaacb bpapb cba a cba bpapbpap         (1) cot4 cotsin2cos2a 22 22222 AScb AAbccbAbccb   Tương tự BSca cot4b 222  (2) CSba cot4c 222  (3) Cộng vế theo vế (1)(2)(3) ta được :   (*) 4 cotcotcot ba )cotcot(cot4ba 3 3 222 222 S CBA c CBASc             Mặt khác ta có (1) 4 2 tan 4 2 sin 2 cos sin 2 4 2 sin2 sin 2 sin22)cos1(2cos2a 2 2 2 2 22222 S A a S A A a A bc A Aa A bcaAbcAbccb   Tương tự: (2) 4 2 tan 2 S B b  , (3) 4 2 tan 2 S C c  Nhân vế theo vế (1)(2)(3) ta được: 3 222 )4( 2 tan 2 tan 2 tan S B c B b B a  (**) Từ (*)(**) ta có 2 tan 2 tan 2 tan CotCcotcotA 222 3 222 CBA cba B cba            Bài 13: Cm: Rmmm cba 2 9  CM: Theo Bunhiacopki: biquyetthanhcong.net deu ABC ra xay "" 2 9 9 4 9 )( (*) 3 cosC-1CosC 1B)-cos(A ra xay ""Dau 9)) 2 cos1cos (2(4 ))cos1(cos2(4 )cos)2cos2(cos 2 1 2(4 )cos1 2 2cos1 2 2cos1 (4)sinsin(sin4: m ra xay ""Dau )( 4 9 )( )( 4 9 4 22 4 22 4 22 (3)(3)( 22 22 2 22 222222222 a 2222 222 222222222 2222                                    DauRmmmRmmmTu C BA R CC R CCR CBAR C BA RCBARcbakhacMat mm cbammm cba cbabacacb mmmmmm cbacba cb cba cbacba biquyetthanhcong.net Bài 14: a) CM: Smmm cba 33 222  42 ; 42 ; 42 222 2 222 2 222 2 cba m bca m acb m cba        )( 4 3 424242 222 222222222 222 cba cbabcaacb mmm cba        Lại có: S= ))()(( cpbpapp  biquyetthanhcong.net Áp dung BĐT Côsi ta có: (*) 312 )( 33 27 ))()(( 27 ))()((27 ))()((3 2 ))()((3c)-b)(p-(pa)-(p 222 23223 3 33 cba s p s p p s p s cpbpap p cpbpapp cpbpap cba cpbpap       Áp dụng côsi cho 2 )( cba  ta có )(3)( 2222 cbacba  SmmmScba cbacba s cba 3333)( 4 3 312 )(3 312 )( (*) 222222 2222      b) CM:   cbaabc mmm cba  4 3 222 Từ trên:   222 222 4 3 cba mmm cba        cbacba  222 2 111     2 4 9 cbacba  Mà      222222 2 111 cbacba      222 4 27 cbacba              cbaabc cbaabccba cbacbacba mmm cba    4 3 2727 27 222 222 3 222 . HỆ THỰC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC biquyetthanhcong.net A 1. CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC: b 1.1. Định lí cosin: c a 2 = b 2 +c 2 . Tính độ dài các cạnh của tam giác 2.2. Dạng 2: Chứng minh hệ thức giửa các yếu tố trong một tam giác Bài 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC đều có R abc cba CBA 222 cotcotcot   Giải. Nhận dạng tam giác: Dạng 1: Nhận dạng tam giác đều 2 cos 2 cos 2 cossinsinsin CBA CBA  Dạng 2: Nhận dạng tam giác cân C B C B tan tan sin sin 2 2  Dạng 3: Nhận dạng tam giác vuông