giới hạn dãy số hay đầy đủ

Giới hạn dãy số Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 1 1) Tính các giới hạn a) 2 2 3 2 5 lim 2 5 3 n n n n     b) 3 4 2 2 lim 3 1 n n n   c) 2 2 3n 1 - n - 1 lim n  b) lim 2 4 3 n 3n 5 3n - n 1    lim 5 2 5 2n 3n - 7 n - 6n  lim 7 2 7 5 n 3n -2 4n - n 1   c) lim 1n2n 3n2 3 3   (2 1)( 3) lim ( 1)( 2) n n n n n     lim 13n 1n3nnn 2 3 23   2) Tính các giới hạn a) 2 4 lim(1 3 1) n n n     lim( 2 2 n 5 - n 1   )   3 3 2 lim n - 2n - n b) Lim( nn2n 3 23  )   lim n 1 - n    lim n 1 n 2 - n   c) 2 2 n 1 n lim n n - n    3 2 6 4 2 1 lim 1 n n n n       3 3 2 limn n n - n  3) Tính các giới hạn a) 1 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n    b) 1 2 2 lim 2 5.3 n n n n    c) 2 2 1 lim ( 1, 1) 1 n n a a a a b b b b           b) lim n n n 1 n 1 3.2 3 2 3     lim n n n 1 n 1 (- 2) 3 (-2) 3     4) Tính các giới hạn lim 2 3 2 n 3cos3n - 1 2n - 6n 1   2 2n.sinn lim n 1  3 3 sin 4 lim n n n         2 2 lim sin 1 1 n n n cos n     a) 1 1 1 lim 1.2 2.3 ( 1) n n           b) lim 1 1 1 . . . 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2)            c) 2 2 2 1 1 1 lim(1 )(1 ) (1 ) 2 3 n    d) 2 2 2 2 1 3 5 2 1 lim n n n n n            e) lim 2 3 n 1 3 5 2n - 1 . . . . 2 2 2 2     f) 2 2 2 2 3 1 2 3 . . . n lim 5n n 1       g) 2 n 1 2 3 . . . 2n lim 3n n - 2      h) 1 - 2 3 - 4 . . . (2n - 1) - 2n lim . 2n 1     i) 2 2 2 1 1 1 lim 1 2 n n n n             j) 1 1 1 lim 2 1 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1 n n n n               k) 1.3.5.7 (2 1) lim 2.4.6 (2 ) n n  l) 2 2 2 4 2.1 3.2 ( 1). lim n n n     m) 2 3 1 2 3 lim n n n n     Giới hạn dãy số Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 2 5) Cho dãy số xác định bởi: 1 1 1 3 2 n n u u u          . (n > 1 ) Tìm lim u n . 6) Cho dãy số xác định bởi: 1 1 3 4 3 n n u u u          . (n > 1 ) Tìm lim u n . 7) Cho dãy xác định bởi: . 2 u u u 4 1 u n 2 n1n 1           CMR: với mọi n thì : ; 4 3 u u và 4 1 u 0 n 1n n   Tìm lim u n ĐS: lim u n = 0 8) Cho dãy xác định bởi: . 1 n u u 2 1 u n 1n 1            CMR: với mọi n thì ; 2 1 u u vàu 0 n 1n n   Tìm lim u n ĐS: lim u n = 0. 9) Cho dãy xác định bởi: . u u 10 u n1n 1         CMR: với mọi n thì 1; - u 2 1 - u và1 u 1n n n   Tìm limu n . 10) Cho dãy số:      1 1 2 2008 n u n n n n     Tính 1 lim n i i u   ĐS: 1/2008.2008! 11) CMR: mỗi dãy số sau đây đều có giới hạn và tìm giới hạn đó:                     n 1k 2 n n1n 1 n n 1n 1 2 2 . . . 2 2 2 d) ; k 1 u c) ; u 2 u 2 u b) ; u 2 u u 1 u a) 12) Cho dãy số:   n u với n = 1, 2, 3….xác định như sau: 1 2 1 1 2008 n n n u u u u          Tìm giới hạn: 1 2 2 3 1 lim n n n u u u u u u           NX: Bài toán trên có thể thay 2008 bằng số bất kỳ 13) Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 1 1 1 2 1 1 n n u u u u u        ( n >1) Đặt 1 1 n n k k S u    . Tìm lim n S Giới hạn dãy số Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 3 14) Tính các giới hạn của dãy (u n ) a) 2 2 2 n u    b) 1 1 0 1, (1 ) 4 n n n u u u      c) 0 1 1 1 1, n n n u u u u u       15) Chứng minh dãy 1 1 n n u n         có giới hạn. 16) Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn a) 1 1 1 1 2 n u n n n n        b) 1 1 1 1 2 2 3 n u n n       c) 2 2 2 1 1 1 1 2 3 n u n      d) 1 1 1 1! 2! ! n u n     e) 1 1 2, 2 n n u u u     f) 1 1 1 0, 4 2 n n u u u     17) Cho dãy (u n ) xác định bởi công thức 2 1 1, 3 2 n n u u u    . Chứng minh rằng (u n ) có giới hạn và tìm giới hạn đó. 18) Giả sử 0 x  và 1 1 (2 ) n n n y y xy     . Chứng minh rằng , nếu mọi 0 i y  thì dãy (y n ) hội tụ và 1 lim n y x  19) Cho dãy (x n ) xác định như sau 0 1 1 1, 1 n n x x x     .Tìm 1 1 lim 1 n x   . 20) Xét dãy số nguyên dương (a n ) thỏa điều kiện * 1 1n n n a a a n N      . Tính giới hạn 2 1 2 1 1 1 1 lim n n a a a          21) Cho dãy (u n ) thỏa điều kiện 1 1 0 1 , 1 n n n u u u u u       . Chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn . Tìm giới hạn đó. Giới hạn dãy số Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 4 22) Cho 2 cos n n k S k k     . Tính 2 lim n S n 23) Cho dãy số (x n ) thỏa 0 1 2 1 ( 0), k k k x x x x        . Chứng minh rằng tồn tại 2 số dương , A  sao cho lim n x A n   24) Cho dãy (x n ) xác định theo công thức 1 ( ) 2 n n x f x n     . Giả sử [ , ] n x a b  n N   và f là hàm tăng trên [a.b]. Chứng minh rằng a) Nếu x 1 ≤ x 2 thì (x n ) là dãy tăng. b) Nếu x 1 ≥ x 2 thì (x n ) là dãy giảm. c) Nếu f bị chặn thì (x n ) hội tụ. 25) Cho (x n ) được xác định như sau 1 1 1 1 , 2, 0, 0 2 n n n a x x n a x x              . Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy. 26) Cho (x n ) được xác định như sau 1 1 2 1 1 2 , 2, 0, 0 3 n n n a x x n a x x              . Chứng minh rằng dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy. 27) Xác định x 1 để dãy (x n ) xác định như sau là dãy hội tụ : 2 1 1 3 1 ( 2) n n n x x x n       28) Cho dãy (x n ) với 0 1 n x   và 1 1 (1 ) 4 n n x x    . Chứng minh rằng 1 lim 2 n x  29) Cho dãy số (y n ) xác định theo công thức 1 1 (1 ) n n x x n Ax y x y y      với 0 0,0 1, 0 A x y     . Chứng minh rằng dãy trên có giới hạn và tìm giới hạn đó. 30) Cho a 1 = a, a n+1 =a n (a n – 1). Hỏi với giá trị nào của a thì dãy (a n ) hội tụ. 31) Cho 2 3 1 1 2 2 2 2 2 2 3 n n n n S n              . Tính limS n . 32) Cho dãy (u n ) và (v n ) được xác định như sau u 1 = a, u 2 = b, 1 1 1 , ( 2) 2 2 n n n n n n u v u v u v n         Chứng minh rằng 1 2 1 ( )(1 ) 3 4 n n u a b a      , 1 2 1 ( )(1 ) 3 2.4 n n v a b a      33) Cho dãy (a n ) và (b n ) được xác định như sau a 1 = a > 0, v 1 = b > 0, 1 1 2 n n n a b a     , 1 1 2 ( 2) 1 1 n n n b n a b      . Chứng minh rằng lim lim n n a b ab   34) Các dãy (x n ) và (y n ) được xác định như sau x 1 = a > 0, y 1 = b > 0, 1 1 , 2 n n n x y x     1 1 ( 2) n n n y x y n     .chứng tỏ rằng các giới hạn của chúng tồn tại và bằng nhau. 35) Cho các dãy số (x n ) ,( y n ) , (z n ) xác định như sau x 1 =a, y 1 = b, z 1 = c, 1 1 2 n n n y z x     , 1 1 2 n n n x x y     , 1 1 2 n n n x y z     . Chứng minh rằng các dãy số này đều hội tụ và lim lim lim 3 n n n a b c x y z      Giới hạn dãy số Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 5 36) Cho các dãy số (x n ) ,( y n ) , (z n ) xác định như sau x 1 = a > 0, y 1 = b > 0, z 1 = c > 0, 1 1 n n n x y z    , 1 1 n n n y z x    , 1 1 n n n z x y    . Chứng minh rằng 3 lim lim lim n n n x y z abc    37) Xét dãy số (x n ) được xác định bởi 1 1 1 1 n n x x     , x 0 = 1. Chứng minh rằng lim 2 n x  38) Cho f là hàm dương,liên tục và nghịch biến trên [0,∞). Giả sử rằng hệ phương trình ( ), ( ) f f       có nghiệm duy nhất l     . Chứng minh rằng dãy số dương 1 ( ) n n x f x   với x 0 > 0 cho trước hội tụ tới l. 39) Xét dãy số (x n ) được xác định bởi 1 0 2 1 , 0 1 n n x x x      .Khảo sát sự hội tụ của dãy (x n ). 40) Cho a ≠ 1. Xét dãy (x n ) được xác định bởi 2 1 0 2 ( 3) , 3 1 n n n n x x x x a x      . Chứng minh rằng dãy (y n ) ={(a – 1)x n } có giới hạn và xác định giới hạn đó. 41) Xét dãy (x n ) được xác định bởi 1 0 2 2 3 , 1 n n n x x x x     .Chứng minh rằng (x n ) không có giới hạn hữu hạn. 42) Cho dãy hàm   ( ) n f x dương trên R + thỏa các điều kiện 0 ( ) , f x x  2 1 ( ) 6 ( ) , n n f x x f x n N x R        . Chứng minh rằng tồn tại duy nhất dãy số dương và đơn điệu tăng (x n ) thỏa mãn ( ) 2 n n n f x x  và lim 4 n x  43) Xét 2 dãy (a n ) , (b n ) xác định bởi a 1 = 3, b 1 = 2 và a n+1 = a n 2 + 2b n 2 , b n+1 = 2a n b n . Tính 2 lim n n b và 2 1 2 lim n n a a a 44) .    Giới hạn dãy số Phạm Ngọc Chuyên- THPT Quỳnh Lưu 2- 1/7/2012 2 5) Cho dãy số xác định bởi: 1 1 1 3 2 n n u u u          . (n > 1 ) Tìm lim u n . 6) Cho dãy số xác định. có thể thay 2008 bằng số bất kỳ 13) Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 1 1 1 2 1 1 n n u u u u u        ( n >1) Đặt 1 1 n n k k S u    . Tìm lim n S Giới hạn dãy số Phạm. Tính giới hạn 2 1 2 1 1 1 1 lim n n a a a          21) Cho dãy (u n ) thỏa điều kiện 1 1 0 1 , 1 n n n u u u u u       . Chứng minh rằng dãy (u n ) có giới hạn . Tìm giới hạn