1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 3 4 1 3 3 3 log x log x log 3x 3 b) 3 4 1 8 16 log x log x log x 5 c) 2 2 4 2 x 3 log log x 4x 4 log 3 x 2 d) 8 4 2 2 1 1 log x 3 log x 1 log 4x 2 4 Bài giải: a) Điều kiện: x 0 3 3 3 3 log x 3log x 1 4log x 3 log x 1 Vậy PT có nghiệm x 3 . c) Điều kiện: x 3 hoặc x 2 2 2 2 x 3 log log x 2 log 3 x 2 2 2 x 3 x 2 x 3 x 2 log log 3 3 x 2 x 2 2 x 2x 12 0 x 1 13 Vậy PT có nghiệm x 1 13 . b) Điều kiện: x 0 2 2 2 2 1 log x 4log x log x 5 log x 2 2 Vậy PT có nghiệm 1 x 4 . d) Điều kiện: x 1 2 2 2 log x 3 log x 1 log 4x 2 2 log x 3 x 1 log 4x x 3 x 1 4x 2 x 1 L x 2x 3 0 x 3 Vậy PT có nghiệm x 3 . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 2 x 3 1 log 3 1 2x x 2 b) 2 2 x log 2 log 4x 3 c) 2 3 x 4x 2x 2 4log x 2log x 3log x d) 2 3 x 4x 16x 2 log x 40log x 14log x 0 Bài giải: a) Điều kiện: 3 x 2 2 3 1 2x x x 3 3 x 1 x 3 Xét hai trường hợp: * 2 x 1 1 x 4 VN x 9x 13 0 4 x x 3 * 2 x 1 2 x 1 3 5 x 2 x 3x 1 0 x 2 x 3 b) Điều kiện: 0 x 2 2 2 2 2 1 1 2 log x 3 log x 1 2 1 log x log x 2 2 2 2 2 2 2 1 log x log x 1 log x log x 2log x 0 2 2 log x 0 x 1 log x 2 x 4 Vậy PT có hai nghiệm x 1 hoặc x 4 . c) Điều kiện: 0 x 2 và 1 1 x ,x 2 4 + x 1 là một nghiệm của PT. + Với x 1 2 3 x 4x 2x 2 4log x 2log x 3log x x x x 2 4 9 1 log 2 1 2log 2 1 log 2 2 2 x x 2 x 4 log x 2 6log 2 log 2 1 0 1 log x 3 x 8 Vậy PT có ba nghiệm x 1 , x 4 , 1 x 8 . d) Điều kiện: 0 x 2 và 1 1 x ,x 16 4 Giải tương tự câu c). Kết quả: x 1 , 1 x 2 . 2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) x x 1 2 1 2 log 4 4 x log 2 3 b) x x 1 5 25 log 5 1 .log 5 5 1 Bài giải: a) Điều kiện: x 1 2 3 0 x x 1 2 2 log 4 4 log 2 3 x x x x 2 x 1 x 1 4 4 4 4 log x 2 2 3 2 3 x x x 4 3.2 4 0 2 4 x 2 Vậy PT có nghiệm x 2 . b) Điều kiện: x 0 x x 5 5 1 log 5 1 . log 5 5 1 1 2 x x 5 5 log 5 1 . 1 log 5 1 2 x 5 x 2 x 5 5 x 5 log 5 1 2 log 5 1 log 5 1 2 0 log 5 1 1 Giải ra ta được nghiệm 5 26 x log 25 , 5 x log 6 Ví dụ 4. Giải các phương trình sau: a) 3 3 2 3 2 x 1 log 3x .log x log log x 2 3 b) 2 9 3 3 2log x log x.log 2x 1 1 c) 2 2 2 2 6 1 6 x log 5x 2x 3 x log 5x 2x 3 x 2x d) 2 2 7 7 2 1 log x log x 3 2log x 3 log x 2 Bài giải: a) Điều kiện: x 0 3 2 3 2 1 1 1 log x .log x 3log x log x 2 2 3 3 2 3 2 log x 0 x 1 log x.log x 3log x 0 x 8 log x 3 Vậy PT có nghiệm x 1 , x 8 . c) Điều kiện: 3 x 5 hoặc x 1 2 2 2 2 6 6 1 x log 5x 2x 3 x log 5x 2x 3 x 2x 2 2 2 2 6 1 x 2x log 5x 2x 3 x 2x 2 2 2 6 x 0;x 2 x 2x 0 17 x 3;x log 5x 2x 3 2 5 Vậy PT có nghiệm 4 nghiệm: x 0;x 2 ; x 3; 17 x 5 b) Điều kiện: x 0 2 3 3 3 1 log x log x.log 2x 1 1 2 3 3 3 log x 0 x 1 x 4 log x log 2x 1 1 Vậy PT có nghiệm x 1 , x 4 . d) Điều kiện: x 0 2 2 7 2 1 log x 2log x 1 log x 3 2log x 1 0 2 2 2 7 1 2log x 1 log x log x 3 0 2 2 2 7 2 7 1 log x x 2 2 log x log x 3 log x 2log x 3 Giải PT bằng cách đặt t 2 log x t x 4 , ta được: t t t t 4 1 4 3 7 3. 1 t 0 7 7 x 1 Vậy PT có nghiệm 4 nghiệm: x 2;x 1 . 3 Ví dụ 5. Giải các phương trình sau: a) 2 2 1 2x 1 3x log 6x 5x 1 log 4x 4x 1 2 0 b) 2 2 3x 7 2x 3 log 4x 12x 9 log 6x 23x 21 4 Bài giải: a) Điều kiện: 1 0 x 3 2 1 2x 1 3x log 1 2x 1 3x log 1 2x 2 0 1 2x 1 3x log 1 3x 2log 1 2x 1 0 1 2x 1 2x 2 log 1 3x 1 0 log 1 3x 2 1 2x 1 2x log 1 3x log 1 3x 2 0 1 2x 2 1 2x 1 1 3x log 1 3x 1 1 2x log 1 3x 2 1 3x 1 2x Giải ra ta thu được các nghiệm 1 x 4 . b) Giải tương tự câu a). Kết quả: 1 x 4 . Ví dụ 6. Giải các phương trình sau: a) 2 2 2 log x x 1 log x 2x 6 0 b) 2 3 3 x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0 Bài giải: a) Điều kiện: x 0 Đặt 2 t log x . PT trở thành: 2 t x 1 t 2x 6 0 . Xem là PT bậc hai theo ẩn t. Ta có: 2 2 2 2 1 log x 2 t 2 x x 5 4 t x 2 log x 3 x log x 3 x x 2 1 x 4 . Vậy PT có nghiệm 1 x 4 , x 2 . b) Giải tương tự câu a). Kết quả: 80 x 81 , x 2 . Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a) 2 3 2 log log log x 1 b) x x 3 log log 9 6 1 b) 3 log log x log log x 2 0 Bài giải: a) 3 2 2 log log x 2 log x 9 x 512 b) 3 3 2 log logx. log x 2 0 log x. log x 2 1 3log x 2log x 1 0 3 x 10 log x 1 1 1 x log x 10 3 c) Điều kiện: 0 x 1 x x x x 3 log 9 6 x 9 3 6 0 3 3 x 1 L Vậy PT đã cho vô nghiệm. 4 Ví dụ 8. Giải các phương trình sau: a) 4 6 4 2log x x log x b) 2 2 2 2 3 6 log x x 1 .log x x 1 log x x 1 Bài giải: a) Điều kiện: x 0 4 6 4 log x x log x Đặt t 4 log x t x 16 . PT trở thành: t t t t t t t 6 4 2 log 4 2 t 4 2 6 1 6 6 Hàm số t t 4 2 f t 6 6 nghịc biến trên R nên PT có nghiệm duy nhất t 1 x 16 Vậy PT có nghiệm x 16 . b) Điều kiện: 2 2 x x 1 0 x x 1 0 2 2 2 2 2 3 2 log x x 1 log x x 1 .log x x 1 log 6 6 2 2 2 log 2 2 2 3 6 log x x 1 0 x x 1 1 x x 1 3 log x x 1 log 2 1 2 PT (1) VN. Ta giải PT (2): 6 6 6 6 log 22 log 2 log 2 log 2 2 x x 1 3 3 3 x TM 2 x x 1 3 . Ví dụ 9. Giải các phương trình sau: a) 1 5 log x x 6 b) 2 2 2 x 4x 5 x 2 log 2 2x 3 2x 3 Bài giải: a) Hàm số 1 5 y log x nghịch biến và y x 6 đồng biến trên khoảng 0; nên PT có nghiệm x 5 . b) 2 2 2 2 x 2 log x 4x 5 log 2x 3 2 2x 3 2 2 2 2 x 2 1 log x 2 1 log 2 2x 3 2 2x 3 (*) Đặt 2 f t t log t , với t 0 . Ta có: 1 f ' t 1 0, t 0 t ln 2 nên f t đồng biến trên khoảng 0; . PT (*) trở thành: 2 2 2 2 f x 2 1 f 2 2x 3 x 2 1 2 2x 3 x 1 2x 3 1 0 Vậy nghiệm của PT là x 1 . Ví dụ 10. Giải các phương trình sau: a) 5 5 log 3 log x x 4 x b) 2 2 2 log 9 log x log 3 2 x x .3 x c) 2 2 1 3 log x log x 2 2 2x 2 Bài giải: a) Điều kiện: x 0 5 5 5 5 log 3 log x log x log x x 4 x 3 4 x . Đặt t 5 log x t x 5 . PT trở thành: t t t 3 4 5 5 t 2 log x 2 x 25 . b) Điều kiện: x 0 2 2 2 2 2 2 log x log x log x log x log x2 2 9 x .3 3 3 3 x 1 2 log x 2 3 x 1 . Đặt t 2 log x t x 2 . PT trở thành: t t t t 3 1 3 4 1 1 t 1 x 2 4 4 . c) Điều kiện: x 0 . PT 2 2 1 3 log x log x 2 2 2 2 2 2 2 1 3 log 2x log 2 1 log x log x 2 2 2 2 log x 1 x 2 log x 2 x 4 . 5 MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1. 8log21log3log 444 xx 2. 2652log 2 5 xx x 3. 12lg2021lg110lg5lg xxx 4. 8 1 lg 2 1 2 1 lg 2 1 lg 2 1 lg xxxx 5. 4lglg3lg 22 xxx 6. 02log3log 3 1 3 1 xx 7. 8 8 log4log 2 2 2 2 1 x x 8. 222log64log 2 5 5 xx 9. 1log2log 2 33 x x 10. 212log1log 53 xx 11. 01106log3log 2 2 2 xx 12. 1log 2 2 x xx 13. 12log.4log 2 2 2 xx x 14. 05,4lg1log x x 15. 3 3 log 3 log 22 x x x x 16. 2lg46lg 2 xxxx 17. 01106log3log 2 2 2 xx 18. 633log33log.log 33 x x 19. 32log22log 2 32 2 322 xxxx 20. 013loglog.3 33 xx 21. x x xx x 2 4 2 44 2 log 2 log2log2log 22. 4lg2lg 2 1 10lg 2 xx 23. 162log242log3 3 2 3 xxxx 24. 154 22 2 2 2 3log81log 4log 36log xx 25. 212log 2 1 x x 26. 3 2 log x 1 2 2 2 2 3x 2 log x 1 log x 27. 33loglog.4 9 x x 28. 13log6log 22 xx 29. 3log3127log23log 2 2 2 2 2 xxxx 30. 0log211 2 2 xxxx 31. 61log1log 2 32 2 2 32 xxxx 32. 0 6 7 4log2log x x 33. 225log.3logloglog 9535 xx 34. 1log2 2log 1 13log 2 3 2 xx x 35. xxxx 7272 log.log2log2log 36. 2 2 4 5 log x x 1 .log x x 1 2 20 log x x 1 37. 43.59log 2 xx 38. x 1 x 3 log 9 4.3 2 3x 1 39. 1122log42log 22 xx x 40. 16log1log 12 x x 41. 2 loglog 12222 22 xx xx 42. 1log1log 2 1 2 2 xx 43. 01lg.1241lg1 22222 xxxx 44. 0621log51log 3 2 3 xxxx 45. 225log.3logloglog 9535 xx 46. 0226log8log 39 xx 47. 944log2log 2 3 2 3 xxx 48. 2log22log5log1log 25 15 5 1 2 5 xxx 49. 3 4 1 3 4 1 2 4 1 6log4log32log 2 3 xxx 50. 3logloglog.log 2 3 332 xxxx 51. 2 2 1 2 1 2 3 .log 1 2log 2 3 .log 2 2log 1 x x x x x x . 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Ví dụ 1. Giải các phương trình sau: a) 3 4 1 3 3 3 log x log x log 3x 3 b). 2 x 1 L x 2x 3 0 x 3 Vậy PT có nghiệm x 3 . Ví dụ 2. Giải các phương trình sau: a) 2 x 3 1 log 3 1 2x x 2 b) 2 2 x log 2 log 4x 3 c). 1 x ,x 16 4 Giải tương tự câu c). Kết quả: x 1 , 1 x 2 . 2 Ví dụ 3. Giải các phương trình sau: a) x x 1 2 1 2 log 4 4 x log 2 3 b) x x 1 5 25 log