Bài 5. Đường Hypecbol 51 BÀI 5. ĐƯỜNG HYPECBOL I. CÁC DẠNG HYPECBOL VÀ ĐẶC ĐIỂM Trụ c thực Hình dạng Hypecbol Phương trình và các yếu tố trong Hypecbol O x 2 2 2 2 2 2 2 1; y x c a b a b − = = + ; Tâm sai c e a = . ( ) ( ) 1 2 ; 0 ; ; 0 F c F c− . Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c. A 1 (−a; 0); A 2 (a; 0) ∈ Trục thực. A 1 A 2 = 2a. B 1 (0; −b); B 2 (0; b) ∈ Trục ảo. B 1 B 2 = 2b. Tiệm cận b y x a = ± ; Đg chuẩn 2 a a x c e =± =± , ( ) ( ) 1 2 e e MF x a MF x a = ε + = ε − 1 0 1 0 x x ε = > ε = − < nÕu nÕu O y 2 2 2 2 2 2 2 1; y x c a b b a − = = + ; Tâm sai c e b = . ( ) ( ) 1 2 0 ; ; 0 ; F c F c − . Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c. A 1 (−a; 0); A 2 (a; 0) ∈ Trục ảo. A 1 A 2 = 2a. B 1 (0; −b); B 2 (0; b) ∈ Trục thực. B 1 B 2 = 2b. Tiệm cận b y x a = ± ; Đg chuẩn 2 b b y c e =± =± ( ) ( ) { 1 2 ; MF ey b MF ey b = ε + = ε − với 1 ε = ± y = β ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1; y x c a b a b −β −α − = = + ; Tâm sai c e a = ( ) ( ) 1 2 ; ; ; F c F c α − β α + β . Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; A a A a α − β α+ β ∈ Trục thực. A 1 A 2 = 2a. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; B b B b α β − α β + ∈ Trục ảo. B 1 B 2 = 2b. Tiệm cận ( ) b y x a −β = ± − α ; Đg chuẩn 2 a x c = α ± x = α ( ) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1; y x c a b b a −β −α − = = + ; Tâm sai c e b = ( ) ( ) 1 2 ; ; ; F c F c α β − α β + . Tiêu cự: F 1 F 2 = 2c. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; A a A a α − β α + β ∈ Trục ảo. A 1 A 2 = 2a. ( ) ( ) 1 2 ; ; ; B b B b α β − α β + ∈Trục thực. B 1 B 2 = 2b Tiệm cận ( ) b y x a −β = ± − α ; Đg chuẩn 2 b y c = β ± F 1 A 1 F 2 B 2 B 1 A 2 I x y O α β F 1 A 1 F 2 B 2 B 1 A 2 O x y O α β F 1 A 1 F 2 B 2 B 1 A 2 I x y F 1 A 1 F 2 B 2 B 1 A 2 O x y Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 52 II. XÁC ĐỊNH PHƯƠNG TRÌNH HYPECBOL THEO CÁC YẾU TỐ Bài 1. VPTCT của (H) đi qua ( ) M 5 2, 2 5 và có tiêu điểm ( ) ( ) 1 2 3 5;0 ; 3 5;0 F F− Bài 2. VPTCT của (H) đi qua M(2; 0) có tiêu điểm F 1 ( − 4; 0), F 2 (4; 0) Bài 3. VPTCT của (H) đi qua O(0; 0) có tiêu điểm F 1 ( − 2; 0), F 2 (0; 3) Bài 4. VPTCT của (H) đi qua M(5; − 3) và có tâm sai 2 e = Bài 5. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( ) ( ) 1 2 M 4; 6 ;M 6;1 − − Bài 6. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( ) M 6;2 3 biết độ dài trục thực bằng 6 Bài 7. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( ) M 3; 3 biết độ dài trục ảo bằng 2 Bài 8. VPTCT của (H) đi qua 4 34 9 M ; 5 5 và M nhìn F 1 F 2 ∈ O x dưới góc 2 π Bài 9. VPTCT của (H) đi qua ( ) M 4 10;9 và M nhìn F 1 F 2 ∈ O x dưới góc vuông. Bài 10. VPTCT của (H) đi qua 4 5 2 M ; 3 3 và M nhìn F 1 F 2 ∈ O x dưới góc 2 3 π Bài 11. VPTCT của (H) đi qua 4 5 2 M ; 3 3 − và M nhìn F 1 F 2 ∈ O y dưới góc 3 π Bài 12. VPTCT của (H) biết độ dài trục ảo bằng 6 và 2 tiệm cận ⊥ với nhau. Bài 13. VPTCT của (H) đi qua M(24; 5) và 2 đường tiệm cận là: 5 12 0 x y ± = Bài 14. VPTCT của (H) đi qua M( − 2; 1) và góc tù của 2 đường tiệm cận là 120 ° Bài 15. VPTCT của (H) đi qua M(6; 4) và góc giữa 2 đường tiệm cận là 60 ° . Bài 16. Viết phương trình chính tắc của hypecbol (H) có 2 đường tiệm cận là 3 4 0 x y ± = và 2 đường chuẩn 5 16 0 x ± = Bài 17. VPTCT của (H) có cùng hình chữ nhật cơ sở với elip (E): 2 2 9 16 144 x y+ = Bài 18. VPTCT của hypecbol (H) có đỉnh A(1; − 1) nằm trên trục thực và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) là (C): 2 2 2 2 7 0 x y x y + − − − = Bài 5. Đường Hypecbol 53 III. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG GIAO CỦA HYPECBOL Bài 1. Cho (H): 2 2 1 4 9 y x − = . Gọi (d’) đi qua O và ⊥ (d): y = kx a. Tìm điều kiện của k để (d) và (d’) đều cắt (H). b. Tính diện tích hình thoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d), (d’) và (H). c. Xác định k để hình thoi ấy có diện tích nhỏ nhất. Giải a. Ta có: (d): y = kx và ( ) 1 : d y x k − ′ = . Ta có (d) cắt (H) khi và chỉ khi 2 2 2 1 4 9 x k x − = ⇔ ( ) 2 2 9 4 36 k x − = có nghiệm 2 9 4 0 k ⇔ − > (d’) cắt (H) khi và chỉ khi 2 2 2 1 4 9 x x k − = 2 2 4 9 36 x k ⇔ − = có nghiệm Yêu cầu bài toán ⇔ 2 2 4 9 4 0, 9 0 k k − > − > ⇔ 2 9 3 4 2 9 4 3 2 k k < < ⇔ < < b. Với 3 2 3 2 k < < thì (d): y = kx cắt (H) tại 2 điểm A, C phân biệt với các tọa độ là 2 2 2 36 9 4 A C x x k = = − ; 2 2 2 2 36 9 4 A C k y y k = = − và ( ) 1 : d y x k − ′ = cắt (H) tại 2 điểm B, D phân biệt với 2 2 2 2 36 9 4 B D k x x k = = − ; 2 2 2 36 9 4 B D y y k = = − Ta có AC ⊥ BD tại trung điểm O của mỗi đoạn nên ABCD là hình thoi. ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 72 1 1 4 4 . 2 2 9 4 9 4 ABCD AOB A A B B k S S OA OB x y x y k k + = ⋅ = ⋅ = + + = − − c. ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 1 9 4 9 4 9 4 9 4 1 2 2 k k k k k − − ≤ − + − = + ⇒ 144 5 ABCD S ≥ Dấu bằng xảy ra ⇔ 2 2 9 4 9 4 1 k k k − = − ⇔ = ± . Vậy 144 Min 5 ABCD S = . Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy cho (H): 2 2 9 9 0 x y − − = . Tìm trên (H) những điểm nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc vuông. Tìm trên (H) những điểm nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc 60 ° Tìm trên (H) những điểm có tọa độ nguyên. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 54 Giải (H): 2 2 2 2 9 9 0 1 9 y x y x − − = ⇔ − = . Ta có: a = 1, b = 3 ⇒ 10 c = M( x 0 , y 0 ) ∈ (H) ⇔ 2 2 0 0 9 9 x y − = (1) . Điểm M nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc vuông nên M thuộc đường tròn (C) đường kính 1 2 F F , tức là tâm O, 2 2 10 2 F F R = = . ⇒ M ∈ (C): 2 2 10 x y + = ⇒ 2 2 0 0 10 x y + = . Kết hợp với (1) ⇒ 2 2 0 0 19 81 ; 10 10 x y= = 1 2 3 4 190 9 10 190 9 10 190 9 10 190 9 10 , , , , , , , 10 10 10 10 10 10 10 10 M M M M ⇒ − − − − b. M( x 0 , y 0 ) nhìn 1 2 F F dưới góc 60 ° ⇒ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 . cos 3 F F MF MF MF MF π = + − ⇔ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 0 . 4 4 c c F F MF MF MF MF c a x a x a a a = − + ⇔ = + + − 2 2 0 0 37 40 4 10 1 10 x x⇔ = + − ⇔ = ⇒ 2 0 27 9 10 y = ⋅ 1 2 3 4 370 9 30 370 9 30 370 9 30 370 9 30 , , , , , , , 10 10 10 10 10 10 10 10 M M M M ⇒ − − − − c. Để ý rằng nếu điểm M( x 0 , y 0 ) là điểm có tọa độ nguyên ∈ (H) thì các điểm ( − x 0 , y 0 ), ( − x 0 , − y 0 ), ( x 0 , − y 0 ) ∈ (H) cũng có tọa độ nguyên. Vậy ta chỉ cần xét trường hợp khi 0 0 , 0 x y ≥ . Ta có: ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 9 9 3 3 9 x y x y x y − = ⇔ − + = ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 3 1;3 9 ; 4 3 3 3;3 3 1; 0 x y x y x y x y x y x y − = + = = = ⇔ ⇔ − = + = = = lo¹i Vậy các điểm có tọa độ nguyên ∈ (H) là M 1 (1; 0), M 2 ( − 1; 0) Bài 3. Cho (H): 2 2 1 9 4 y x − = và A(3; 2), B(0; 1). Tìm điểm C ∈ (H) sao cho ∆ ABC có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Bài 5. Đường Hypecbol 55 Giải (AB): 1 0 x y − − = và 3 2 AB AB= = . Gọi C( x 0 , y 0 ) ∈ (H) ⇔ 2 2 0 0 1 9 4 x y − = . Ta có: ( ) ( ) 0 0 0 0 3 3 1 , 1 1 2 2 2 S AB d C AB x y x y = ⋅ ⋅ = − − ≥ − − . Sử dụng bất đẳng thức ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , , , , , ax by a b x y a b c x y − ≥ − − ∀ ta có ( ) 2 2 0 0 0 0 0 0 3 2 9 4 5 3 2 9 4 x y x y x y − = ⋅ − ⋅ ≥ − − = ( ) 3 5 1 2 S ⇒ ≥ − Dấu bằng xảy ra ⇔ 0 0 9 4 , 5 5 x y= = hay 9 4 ; 5 5 C Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ O xy cho (H): 2 2 1 16 9 y x − = . Gọi F là một tiêu điểm của (H) ( 0 F x < ) và I là trung điểm của đoạn OF. Viết phương trình các đường thẳng tiếp xúc với (H) và đi qua I. Giải Ta có: 2 2 16, 9 5 a b c = = ⇒ = ⇒ F( − 5; 0) ⇒ ( ) 5 ; 0 2 I − . Đường thẳng (d) qua I: ( ) 5 0 2 A x By + + = ( ) 2 2 0 A B + > ⇔ 5 0 2 Ax By A + + = (d) tiếp xúc (H) ⇔ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 39 5 39 36 0 2 6 a A b B A A B B A − = ⇔ − = ⇔ = ± ⇒ A ≠ 0 ⇒ (d): 39 39 5 5 0 0 6 39 15 0 6 2 6 2 Ax Ay A x y x y ± + = ⇔ ± + = ⇔ ± + = Bài 5. Cho Hypecbol (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = . 1. Tính độ dài phần đường tiệm cận chắn bởi 2 đường chuẩn. 2. Tìm khoảng cách từ tiêu điểm của (H) tới các đường tiệm cận. 3. Chứng minh rằng: Chân các đường ⊥ hạ từ 1 tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó. Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 56 Giải 1. (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = có 2 tiêu điểm ( ) ( ) 1 2 , 0 , ,0 F c F c − với 2 2 c a b = + . Hai đường chuẩn của Hypebol (H) tương ứng là 2 2 1,2 2 2 : a a x c a b ∆ = ± = ± + . Gọi H, K là giao đường tiệm cận b y x a = với 1 2 , ∆ ∆ khi đó ta có 2 2 2 2 2 2 2 , 2 2 H H H H a ab x y OH x y a KH OH a a b a b = = ⇒ = + = ⇒ = = + + 2. Khoảng cách từ ( ) 1 , 0 F c đến b y x a = ± hay 0 bx ay ± = là 2 2 0bc d b a b − = = + 3. Ta có ( ) ( ) 1 , ; , H H H H OH x y F H x x y − suy ra ( ) 2 2 2 2 2 1 1 , . 0 H H H H H H OH F H x x c y x y c x a a F H OH = − + = + − = − = ⇒ ⊥ Bài 6. Cho Hypecbol (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý trên (H) đến hai đường tiệm cận là không đổi. Giải Lấy điểm bất kỳ ( ) ( ) 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 , : 1 1 x y y x M x y H a b a b ∈ − = ⇒ − = . Viết phương trình hai đường tiệm cận có dưới dạng 0 y x a b ± = thì khoảng cách từ điểm M đến 2 đường tiệm cận là 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 . 1 1 1 1 1 1 x y x y x y a b a b a b a b d d a b a b a b a b a b a b − + − = × = = = + + + + + Bài 7. Viết phương trình (d) đi qua M(0; 2) và cắt (H): 2 2 1 4 1 y x − = tại A, B phân biệt sao cho M là trung điểm AB. Bài 5. Đường Hypecbol 57 IV. CÁC BÀI TOÁN TIÉP TUYẾN HYPECBOL Bài 1. Cho (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = . CMR: a. Tiếp tuyến của (H) tại M( x 0 , y 0 ) ∈ (H) có phương trình: 0 0 2 2 1 x x y y a b − = b. Điều kiện cần và đủ để ( ∆ ): 0 Ax By C + + = tiếp xúc (H) là 2 2 2 2 2 a A b B C − = Viết phương trình tiếp tuyến của (H) trong các trường hợp: Bài 2. (H): 2 2 4 20 x y − = và hệ số góc tiếp tuyến 3 4 k = Bài 3. (H): 2 2 5 4 0 x y − − = và tiếp tuyến // (D): 3 x + 2 y − 1 = 0. Bài 4. (H): 2 2 4 5 20 0 x y − + = và tiếp tuyến ⊥ (D): 3 x + 2 y − 1 = 0. Bài 5. (H): 2 2 4 4 x y = + và tiếp tuyến tạo với (D): x − 2 y + = 0 góc 45 ° Bài 6. (H): 2 2 2 4 x y − = và tiếp tuyến đi qua A(2; 3) Bài 7. (H): 2 2 2 4 x y − = và tiếp tuyến cách tâm đối xứng của (H) 1 khoảng 3 Bài 8. (H): 2 2 25 16 400 0 x y − + = và tiếp tuyến đi qua A(4; 1) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường cong sau: Bài 9. ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 : 1 và : 1 4 3 4 3 y y x x H H − = − = Bài 10. ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 và : 1 4 7 3 y x x H E y − = + = Bài 11. ( ) ( ) 2 2 2 2 : 1 và : 1 2 7 y x H C x y − = + = Bài 12. ( ) 2 2 1 : 1 9 4 y x H − = và ( ) 2 2 2 : 1 6 1 y x H − = Bài 13. ( ) 2 2 : 1 8 27 y x H − = và ( ) 2 2 : 1 4 9 y x E + = Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 58 Bài 14. ( ) 2 2 : 1 16 4 y x H − = và ( ) ( ) 2 2 : 2 4 C x y + + = Bài 15. Viết phương trình (H) biết (H) có trục trùng với các trục tọa độ và tiếp xúc với các đường thẳng: ( ) ( ) 1 2 : 5 6 16 0; :13 10 48 0 x y x y ∆ − − = ∆ − − = Bài 16. Cho ( ∆ ): 0 Ax By C + + = tiếp xúc (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = a. F 1 , F 2 là tiêu điểm, kẻ F 1 H 1 ⊥ ( ∆ ), F 2 H 2 ⊥ ( ∆ ). CMR : 2 1 1 2 2 F H F H b ⋅ = − b. Chứng minh rằng: Họ đường thẳng (D): 2 cos sin 4 cos 1 0 x t y t t − + + = luôn tiếp xúc với (H) cố định. Bài 17. Cho (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = ; A 1 , A 2 là đỉnh, 1 tiếp tuyến ( ∆ ) bất kì cắt 2 tiếp tuyến tại đỉnh A 1 , A 2 lần lượt tại các điểm M, N. a. CMR : . M N y y const = b. Tìm điểm 1 2 I A N A N ≡ ∩ Bài 18. Cho (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = . Tiếp tuyến tiếp điểm tại M ∈ (H) cắt 2 tiệm cận tại P, Q. Chứng minh rằng: a. M là trung điểm PQ. b. ∆ OPQ có diện tích không đổi khi M di động trên (H). Bài 19. Cho (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = . CMR : Tiếp tuyến tiếp điểm tại M bất kì ∈ (H) là phân giác trong của 1 2 F MF Bài 20. Cho (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = . Tính diện tích hình chữ nhật có 4 đỉnh ∈ (H) và có 2 cạnh // O y đi qua 2 tiêu điểm. Bài 21. Cho (H): 2 2 2 2 1 y x a b − = . Lấy ( ) 0 0 , M x y thuộc nhánh bên phải của (H) và không trùng với đỉnh của (H). Đường thẳng qua M song song với trục tung cắt trục hoành tại P và cắt một đường tiệm cận tại Q. Gọi E và E ′ là giao điểm của đường tròn tâm O bán kính a với đường tiệm đó. Chứng minh rằng QE = MF 2 , QE ′ = MF 1 . Bài 5. Đường Hypecbol 51 BÀI 5. ĐƯỜNG HYPECBOL I. CÁC DẠNG HYPECBOL VÀ ĐẶC ĐIỂM Trụ c thực Hình dạng Hypecbol Phương trình và các yếu tố trong Hypecbol O x 2 2 2 2. Bài 5. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( ) ( ) 1 2 M 4; 6 ;M 6;1 − − Bài 6. VPTCT của hypecbol (H) đi qua ( ) M 6;2 3 biết độ dài trục thực bằng 6 Bài 7. VPTCT của hypecbol (H) đi qua. 18. VPTCT của hypecbol (H) có đỉnh A(1; − 1) nằm trên trục thực và đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H) là (C): 2 2 2 2 7 0 x y x y + − − − = Bài 5. Đường Hypecbol 53